Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1303: Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Øving 3

Veiledning: Mandag 26. januar Innleveringsfrist: Torsdag 29. januar

Oppgave 1

a) I Øving 2 bestemte vi det elektriske feltet fra en uniformt ladet stav og ei uniformt ladet skive. For staven og skiva i Øving 2, prøv å skissere elektriske feltlinjer, både i et plan som inneholder staven (skiva) og i et plan normalt på staven gjennom dens midtpunkt (normalt på skiva gjennom dens sentrum). Vis skissene i stor og liten målestokk i hvert av de fire tilfellene, slik at de gir et kvalitativt bilde av feltet, både nært og langt unna staven (skiva).

b) Skisser elektriske feltlinjer for disse to systemene av punktladninger:

Tips: I denne oppgaven vil det kanskje være til hjelp å gå inn på http://www.falstad.com/vector3de, som er en Java applet for å visualisere (blant annet) elektriske feltlinjer (”Display: Field Lines”) fra diverse ladningsfordelinger (punktladninger og kontinuerlige fordelinger). ”finite line” representerer nettopp den ladete staven. Det nærmeste vi kommer den sirkulære skiva er ”charged plate”, som har endelig utstrekning i x-retning. Stavlengden og platestørrelsen kan varieres med det nederste rullefeltet.

Oppgave 2 I kartesiske koordinater er et infinitesimalt (differensielt) linjeelement (veielement) gitt ved (vektoren)

dl = dx x̂ + dy ŷ + dz ẑ

Et infinitesimalt volumelement er (den skalare størrelsen)

dV = dx dy dz

Et infinitesimalt flateelement kan vi uttrykke som en vektor: På samme måte som et linjeelement må spesifiseres ved hjelp av en absoluttverdi (dvs lengden av elementet) og en retning, må et flateelement spesifiseres ved hjelp av en absoluttverdi (dvs arealet av flaten) og en orientering. Og skal vi få til å spesifisere flateelementets orientering, er det vel egentlig ganske naturlig å velge den retningen i rommet som står normalt på flaten; den såkalte flatenormalen. Det betyr at et flateelement med areal dA som er orientert i rommet på en slik måte at enhetsvektoren n̂ (dimensjonsløs og med lengde 1) står vinkelrett på flaten, kan spesifiseres med vektoren

dA n̂

Med andre ord: En vektor med retning vinkelrett på flaten, med absoluttverdi lik flatens areal dA, og med dimensjon lik lengde kvadrert. (Dvs, enhet m^{2}.) For lettvinthets skyld bruker vi gjerne notasjonen

dA = dA n̂

for et slik flateelement. I kartesiske koordinater har vi dermed følgende tre infinitesimale flater, med orientering slik at flatenormalen peker henholdsvis langs x-, y- og z-aksen:

dA_{x} = dy dz x̂
dA_{y} = dx dz ŷ
dA_{z} = dx dy ẑ

a) Vis at i kulekoordinater (r, θ, ϕ) er de tilsvarende størrelser

dl = dr r̂ + r dθ θ̂ + r sin θ dϕ ϕ̂
dA_{r} = r^{2} sin θ dθ dϕ r̂
dA_{θ} = r dr sin θ dϕ θ̂
dA_{ϕ} = r dr dθ ϕ̂
dV = r^{2} dr sin θ dθ dϕ

Med andre ord: Flateelementet dA_{r} er orientert slik at flatenormalen peker radielt utover, dvs langs r̂, og tilsvarende for de to andre. Tips: Tegn opp et infinitesimalt volumelement som avgrenses av flatene r og r + dr, θ og θ + dθ, ϕ og ϕ + dϕ. Se figur i ukentlig sammendrag, uke 3. NB: I denne figuren er de tre ortogonale enhetsvektorene r̂, θ̂ og ϕ̂ “flyttet vekk” fra posisjonen til det volumelementet vi studerer. Hensikten med dette var kun å unngå en altfor rotete figur. Men resultatet er kanskje misvisende: Disse tre enhetsvektorene er ikke faste vektorer i rommet (i motsetning til de kartesiske enhetsvektorene x̂, ŷ og ẑ), de er avhengige av hvor i rommet vi er, og endrer retning ettersom vi flytter oss rundt. Eksempel: I et punkt på y-aksen (y > 0) er r̂ = ŷ mens i et punkt på z-aksen (z > 0), derimot, er r̂ = ẑ.

b) Vis på grunnlag av formlene over at ei kule med radius R har volum 4πR^{3}/3 og overflateareal 4πR^{2}. Kommentar: Omkretsen av en sirkel med radius R er 2πR. Sirkelen utspenner en vinkel på 2π (radianer). Disse resultatene kommer vi fram til ved å starte med et infinitesimalt bueelement dl = R dθ og integrere fra 0 til 2π. Tilsvarende har en kuleflate med radius R et areal 4πR^{2}. Kuleflaten utspenner en romvinkel på 4π (såkalte steradianer). Her er utgangspunktet et infinitesimalt flateelement dA_{R} = R^{2} dΩ, der dΩ = sin θ dθ dϕ er et infinitesimalt romvinkelelement. Integrasjon over θ (fra retning “nord”, dvs langs positiv z, dvs θ = 0, til retning “sør”, dvs langs negativ z, dvs θ = π) og ϕ (fra retning langs positiv x, dvs ϕ = 0, og en hel runde rundt, dvs til ϕ = 2π) gir deretter hele kuleflatens totale areal A, evt. totale romvinkel Ω. Vi kommer tilbake til dette i forelesningene, i forbindelse med Gauss lov.

c) Anta nå at vi har ei kule med radius R. Inni kula har vi elektrisk ladning gitt ved ladningstettheten (dvs ladning pr volumenhet)

ρ(r, θ) = ρ_{0} \frac{r}{R} cos^{2} θ

Hvor har vi størst ladningstetthet? Enn minst? Bestem kulas totale ladning Q.