Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2006

Øving 14

Veiledning: Torsdag 20. april Innleveringsfrist: Mandag 24. april

Oppgave 1

Vis, ved hjelp av Amperes lov, at magnetfeltet B fra en uniform ”overflatestrøm” i = i ŷ som ”flyter” i (hele) xy-planet i positiv y-retning er

B = \{ \begin{matrix}−(μ_{0}i/2) x̂ & for z < 0 \\ +(μ_{0}i/2) x̂ & for z > 0 \end{matrix}

(Altså uavhengig av avstanden til xy-planet, jfr elektrisk felt fra uendelig stort uniformt ladet plan.) Her er i strømmen pr lengdeenhet av x-retningen. Med andre ord, på en ”stripe” med bredde Δx går det en strøm ΔI = i · Δx.

Tips:

• Det er altså oppgitt at både y- og z-komponenten av B er lik null. Bruk gjerne likevel litt tid på å overbevise deg om at sånn må det være. En slik ”kartlegging” av symmetrien i problemet er helt essensiell for å kunne dra nytte av Amperes lov. Som regel må en da et lite øyeblikk tilbake til Biot-Savarts lov og vurdere konsekvensene av at ”strømelementer” I dl gir bidrag dB ∼ I dl × r̂ til det totale magnetfeltet.

• Hvis du etterhvert greier å overbevise deg om at en rektangulær Amperekurve med flatenormal i strømmens retning er et fornuftig valg, ja da er du antagelig på rett spor!

Oppgave 2

Med sentrum på x-aksen har vi plassert uendelig mange små strømførende ringer tett i tett, slik at strømmen I går i små sirkulære baner rundt x-aksen (samme strøm I i hver eneste ring).

Hver lille ring kan oppfattes som en ideell magnetisk dipol m = m x̂. Da kan det vises at magnetfeltet i avstand r fra en slik ring kan skrives på formen

B = \frac{μ_{0}}{4πr^{3}} [3 (m · r̂) r̂ − m]

Dette uttrykket er gyldig så lenge vi betrakter avstander r fra ringen som er store i forhold til ringens radius, med andre ord r ≫ \sqrt{A}. (NB: Jeg har ikke utledet dette uttrykket for magnetfeltet fra en ideell dipol i forelesningene - vi godtar her rett og slett at slik er det!) I figuren ovenfor er det vist hvordan en dermed kan bestemme magnetfeltet fra en bestemt ring.

Noen av de små strømførende ringene bidrar med negativ x-komponent til B mens andre bidrar med positiv x-komponent til B. Oppgaven går ut på å finne ut hvor mange ringer som bidrar med negativ x-komponent til B. (Et eksempel er vist i figuren.)

La oss konkretisere oppgaven med noen tallverdier. Vi betrakter en posisjon som ligger i avstand y = 50 cm fra x-aksen, og vi antar at det er 1000 strømførende ringer pr meter (langs x-aksen). Vis at ca 707 ringer da vil bidra med negativ x-komponent til magnetfeltet B i den valgte avstanden 50 cm fra x-aksen. (Resten av ringene, dvs uendelig mange, vil bidra med positiv x-komponent til B.)

Alternativt, og mer generelt: Finn et uttrykk for lengden 2x_{0} av intervallet (−x_{0}, x_{0}) som inneholder ringene som bidrar med negativ x-komponent til B i avstand y fra x-aksen. Med n ringer pr lengdeenhet skulle antall slike ringer da bli 2nx_{0}. (Du må med andre ord finne ut hvordan x_{0} avhenger av y.)