Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1303: Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Sammendrag, uke 5 (28. og 30. januar)

Sammenhengen mellom elektrisk potensial V og elektrisk felt E [FGT 25.2; YF 24.3; AF 21.10; LHL 19.9; G 2.3.1]

En ladning q som påvirkes av en elektrostatisk kraft F har en forskjell i potensiell energi

ΔU = U_{B} − U_{A} = − ∫_{A}^{B} F · dl

mellom punktene A og B. Da må den elektriske potensialforskjellen ΔV mellom punktene A og B være

ΔV = V_{B} − V_{A} = \frac{ΔU}{q} = − ∫_{A}^{B} \frac{F · dl}{q} = − ∫_{A}^{B} E · dl

Merk: Bare forskjeller i elektrisk potensial (og potensiell energi) har fysisk betydning. Kan fritt velge nullpunkt for potensialet. Vanlig valg: V (r → ∞) = 0. Dermed, for punkt P:

V_{P} = − ∫_{∞}^{P} E · dl

(Vi kan ikke alltid velge V (r → ∞) = 0. Det skal vi se eksempler på etterhvert.)

Elektrisk potensial fra punktladning (Coulombpotensialet) [FGT 25.3; YF 24.3; AF 21.11; LHL 19.9; G 2.3.4]:

V (r) = \frac{q}{4πε_{0}r}

Elektrisk potensial fra kontinuerlige ladningsfordelinger:

V (r) = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{dq}{r}

med

dq = \{ \begin{matrix}ρ(x, y, z) dV & (3D) \\ σ(x, y) dA & (2D) \\ λ(x) dx & (1D) \end{matrix}

Alternativ enhet for elektrisk felt: [E] = [V/l] = V/m Potensiell energi mellom punktladninger [FGT 25.1; YF 24.2; AF 21.11; G 2.4.2]

• mellom to punktladninger i innbyrdes avstand r_{12}: U_{12} = q_{1}q_{2}/4πε_{0}r_{12}

• mellom flere punktladninger: U = ∑_{i<j} U_{ij} = \frac{1}{2} ∑_{i≠j} U_{ij} (der faktoren 1/2 hindrer dobbelttelling)

Energibevarelse for ladete partikler i elektrisk felt [FGT 25.1; YF 24.2; AF 21.12; LHL 19.9]

Med konservative krefter er total energi bevart:

T + U = konstant
T = \frac{1}{2}mv^{2} = kinetisk energi
U = qV = potensiell energi

Dersom partikkel med ladning q og masse m akselereres i elektrisk felt E, dvs gjennom potensialforskjell ΔV = V_{2} − V_{1}:

\frac{1}{2}mv_{1}^{2} + qV_{1} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} + qV_{2}
⇒ v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + \frac{2q}{m} (V_{1} − V_{2})
⇒ v_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} − \frac{2qΔV}{m}} = v_{1}\sqrt{1 − \frac{2qΔV}{mv_{1}^{2}}}

Her er v_{1} partikkelens hastighet der potensialet er V_{1} (“startpunkt”) og v_{2} er partikkelens hastighet der potensialet er V_{2} (“sluttpunkt”). Dersom qΔV < 0 fås v_{2} > v_{1}, dvs (positiv) akselerasjon. Altså: Negativ ladning akselereres i retning høyere potensial Positiv ladning akselereres i retning lavere potensial .... mens begge typer ladning selvsagt akselereres i retning lavere potensiell energi.

Bevegelsen til en partikkel med masse m og ladning q i et elektrisk felt er bestemt av Newtons 2. lov (= bevegelsesligningen):

F = ma = m\frac{dv}{dt} = qE

Dermed:

a = \frac{q}{m}E

Partikkel med positiv ladning akselereres langs E. Partikkel med negativ ladning akselereres langs −E.

Ekvipotensialflater [FGT 25.3; YF 24.5; AF 21.11; LHL 19.11; G 2.3.2]

Ekvipotensialflater er flater i rommet med konstant potensial.

ΔV = − ∫ E · dl = 0

for vilkårlig integrasjonsvei på en ekvipotensialflate. Dermed:

E ⊥ ekvipotensialflate

Beregning av E fra V [FGT 25.4; YF 24.6; AF 21.10; LHL 19.9; G 2.3.1, 1.2.2]

E = −∇V

Gradientoperatoren ∇:

∇V = \frac{∂V}{∂x} x̂ + \frac{∂V}{∂y} ŷ + \frac{∂V}{∂z} ẑ (kartesiske koordinater)
= \frac{∂V}{∂r} r̂ + \frac{1}{r} \frac{∂V}{∂θ} θ̂ + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂V}{∂ϕ} ϕ̂ (kulekoordinater)

(NB: Det er ikke meningen at du skal gå rundt og huske på hvordan gradientoperatoren ser ut i kulekoordinater. Den vil bli oppgitt dersom det f.eks. skulle bli bruk for den til eksamen.) Hvis kulesymmetri (dvs E og V kun avhengig av r, ikke av vinklene θ og ϕ):

E = E(r)r̂ = −\frac{∂V}{∂r} r̂

I neste uke skal vi se at: Vektoren ∇V peker i den retningen der V øker raskest, dvs i den retningen der den retningsderiverte til V er størst. Ettersom E = −∇V, betyr det at det elektriske feltet peker i den retningen der V avtar raskest. Vi skal også se på et eksempel på beregning av V etterfulgt av E. Deretter skal vi gå i gang med elektrisk fluks og Gauss’ lov for det elektriske feltet.