Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2006, uke 4

Mandag 23.01.06

Elektriske feltlinjer [FGT 22.2; YF 21.6; TM 21.5; AF 21.6; LHL 19.6; DJG 2.2.1]

• gir en visuell framstilling av E i et område

• E ligger tangentielt til feltlinjene overalt

• styrken på E (dvs |E|) er proporsjonal med tettheten av feltlinjer, dvs antall feltlinjer pr

flateenhet Konsekvenser av dette er bl.a. at

• feltlinjene går radielt ut fra positive (punkt-)ladninger og radielt inn mot negative ladninger

• like mange feltlinjer går ut fra ladning +Q som inn mot −Q

Eksempler:

Fredag 27.01.06

Elektrisk dipol og elektrisk dipolmoment [FGT 22.1; YF 21.7; TM 21.4; AF 21.11; LHL 19.10; DJG 2.2.1, 3.4.2]

Dersom vi har to ladninger q og −q i en viss innbyrdes avstand, har vi en elektrisk dipol. Avstandsvektoren d fra den negative ladningen −q til den positive ladningen q beskriver hvordan de to er lokalisert i forhold til hverandre. Dipolens elektriske dipolmoment p er da:

p = qd

Dipolmomentet er altså en vektor som peker fra den negative mot den positive ladningen, med størrelse lik produktet av ladningen q og avstanden d. Enhet for elektrisk dipolmoment: [p] = [qd] = Cm.

Mer generelt kan vi definere det elektriske dipolmomentet for en vilkårlig ladningsfordeling innenfor et romlig område Ω:

p = ∫_{Ω} r dq

Her kan Ω være et område i 1, 2 eller 3 dimensjoner.

I 1D (”linjeladning”):

dq = λ(x) dx
r = x x̂

I 2D (”flateladning”):

dq = σ dA
= σ(x, y) dx dy (kartesisk)

σ(r, ϕ) r dr dϕ (polarkoord)

r = x x̂ + y ŷ (kartesisk)

r r̂ (polarkoord)

I 3D (”romladning”):

dq = ρ dV
= ρ(x, y, z) dx dy dz (kartesisk)

ρ(r, θ, ϕ) r^{2} dr sin θ dθ dϕ (kulekoord)

r = x x̂ + y ŷ + z ẑ (kartesisk)

r r̂ (kulekoord)

Det elektriske dipolmomentet p er bare entydig definert dersom systemet har null netto ladning, dvs

Q = ∫_{Ω} dq = 0

Dersom systemets nettoladning Q er forskjellig fra null, vil p avhenge av hvor vi plasserer origo (dvs r = 0).

Eksempel: Stav med lengde 2L, positiv ladning λ_{0} pr lengdeenhet på den ene halvdelen (0 < x < L), negativ ladning −λ_{0} pr lengdeenhet på den andre halvdelen (−L < x < 0). Bestem stavens elektriske dipolmoment p.

Løsning:

p = ∫_{−L}^{L} xx̂λ(x)dx = x̂λ_{0} (∫_{−L}^{0}(−x)dx + ∫_{0}^{L} xdx) = x̂λ_{0} (\frac{L^{2}}{2} + \frac{L^{2}}{2} ) = λ_{0}L^{2}x̂

Elektrisk potensial [FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.1; AF 21.9; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 2.3.2, 2.4.1]

Vi har en konservativ kraft F dersom arbeidet ∫_{A}^{B} F · dl er uavhengig av veien mellom startposisjonen A og sluttposisjonen B. Eksempler på konservative krefter: Gravitasjonskraften mellom to masser. Den elektrostatiske kraften mellom to ladninger. Eksempel på ikke-konservativ kraft: Friksjon.

Mer generelt har vi et konservativt vektorfelt G dersom veiintegralet ∫_{A}^{B} G · dl er uavhengig av integrasjonsveien mellom A og B.

For et konservativt vektorfelt G gjelder:

∮ G · dl = 0

der ∮ angir integral rundt lukket kurve i rommet.

Vi fortsetter med dette i uke 5!