Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1303 Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Løsningsforslag til øving 14

Veiledning mandag 26. april

Oppgave 1

a)

b) La oss tenke oss sylinderformede stavmagneter. En slik magnet kan da oppfattes som et strømførende sylinderskall (dassrull!), eventuelt tettliggende strømførende ringer. Vi ser nå på den magnetiske kraften som virker på en slik ring i magnetfeltet fra den andre stavmagneten:

Kraften dF på et lite element dl av ringen som fører en strøm I_{m} er i magnetfeltet B gitt ved

dF = I_{m}dl × B

To slike er tegnet inn på figuren over. Vi ser at av symmetrigrunner må nettokraften på en slik ring bli rettet mot venstre. Det samme argumentet gjelder for alle ringene som utgjør hele stavmagneten, altså får vi en tiltrekning mellom magnetene. En plassering med S mot S, evt N mot N, tilsvarer at vi snur strømretningen i ringen i figuren over. Da må vi også snu retningen på alle kraftbidragene dF slik at total netto kraft på magneten blir rettet mot høyre, dvs frastøtning.

c) Ei umagnetisk stålkule inneholder et stort antall ferromagnetiske domener, der atomære magnetiske dipoler innenfor et gitt domene peker i samme retning, slik at magnetiseringen M_{d} i domenet blir forskjellig fra null. Uten et ytre magnetfelt vil imidlertid M_{d} i ulike domener peke i alle mulige retninger, slik at den totale magnetiseringen i kula blir lik null. Når kula kommer inn i magnetfeltet fra stavmagneten, blir de atomære magnetiske dipolene rettet inn langs det ytre feltet, slik at hele kula får en magnetisering M_{k} i samme retning som magnetens akse. Da har vi essensielt samme situasjon som i punkt b) og kan tilskrive kula en magnetiseringsstrøm i overflaten, på samme måte som vi gjorde med stavmagneten. Vi får dermed en tiltrekkende kraft mellom stavmagneten og stålkula. Det spiller ingen rolle om vi plasserer kula ved magnetens S- eller N-pol. Uansett vil kulas magnetiske dipoler rettes inn langs det påtrykte feltet og gi en netto magnetisering og tilhørende magnetiseringsstrøm i overflaten med retning slik at nettokraften blir inn mot magneten (dvs inn mot der vi har det sterkeste feltet.

Oppgave 2

a) Vi har brukt Amperes lov i forelesningene til å regne ut magnetfeltet inne i en slik lang spole:

B = μ_{0}nI_{1} = μ_{0} \frac{N_{1}}{d} I_{1}

En vikling av spoletråden omslutter et areal A = πR^{2}, og dermed en magnetisk fluks

ϕ = BA = μ_{0} \frac{N_{1}}{d} I_{1}πR^{2}

Da må N_{1} viklinger omslutte en fluks som er N_{1} ganger så stor, for her er jo magnetfeltet konstant overalt inne i spolen. Altså:

ϕ_{1} = N_{1}ϕ = μ_{0} \frac{N_{1}^{2}}{d} I_{1}πR^{2}

En vikling av spole 2 omslutter her akkurat det samme arealet, og dermed like stor fluks ϕ, slik at N_{2} viklinger av spole 2 må omslutte en total magnetisk fluks lik

ϕ_{2} = N_{2}ϕ = μ_{0} \frac{N_{1}N_{2}}{d} I_{1}πR^{2}

b) Selvinduktansen L blir

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}} = μ_{0} \frac{N_{1}^{2}}{d} πR^{2}

c) Gjensidig induktans M blir

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}} = μ_{0} \frac{N_{1}N_{2}}{d} πR^{2}

d) Tallverdier: Her er N_{1} = N_{2}, slik at L og M blir like store:

L = M = 4π · 10^{−7} · \frac{300^{2}}{0.3} · π · 0.02^{2} = 4.7 · 10^{−4}

I SI-systemet har induktans fått sin egen enhet, henry (H). Her blir altså både selvinduktansen og den gjensidige induktansen 0.47 mH. Alternativt kan vi f.eks. bruke enheten T m^{2}/A, ettersom magnetisk fluks må ha enheten til magnetfelt ganger areal, dvs T m^{2}.

Oppgave 3

Den påtrykte strømmen I genererer et H-felt H = nI på langs overalt inne i spolen (pga Amperes lov for H). Dermed er det bare å benytte at

B = μ_{0} (H + M) = μ_{r}μ_{0}H

for å bestemme de ulike størrelsene:

Inne i jernstaven:

H_{j} = nI = 2000 m^{−1} · 3 A = 6000 A/m
B_{j} = μ_{r}μ_{0}H_{j} = 2000 · 4π · 10^{−7} (Vs/Am) · 6000 A/m = 15 T
M_{j} = (μ_{r} − 1)H_{j} = 1.2 · 10^{7} A/m

I den luftfylte delen inne i spolen:

H_{0} = H_{j} = 6000 A/m
B_{0} = μ_{0}H_{0} = 7.5 mT
M_{0} = 0

Den beregnede magnetiseringen inne i jernstaven, M_{j} = 1.2 · 10^{7} A/m, er større enn metningsmagnetiseringen M_{s} = 1.6 · 10^{6} A/m, og derfor ikke fysisk mulig. Årsaken er at vi har brukt den lineære sammenhengen B = μ_{r}μ_{0}H mellom magnetfeltet B og feltet H fra den påtrykte strømmen. Her har vi imidlertid et så sterkt “ytre” felt H at en slik lineær sammenheng ikke lenger er gyldig. Samtlige magnetiske dipolmoment er rettet inn langs det påtrykte feltet allerede ved H ≃ M_{s}/μ_{r} = 800 A/m. Ytterligere økning i H gir ingen økning i M. Korrigert, maksimal verdi for B_{j} blir

B_{j}^{korr} = μ_{0} (H_{j} + M_{s}) = 4π · 10^{−7} · (6000 + 1.6 · 10^{6}) = 2 T