Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1303 Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Løsningsforslag til øving 13

Veiledning mandag 19. april

Oppgave 1

a) Sløyfas magnetiske dipolmoment:

m = IA n̂ = Ia^{2} n̂

Sløyfa består av 4 rette ledere med lengde a, der to og to har strømmen gående i motsatt retning. Dermed blir den magnetiske kraften

F = I ∫ dl × B = IL × B

motsatt rettet, men like stor i absoluttverdi, for slike par av rette lederbiter. Den totale kraften på sløyfa blir dermed null. Noen detaljer er inkludert i figuren:

Vi ser av figuren at kreftene fra magnetfeltet ville ha deformert strømsløyfa dersom det hadde vært en mulighet. For ei makroskopisk strømsløyfe er dette som regel en neglisjerbar effekt, men dersom strømsløyfa er en klassisk modell av et elektron i bane rundt en atomkjerne, aner vi at i tillegg til en innretting av strømsløyfa (som vi skal se på i resten av denne oppgaven), vil magnetfeltet påvirke selve banebevegelsen til elektronet rundt kjernen. Med andre ord: Atomets magnetiske moment endres både i retning og i absoluttverdi. Førstnevnte effekt er paramagnetisme, sistnevnte effekt er diamagnetisme. En klassisk modell av diamagnetisme ser vi nærmere på i oppgave 3, her konsentrerer vi oss om orienteringen av m.

b) Av figuren over ser vi at de to strømmene som går parallelt med xz-planet påvirkes av krefter i hhv positiv og negativ y-retning. Disse kreftene vil da ikke bidra til dreiemomentet omkring y-aksen. Kreftene som virker på strømmene som går parallelt med y-aksen gir tilsammen et dreiemoment (se figuren nedenfor og ovenfor)

τ = ∑ r × F
= −r_{1}F_{1} sin θ ŷ − r_{2}F_{2} sin θ ŷ
= −2 · \frac{a}{2} · IaB sin θ ŷ
= −Ia^{2} · B sin θ ŷ
= −m · B sin θ ŷ
= m × B

Skiftet av fortegn i siste linje skyldes av vi hadde valgt positiv vinkel θ mellom z-aksen og n̂, altså mellom B og m. Kryssproduktet m × B er, pr definisjon, m ganger B ganger sinus til vinkelen mellom m og B, dvs mB sin(−θ) = −mB sin θ.

c) I oppgave 3c i øving 6 utledet vi en generell sammenheng mellom dreiemoment τ og tilhørende potensiell energi U, nemlig at en rotasjon gjennom en vinkel dα under påvirkning av et dreiemoment τ resulterer i en endring dU i potensiell energi gitt ved

dU = −τ dα

Utledningen av denne sammenhengen var ikke avhengig av hvilken type krefter og dreiemoment det handler om, og må derfor gjelde like bra for vår magnetiske dipol i et magnetfelt som for den elektriske dipolen i et elektrisk felt i øving 6. Følgelig:

U(θ) = ∫_{θ_{0}}^{θ} dU
= − ∫_{θ_{0}}^{θ} τ(α) dα
= mB ∫_{θ_{0}}^{θ} sin α dα
= mB (cos θ_{0} − cos θ)
= −mB cos θ
= −m · B

Her valgte jeg å sette U(0) = −mB, dvs θ_{0} = π/2. Skisse:

