Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Øving 5

Veiledning: Torsdag 10. februar og fredag 11. februar Innleveringsfrist: Mandag 14. februar

Oppgave 1

I oppgave 2 i øving 4 betraktet vi en elektrisk dipol, bestående av to punktladninger ±q lokalisert på z-aksen i z = ±a/2. Vi viste at potensialet V i stor avstand (r ≫ a) fra dipolen er tilnærmet lik

V (r, θ) = \frac{p cos θ}{4πε_{0}r^{2}}

Her er r avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, θ er vinkelen mellom z-aksen og r, og p = |p| = qa er dipolens elektriske dipolmoment.

a) Ta utgangspunkt i uttrykket for V (r, θ) og bestem det elektriske feltet E(r, θ) = E_{r}r̂ + E_{θ}θ̂ i stor avstand fra dipolen. Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er

∇ = r̂\frac{∂}{∂r} + θ̂\frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} + ϕ̂\frac{1}{r sin θ} \frac{∂}{∂ϕ}

Du får ikke oppgitt noe fasitsvar her, men du kan til en viss grad sjekke om du har regnet riktig ved å se om resultatet virker rimelig for θ = 0 og for θ = π/2. Hva med r = 0?

b) På grunn av rotasjonssymmetrien omkring z-aksen kan vi f.eks. anta at vi befinner oss i xz-planet. Bestem det elektriske feltet E(x, z) = E_{x}x̂+E_{z}ẑ uttrykt i kartesiske koordinater for r ≫ a. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for E_{r} og E_{θ} i punkt a). Tegn opp en figur og finn sammenhengen mellom koordinatene (x, z) og (r, θ), og feltkomponentene E_{x}, E_{z} og E_{r}, E_{θ}. [Fasit: E_{x} = 3pxz/4πε_{0}(x^{2} + z^{2})^{5/2}, E_{z} = p(2z^{2} − x^{2})/4πε_{0}(x^{2} + z^{2})^{5/2}.]

c) Bestem også E(x, z) ved først å skrive om V (r, θ) til V (x, z), og deretter anvende gradientoperatoren i kartesiske koordinater.

Oppgave 2

Figuren over viser en gaussflate (dvs lukket flate) S formet som en kube med sidekanter a. Flaten er plassert i et område hvor det er en elektrisk feltstyrke E. I hvert av tilfellene a) – d), bestem total (netto) elektrisk fluks ϕ som passerer gjennom flaten S. Bruk Gauss’ lov og bestem i hvert tilfelle også den totale ladningen Q innenfor S.

a) E = Cx̂
b) E = Cxx̂
c) E = Cx^{2}x̂
d) E = C (yx̂ + xŷ)

Her er C en (skalar) konstant (og da med varierende enhet).

e) For tilfellet c) skal du bestemme ladningstettheten ρ innenfor S. Ta utgangspunkt i Gauss’ lov idet du betrakter et lite (infinitesimalt) volumelement a^{2} dx, dvs en tynn skive med tykkelse dx og endeflater med areal a^{2}, lokalisert mellom x og x + dx. (Mer presist: Bruk Gauss’ lov på flaten som omslutter dette volumelementet.)

Noen svar: b): Q = Cε_{0}a^{3}  c): Q = Cε_{0}a^{4}  e): ρ = 2Cε_{0}x

Oppgave 3

Bruk Gauss’ lov til å bestemme det elektriske feltet i avstand r fra en uendelig lang (tynn) stav med ladning λ pr lengdeenhet. Tips: Utnytt sylindersymmetrien i problemet til å velge en fornuftig gaussflate. (Sammenlign svaret med det du fant i oppgave 2 d) i øving 2.)

Oppgave 4 (multiple choice)

a) På en lukket flate er det elektriske feltet E overalt rettet innover. Da kan vi fastslå at

A flatenormalen n̂ over hele flaten er parallell med E
B flaten omslutter null netto ladning
C flaten omslutter en netto negativ ladning
D flaten omslutter en netto positiv ladning

b) Figuren illustrerer en lukket flate som omslutter to punktladninger q og −q. Netto elektrisk fluks ut gjennom denne flaten er da

A null
B −q/ε_{0}
C q/ε_{0}
D 2q/ε_{0}

c) Figuren illustrerer en lukket flate som omslutter to punktladninger −2q og q. Netto elektrisk fluks ut gjennom denne flaten er da

A null
B −q/ε_{0}
C q/ε_{0}
D 2q/ε_{0}

d) Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate på 50 V med en punktladning 10 nC i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna.

A 1.3 m
B 1.8 m
C 3.2 m
D 5.0 m

e) Potensialet i et område er V (x, y, z) = 100 V. Det elektriske feltet E i dette området er da

A (100 V/m) x̂
B (100 V/m) ŷ
C (100 V/m) ẑ
D null

f) En uniformt ladet uendelig stor flate har ladning σ pr flateenhet. Tre gaussflater (lukkede flater) a, b og c er vist i figuren. Alle de tre flatene omslutter en sirkelformet skive med radius R når de krysser den ladete flaten. Ranger de tre lukkede flatene a, b og c i henhold til hvor stor netto elektrisk fluks som passerer ut gjennom dem.

\begin{matrix}A & a > b > c \\ B & a > b = c \\ C & a = b = c \\ D & a < b < c \end{matrix}

g) Hvis potensialet V som funksjon av avstanden r fra en ladningsfordeling er som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet E som funksjon av avstanden r?

A 2
B 3
C 4
D 5

h) Potensialet i et område er

V (x) = 50 V + (15 V/m)x

Det elektriske feltet i dette området er da

A 50 V x̂
B (15 V/m) x x̂
C (15 V/m) x̂
D –(15 V/m) x̂

i) Potensialet i et område er

V (x, y, z) = (2 V/m)x + (3 V/m)y + (4 V/m)z

Da er x-komponenten av det elektriske feltet i dette området

A –2 V/m
B –3 V/m
C –4 V/m
D –9 V/m

j) En punktladning q er plassert i det ene hjørnet av en kube. Hva blir den elektriske fluksen gjennom den skraverte sideflaten i figuren til høyre?

\begin{matrix}A & q/ε_{0} \\ B & q/4ε_{0} \\ C & q/8ε_{0} \\ D & q/24ε_{0} \end{matrix}