Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007

Øving 14

Veiledning: Uke 16 Innleveringsfrist: Mandag 23. april

Oppgave 1

I forelesningene viste vi at atomer kan oppfattes som små strømsløyfer, dvs som små magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment m = IA der strømmen I går i en bane som omslutter et (plant) areal A. (“Vektorarealet” er da A = A n̂, der n̂ er en enhetsvektor normalt til den omsluttede flaten, med positiv retning bestemt ved høyrehåndsregelen.) Her skal vi bruke ei kvadratisk strømsløyfe som modell for en slik atomær magnetisk dipol og se nærmere på hvordan den vil oppføre seg i et magnetfelt B. (Vi kunne også ha brukt ei sirkulær strømsløyfe, men den kvadratiske er litt enklere å regne på.) Strømsløyfa har sidekanter med lengde a og fører altså en strøm I. Den er plassert i et homogent magnetfelt B = B ẑ og kan rotere fritt omkring y-aksen, som her går gjennom strømsløyfas sentrum som vist i figuren:

Orienteringen av strømsløyfa er definert ved vinkelen θ mellom z-aksen og flatenormalen n̂. (Positiv θ med klokka, som vist i figuren.)

a) Hva blir strømsløyfas magnetiske dipolmoment m? Hva blir den totale kraften fra B på strømsløyfa?

b) Beregn dreiemomentet τ på sløyfa omkring y-aksen og vis at det kan uttrykkes på formen τ = m × B.

[Tips: Finn kraften på hver av de fire rette lederstykkene og bruk at dreiemoment = “arm ganger kraft”.]

c) Bestem den potensielle energien U(θ) til en slik magnetisk dipol i feltet B. Skisser U(θ). Hva slags orientering av dipolen i forhold til B representerer henholdsvis en stabil og en ustabil likevekt?

d) I jern har hvert atom et magnetisk dipolmoment m_{Fe} som dannes av to parallelle elektronspinn, slik at m_{Fe} = 2μ_{B}. Her er μ_{B} = eh̄/2m_{e} det magnetiske dipolmomentet for ett elektronspinn, det såkalte Bohr-magnetonet, med verdi 9.27 · 10^{−24} Am^{2}. Hva blir da den maksimale tettheten av magnetisk dipolmoment (dvs: magnetisk dipolmoment pr volumenhet) i jern? [Kommentar: Magnetisk dipolmoment pr volumenhet er, pr definisjon, størrelsen magnetisering. I elektrostatikken innførte vi polarisering, som pr definisjon er elektrisk dipolmoment pr volumenhet. Mer om magnetisme og magnetisering i forelesningene!]

Oppgitt: Molar masse, jern: 55.9 g/mol. Massetetthet, jern: 7.9 g/cm^{3}. 1 mol = 6.02 · 10^{23}.

Oppgave 2

Vis, ved hjelp av Amperes lov, at magnetfeltet B fra en uniform ”overflatestrøm” i = i ŷ som ”flyter” i (hele) xy-planet i positiv y-retning er

B = \{ \begin{matrix}−(μ_{0}i/2) x̂ & for z < 0 \\ +(μ_{0}i/2) x̂ & for z > 0 \end{matrix}

(Altså uavhengig av avstanden til xy-planet, jfr elektrisk felt fra uendelig stort uniformt ladet plan.) Her er i strømmen pr lengdeenhet av x-retningen. Med andre ord, på en ”stripe” med bredde Δx går det en strøm ΔI = i · Δx.

Tips:

• Det er altså oppgitt at både y- og z-komponenten av B er lik null. Bruk gjerne likevel litt tid på å overbevise deg om at sånn må det være. En slik ”kartlegging” av symmetrien i problemet er helt essensiell for å kunne dra nytte av Amperes lov. Som regel må en da et lite øyeblikk tilbake til Biot-Savarts lov og vurdere konsekvensene av at ”strømelementer” I dl gir bidrag dB ∼ I dl × r̂ til det totale magnetfeltet.

• Hvis du etterhvert greier å overbevise deg om at en rektangulær Amperekurve med flatenormal i strømmens retning er et fornuftig valg, ja da er du antagelig på rett spor!

Oppgave 3

Med sentrum på x-aksen har vi plassert uendelig mange små strømførende ringer tett i tett, slik at strømmen I går i små sirkulære baner rundt x-aksen (samme strøm I i hver eneste ring).

Hver lille ring kan oppfattes som en ideell magnetisk dipol m = m x̂. Da kan det vises at magnetfeltet i avstand r fra en slik ring kan skrives på formen

B = \frac{μ_{0}}{4πr^{3}} [3 (m · r̂) r̂ − m]

Dette uttrykket er gyldig så lenge vi betrakter avstander r fra ringen som er store i forhold til ringens radius, med andre ord r ≫ \sqrt{A}. (NB: Jeg har ikke utledet dette uttrykket for magnetfeltet fra en ideell dipol i forelesningene - vi godtar her rett og slett at slik er det!) I figuren ovenfor er det vist hvordan en dermed kan bestemme magnetfeltet fra en bestemt ring.

Noen av de små strømførende ringene bidrar med negativ x-komponent til B mens andre bidrar med positiv x-komponent til B. Oppgaven går ut på å finne ut hvor mange ringer som bidrar med negativ x-komponent til B. (Et eksempel er vist i figuren.)

La oss konkretisere oppgaven med noen tallverdier. Vi betrakter en posisjon som ligger i avstand y = 50 cm fra x-aksen, og vi antar at det er 1000 strømførende ringer pr meter (langs x-aksen). Vis at ca 707 ringer da vil bidra med negativ x-komponent til magnetfeltet B i den valgte avstanden 50 cm fra x-aksen. (Resten av ringene, dvs uendelig mange, vil bidra med positiv x-komponent til B.)

Alternativt, og mer generelt: Finn et uttrykk for lengden 2x_{0} av intervallet (−x_{0}, x_{0}) som inneholder ringene som bidrar med negativ x-komponent til B i avstand y fra x-aksen. Med n ringer pr lengdeenhet skulle antall slike ringer da bli 2nx_{0}. (Du må med andre ord finne ut hvordan x_{0} avhenger av y.)