Vi har minimal U, og følgelig stabil likevekt for θ = 0, dvs for dipolen orientert slik at m er parallell med B. Vi har maksimal U, og følgelig ustabil likevekt for θ = ±π, dvs for dipolen orientert slik at m er parallell med −B. Dette er magnetismens analogi til polarisering av dielektriske medier i et ytre elektrisk felt: Magnetiske dipoler retter seg inn langs det påtrykte magnetfeltet. Som nevnt lenger opp, dette er hva vi kaller paramagnetisme. Vi har snakket om ulike typer magnetisme i forelesningene – la dette være en liten oppsummering av det: Medier som består av atomer som har et atomært magnetisk dipolmoment som ikke er lik null, og der dipolmomentene på atomer i nærheten av hverandre ikke vekselvirker med hverandre, er paramagneter. Uten et ytre magnetfelt vil de atomære magnetiske dipolmomentene peke i tilfeldige retninger, slik at den midlere magnetiseringen, dvs midlere magnetiske dipolmoment pr volumenhet (se punkt d)), blir lik null overalt i mediet. Slik var det også med midlere polarisering i et dielektrikum når vi ikke hadde noe ytre elektrisk felt. Med et ytre magnetfelt får vi en tendens til innretting av magnetiske dipolmoment langs det ytre feltet, og dermed en midlere magnetisering forskjellig fra null. Eksempler på paramagnetiske materialer er aluminium (Al) og magnesium (Mg). Medier som består av atomer med atomært magnetisk dipolmoment lik null har ingenting å rette inn i et påtrykt magnetfelt. Men, og som nevnt lenger opp, banebevegelsen til elektronene rundt atomkjernen vil påvirkes av et ytre magnetfelt, slik at vi får indusert et atomært magnetisk dipolmoment i hvert eneste atom. Slike medier er diamagneter. Vi skal se kvalitativt på denne effekten i oppgave 3 nedenfor og finne at det induserte magnetiske dipolmomentet vil bli motsatt rettet det ytre feltet. Diamagnetisme er en mye svakere effekt enn paramagnetisme. Også i paramagneter, der vi har permanente atomære magnetiske dipolmoment, får vi en slik diamagnetisk “respons” i et ytre magnetfelt. Den diamagnetiske responsen vil imidlertid være tilnærmet neglisjerbar i en paramagnet. For å kunne måle diamagnetisme, trenger vi derfor medier med null atomært magnetisk dipolmoment i utgangspunktet (dvs før vi skrur på det ytre magnetfeltet). Eksempler på diamagneter er gull (Au), sølv (Ag), kobber (Cu). I enkelte medier har vi atomer med magnetiske dipolmoment som vekselvirker med dipolmomentene på naboatomene. F.eks. kan vekselvirkningen være slik at det er energetisk foretrukket at naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i samme retning. Da har vi en ferromagnet, og eksempler på ferromagneter er jern (Fe), kobolt (Co) og nikkel (Ni).

d) Maksimal tetthet av magnetisk dipolmoment i jern blir lik antall jernatomer pr volumenhet ganget med magnetisk dipolmoment pr jernatom:

\frac{m}{V} = 2μ_{B} · \frac{7.9 · 10^{6}}{55.9} · 6.02 · 10^{23} = 2 · 9.27 · 10^{−24} · \frac{7.9 · 10^{6}}{55.9} · 6.02 · 10^{23} = 1.6 · 10^{6}

Enheten til m er Am^{2}, enheten til V er m^{3}. Følgelig blir enheten til magnetisk dipolmoment pr volumenhet, eller magnetisering, A/m.

Oppgave 2

Retningen på B:

• B_{y} = 0 fordi dB ∼ ŷ×r̂ ⊥ ŷ ifølge Biot-Savarts lov. (Alle strømbidrag går i y-retningen.)

• B_{z} = 0: Se på figuren nedenfor. Her er dB_{+} og dB_{−} bidrag til magnetfeltet henholdsvis over og under xy-planet fra “symmetrisk lokaliserte” uendelig lange, tynne strømførende ledere i posisjon ±x. Biot-Savarts lov og figurbetraktning gir at B må være rettet i positiv x-retning for z > 0 og i negativ x-retning for z < 0.

