Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2006, uke19

Mandag 8. mai

Selvinduktans [FGT 32.1; YF 30.2; TM 28.6; AF 27.8; LHL 25.1; DJG 7.2.3]

En strøm I i ei strømsløyfe resulterer i et magnetfelt B i området omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp av Biot-Savarts lov:

B = \frac{μ_{0}I}{4π} ∮ \frac{dl × r̂}{r^{2}}

(se f.eks. uke14.pdf). Magnetfeltet fra sløyfa resulterer i en magnetisk fluks gjennom sløyfa selv:

ϕ = ∫_{S} B · dA = ∫_{S} \{\frac{μ_{0}I}{4π} ∮ \frac{dl × r̂}{r^{2}}\} · dA

Uansett hva dette gufne integralet måtte være, kan vi uttrykke det på formen

ϕ = LI

forutsatt at I er konstant i sløyfa, dvs den samme alle steder i sløyfa. (Og det må den jo være hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!) Faktoren L er selvinduktansen til sløyfa og uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får “gjennom” (dvs omsluttet av) sløyfa når det går en strøm i sløyfa:

L = \frac{ϕ}{I}

Enhet for selvinduktans: [L] = [ϕ_{m}/I] = [B · A/I] = T·m^{2}/A ≡ H (henry)

Selvinduksjon: Tidsavhengig strøm I(t) i sløyfe gir tidsavhengig fluks ϕ(t) gjennom sløyfa, og dermed indusert ems i sløyfa:

E = −\frac{dϕ}{dt} = −L\frac{dI}{dt}

RL-krets [FGT 32.4; YF 30.4; TM 28.8; AF Ex 27.5; LHL 25.2; DJG Ex 7.12]

Ser på seriekobling av induktans L (f.eks. en spole) og resistans R. Et batteri med likespenning V_{0} kobles til kretsen ved tidspunktet t = 0.

Total ems i kretsen er da

V_{0} − L\frac{dI}{dt}

der det siste leddet er indusert “motspenning” over induktansen når vi prøver å endre strømstyrken gjennom den. Ifølge Kirchhoffs spenningsregel (evt “sløyferegel”) må denne totale emsen i sløyfa tilsvare spenningsfallet over motstanden R, med andre ord

V_{0} − L\frac{dI}{dt} = RI

eller

L\frac{dI}{dt} + RI = V_{0}

Dette er nøyaktig samme type 1. ordens differensialligning for strømmen I som det vi hadde for kondensatorladningen Q da vi studerte opplading av kondensator i en RC-krets (se uke13.pdf, side 4). Løsningen blir

I(t) = \frac{V_{0}}{R} (1 − e^{−Rt/L})

der vi har brukt initialbetingelsen I(0) = 0. (Før innkobling av batteriet er åpenbart I = 0. I tidspunktet t = 0 kan ikke strømmen i kretsen “hoppe” opp til en endelig verdi forskjellig fra null. Det måtte i såfall innebære at dI/dt → ∞ i t = 0, hvilket igjen ville innebære en uendelig stor motspenning over induktansen. Det er rett og slett ikke fysisk mulig! Altså må I være kontinuerlig i t = 0, og vi kan sette I(0) = 0.)

Tidskonstant for endring av strømmen:

τ = \frac{L}{R}

Verdien av τ gir en størrelsesorden for hvor lang tid det tar å øke strømmen i en slik RL-krets fra 0 til maksimal verdi V_{0}/R:

I(t → ∞) = \frac{V_{0}}{R}

Energi i magnetfelt [FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

La oss regne ut hvor mye energi som må tilføres en spole med induktans L når vi øker strømmen gjennom spoletråden fra i = 0 til en “sluttverdi” i = I. Tilført energi ved å øke strømmen fra i til i + di:

dU_{B} = P dt = iv dt = iL\frac{di}{dt}dt = Li di

Her er P = iv tilført effekt, og v = Ldi/dt spenningen over spolen idet vi endrer strømmen fra i til i + di. Dermed blir total energi tilført for å øke strømmen fra 0 til I lik

U_{B} = ∫ dU_{B} = L ∫_{0}^{I} i di = \frac{1}{2}LI^{2}

Denne energien kan vi nå assosiere med magnetfeltet B inne i spolen. Anta at spolen er tilnærmet uendelig lang, med N viklinger på hele lengden l. Tverrsnittet av spolen har areal A. Da er magnetfeltet inne i spolen

B = μ_{0}nI = μ_{0} \frac{N}{l} I

(På utsiden av spolen er magnetfeltet null.) Total magnetisk fluks gjennom de N viklingene på spolen blir

ϕ_{m} = NAB = NAμ_{0} \frac{N}{l} I

som også kan skrives på formen

ϕ_{m} = LI

der L er spolens (selv-)induktans. Med dette kan vi omforme uttrykket for energien U_{B}:

U_{B} = \frac{1}{2} \frac{NAB}{I} I^{2} = \frac{1}{2}NAB · \frac{Bl}{μ_{0}N} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2} · Al

Her er Al lik volumet inne i spolen, så vi ser at vi har en energitetthet (dvs energi pr volumenhet) assosiert med magnetfeltet B:

u_{B} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Fra før har vi funnet at vi har en energitetthet u_{E} assosiert med et elektrisk felt E:

u_{E} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2}

Dermed blir total energitetthet i et elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Kommentar: Dette uttrykket er “alltid riktig”, i den forstand at u representerer energien “lagret” i feltene E og B. I litteraturen “risikerer” du å støte på formelen

u = \frac{1}{2}D · E + \frac{1}{2}B · H = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}

for total energitetthet dersom vi har polariserbare og/eller magnetiserbare medier tilstede. (I den siste overgangen her brukte vi at D = εE og B = μH, med ε = mediets permittivitet og μ = mediets permeabilitet.) Disse to uttrykkene for u er ikke identiske, og kan derfor ikke representere den samme energitettheten. Det siste uttrykket for u inkluderer da også et bidrag som ikke er direkte “lagret” i feltene, nemlig den “elastiske” energien knyttet til polarisering og magnetisering, dvs innrettingen av elektriske og magnetiske dipoler. I den grad noe av dette blir aktuelt til eksamen, skal vi kun bry oss om feltenergien gitt ved

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}