Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1303: Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Øving 14

Veiledning: Mandag 26. april Innleveringsfrist: Torsdag 29. april

Oppgave 1

a) En stavmagnet har magnetiseringsvektoren M rettet fra sørpol (S) mot nordpol (N). Tegn opp en stavmagnet og skisser feltlinjer for B inne i og omkring stavmagneten. Tegn også på overflatestrømmen I_{m} (med retning) assosiert med magnetiseringen M.

b) Forklar, med utgangspunkt i a), hvorfor to stavmagneter plassert etter hverandre med S mot N tiltrekker hverandre og hvorfor de frastøter hverandre når de er plassert med S mot S (evt N mot N). (Tips: Bruk f.eks. det du vet om magnetisk kraft på elektrisk strøm i argumentasjonen.)

c) Forklar videre hvorfor ei kule (eller nål eller forsåvidt hva som helst) av umagnetisk jern tiltrekkes både av stavmagnetens S-pol og N-pol.

Tips: Disse tingene er helt sikkert diskutert i den boka du har, enten det er Fishbane eller Young.

Oppgave 2

Figuren viser to spoler 1 og 2 som begge er viklet opp på en sylinder med radius R. Vi antar at sylinderen har magnetiske egenskaper som vakuum, dvs vi ser bort fra en eventuell magnetisering i sylinderen. Spole 1 har N_{1} viklinger, spole 2 har N_{2} viklinger. Begge spolene er viklet opp på en lengde d som er (tilnærmet uendelig) lang i forhold til sylinderens radius. (Figuren er sånn sett bare kvalitativt riktig...!) Du kan anta at begge spoler er tett viklet, og at hver vikling i begge spoler omslutter samme magnetiske fluks. (Spoletrådene er belagt med et isolerende materiale, f.eks. et lag plast, slik at en eventuell elektrisk strøm er nødt til å følge spoletråden. Denne antagelsen er forøvrig underforstått i alle slike oppgaver med spoler.) a) Anta at det går en strøm I_{1} i spole 1. Hva blir da styrken på magnetfeltet B inne i spolen? Hva blir videre total magnetisk fluks ϕ_{1} som omsluttes av spoletråden i spole 1 (dvs alle de N_{1} viklingene)? Hva blir total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av spoletråden i spole 2 (igjen: alle de N_{2} viklingene)? (Merk: Det går altså ingen strøm i spole 2. Strømmen i spole 1 kan vi lage f.eks. ved å koble den til et batteri og en motstand.)

b) Forholdet mellom total omsluttet magnetisk fluks ϕ_{1} og strømstyrken I_{1} i strømsløyfa ”selv” er, pr definisjon, en størrelse som kalles for strømsløyfas selvinduktans L:

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}}

Hva blir dermed selvinduktansen L til en slik lang sylinderformet spole med radius R, lengde d og N_{1} viklinger?

c) Forholdet mellom total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av spole 2 og strømstyrken I_{1} i spole 1 er, pr definisjon, en størrelse som kalles for gjensidig induktans M mellom de to strømsløyfene:

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Hva blir dermed den gjensidige induktansen M mellom to slike lange sylinderformede spoler, begge viklet opp på en sylinder med radius R over en lengde d, og med henholdsvis N_{1} og N_{2} viklinger?

d) Bestem tallverdier for L og M (i SI-enheter) dersom R = 2 cm, d = 30 cm og N_{1} = N_{2} = 300. (Svar: L = 4.7 · 10^{−4})

Kommentar: Vi skal komme tilbake til gjensidig induktans og selvinduktans i de siste forelesningene og se hvorfor dette er ”nyttige” størrelser i mange sammenhenger.

Oppgave 3

En sylinderformet jernstav med relativ permeabilitet μ_{r} = 2000 er plassert koaksialt inne i en spole, men fyller bare delvis volumet inne i spolen. Spolen har en viklingstetthet n = 2000 m^{−1} og strømmen i spoletråden er I = 3 A. Vi antar at både spolen og jernstaven er så lange at vi kan se bort fra randeffekter.

Anta i første omgang at vi har lineær respons i jernstaven, dvs M = χ_{m}H, og bestem H, B og M inne i spolen, både inne i (indeks j) og utenfor (indeks 0) jernstaven. (Husk at H-feltet bestemmes av “fri” strøm, mens B bestemmes av total strøm.) Diskuter den beregnede verdien på M_{j} inne i jernstaven i lys av metningsmagnetiseringen i jern, dvs den maksimalt oppnåelige magnetiseringen, som du regnet ut i oppgave 1d i øving 13. Beregn deretter korrigert (maksimal) verdi for B_{j}.

Oppgitt:

B = μ_{0} (H + M) = μ_{r}μ_{0}H = μH
M = χ_{m}H = (μ_{r} − 1)H

(Siste linje er bare gyldig når vi har lineær respons.)

Et par tallsvar: B_{j} = 15 T (“ukorrigert”), B_{j} = 2 T (“korrigert”).