Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Øving 2

Veiledning: Torsdag 20. og fredag 21. januar Innleveringsfrist: Mandag 24. januar

Oppgave 1 (fra tidligere midtsemesterprøver)

a) En ballong har et overskudd på 5 · 10^{13} elektroner. Da er ballongens ladning

A 80 μC  B -80 μC  C -8 μC  D −3.2 · 10^{−33} C

b) To punktladninger q og −q er plassert på x-aksen, med q i (x, y) = (a, 0) og −q i (−a, 0). Da blir kraften fra disse på en tredje punktladning q i (−a, −2a)

\begin{matrix}A & [−x̂ + (2\sqrt{2} − 1) ŷ] F_{0}/8\sqrt{2} \\ B & [−x̂ − (2\sqrt{2} − 1) ŷ] F_{0}/8\sqrt{2} \\ C & [x̂ − (2\sqrt{2} − 1) ŷ] F_{0}/8\sqrt{2} \\ D & [x̂ + (2\sqrt{2} − 1) ŷ] F_{0}/8\sqrt{2} \end{matrix} ; der F_{0} = q^{2}/4πε_{0}a^{2}.

c) To positive og to negative punktladninger, alle fire like store i absoluttverdi (q), skal plasseres i hvert sitt hjørne av et kvadrat. På hvilken måte skal punktladningene plasseres for å oppnå størst mulig elektrisk feltstyrke midt på høyre sidekant, i punktet P?

A 1
B 2
C 3
D 4

På en midtsemesterprøve skal som regel slike oppgaver kun besvares med en bokstav, dvs uten utregning eller begrunnelse. Ettersom dette er en regneøving, foreslår jeg at du svarer med begrunnelse eller utregning (dvs: som vanlig på en regneøving!).

Oppgave 2

En tynn stav med lengde L har en uniform ladning λ pr lengdeenhet.

a) Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven? Hva er stavens totale ladning Q?

b) Vis at det elektriske feltet i et punkt P i en avstand R fra staven er gitt ved E = E_{x}x̂ + E_{y}ŷ, med

E_{x} = \frac{λ}{4πε_{0}R}(cos θ_{1} − cos θ_{2})
E_{y} = \frac{λ}{4πε_{0}R}(sin θ_{1} − sin θ_{2})

Her er θ_{1} og θ_{2} vinklene som dannes mellom linjene fra P til stavens endepunkter og normalen til staven gjennom P, som vist i figuren. (Fortegnet til vinklene er som indikert i figuren, dvs θ_{2} er negativ).

[Tips: Feltet dE fra en liten bit dx av staven er dE = (λ dx/4πε_{0}r^{2})r̂, der r er avstandsvektoren fra dx til punktet P. Prøv deretter å ende opp med θ som integrasjonsvariabel ved å finne sammenhengen mellom x og θ.]

c) Bestem feltet når P er like langt fra stavens to ender. Hva blir E når P er langt unna staven (dvs R ≫ L). NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret E ≃ 0 for R → ∞, men derimot hvordan E avhenger av R “til ledende orden” for R ≫ L. Er svaret som forventet?

d) Hva blir det elektriske feltet i avstand R fra en uendelig lang uniformt ladet stav? (Dvs: L → ∞)

Ei tynn, sirkelformet skive med radius R_{0} har uniform flateladning (dvs: ladning pr flateenhet) σ.

a) Hvor mye ladning dq er det på en tynn ring av skiva, med radius R og bredde dR? Hva er skivas totale ladning Q?

b) Finn den elektriske feltstyrken E i et punkt P på symmetriaksen i en avstand a fra skiva. (Tips: Finn først feltet dE i P fra en tynn ring med radius R og bredde dR, og integrer deretter fra R = 0 til R = R_{0}.)

c) Hva blir E (igjen: til ledende orden, jfr Oppg 2c) i de to tilfellene a ≫ R_{0} og a ≪ R_{0}, dvs henholdsvis langt unna og nært inntil skiva? (Du drar kanskje kjensel på svaret i tilfellet a ≫ R_{0}? Tenk dessuten litt på hva det andre tilfellet, a ≪ R_{0}, innebærer.)

Oppgitt: (1 + α)^{±1/2} ≃ 1 ± α/2 dersom α ≪ 1. (Dette er ikke noe mystisk, men rett og slett de to første leddene i Taylorutviklingen av funksjonene f(α) = (1 + α)^{±1/2} om punktet α = 0, se Matematikk 1.)

Fasitsvar: Oppgave 3b: E = \frac{σ}{2ε_{0}} (1 − _{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R_{0}^{2}}}} )