Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2006

Øving 15

Veiledning: Torsdag 27. april Innleveringsfrist: Tirsdag 2. mai

Oppgave 1

Figuren viser to spoler 1 og 2 som begge er viklet opp på en sylinder med radius R. Vi antar at sylinderen har magnetiske egenskaper som vakuum, dvs vi ser bort fra en eventuell magnetisering i sylinderen. Spole 1 har N_{1} viklinger, spole 2 har N_{2} viklinger. Begge spolene er viklet opp på en lengde d som er (tilnærmet uendelig) lang i forhold til sylinderens radius. (Figuren er sånn sett ikke kvantitativt riktig...!) Du kan anta at begge spoler er tett viklet, og at hver vikling i begge spoler omslutter samme magnetiske fluks. (Spoletrådene er belagt med et isolerende materiale, f.eks. et lag plast, slik at en eventuell elektrisk strøm er nødt til å følge spoletråden. Denne antagelsen er forøvrig underforstått i alle slike oppgaver med spoler.)

a) Anta at det går en strøm I_{1} i spole 1. Hva blir da styrken på magnetfeltet B inne i spolen? Hva blir videre total magnetisk fluks ϕ_{1} som omsluttes av hele spoletråden i spole 1 (dvs alle de N_{1} viklingene)? Hva blir total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av hele spoletråden i spole 2 (igjen: alle de N_{2} viklingene)? (Merk: Det går altså ingen strøm i spole 2. Strømmen i spole 1 kan vi lage f.eks. ved å koble den til et batteri og en motstand.)

b) Forholdet mellom total omsluttet magnetisk fluks ϕ_{1} og strømstyrken I_{1} i strømsløyfa ”selv” er, pr definisjon, en størrelse som kalles for strømsløyfas selvinduktans L:

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}}

Hva blir dermed selvinduktansen L til en slik lang sylinderformet spole med radius R, lengde d og N_{1} viklinger? c) Forholdet mellom total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av spole 2 og strømstyrken I_{1} i spole 1 er, pr definisjon, en størrelse som kalles for gjensidig induktans M mellom de to strømsløyfene:

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Hva blir dermed den gjensidige induktansen M mellom to slike lange sylinderformede spoler, begge viklet opp på en sylinder med radius R over en lengde d, og med henholdsvis N_{1} og N_{2} viklinger?

d) Bestem tallverdier for L og M (i SI-enheter) dersom R = 1 cm, d = 60 cm, N_{1} = 1200 og N_{2} = 600. (Svar: L = 9.5 · 10^{−4}, M = 4.7 · 10^{−4})

Kommentar: Vi skal komme tilbake til gjensidig induktans og selvinduktans i de siste forelesningene og se hvorfor dette er ”nyttige” størrelser i endel sammenhenger.

Oppgave 2

En spole har lengde L og radius R. Benytt uttrykket for magnetfeltet langs aksen til en enkel sirkelformet strømsløyfe (som du regnet ut i oppgave 1 i øving 13),

B(x) = \frac{μ_{0}IR^{2}}{2 (x^{2} + R^{2})^{3/2}}

til å vise at magnetfeltet langs aksen til spolen kan uttrykkes som

B = \frac{1}{2} μ_{0}nI (sin ϕ_{1} − sin ϕ_{2})

Her er I strømstyrken i viklingene og n = N/L er viklingstettheten. Vinklene ϕ_{1} og ϕ_{2} er som angitt på figuren (med ϕ_{1} < 0). Hva blir B når L → ∞?

(Tips: Finn bidraget til B fra en liten lengde dx av spolen og deretter hele feltet ved å integrere.)