Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Øving 14

Veiledning: Torsdag 21. april og fredag 22. april Innleveringsfrist: Mandag 25. april

Oppgave 1

a) En stavmagnet har magnetiseringsvektoren M rettet fra sørpol (S) mot nordpol (N). Tegn opp en stavmagnet og skisser feltlinjer for B inne i og omkring stavmagneten. Tegn også på overflatestrømmen I_{m} (med retning) assosiert med magnetiseringen M.

b) Forklar, med utgangspunkt i a), hvorfor to stavmagneter plassert etter hverandre med S mot N tiltrekker hverandre og hvorfor de frastøter hverandre når de er plassert med S mot S (evt N mot N). (Tips: Bruk det du vet om magnetisk kraft på elektrisk strøm i argumentasjonen.)

c) Forklar videre hvorfor ei kule (eller nål eller forsåvidt hva som helst) av umagnetisk jern tiltrekkes både av stavmagnetens S-pol og N-pol.

Oppgave 2

Figuren viser to spoler 1 og 2 som begge er viklet opp på en sylinder med radius R. Vi antar at sylinderen har magnetiske egenskaper som vakuum, dvs vi ser bort fra en eventuell magnetisering i sylinderen. Spole 1 har N_{1} viklinger, spole 2 har N_{2} viklinger. Begge spolene er viklet opp på en lengde d som er (tilnærmet uendelig) lang i forhold til sylinderens radius. (Figuren er sånn sett ikke kvantitativt riktig...!) Du kan anta at begge spoler er tett viklet, og at hver vikling i begge spoler omslutter samme magnetiske fluks. (Spoletrådene er belagt med et isolerende materiale, f.eks. et lag plast, slik at en eventuell elektrisk strøm er nødt til å følge spoletråden. Denne antagelsen er forøvrig underforstått i alle slike oppgaver med spoler.) a) Anta at det går en strøm I_{1} i spole 1. Hva blir da styrken på magnetfeltet B inne i spolen? Hva blir videre total magnetisk fluks ϕ_{1} som omsluttes av hele spoletråden i spole 1 (dvs alle de N_{1} viklingene)? Hva blir total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av hele spoletråden i spole 2 (igjen: alle de N_{2} viklingene)? (Merk: Det går altså ingen strøm i spole 2. Strømmen i spole 1 kan vi lage f.eks. ved å koble den til et batteri og en motstand.)

b) Forholdet mellom total omsluttet magnetisk fluks ϕ_{1} og strømstyrken I_{1} i strømsløyfa ”selv” er, pr definisjon, en størrelse som kalles for strømsløyfas selvinduktans L:

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}}

Hva blir dermed selvinduktansen L til en slik lang sylinderformet spole med radius R, lengde d og N_{1} viklinger?

c) Forholdet mellom total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av spole 2 og strømstyrken I_{1} i spole 1 er, pr definisjon, en størrelse som kalles for gjensidig induktans M mellom de to strømsløyfene:

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Hva blir dermed den gjensidige induktansen M mellom to slike lange sylinderformede spoler, begge viklet opp på en sylinder med radius R over en lengde d, og med henholdsvis N_{1} og N_{2} viklinger?

d) Bestem tallverdier for L og M (i SI-enheter) dersom R = 1 cm, d = 60 cm, N_{1} = 1200 og N_{2} = 600. (Svar: L = 9.5 · 10^{−4}, M = 4.7 · 10^{−4})

Kommentar: Vi skal komme tilbake til gjensidig induktans og selvinduktans i de siste forelesningene og se hvorfor dette er ”nyttige” størrelser i endel sammenhenger.

Oppgave 3

En uendelig lang, tynn spole ligger med senteraksen på x-aksen.

I forelesningene argumenterte vi for at et eventuelt magnetfelt på utsiden av spolen måtte ha retning langs spolen, dvs B = B x̂. Ved hjelp av Amperes lov viste vi deretter at B = 0. Dette kan forklares ved at noen av spolens viklinger bidrar med negativ x-komponent til B mens andre bidrar med positiv x-komponent. I avstand y = 50 cm fra senteraksen til en spole med 1000 viklinger pr meter, hvor mange viklinger vil bidra med negativ x-komponent til B? (Resten av viklingene, dvs uendelig mange, vil bidra med positiv x-komponent til B.) Uten å røpe det eksakte svaret kan jeg jo si så mye som at hvis du får i overkant av 700, har du sannsynligvis regnet riktig. (Eventuelt gjort samme feil som meg...)

Tips: Hver vikling kan oppfattes som en ideell magnetisk dipol m = m x̂, dvs vi antar at spolens radius er liten i forhold til avstanden y. Da er magnetfeltet i avstand r fra en bestemt vikling gitt ved

B_{dipol} = \frac{μ_{0}}{4πr^{3}} [3 (m · r̂) r̂ − m]

Med strøm I i spoletråden og spoletverrsnitt med areal A er altså m = IA, men du trenger ikke I og A for å besvare oppgaven.