Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Sammendrag, uke 17 (26. og 27. april)

Magnetisk susceptibilitet og permeabilitet [FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5, AF 26.7; LHL 26.1; DJG 6.4.1]

Dersom magnetiseringen er proporsjonal med det påtrykte feltet, kan vi skrive

M = χ_{m}H

Her er χ_{m} magnetisk susceptibilitet. Dermed, ut fra sammenhengen mellom B, H og M:

B = μ_{0}(H + M) = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH

Her er μ_{r} = 1 + χ_{m} relativ permeabilitet mens μ er mediets permeabilitet. (Jfr lineær respons i dielektriske medier!)

Noen typiske tallverdier: Diamagneter: χ_{m} ∼ −10^{−5} til −10^{−4} Paramagneter: χ_{m} ∼ 10^{−4} til 10^{−3} Ferromagneter: χ_{m} ∼ 10^{3} til 10^{4}

Dette betyr at det bare er ferromagnetiske materialer (Fe, Co, Ni...) som “reagerer noe særlig” på et ytre magnetfelt.

Elektromagnetisk induksjon [FGT 30.1 - 30.6; YF 29.1 - 29.5; TM 28.2 - 28.3; AF 27.1 - 27.3; LHL 24.1; DJG 7.2]

En elektromotorisk spenning (ems) E induseres i ei ledersløyfe dersom den magnetiske fluksen ϕ_{m} som omsluttes av ledersløyfa varierer med tiden:

E = −\frac{dϕ_{m}}{dt}

Omsluttet magnetisk fluks er gitt ved flateintegralet av det magnetiske feltet B, der integralet tas over flaten S som omsluttes av ledersløyfa:

ϕ_{m} = ∫_{S} B · dA

Dermed ser vi at ϕ_{m} kan variere med tiden på ulike måter, f.eks. med

• tidsavhengig omsluttet areal S • tidsavhengig orientering av ledersløyfa (bestemt ved retningen på dA)

• tidsavhengig magnetfelt B (retning og/eller absoluttverdi)

I alle tilfelle får vi en indusert ems i ledersløyfa.

Retningen på E bestemmes med Lenz’ lov: En eventuell generert strøm I, drevet av E, skaper et magnetfelt B_{I} og dermed en magnetisk fluks ϕ_{I} = ∫_{S} B_{I} · dA som er motsatt rettet fluksendringen dϕ_{m} som i utgangspunktet forårsaket E.

En indusert ems E i ei lukket ledersløyfe impliserer et indusert elektrisk felt E:

E = ∮ E · dl

Faradays lov uttrykker dermed en sammenheng mellom feltene E og B:

∮_{c} E · dl = −\frac{d}{dt} ∫_{S} B · dA

der c er en lukket kurve som omslutter en flate S.

Ettersom integralet av et slik “Faraday-indusert” elektrisk felt rundt en lukket kurve ikke er lik null, er det (pr definisjon) heller ikke et konservativt felt. (Mens et elektrostatisk felt er konservativt.)

Gjensidig induktans [FGT 32.1; YF 30.1; AF 27.12; LHL 25.4; DJG 7.2.3]

En strøm I_{1} i ei strømsløyfe (1) resulterer i et magnetfelt B_{1} i området omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp av Biot-Savarts lov:

B_{1} = \frac{μ_{0}I_{1}}{4π} ∮_{(1)} \frac{dl_{1} × r̂}{r^{2}}

(se f.eks. uke13.pdf). Dersom ei anna strømsløyfe (2) er plassert i dette området, vil magnetfeltet fra sløyfe (1) resultere i en magnetisk fluks gjennom sløyfe (2):

ϕ_{2} = ∫_{S_{2}} B_{1} · dA_{2} = ∫_{S_{2}} \{\frac{μ_{0}I_{1}}{4π} ∮_{(1)} \frac{dl_{1} × r̂}{r^{2}}\} · dA_{2}

Uansett hva dette gufne integralet måtte være, kan vi uttrykke det på formen

ϕ_{2} = M_{21}I_{1}

forutsatt at I_{1} er konstant i sløyfe (1), dvs den samme alle steder i sløyfa. (Og det må den jo være hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

Faktoren M_{21} er den gjensidige induktansen mellom de to sløyfene (1) og (2) og uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får “gjennom” (dvs omsluttet av) sløyfe (2) når det går en strøm i sløyfe (1):

M_{21} = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Omvendt må vi også få en magnetisk fluks gjennom sløyfe (1) hvis det går en strøm i sløyfe (2):

ϕ_{1} = ∫_{S_{1}} B_{2} · dA_{1} = ∫_{S_{1}} \{\frac{μ_{0}I_{2}}{4π} ∮_{(2)} \frac{dl_{2} × r̂}{r^{2}}\} · dA_{1}

dvs: Strømmen I_{2} i sløyfe (2) skaper magnetfeltet B_{2}, og dermed fluksen ϕ_{1} gjennom sløyfe (1). Og uansett hva dette integralet måtte bli, kan vi alltids skrive

ϕ_{1} = M_{12}I_{2}

der faktoren M_{12} uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får “gjennom” (dvs omsluttet av) sløyfe (1) når det går en strøm i sløyfe (2):

M_{12} = \frac{ϕ_{1}}{I_{2}}

Både M_{21} og M_{12} er rett og slett geometriske faktorer som avhenger av form, størrelse og relativ plassering til de to strømsløyfene. En kan vise at

M_{21} = M_{12}

alltid gjelder. En kan dermed velge mellom to alternative framgangsmåter for å bestemme gjensidig induktans mellom to strømsløyfer: Enten beregne magnetisk fluks gjennom (1) pga strøm i (2), eller omvendt. Noen ganger er det ene mye enklere enn det andre!

Enhet for induktans: [M] = [ϕ_{m}/I] = [B · A/I] = T·m^{2}/A ≡ H (henry)

Gjensidig induksjon: Tidsavhengig strøm I_{1}(t) i sløyfe (1) gir tidsavhengig fluks ϕ_{2}(t) gjennom sløyfe (2), og dermed indusert ems i sløyfe (2):

E_{2} = −\frac{dϕ_{2}}{dt} = −M_{21} \frac{dI_{1}}{dt}

Tidsavhengig strøm I_{2}(t) i sløyfe (2) gir tidsavhengig fluks ϕ_{1}(t) gjennom sløyfe (1), og dermed indusert ems i sløyfe (1):

E_{1} = −\frac{dϕ_{1}}{dt} = −M_{12} \frac{dI_{2}}{dt}