Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Sammendrag, uke 5 (1. og 2. februar)

Energienheten elektronvolt [FGT 24.2; YF 23.2; AF 21.9; LHL 19.9]

En hensiktsmessig energienhet: 1 elektronvolt = 1 eV = e · 1V = 1.6 · 10^{−19}C·1 J/C = 1.6 · 10^{−19} J = endringen i potensiell energi for en elementærladning som flyttes mellom to punkter med en potensialforskjell på 1 volt Hvorfor eV istedetfor J?

• avstand mellom energinivåer i atomer er av størrelsesorden 1 eV

• selv i partikkelfysikk og høyenergifysikk har partiklene energier som er langt mindre enn 1 J, f.eks. MeV (= 10^{6} eV) eller GeV (= 10^{9} eV)

• termisk energi, k_{B}T, ved romtemperatur (T = 300 K) er ca 25 meV

Med andre ord: Målestokken 1 J er for stor for mange områder i fysikken. Målestokken 1 eV (evt meV, keV, MeV, GeV...) er mere passe.

Elektrisk potensial fra punktladning (Coulombpotensialet) [FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.2; AF 21.11; LHL 19.9; DJG 2.3.4]:

V (r) = \frac{q}{4πε_{0}r}

Elektrisk potensial fra kontinuerlige ladningsfordelinger:

V (r) = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{dq}{r}

med

dq = \{ \begin{matrix}ρ(x, y, z) dV & (3D) \\ σ(x, y) dA & (2D) \\ λ(x) dx & (1D) \end{matrix}

Potensiell energi mellom punktladninger [FGT 24.2; YF 23.1; TM 24.1; AF 21.9, 21.12; LHL 19.9; DJG 2.4]

• mellom to punktladninger i innbyrdes avstand r_{12}: U_{12} = q_{1}q_{2}/4πε_{0}r_{12}

• mellom flere punktladninger: U = ∑_{i<j} U_{ij} (der summen over i og j går over alle punktladningene i systemet, dog slik at j hele tiden er større enn i, dvs summen går over alle par av punktladninger)

Energibevarelse for ladete partikler i elektrisk felt [FGT 24.1; YF 23.1; AF 21.12; LHL 19.9]

Med konservative krefter er total energi bevart:

T + U = konstant
T = \frac{1}{2}mv^{2} = kinetisk energi
U = qV = potensiell energi

Dersom partikkel med ladning q og masse m akselereres i elektrisk felt E, dvs gjennom potensialforskjell ΔV = V_{2} − V_{1}:

\frac{1}{2}mv_{1}^{2} + qV_{1} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} + qV_{2}
⇒ v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + \frac{2q}{m} (V_{1} − V_{2})
⇒ v_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} − \frac{2qΔV}{m}} = v_{1}\sqrt{1 − \frac{2qΔV}{mv_{1}^{2}}}

Her er v_{1} partikkelens hastighet der potensialet er V_{1} (“startpunkt”) og v_{2} er partikkelens hastighet der potensialet er V_{2} (“sluttpunkt”). Dersom qΔV < 0 fås v_{2} > v_{1}, dvs (positiv) akselerasjon. Altså: Negativ ladning akselereres i retning høyere potensial Positiv ladning akselereres i retning lavere potensial .... mens begge typer ladning selvsagt akselereres i retning lavere potensiell energi.

Bevegelsen til en partikkel med masse m og ladning q i et elektrisk felt er bestemt av Newtons 2. lov (= bevegelsesligningen):

F = ma = m\frac{dv}{dt} = qE

Dermed:

a = \frac{q}{m}E

Partikkel med positiv ladning akselereres langs E. Partikkel med negativ ladning akselereres langs −E.

Ekvipotensialflater [FGT 24.3; YF 23.4; TM 23.5; AF 21.11; LHL 19.11; DJG 2.3.2]

Ekvipotensialflater er flater i rommet med konstant potensial.

ΔV = − ∫ E · dl = 0

for vilkårlig integrasjonsvei på en ekvipotensialflate. Dermed:

E ⊥ ekvipotensialflate

Beregning av E fra V [FGT 24.4; YF 23.5; TM 23.3; AF 21.10; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 1.2.2]

E = −∇V

Gradientoperatoren ∇:

∇V = \frac{∂V}{∂x} x̂ + \frac{∂V}{∂y} ŷ + \frac{∂V}{∂z} ẑ (kartesiske koordinater)
= \frac{∂V}{∂r} r̂ + \frac{1}{r} \frac{∂V}{∂θ} θ̂ + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂V}{∂ϕ} ϕ̂ (kulekoordinater)

(NB: Det er ikke meningen at du skal gå rundt og huske på hvordan gradientoperatoren ser ut i kulekoordinater. Den vil bli oppgitt dersom det f.eks. skulle bli bruk for den til eksamen.) Hvis vi har kulesymmetri (dvs E og V kun avhengig av r, ikke av vinklene θ og ϕ):

E = E(r)r̂ = −\frac{∂V}{∂r} r̂

I neste uke skal vi se at: Vektoren ∇V peker i den retningen V øker raskest. Ettersom E = −∇V, betyr det at det elektriske feltet peker i den retningen V avtar raskest. Vi skal også se på et eksempel på beregning av V etterfulgt av E. Deretter skal vi gå i gang med elektrisk fluks og Gauss’ lov for det elektriske feltet.