Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Sammendrag, uke 6 (8. og 9. februar)

Betydning av gradientoperatoren

Vektoren ∇V peker i den retningen der V øker raskest, dvs i den retningen der den retningsderiverte til V er størst. Ettersom E = −∇V, betyr det at det elektriske feltet peker i den retningen der V avtar raskest. Eksempel: Dersom en punktladning q plasseres et sted der ∇V = 0, blir den ikke utsatt for noen elektrisk kraft, for da er F = qE = −q∇V = 0.

Oppsummering til nå, og møte med Maxwell-ligning nr 1

Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to ladninger q og q′ i innbyrdes avstand r):

F = \frac{qq′}{4πε_{0}r^{2}} r̂

Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen “kraft pr ladningsenhet”):

E = \frac{F}{q′} = \frac{q}{4πε_{0}r^{2}} r̂

Konservativ kraft:

∫_{A}^{B} F · dl

er uavhengig av integrasjonsveien, dvs veien mellom punktene A og B. Dermed:

∮ F · dl = 0

(dvs når vi integrerer rundt en lukket kurve)

Med definisjonen av E følger det da at det elektrostatiske feltet også er konservativt, dvs:

∫_{A}^{B} E · dl

er uavhengig av integrasjonsveien, og dermed

∮ E · dl = 0

Dette er en av Maxwells ligninger (vel å merke, for statiske felt, dvs felt som ikke endrer seg med tiden).

Et konservativt vektorfelt kan alltid avledes fra et skalart potensial:

E = −∇V

Potensialforskjellen mellom to punkter A og B kan beregnes dersom vi kjenner det elektriske feltet i området mellom A og B:

ΔV = V_{B} − V_{A} = − ∫_{A}^{B} E · dl

Superposisjonsprinsippet gjelder for elektrisk kraft F (eksperimentelt resultat):

F_{i} = ∑_{j=1}^{n} F_{ij}

= kraft på ladning q_{i} fra ladninger q_{j} (j = 1, 2, … n) Da følger det at superposisjonsprinsippet også gjelder for elektrisk felt E,

E = ∑_{j=1}^{n} E_{j}

og for elektrisk potensial V,

V = ∑_{j=1}^{n} V_{j}

Her er E_{j} og V_{j} bidrag til henholdsvis felt og potensial fra ladning nummer j.

Elektrisk fluks [FGT 23.1; YF 22.1; TM 22.2; AF 25.3; LHL 19.7; DJG 2.2.1]

ϕ = ∫_{S} E · dA

Noen ganger skriver vi ϕ_{E} for å presisere at det er snakk om elektrisk fluks. Vi har tidligere definert elektriske feltlinjer slik at den elektriske feltstyrken E = |E| skulle være proporsjonal med tettheten av feltlinjer, eller antall feltlinjer pr flateenhet. Av ovenstående definisjon av elektrisk fluks ϕ kan vi da slutte at ϕ representerer antall feltlinjer som krysser flaten S. Følgende figur illustrerer hva dette går ut på:

Flaten S er en vilkårlig “tenkt” eller “valgt” flate i rommet. Det elektriske feltet “eksisterer” i området der flaten S er “plassert”. (E kan være null eller forskjellig fra null.) Flaten S tenkes så delt inn i små flateelementer dA = n̂dA, med areal dA og orientering i rommet spesifisert ved flatenormalen n̂. Fluksen dϕ gjennom flaten dA er da lik E · dA. Den totale fluksen gjennom hele flaten S får vi ved å integrere opp bidragene dϕ, altså ligningen over. Merk at fluksen er en skalar størrelse. Den kan imidlertid være positiv eller negativ, avhengig av om vinkelen mellom vektorene E og dA er mindre eller større enn 90 grader.

En lukket flate S er en flate som omslutter et veldefinert volum V, f.eks. et kuleskall, et peanøttskall e.l. Den elektriske fluksen gjennom en lukket flate skriver vi slik (jfr. notasjonen for veiintegral rundt lukket kurve):

ϕ_{c} = ∮_{S} E · dA

Indeksen c står for “closed”. Den er forsåvidt unødvendig så lenge vi skriver ned integralet. Ringen på integrasjonssymbolet er tilstrekkelig for å understreke at det er snakk om en lukket flate. Med en lukket flate kan vi gjøre unna “fortegnsproblemet” en gang for alle: Vi velger positiv retning på dA ut av flaten. Dermed kan vi konkludere med at

E · dA > 0 ⇒ fluks ut gjennom flaten E · dA < 0 ⇒ fluks inn gjennom flaten

Dessuten:

ϕ_{c} > 0 ⇒ netto fluks ut gjennom flaten ϕ_{c} < 0 ⇒ netto fluks inn gjennom flaten

For en ikke lukket flate S har vi ingen tilsvarende mulighet for å velge positiv retning på dA. Flaten har to sider, og ingen av disse kan sies å være mer “inne” eller “ute” i forhold til den andre. I enkelte tilfeller velger vi imidlertid en positiv retning på (den lukkede!) kurven (linjen) som går rundt kanten av S. Da definerer vi positiv retning på dA ved hjelp av høyrehåndsregelen: La høyrehåndas fire øvrige fingre peke i positiv retning for flatens omsluttende kurve. Da peker tommelen i positiv retning for dA.

Gauss’ lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1]

Gauss’ lov (på såkalt integralform; senere i kurset, hvis vi får tid, skal vi se at vi også har en versjon av Gauss’ lov på såkalt differensialform):

∮_{S} E · dA = \frac{q_{in}}{ε_{0}}

Her er integralet på venstre side av ligningen et flateintegral over en lukket flate S, mens q_{in} er total (netto) ladning innenfor den lukkede flaten (“gaussflaten”).

Gauss’ lov er en av Maxwells ligninger. (Vi konsentrerer oss fremdeles om elektrostatikk en god stund framover, men faktisk er det slik at Gauss’ lov også gjelder selv om E skulle finne på å variere med tiden.) Innholdet i ligningen kan formuleres slik: Netto antall feltlinjer ut av et volum, dvs ut gjennom den lukkede flaten som avgrenser dette volumet, er bestemt av, og direkte proporsjonal med netto ladning inne i volumet, dvs innenfor den lukkede flaten. Gauss’ lov følger direkte av Coulombs lov, og representerer således ingen ny fysikk.

I forbindelse med beviset for Gauss’ lov fikk vi bruk for det vi kalte en romvinkel Ω. På samme måte som en liten sektor i et plan utspenner en vinkel dϕ vil en liten kjegle i rommet utspenne en romvinkel dΩ. Videre: På samme måte som at buelengden dl i avstand r fra “sentrum” da blir dl = r dϕ blir arealet dA_{r} av flaten som står normalt på r og som avgrenses av den lille kjeglen da lik dA_{r} = r^{2} dΩ.

Lar vi sektoren i planet utspenne en hel omdreining, tilsvarer det en vinkel

∮ dϕ = ∫_{0}^{2π} dϕ = 2π

Tilsvarende: Lar vi kjeglen i rommet utspenne en hel kuleflate, tilsvarer det en romvinkel

∮ dΩ = ∫_{0}^{2π} dϕ ∫_{0}^{π} sin θ dθ = 4π

(Her har vi brukt kulekoordinater, der dA_{r} = r^{2} sin θ dθ dϕ (se øving 3!), slik at dΩ = sin θ dθ dϕ.)