Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2006

Løsningsforslag til øving 15

Veiledning torsdag 27. april

Oppgave 1

a) Vi har brukt Amperes lov i forelesningene til å regne ut magnetfeltet inne i en slik lang spole:

B = μ_{0}nI_{1} = μ_{0} \frac{N_{1}}{d} I_{1}

En vikling av spoletråden omslutter et areal A = πR^{2}, og dermed en magnetisk fluks

ϕ = BA = μ_{0} \frac{N_{1}}{d} I_{1}πR^{2}

Da må N_{1} viklinger omslutte en fluks som er N_{1} ganger så stor, for her er jo magnetfeltet konstant overalt inne i spolen. Altså:

ϕ_{1} = N_{1}ϕ = μ_{0} \frac{N_{1}^{2}}{d} I_{1}πR^{2}

En vikling av spole 2 omslutter her akkurat det samme arealet, og dermed like stor fluks ϕ, slik at N_{2} viklinger av spole 2 må omslutte en total magnetisk fluks lik

ϕ_{2} = N_{2}ϕ = μ_{0} \frac{N_{1}N_{2}}{d} I_{1}πR^{2}

b) Selvinduktansen L blir

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}} = μ_{0} \frac{N_{1}^{2}}{d} πR^{2}

c) Gjensidig induktans M blir

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}} = μ_{0} \frac{N_{1}N_{2}}{d} πR^{2}

d) Tallverdier:

L = 4π · 10^{−7} · \frac{1200^{2}}{0.6} · π · 0.01^{2} = 9.5 · 10^{−4}

M = 4π · 10^{−7} · \frac{1200 · 600}{0.6} · π · 0.01^{2} = 4.7 · 10^{−4}

I SI-systemet har induktans fått sin egen enhet, henry (H). Her blir altså selvinduktansen 0.95 mH og den gjensidige induktansen 0.47 mH. Alternativt kunne vi f.eks. ha brukt enheten T m^{2}/A, ettersom magnetisk fluks må ha enheten til magnetfelt ganger areal, dvs T m^{2}.

Oppgave 2 Av symmetrigrunner må magnetfeltet ha retning langs spolens akse. Strømmen på en lengde dx er

dI = I n dx

Bidraget til B fra denne strømmen er

dB = \frac{μ_{0}}{2} \frac{R^{2}}{(x^{2} + R^{2})^{3/2}} dI

Totalt magnetfelt blir dermed

B = ∫ dB = \frac{μ_{0}In}{2} ∫_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{R^{2} dx}{(x^{2} + R^{2})^{3/2}}

Et lignende integral var vi borte i i en øving tidlig i semesteret. Vi har

x = R tan ϕ

som gir

dx = \frac{R}{cos^{2} ϕ} dϕ

og

\sqrt{x^{2} + R^{2}} = \frac{R}{cos ϕ}

Dermed:

B = \frac{μ_{0}In}{2} ∫_{ϕ_{1}}^{ϕ_{2}} cos ϕ dϕ = \frac{1}{2}μ_{0}In (sin ϕ_{2} − sin ϕ_{1})

Dersom vi lar spolen bli uendelig lang, L → ∞, har vi ϕ_{2} → π/2 og ϕ_{1} → −π/2, slik at

B → μ_{0}nI

dvs det samme som vi har utledet i forelesningene ved å benytte Amperes lov.