Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2006

Øving 5

Veiledning: Torsdag 9. februar Innleveringsfrist: Mandag 13. februar

Oppgave 1

I oppgave 3 i øving 4 betraktet vi en elektrisk dipol, bestående av to punktladninger ±q lokalisert på z-aksen i z = ±a/2. Vi viste at potensialet V i stor avstand (r ≫ a) fra dipolen er tilnærmet lik

V (r, θ) = \frac{p cos θ}{4πε_{0}r^{2}}

Her er r avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, θ er vinkelen mellom z-aksen og r, og p = |p| = qa er dipolens elektriske dipolmoment.

a) Ta utgangspunkt i uttrykket for V (r, θ) og bestem det elektriske feltet E(r, θ) = E_{r}r̂ + E_{θ}θ̂ i stor avstand fra dipolen. Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er

∇ = r̂\frac{∂}{∂r} + θ̂\frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} + ϕ̂\frac{1}{r sin θ} \frac{∂}{∂ϕ}

Du får ikke oppgitt noe fasitsvar her, men du kan til en viss grad sjekke om du har regnet riktig ved å se om resultatet virker rimelig for θ = 0 og for θ = π/2. Hva med r = 0?

b) På grunn av rotasjonssymmetrien omkring z-aksen kan vi f.eks. anta at vi befinner oss i xz-planet. Bestem det elektriske feltet E(x, z) = E_{x}x̂+E_{z}ẑ uttrykt i kartesiske koordinater for r ≫ a. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for E_{r} og E_{θ} i punkt a). Tegn opp en figur og finn sammenhengen mellom koordinatene (x, z) og (r, θ), og feltkomponentene E_{x}, E_{z} og E_{r}, E_{θ}. [Fasit: E_{x} = 3pxz/4πε_{0}(x^{2} + z^{2})^{5/2}, E_{z} = p(2z^{2} − x^{2})/4πε_{0}(x^{2} + z^{2})^{5/2}.]

c) Bestem også E(x, z) ved først å skrive om V (r, θ) til V (x, z), og deretter anvende gradientoperatoren i kartesiske koordinater.

Oppgave 2 (fra tidligere midtsemesterprøver)

a) Figuren viser feltlinjer for et uniformt elektrisk felt. Et elektron som plasseres i dette feltet vil

A bevege seg med konstant hastighet mot venstre.
B bevege seg med konstant hastighet mot høyre.
C akselereres mot venstre.
D akselereres mot høyre.

b) Figuren viser et uniformt elektrisk felt E (heltrukne linjer). Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke?

A 1
B 2
C 3
D 4

c) En partikkel med negativ ladning plasseres med null starthastighet i et elektrostatisk felt E. Partikkelens bevegelse blir

A i retning lavere potensial.
B i retning lavere potensiell energi.
C i samme retning som E.
D i retning normalt på E.

d) Fire punktladninger, to positive og to negative (q = 9 μC), er plassert i hjørnene på et kvadrat med sidekanter 5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi?

A 19 J
B Null
C -7 J
D -38 J

e) To punktladninger Q_{1} = 69 nC og Q_{2} = −98 nC er plassert i xy-planet, som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi? (”Systemet” = de to punktladningene og elektronet.) (1 eV = 1.6 · 10^{−19} J)

A -1 keV
B -1 eV
C 1 eV
D 1 keV

f) Den potensielle energien til to elektroner i innbyrdes avstand 1 Å (= 10^{−10} m) er [1 eV = 1.6 · 10^{−19} J]

A 14.4 meV
B 14.4 eV
C 14.4 keV
D 14.4 MeV

g) En berylliumkjerne med ladning 4e og masse 9m_{p} og en α-partikkel (dvs en heliumkjerne) med ladning 2e og masse 4m_{p} er i ro. De to partiklene kan gis like stor hastighet ved å

A akselerere dem gjennom en like stor potensialforskjell.
B akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom V/2 volt.
C akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 8V/9 volt.
D akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 9V/8 volt.

h) Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate på 50 V med en punktladning 10 nC i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna.

A 1.3 m
B 1.8 m
C 3.2 m
D 5.0 m

i) Potensialet i et område er V (x, y, z) = 100 V. Det elektriske feltet E i dette området er da

A (100 V/m) x̂
B (100 V/m) ŷ
C (100 V/m) ẑ
D null

j) Hvis potensialet V som funksjon av avstanden r fra en ladningsfordeling er som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet E som funksjon av avstanden r?

A 2
B 3
C 4
D 5

k) Potensialet i et område er

V (x) = 50 V + (15 V/m)x

Det elektriske feltet i dette området er da

A 50 V x̂
B (15 V/m) x x̂
C (15 V/m) x̂
D –(15 V/m) x̂

l) Potensialet i et område er

V (x, y, z) = (2 V/m)x + (3 V/m)y + (4 V/m)z

Da er x-komponenten av det elektriske feltet i dette området

A –2 V/m
B –3 V/m
C –4 V/m
D –9 V/m