Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Øving 4

Veiledning: Torsdag 3. februar og fredag 4. februar Innleveringsfrist: Mandag 7. februar

Oppgave 1

Vi har et uniformt elektrisk felt E = E_{0} x̂. Bestem potensialforskjellen mellom origo og følgende punkter (x, y) i xy-planet:

(i) (a, 0)  (ii) (0, a)  (iii) (a, a)

Oppgave 2

En elektrisk dipol er plassert langs z-aksen med sentrum i origo, som vist i figuren. Det elektriske dipolmomentet er definert som p = qa, der a = a ẑ er vektoren fra −q til q.

Siden vi her opplagt må ha symmetri med hensyn til rotasjon omkring z-aksen, er det tilstrekkelig å se på forholdene i et plan som inneholder z-aksen. Vi har valgt xz-planet. Vi kan videre velge mellom kartesiske koordinater (x, z) eller polarkoordinater (r, θ) for å angi en vilkårlig posisjon i dette planet. Vi skal se på begge deler i denne oppgaven. Vinkelen θ kan vi selvsagt velge i forhold til hvilken kartesiske akse vi vil; vi lar θ være vinkelen som r danner i forhold til z-aksen (se figuren).

a) Bestem først sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene og polarkoordinatene, dvs x(r, θ), z(r, θ) og r(x, z).

b) Vis at potensialet fra en slik dipol i kartesiske koordinater blir

V (x, z) = \frac{q}{4πε_{0}} (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + (z − a/2)^{2}}} − \frac{1}{\sqrt{x^{2} + (z + a/2)^{2}}} )

Hva blir potensialet på x-aksen, V (x, 0)? Enn på z-aksen, V (0, z)? (På hele z-aksen; pass på fortegnene...!) Skisser funksjonen V (0, z). c) Vis at i stor avstand fra dipolen (dvs r ≫ a) er potensialet med god tilnærmelse gitt i polarkoordinater ved

V (r, θ) = \frac{p cos θ}{4πε_{0}r^{2}} = \frac{p · r}{4πε_{0}r^{3}}

Tips: Ta utgangspunkt i at

\frac{1}{r_{1}} − \frac{1}{r_{2}} = \frac{r_{2} − r_{1}}{r_{1}r_{2}}

og bruk figuren til å finne et tilnærmet uttrykk for dette når r ≫ a. Mens potensialet fra en enkelt punktladning avtar som 1/r, avtar altså potensialet fra en dipol raskere, nemlig som 1/r^{2}. Er dette rimelig?

Kommentar: For den som insisterer på en mer rigid matematisk tilnærming til denslags, er det her snakk om å bestemme V (r, θ) “til ledende orden” i den “lille parameteren” a/r. Med andre ord, det oppgitte uttrykket for V (r, θ) er eksakt for en såkalt ideell dipol med “null utstrekning” (dvs a → 0). Ekstranøtt, hvis du syntes dette ble for lett: Hva blir “dominerende korreksjon” til den oppgitte V (r, θ)? Dvs: Hva blir neste ledd i rekkeutviklingen (Maclaurinrekken) til V (r, θ) for små verdier av a/r, dvs a/r ≪ 1?

Oppgave 3 (fra tidligere midtsemesterprøver)

a) Figuren viser feltlinjer for et uniformt elektrisk felt. Et elektron som plasseres i dette feltet vil

A bevege seg med konstant hastighet mot venstre.
B bevege seg med konstant hastighet mot høyre.
C akselereres mot venstre.
D akselereres mot høyre.

b) Figuren viser et uniformt elektrisk felt E (heltrukne linjer). Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke?

A 1
B 2
C 3
D 4

c) En partikkel med negativ ladning plasseres med null starthastighet i et elektrostatisk felt E. Partikkelens bevegelse blir

A i retning lavere potensial.
B i retning lavere potensiell energi.
C i samme retning som E.
D i retning normalt på E.

d) Fire punktladninger, to positive og to negative (q = 9 μC), er plassert i hjørnene på et kvadrat med sidekanter 5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi?

A 19 J
B Null
C -7 J
D -38 J

e) To punktladninger Q_{1} = 69 nC og Q_{2} = −98 nC er plassert i xy-planet, som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi? (”Systemet” = de to punktladningene og elektronet.) (1 eV = 1.6 · 10^{−19} J)

A -1 keV
B -1 eV
C 1 eV
D 1 keV

f) Den potensielle energien til to elektroner i innbyrdes avstand 1 Å (= 10^{−10} m) er [1 eV = 1.6 · 10^{−19} J]

A 14.4 meV
B 14.4 eV
C 14.4 keV
D 14.4 MeV

g) En berylliumkjerne med ladning 4e og masse 9m_{p} og en α-partikkel (dvs en heliumkjerne) med ladning 2e og masse 4m_{p} er i ro. De to partiklene kan gis like stor hastighet ved å

A akselerere dem gjennom en like stor potensialforskjell.
B akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom V/2 volt.
C akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 8V/9 volt.
D akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 9V/8 volt.