Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2006

Elektromagnetiske bølger: Utledning av bølgeligning for elektrisk felt og magnetfelt med utgangspunkt i Maxwells ligninger.

Maxwells ligninger på integralform:

ε_{0} ∮ E · dA = q

∮ E · dl = −\frac{d}{dt} ∫ B · dA

∮ B · dA = 0

∮ B · dl = μ_{0}I + μ_{0}ε_{0} \frac{d}{dt} ∫ E · dA

Maxwells ligninger på differensialform:

ε_{0}∇ · E = ρ

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ · B = 0

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

I fritt rom, dvs der ρ = 0 og j = 0:

∇ · E = 0

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

∇ · B = 0

∇ × B = μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

Matematisk identitet:

∇ × ∇ × G = ∇(∇ · G) − ∇^{2}G

for vilkårlig vektor G. Her er første ledd på høyre side ”grad div G”,

∇(∇ · G) = \frac{∂}{∂x} (\frac{∂G_{x}}{∂x} + \frac{∂G_{y}}{∂y} + \frac{∂G_{z}}{∂z} ) x̂  (1)
+ \frac{∂}{∂y} (\frac{∂G_{x}}{∂x} + \frac{∂G_{y}}{∂y} + \frac{∂G_{z}}{∂z} ) ŷ
+ \frac{∂}{∂z} (\frac{∂G_{x}}{∂x} + \frac{∂G_{y}}{∂y} + \frac{∂G_{z}}{∂z} ) ẑ

mens andre ledd er

∇^{2}G = \frac{∂^{2}G}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}G}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}G}{∂z^{2}}

I fritt rom er både ∇ · E = 0 og ∇ · B = 0, slik at

∇ × ∇ × E = −∇^{2}E

og

∇ × ∇ × B = −∇^{2}B

Ta curl på begge sider av Faradays lov. Det gir:

∇ × ∇ × E = −∇^{2}E = −\frac{∂}{∂t}(∇ × B)

Dernest bruker vi Ampere-Maxwells lov:

∇ × B = μ_{0}ε_{0} \frac{∂E}{∂t}

Kombinerer vi de to siste ligningene, får vi:

∇^{2}E = μ_{0}ε_{0} \frac{∂^{2}E}{∂t^{2}}

En generell bølgeligning for en størrelse f som forplanter seg med hastighet v, f.eks. i x-retning, ser slik ut:

\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{∂^{2}f}{∂t^{2}}

Følgelig kan vi konkludere med at Maxwells ligninger beskriver et elektrisk felt som forplanter seg i fritt rom med hastighet

v = \frac{1}{\sqrt{μ_{0}ε_{0}}} ≃ 3 · 10^{8} m/s = c

dvs lyshastigheten i vakuum.

På tilsvarende vis kan vi utlede en bølgeligning for magnetfeltet: Start med å ta curl på begge sider av Ampere-Maxwells lov. Det gir:

∇ × ∇ × B = −∇^{2}B = μ_{0}ε_{0} \frac{∂}{∂t}(∇ × E)

Dernest bruker vi Faradays lov:

∇ × E = −\frac{∂B}{∂t}

Kombinerer vi de to siste ligningene, får vi:

∇^{2}B = μ_{0}ε_{0} \frac{∂^{2}B}{∂t^{2}}

Dvs samme bølgeligning som for E!

Konklusjon: Maxwells ligninger beskriver elektromagnetiske bølger som forplanter seg i fritt rom med lyshastigheten c = 1/\sqrt{μ_{0}ε_{0}}.