Absoluttverdien av magnetfeltet kan ikke avhenge av x eller y når det strømførende planet er uendelig stort. Dessuten må B være like stor en avstand z over xy-planet som en avstand z under. (B_{+} = B_{−} = B, se figuren nedenfor) Da skulle vi ha det beste valget av amperekurve klart: Et rektangel med flatenormal i positiv y-retning, symmetrisk plassert i forhold til xyplanet:

Når integrasjonsveien velges som vist i figuren, er strømmen omsluttet av amperekurven positiv, ifølge høyrehåndsregelen. Med en lengde L i x-retningen blir den omsluttede strømmen I_{in} = i · L. Amperes lov gir dermed:

∮ B · dl = 2 · B · L = μ_{0}i · L

eller

B = μ_{0}i/2

(På de vertikale bitene av amperekurven er B ⊥ dl så disse gir null bidrag til integralet.) Alternativt kunne vi først ha lagt hele ampererektangelet på en side av xy-planet. Da hadde vi hatt null omsluttet strøm, og dermed fått at B måtte være uavhengig av z. I neste omgang legger vi amperekurven slik at den omslutter en del av xy-planet, og dermed også en viss strøm, og finner det samme som over. Så langt jeg kan se, holder det å bruke Amperes lov en gang når vi legger amperekurven symmetrisk om xy-planet.

Oppgave 3

a) Sentripetalakselerasjonen er v_{0}^{2}/R mens Coulombkraften er e^{2}/4πε_{0}R^{2}. Newtons 2. lov gir da

m_{e} \frac{v_{0}^{2}}{R} = \frac{e^{2}}{4πε_{0}R^{2}} ⇒ R = \frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}v_{0}^{2}}

Banedreieimpulsen til elektronet er

L_{0} = m_{e} r × v_{0} = m_{e}R v_{0} ẑ

mens dets magnetiske dipolmoment er

m_{0} = IA = −\frac{e}{2πR/v_{0}} · πR^{2} ẑ = −\frac{1}{2}ev_{0}R ẑ = −\frac{e}{2m_{e}} L_{0}

b) Den valgte retningen på B fører til at den magnetiske kraften F_{m} = −e v × B blir rettet innover mot kjernen, dvs i samme retning som den tiltrekkende Coulombkraften. Med uendret baneradius R bestemmes dermed hastigheten v av ligningen

m_{e} \frac{v^{2}}{R} = \frac{e^{2}}{4πε_{0}R^{2}} + evB

Dette er en annengradsligning for v,

v^{2} − \frac{eBR}{m_{e}} v − \frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R} = 0,

med løsning

v = \frac{eBR}{2m_{e}} + \sqrt{\frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R} + (\frac{eBR}{2m_{e}})^{2}}

(Løsningen med negativt fortegn foran kvadratroten er negativ og ikke aktuell.) La oss gå tilbake og se på hastigheten uten magnetfelt:

v_{0} = \sqrt{\frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R}}

Vi ser umiddelbart at v > v_{0}. Det betyr at det magnetiske dipolmomentet

m = −\frac{1}{2}evR ẑ

er større enn før vi skrudde på magnetfeltet. Med andre ord, endringen

Δm = m − m_{0}

er motsatt rettet det ytre magnetfeltet. Hvis magnetfeltet istedet var rettet nedover, B = −B ẑ, ville den magnetiske kraften bli rettet radielt utover, dvs i motsatt retning av Coulombkraften, slik at tilleggsleddet evB i bevegelsesligningen ville komme inn med motsatt fortegn. Dermed ville den nye hastigheten v ha blitt mindre enn v_{0}, og det magnetiske dipolmomentet også mindre enn før vi skrudde på magnetfeltet. Igjen: Endringen i magnetisk dipolmoment ville fremdeles ha vært motsatt rettet det ytre feltet. Konklusjon: Et ytre magnetfelt påvirker elektronets banebevegelse i atomet på en slik måte at det induserte magnetiske dipolmomentet, dvs det magnetiske dipolmomentet knyttet til endringen i banebevegelsen, blir motsatt rettet det påtrykte feltet. Altså diamagnetisme.