Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Sammendrag, uke 3 (18. og 19. januar)

Elektrisk felt [FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.5; LHL 19.4; DJG 2.1.3]

E = \frac{F}{q}

= kraft pr ladningsenhet

SI-enhet for elektrisk felt: [E] = N/C

Elektrisk felt fra punktladning [FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.6; LHL 19.5; DJG 2.1.3]

E = \frac{q}{4πε_{0}r^{2}} r̂

Superposisjonsprinsipp for elektrisk felt:

E = ∑_{j=1}^{n} E_{j} = \frac{1}{4πε_{0}} ∑_{j=1}^{n} \frac{q_{j}}{r_{j}^{2}} r̂_{j}

Kontinuerlige ladningsfordelinger [FGT 21.4, 22.3; YF 21.5; TM 22.1; AF eks. 21.6; LHL 19.5; DJG 2.1.4]

På en lengdeskala som er stor i forhold til avstanden mellom enkeltladninger ser man en tilnærmet kontinuerlig ladningsfordeling. (På samme måte som at makroskopiske objekter har en tilnærmet kontinuerlig massefordeling, selv om de egentlig består av “enkeltmasser” (atomer).)

Sum over enkeltladninger erstattes da av integral over en ladningsfordeling:

∑_{i} Δq_{i} →^{Δq_{i}→0} ∫ dq

3D (= 3 dimensjoner): romladning

dq = ρ dV
ρ = ρ(x, y, z) = ladning pr volumenhet = romladningstetthet
[ρ] = [q/V] = C/m^{3}
Volumelement : dV = dx dy dz (kartesiske koordinater)
= r^{2} sin θ dθ dϕ dr (kulekoordinater)
= ρ dρ dϕ dz (sylinderkoordinater)

2D: flateladning

dq = σ dA
σ = σ(x, y) = ladning pr flateenhet = flateladningstetthet
[σ] = [q/A] = C/m^{2}
Flateelement : dA = dx dy (kartesiske koordinater)
= r dϕ dr (polarkoordinater)

1D: linjeladning

dq = λ dl
λ = λ(x) = ladning pr lengdeenhet = linjeladningstetthet
[λ] = [q/L] = C/m
Linjeelement : dl = dx (rett linje)
= R dϕ (for sirkel med radius R)

Elektrisk felt i avstand r fra infinitesimal ladning dq:

dE = \frac{1}{4πε_{0}} \frac{dq}{r^{2}} r̂

Elektrisk felt fra kontinuerlig ladningsfordeling:

E = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{r̂ dq}{r^{2}} =^{3D} \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{r̂ρ dV}{r^{2}}

Mer presist: Det elektriske feltet E(r) i et punkt r = (x, y, z) på grunn av en fordeling av elektrisk ladning beskrevet ved ladningstettheten ρ(r′) = ρ(x′, y′, z′) er gitt ved

E(r) = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{(r − r′)ρ(r′) dV′}{|r − r′|^{3}}

der dV′ = dx′ dy′ dz′ (i kartesiske koordinater) er et volumelement i posisjon r′. Legg merke til at r ikke har samme betydning i de to siste ligningene. I den første angir r vektoren fra dq til punktet der E skal bestemmes. Dermed vil r være forskjellig for de ulike ladningselementene dq i systemet vi ser på. I den andre ligningen angir r posisjonen der E skal bestemmes, mens r′ er posisjonsvariabelen til ladningstettheten ρ. Her hadde vi valget mellom å innføre en ny vektor R ≡ r − r′ og skrive R̂/R^{2}, eller (som vi valgte) å skrive om enhetsvektoren. På sin plass med en figur, kanskje:

Vi ser at den “aktuelle” enhetsvektoren skal peke fra volumelementet dV′ i posisjon r′ til posisjonen r. Vi kan dermed skrive (r − r′)/|r − r′|^{3} i uttrykket for E(r).