Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2006

Løsningsforslag til øving 14

Veiledning torsdag 20. april

Oppgave 1

Retningen på B:

• B_{y} = 0 fordi dB ∼ ŷ×r̂ ⊥ ŷ ifølge Biot-Savarts lov. (Alle strømbidrag går i y-retningen.)

• B_{z} = 0: Se på figuren nedenfor. Her er dB_{+} og dB_{−} bidrag til magnetfeltet henholdsvis over og under xy-planet fra “symmetrisk lokaliserte” uendelig lange, tynne strømførende ledere i posisjon ±x. Biot-Savarts lov og figurbetraktning gir at B må være rettet i positiv x-retning for z > 0 og i negativ x-retning for z < 0.

Absoluttverdien av magnetfeltet kan ikke avhenge av x eller y når det strømførende planet er uendelig stort. Dessuten må B være like stor en avstand z over xy-planet som en avstand z under. (B_{+} = B_{−} = B, se figuren nedenfor) Da skulle vi ha det beste valget av amperekurve klart: Et rektangel med flatenormal i positiv y-retning, symmetrisk plassert i forhold til xyplanet:

Når integrasjonsveien velges som vist i figuren, er strømmen omsluttet av amperekurven positiv, ifølge høyrehåndsregelen. Med en lengde L i x-retningen blir den omsluttede strømmen I_{in} = i · L. Amperes lov gir dermed:

∮ B · dl = 2 · B · L = μ_{0}i · L

eller

B = μ_{0}i/2

(På de vertikale bitene av amperekurven er B ⊥ dl så disse gir null bidrag til integralet.) Alternativt kunne vi først ha lagt hele ampererektangelet på en side av xy-planet. Da hadde vi hatt null omsluttet strøm, og dermed fått at B måtte være uavhengig av z. I neste omgang legger vi amperekurven slik at den omslutter en del av xy-planet, og dermed også en viss strøm, og finner det samme som over. Så langt jeg kan se, holder det å bruke Amperes lov en gang når vi legger amperekurven symmetrisk om xy-planet.

Oppgave 2

Vi må her bestemme i hvilke posisjoner ±x_{0} vi har viklinger som gir null x-komponent for B. Viklingene på intervallet (−x_{0}, x_{0}) vil da være de som bidrar med negativ x-komponent til B. Fra den oppgitte formelen og figuren i oppgaveteksten får vi:

3 (m · r̂) r̂ − m = 3 (m x̂ · (\frac{x}{r}x̂ + \frac{y}{r} ŷ)) (\frac{x}{r}x̂ + \frac{y}{r} ŷ) − mx̂
= 3m\frac{x}{r} \frac{x}{r}x̂ + 3m\frac{x}{r} \frac{y}{r} ŷ − mx̂
= (3\frac{x^{2}}{r^{2}} − 1) mx̂ + 3\frac{xy}{r^{2}} mŷ

Vi har her uttrykt r̂ i kartesiske komponenter, dvs r̂ = cos θ x̂ + sin θ ŷ = (x/r) x̂ + (y/r) ŷ, der θ er vinkelen mellom m og r̂. Altså null x-komponent når

3\frac{x^{2}}{r^{2}} − 1 = 0

og ettersom r^{2} = x^{2} + y^{2}, finner vi

x_{0} = y/\sqrt{2}

På lengden 2x_{0} = \sqrt{2}y = 0.707 m har vi 707 viklinger.