Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007

Øving 12

Veiledning: Uke 13 Innleveringsfrist: Onsdag 11. april

Oppgave 1

En vekselspenningskilde E(t) = V_{0} cos ωt er koblet til en krets bestående av en parallellkobling av en kapasitans C og en motstand R:

Bruk Kirchhoffs regler til å bestemme strømstyrkene I(t), I_{C}(t) og I_{R}(t). Vis at den totale strømmen som leveres av spenningskilden kan skrives på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

med amplitude

I_{0} = \frac{V_{0}}{R} \sqrt{1 + (ωRC)^{2}}

og fasevinkel

α = − arctan(ωRC)

Tips: Benytt cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b.

Anta at spenningskilden har amplitude V_{0} = 1.0 V og frekvens f = 1.0 MHz, og at R = 10 Ω og C = 16 nF. Bestem tallverdier for I_{0} og α. Skisser E(t), I(t), I_{R}(t) og I_{C}(t) for t mellom 0 og 1/f.

Med de gitte tallverdiene for V_{0}, R og C, skisser funksjonene I_{0}(ω), α(ω) og kretsens impedans Z(ω) = V_{0}/I_{0}(ω) for vinkelfrekvenser mellom 10^{5} og 10^{9} s^{−1}. Tips: Bruk logaritmisk skala langs ω-aksen, dvs skisser I_{0} og α for vinkelfrekvenser slik at log ω varierer mellom verdiene 5 og 9.

Oppgave 2

Partikler med masse m, ladning q og hastighet v kommer inn i et område med “krysset” elektrisk og magnetisk felt, E og B, som vist i figuren. E har retning nedover, B har retning inn i papirplanet. I området med utstrekning L antar vi at feltene er homogene. Utenfor dette området er E = B = 0.

Du holder den elektriske feltstyrken E konstant gjennom hele eksperimentet. Først setter du B = 0 og registrerer at partiklene avbøyes og treffer detektoren i en avstand y ovenfor senterlinjen (som er stiplet). Deretter gjentar du forsøket, men nå justerer du verdien av B inntil partiklene ikke bøyes av. Vis at forholdet mellom partiklenes ladning og masse er proporsjonal med avbøyningen (når B = 0), dvs

\frac{q}{m} = −ay,

og finn størrelsen a uttrykt ved E, B, D og L.

Oppgitt: F = q (E + v × B) (Lorentzkraften)

På denne måten analyserte J. J. Thomson i 1897 såkalte katodestråler og påviste at disse bestod av en bestemt type partikler med negativ ladning. Dette er nettopp elektroner som emitteres fra metallet i katoden. Thomson var altså den første som bestemte forholdet e/m_{e}. Thomson fant det samme forholdet uavhengig av hva slags metall han brukte i katoden og kunne konkludere med at de observerte partiklene måtte være en fundamental ingrediens i naturen.

Oppgave 3

Figuren viser et massespektrometer. En ionekilde emitterer ladete partikler. Åpningene S_{1} og S_{2} sørger for at en godt samlet (kollimert) partikkelstråle kommer inn i området med magnetfelt B (som har retning inn i papirplanet). Mellom S_{1} og S_{2} har vi en spenningsforskjell V som akselererer ionene. Hastigheten ved S_{2} er mye større enn ved S_{1}, slik at vi kan sette v = 0 ved S_{1}. Ionene bøyes i alt 180^{∘} av magnetfeltet og detekteres på en fotografisk plate P. Spektrometeret skal brukes til å separere bromisotopene ^{79}Br og ^{81}Br. Kilden sender ut disse isotopene i form av ioner med ladning −e. Anta at isotopene har atommasser henholdsvis 79m_{p} og 81m_{p}. På den fotografiske platen ønskes isotopenes treffpunkt adskilt med en avstand på minst 1.0 cm. Samtidig må vi sørge for at begge isotopenes treffpunkt havner på den fotografiske platen, som har en bredde L = 250 cm, målt fra der ionene kommer inn i magnetfeltet. Med disse betingelsene, hva blir øvre og nedre grense for styrken på magnetfeltet B når akselerasjonsspenningen V er 400 V?

Oppgitt: e = 1.6 · 10^{−19} C, m_{p} = 1.67 · 10^{−27} kg [Ett av svarene: B_{min} = 21 mT]