Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1303: Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Sammendrag, uke 18 (28. og 30. april)

Elektromagnetisk induksjon [FGT 31.1 - 31.6; YF 30.1 - 30.6; AF 27.1 - 27.3; LHL 24.1; G 7.2]

En elektromotorisk spenning (ems) E induseres i ei ledersløyfe dersom den magnetiske fluksen ϕ_{m} som omsluttes av ledersløyfa varierer med tiden:

E = −\frac{ϕ_{m}}{dt}

Omsluttet magnetisk fluks er gitt ved flateintegralet av det magnetiske feltet B, der integralet tas over flaten S som omsluttes av ledersløyfa:

ϕ_{m} = ∫_{S} B · dA

Dermed ser vi at ϕ_{m} kan variere med tiden på ulike måter, f.eks. med

• tidsavhengig omsluttet areal S

• tidsavhengig orientering av ledersløyfa (bestemt ved retningen på dA)

• tidsavhengig magnetfelt B (retning og/eller absoluttverdi)

I alle tilfelle får vi en indusert ems i ledersløyfa.

Retningen på E bestemmes med Lenz’ lov: En eventuell generert strøm I, drevet av E, skaper et magnetfelt B_{I} og dermed en magnetisk fluks ϕ_{I} = ∫_{S} B_{I} · dA som er motsatt rettet fluksendringen dϕ_{m} som i utgangspunktet forårsaket E.

En indusert ems E i ei lukket ledersløyfe impliserer et indusert elektrisk felt E:

E = ∮ E · dl

Faradays lov uttrykker dermed en sammenheng mellom feltene E og B:

∮_{c} E · dl = −\frac{d}{dt} ∫_{S} B · dA

der c er en lukket kurve som omslutter en flate S.

Ettersom integralet av et slik “Faraday-indusert” elektrisk felt rundt en lukket kurve ikke er lik null, er det (pr definisjon) heller ikke et konservativt felt. (Mens et elektrostatisk felt er konservativt.)

Gjensidig induktans [FGT 33.1; YF 31.2, 31.3; AF 27.12; LHL 25.4; G 7.2.3]

En strøm I_{1} i ei strømsløyfe (1) resulterer i et magnetfelt B_{1} i området omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp av Biot-Savarts lov:

B_{1} = \frac{μ_{0}I_{1}}{4π} ∮_{(1)} \frac{dl_{1} × r̂}{r^{2}}

(se f.eks. uke13.pdf). Dersom ei anna strømsløyfe (2) er plassert i dette området, vil magnetfeltet fra sløyfe (1) resultere i en magnetisk fluks gjennom sløyfe (2):

ϕ_{2} = ∫_{S_{2}} B_{1} · dA_{2} = ∫_{S_{2}} \{\frac{μ_{0}I_{1}}{4π} ∮_{(1)} \frac{dl_{1} × r̂}{r^{2}}\} · dA_{2}

Uansett hva dette gufne integralet måtte være, kan vi uttrykke det på formen

ϕ_{2} = M_{21}I_{1}

forutsatt at I_{1} er konstant i sløyfe (1), dvs den samme alle steder i sløyfa. (Og det må den jo være hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!) Faktoren M_{21} er den gjensidige induktansen mellom de to sløyfene (1) og (2) og uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får “gjennom” (dvs omsluttet av) sløyfe (2) når det går en strøm i sløyfe (1):

M_{21} = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Omvendt må vi også få en magnetisk fluks gjennom sløyfe (1) hvis det går en strøm i sløyfe (2):

ϕ_{1} = ∫_{S_{1}} B_{2} · dA_{1} = ∫_{S_{1}} \{\frac{μ_{0}I_{2}}{4π} ∮_{(2)} \frac{dl_{2} × r̂}{r^{2}}\} · dA_{1}

dvs: Strømmen I_{2} i sløyfe (2) skaper magnetfeltet B_{2}, og dermed fluksen ϕ_{1} gjennom sløyfe (1). Og uansett hva dette integralet måtte bli, kan vi alltids skrive

ϕ_{1} = M_{12}I_{2}

der faktoren M_{12} uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får “gjennom” (dvs omsluttet av) sløyfe (1) når det går en strøm i sløyfe (2):

M_{12} = \frac{ϕ_{1}}{I_{2}}

Både M_{21} og M_{12} er rett og slett geometriske faktorer som avhenger av form, størrelse og relativ plassering til de to strømsløyfene. En kan vise at

M_{21} = M_{12}

alltid gjelder. En kan dermed velge mellom to alternative framgangsmåter for å bestemme gjensidig induktans mellom to strømsløyfer: Enten beregne magnetisk fluks gjennom (1) pga strøm i (2), eller omvendt. Noen ganger er det ene mye enklere enn det andre!

Enhet for induktans: [M] = [ϕ_{m}/I] = [B · A/I] = T·m^{2}/A ≡ H (henry)

Gjensidig induksjon: Tidsavhengig strøm I_{1}(t) i sløyfe (1) gir tidsavhengig fluks ϕ_{2}(t) gjennom sløyfe (2), og dermed indusert ems i sløyfe (2):

E_{2} = −\frac{dϕ_{2}}{dt} = −M_{21} \frac{dI_{1}}{dt}

Tidsavhengig strøm I_{2}(t) i sløyfe (2) gir tidsavhengig fluks ϕ_{1}(t) gjennom sløyfe (1), og dermed indusert ems i sløyfe (1):

E_{1} = −\frac{dϕ_{1}}{dt} = −M_{12} \frac{dI_{2}}{dt}

Tema på de siste forelesningene:

• RL-krets: Skal se på tilkobling og frakobling av batteri i enkel krets med seriekobling av motstand R og spole med (selv-)induktans L. Se gjerne på tilsvarende “eksperiment” med RC-krets på forhånd.

• Energi i magnetfelt: Skal beregne energien som skal til for å øke strømmen gjennom en spole med induktans L fra 0 til en verdi I. Resultatet skal vi skrive om og finne at denne energien kan “assosieres med” magnetfeltet i spolen. Se gjerne på tilsvarende utledning av “Energi i elektrisk felt”, der vi ladet opp en kondensator med kapasitans C fra 0 til en verdi Q for ladningen på platene.

For fullstendighetens skyld bør vi også til slutt snakke litt om forskyvningsstrøm, som egentlig ikke er noen strøm, men som uttrykker at et tidsavhengig elektrisk felt genererer et magnetfelt. Dette kommer til uttrykk i et tilleggsledd i Amperes lov:

∮_{c} B · dl = μ_{0}I_{in} + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫_{S} E · dA

Dette kalles da ikke lenger Amperes lov (som er forbeholdt statiske felt), men Ampere–Maxwells lov, fordi det var Maxwell som fant ut at Amperes lov ikke lenger var riktig når en hadde tidsavhengige felt, og videre hvordan Amperes lov skulle “fikses på”.