Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1303: Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Øving 13

Veiledning: Mandag 19. april Innleveringsfrist: Torsdag 22. april

Oppgave 1

I forelesningene viste vi at atomer kan oppfattes som små strømsløyfer, dvs som små magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment m = IA der strømmen I går i en bane som omslutter et (plant) areal A. (“Vektorarealet” er da A = A n̂, der n̂ er en enhetsvektor normalt til den omsluttede flaten, med positiv retning bestemt ved høyrehåndsregelen.) Her skal vi bruke ei kvadratisk strømsløyfe som modell for en slik atomær magnetisk dipol og se nærmere på hvordan den vil oppføre seg i et magnetfelt B. (Vi kunne også ha brukt ei sirkulær strømsløyfe, men den kvadratiske er litt enklere å regne på.) Strømsløyfa har sidekanter med lengde a og fører altså en strøm I. Den er plassert i et homogent magnetfelt B = B ẑ og kan rotere fritt omkring y-aksen, som her går gjennom strømsløyfas sentrum som vist i figuren:

Orienteringen av strømsløyfa er definert ved vinkelen θ mellom z-aksen og flatenormalen n̂. (Positiv θ med klokka, som vist i figuren.)

a) Hva blir strømsløyfas magnetiske dipolmoment m? Hva blir den totale kraften fra B på strømsløyfa?

b) Beregn dreiemomentet τ på sløyfa omkring y-aksen og vis at det kan uttrykkes på formen τ = m × B.

[Tips: Finn kraften på hver av de fire rette lederstykkene og bruk at dreiemoment = “arm ganger kraft”.]

c) Bestem den potensielle energien U(θ) til en slik magnetisk dipol i feltet B. Skisser U(θ). Hva slags orientering av dipolen i forhold til B representerer henholdsvis en stabil og en ustabil likevekt?

d) I jern har hvert atom et magnetisk dipolmoment m_{Fe} som dannes av to parallelle elektronspinn, slik at m_{Fe} = 2μ_{B}. Her er μ_{B} = eh̄/2m_{e} det magnetiske dipolmomentet for ett elektronspinn, det såkalte Bohr-magnetonet, med verdi 9.27 · 10^{−24} Am^{2}. Hva blir da den maksimale tettheten av magnetisk dipolmoment (dvs: magnetisk dipolmoment pr volumenhet) i jern? [Kommentar: Magnetisk dipolmoment pr volumenhet er, pr definisjon, hva vi skal kalle magnetisering. I elektrostatikken innførte vi polarisering, som pr definisjon er elektrisk dipolmoment pr volumenhet. Mer om magnetisme og magnetisering i forelesningene!]

Oppgitt: Molar masse, jern: 55.9 g/mol. Massetetthet, jern: 7.9 g/cm^{3}. 1 mol = 6.02 · 10^{23}.

Oppgave 2

Vis, ved hjelp av Amperes lov, at magnetfeltet B fra en uniform “overflatestrøm” i = i ŷ som “flyter” i (hele) xy-planet i positiv y-retning er

B = \{ \begin{matrix}−(μ_{0}i/2) x̂ & for z < 0 \\ +(μ_{0}i/2) x̂ & for z > 0 \end{matrix}

(Altså uavhengig av avstanden til xy-planet, jfr elektrisk felt fra uendelig stort uniformt ladet plan.) Her er i strømmen pr lengdeenhet av x-retningen. Med andre ord, på en “stripe” med bredde Δx går det en strøm ΔI = i · Δx.

Tips:

• Det er altså oppgitt at både y- og z-komponenten av B er lik null. Bruk gjerne likevel litt tid på å overbevise deg om at sånn må det være. En slik “kartlegging” av symmetrien i problemet er helt essensiell for å kunne dra nytte av Amperes lov. Som regel må en da et lite øyeblikk tilbake til Biot-Savarts lov og vurdere konsekvensene av at “strømelementer” I dl gir bidrag dB ∼ I dl × r̂ til det totale magnetfeltet.

• Hvis du etterhvert greier å overbevise deg om at en rektangulær Amperekurve med flatenormal i strømmens retning er et fornuftig valg, ja da er du antagelig på rett spor!

Oppgave 3

I denne oppgaven skal vi med utgangspunkt i en klassisk atommodell se nærmere på hvordan et ytre magnetfelt B vil påvirke elektronets banebevegelse rundt atomkjernen. En slik diamagnetisk respons får vi i alle atomer. (Mer om ulike typer magnetisme i forelesningene etterhvert!) Her kan vi for enkelhets skyld ha et hydrogenatom i tankene, med ett elektron med ladning −e i sirkulær bane (i xy-planet) med radius R rundt en kjerne med ladning +e.

a) Uten et ytre magnetfelt tilstede er elektronets hastighet v_{0}. Vis at uniform sirkelbevegelse i Coulombfeltet fra atomkjernen da resulterer i en baneradius

R = \frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}v_{0}^{2}}

Hva blir elektronets banedreieimpuls L_{0} og magnetiske dipolmoment m_{0}? (Vi ser her bort fra elektronets indre dreieimpuls, dets spinn.)

b) Vi skrur nå på et magnetfelt B, for enkelhets skyld rettet normalt på elektronets sirkulære bane.

Elektronet påvirkes da, i tillegg til Coulombkraften fra kjernen, av en magnetisk kraft F_{m} = −ev × B slik at bevegelsesligningen endres. Resultatet blir en endret sammenheng mellom elektronets hastighet v og banens radius R. Anta at magnetfeltet kun endrer hastigheten, og ikke banens radius R, og bestem hastigheten v. Bestem også det magnetiske dipolmomentet m og vis at endringen

Δm = m − m_{0}

alltid vil være motsatt rettet B, uansett om B peker “opp” eller “ned” i forhold til retningen på elektronets opprinnelige magnetiske dipolmoment m_{0}.

Kommentarer:

1. Vi har tidligere konkludert med at et statisk magnetfelt aldri utfører noe arbeid på en ladning i bevegelse ettersom F_{m} ⊥ v. Et statisk magnetfelt kan altså ikke endre ladningens hastighet (i absoluttverdi), tilsynelatende i konflikt med det vi har funnet ovenfor. Poenget er imidlertid at vi starter med B = 0 og skrur på et magnetfelt. Dermed har vi ikke hele tiden et statisk magnetfelt, men et felt som i løpet av en viss tid må endre seg fra null til sin endelige verdi. Som vi skal se i forelesningene, vil et tidsavhengig magnetfelt skape (”indusere”) et elektrisk felt (Faradays induksjonslov), og et elektrisk felt kan som kjent endre hastigheten til et elektron.

2. Fortegnet på den diamagnetiske responsen er et uttrykk for Lenz’ lov, som kanskje noen har hørt om tidligere, og som vi skal komme tilbake til i forelesningene: Systemets ”respons” er slik at den påtrykte endringen motvirkes.

3. Strengt tatt er det nødvendig med en kvantemekanisk beskrivelse for å forklare diamagnetisme “skikkelig”. Faktisk er det et teorem i statistisk fysikk som sier at for et system av klassiske ladete partikler i termisk likevekt i et ytre magnetfelt er det induserte magnetiske dipolmomentet eksakt lik null (Bohr - van Leeuwens teorem). Med andre ord: Diamagnetisme er en ren kvantemekanisk effekt! Likevel gir den enkle klassiske modellen med ett atom et brukbart kvalitativt bilde av effekten.