Institutt for fysikk, NTNU 11. februar 2005 TFY4180 Fysikk

MAGNETFELT OG MAGNETISME SOM RELATIVISTISK FENOMEN

(orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen)

Utgangspunkt: Anta at vi kjenner til Coulombs lov og elektriske krefter. Vi vet derimot ingenting om magnetfelt og magnetisme. Vi gjør så et eksperiment:

... og måler til vår store overraskelse en kraft på ladningen q:

F = k\frac{I}{a}qv

med retning inn mot lederen dersom q > 0. (Retning vekk fra lederen dersom q eller v skifter fortegn.) Lederen er elektrisk nøytral ⇒ den elektriske kraften må være null ! HVOR KOMMER KRAFTEN F FRA??

Løsning: Relativitetsteori!

Lorentzkontraksjon:

Per: Stavens lengde er L.

Pål: Stavens lengde er L/γ < L.

Her er:

γ = \frac{1}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} ≥ 1

med c = lyshastigheten (= 3 · 10^{8} m/s) og v = hastigheten til staven og Per (i stavens lengderetning) i forhold til Pål.

Eksempel: Per er i ro i forhold til staven og måler dens lengde til 1 m. Pål ser en stav som har en hastighet v = 3000 km/s. Da er v^{2}/c^{2} = 10^{−4} og Pål vil si at stavens lengde er 0.999950 m, dvs 50 μm kortere.

Altså:

Objekter i bevegelse er kortere enn når de er i ro!

Konsekvenser av Lorentzkontraksjon for ladningen q som er i bevegelse langs den strømførende lederen:

Per: Lederen har negativ ladning −λ pr lengdeenhet og positiv ladning λ pr lengdeenhet. Alt i alt er lederen elektrisk nøytral.

Pål: Lederen har negativ ladning −λ_{−} pr lengdeenhet og positiv ladning λ_{+} pr lengdeenhet. De negative ladningene har størst hastighet i forhold til meg. På grunn av størst Lorentzkontraksjon ligger derfor disse tettere enn de positive ladningene. Altså er λ_{−} > λ_{+}. Alt i alt er lederen ikke elektrisk nøytral; den

har en netto negativ ladning Δλ = −λ_{−} + λ_{+} < 0.

Dermed måler Pål en tiltrekkende elektrisk kraft på ladningen q:

F_{Pal} = F_{e} = qE = q · \frac{Δλ}{2πε_{0}a}

der vi har brukt at elektrisk felt i avstand a fra en uendelig lang stav med ladning Δλ pr lengdeenhet er (se øving 4, oppgave 4) E = Δλ/2πε_{0}a So what? Vi er typisk i Pers situasjon, dvs på laben, i ro i forhold til lederen, og hvem har sagt at Per, som ser en nøytral leder, vil måle en kraft på q? Jo, det sier Einstein, med sitt relativitetsprinsipp:

Fysikkens lover gjelder i alle inertialsystemer, dvs i alle referansesystemer som er i ro eller i konstant hastighet.

Dermed: Hvis Pål måler en kraft på q, må også Per måle en kraft på q! Kvantitativt:

F_{Per} = \sqrt{1 − v^{2}/c^{2}} F_{Pal} = \frac{1}{γ} F_{Pal}

Δλ = \frac{2λvu}{c^{2}\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} = \frac{2λvu}{c^{2}} · γ

...som vi her simpelthen godtar uten bevis... Dermed:

F_{Per} = \frac{1}{γ} · q · \frac{2λvu}{2πε_{0}ac^{2}} · γ
= qv\frac{2λu}{2πε_{0}c^{2}a}
= qv\frac{I}{2πε_{0}c^{2}a}

Som i eksperimentet vårt, med

k = \frac{1}{2πε_{0}c^{2}} = 2 · 10^{−7} Vs/Am

(dvs en naturkonstant) La oss skrive

F_{Per} = F_{m} = qvB

med

B = \frac{I}{2πε_{0}c^{2}a}

Størrelsen B er nettopp magnetfeltet (her: i avstand a fra en lang, rett strømførende leder med strøm I), og F_{m} er den magnetiske kraften på ladningen q med hastighet v.

Merk at vi har fått oppklart to viktige spørsmål:

Hvor kommer magnetfeltet fra? Svar: Fra ladninger i bevegelse, dvs elektrisk strøm.

Hvordan virker den magnetiske kraften på en ladning i bevegelse? Svar: F_{m} = qvB

Men hvordan uttrykke F_{m} = qvB på vektorform? Både F_{m} og v er jo vektorer, men ikke parallelle vektorer.... Vi må ty til kryssprodukt! La B være en vektor som peker inn i planet:

Da ser vi at vi kan skrive:

F_{m} = qv × B

KONKLUSJON: (og dette er selvsagt pensum!)

Fra før: Elektrisk felt E lages av ladninger (i ro eller i bevegelse) og resulterer i elektrisk kraft på ladninger (i ro eller i bevegelse):

F_{e} = qE

Nå: Magnetfelt B lages av strøm (dvs ladninger i bevegelse) og resulterer i magnetisk kraft på ladninger i bevegelse:

F_{m} = qv × B

Med både E og B til stede samtidig, påvirkes ladningen q med hastighet v av Lorentzkraften

F = F_{e} + F_{m} = qE + qv × B