Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2007

Løsningsforslag til øving 15

Veiledning uke 17

Oppgave 1

Den påtrykte strømmen I genererer et H-felt H = nI på langs overalt inne i spolen (pga Amperes lov for H). Dermed er det bare å benytte at

B = μ_{0} (H + M) = μ_{r}μ_{0}H

for å bestemme de ulike størrelsene:

Inne i jernstaven:

H_{j} = nI = 2000 m^{−1} · 3 A = 6000 A/m
B_{j} = μ_{r}μ_{0}H_{j} = 2000 · 4π · 10^{−7} (Vs/Am) · 6000 A/m = 15 T
M_{j} = (μ_{r} − 1)H_{j} = 1.2 · 10^{7} A/m

I den luftfylte delen inne i spolen:

H_{0} = H_{j} = 6000 A/m
B_{0} = μ_{0}H_{0} = 7.5 mT
M_{0} = 0

Den beregnede magnetiseringen inne i jernstaven, M_{j} = 1.2 · 10^{7} A/m, er større enn metningsmagnetiseringen M_{s} = 1.6 · 10^{6} A/m, og derfor ikke fysisk mulig. Årsaken er at vi har brukt den lineære sammenhengen B = μ_{r}μ_{0}H mellom magnetfeltet B og feltet H fra den påtrykte strømmen. Her har vi imidlertid et så sterkt “ytre” felt H at en slik lineær sammenheng ikke lenger er gyldig. Samtlige magnetiske dipolmoment er rettet inn langs det påtrykte feltet allerede ved H ≃ M_{s}/μ_{r} = 800 A/m. Ytterligere økning i H gir ingen økning i M. Korrigert, maksimal verdi for B_{j} blir

B_{j}^{korr} = μ_{0} (H_{j} + M_{s}) = 4π · 10^{−7} · (6000 + 1.6 · 10^{6}) = 2 T

Oppgave 2

a) Vi har brukt Amperes lov i forelesningene til å regne ut magnetfeltet inne i en slik lang spole:

B = μ_{0}nI_{1} = μ_{0} \frac{N_{1}}{d} I_{1}

En vikling av spoletråden omslutter et areal A = πR^{2}, og dermed en magnetisk fluks

ϕ = BA = μ_{0} \frac{N_{1}}{d} I_{1}πR^{2}

Da må N_{1} viklinger omslutte en fluks som er N_{1} ganger så stor, for her er jo magnetfeltet konstant overalt inne i spolen. Altså:

ϕ_{1} = N_{1}ϕ = μ_{0} \frac{N_{1}^{2}}{d} I_{1}πR^{2}

En vikling av spole 2 omslutter her akkurat det samme arealet, og dermed like stor fluks ϕ, slik at N_{2} viklinger av spole 2 må omslutte en total magnetisk fluks lik

ϕ_{2} = N_{2}ϕ = μ_{0} \frac{N_{1}N_{2}}{d} I_{1}πR^{2}

b) Selvinduktansen L blir

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}} = μ_{0} \frac{N_{1}^{2}}{d} πR^{2}

c) Gjensidig induktans M blir

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}} = μ_{0} \frac{N_{1}N_{2}}{d} πR^{2}

d) Tallverdier:

L = 4π · 10^{−7} · \frac{1200^{2}}{0.6} · π · 0.01^{2} = 9.5 · 10^{−4}

M = 4π · 10^{−7} · \frac{1200 · 600}{0.6} · π · 0.01^{2} = 4.7 · 10^{−4}

I SI-systemet har induktans fått sin egen enhet, henry (H). Her blir altså selvinduktansen 0.95 mH og den gjensidige induktansen 0.47 mH. Alternativt kunne vi f.eks. ha brukt enheten T m^{2}/A, ettersom magnetisk fluks må ha enheten til magnetfelt ganger areal, dvs T m^{2}.

Oppgave 3

a) Eksempler: For et uendelig stort ladet plan med ladning σ pr flateenhet er det elektriske feltet motsatt rettet på den ene og den andre siden av planet, og feltstyrken er σ/2ε_{0}. Altså en diskontinuitet på i alt σ/ε_{0} i feltets normalkomponent, og ingen diskontinuitet i feltets tangentialkomponent. Inne i ei metallkule med ladning Q er det elektriske feltet null. På overflaten, ved r = R, er feltstyrken Q/4πε_{0}R^{2}, rettet radielt utover (med Q > 0), dvs normalt til overflaten. Igjen, en diskontinuitet på σ/ε_{0} i feltets normalkomponent, ettersom σ = Q/4πR^{2} er ladning pr flateenhet på metallkulas overflate. Et uendelig stort strømførende plan med uniform strøm i pr lengdeenhet resulterer i et uniformt magnetfelt μ_{0}i/2, med motsatt retning på hver sin side av planet, se øving 13, oppgave 2. Dvs en diskontinuitet på μ_{0}i, og hvis du ser på øving 13, ser du at det er snakk om komponenten av B som ligger i planet til strømmen og som står normalt på strømretningen. Inni en uendelig lang spole er magnetfeltet μ_{0}nI, utenfor er det null. Altså en diskontinuitet på μ_{0}nI. Strømmen er I pr vikling, mens antall viklinger pr lengdeenhet er n, så i = nI blir her strømmen pr lengdeenhet. Igjen en diskontinuitet på μ_{0}i. Kommentar: Ingen grenseflater er uendelig store, men dersom vi går tilstrekkelig nær grenseflaten, vil det se ut som den er uendelig stor og flat. Det totale elektriske feltet på grenseflaten må være lik summen av bidragene fra området i nærheten, dvs det som ser stort og flatt ut, og alle ladninger i ”resten av verden”. Ladningene i resten av verden er alle langt unna ”krysningspunktet”, dvs langt unna i forhold til ladningene som er i planet der vi krysser. ”Resten av verden” må derfor bidra med samme felt like over og like under grenseflaten, dvs et bidrag som er kontinuerlig. Med andre ord, hele diskontinuiteten i det elektriske feltet skyldes ladningene i planet som vi krysser. Tilsvarende gjelder for diskontinuiteten i magnetfeltet: Totalt magnetfelt er summen av bidragene fra strømmen i planet der vi krysser, og alle andre strømmer i verden. Bare strømmen i planet der vi krysser bidrar til diskontinuiteten.

b) Dielektrisk skive på tvers i konstant ytre elektrisk felt E_{0}: Her har vi grenseflater som står normalt på feltene. Vi kan ikke uten videre bruke grenseflatebetingelsen for E for vi vet ikke hvor mye ladning vi har i grenseflatene mellom vakuum og dielektrikum. Vi vet at det induseres bundet ladning, positiv i øvre flate og negativ i nedre flate, men ikke hvor mye. Men vi kan bruke grenseflatebetingelsen for D, for vi vet at det er null fri ladning i skiva. Dermed har vi D_{1} = D_{0}, der D_{0} = ε_{0}E_{0} er elektrisk forskyvning utenfor skiva. Dessuten har vi at D_{1} = ε_{1}E_{1} = ε_{r}ε_{0}E_{1}. Dermed:

D_{1} = ε_{0}E_{0}
E_{1} = \frac{1}{ε_{r}} E_{0}

Dielektrisk skive på langs i konstant ytre elektrisk felt E_{0}: Nå har vi grenseflater parallelt med feltretningen. Da kan vi bruke at parallellkomponenten til E er kontinuerlig, dvs E_{1} = E_{0}. Sammenhengen D_{1} = ε_{r}ε_{0}E_{1} gjelder selvsagt fortsatt, så

D_{1} = ε_{r}ε_{0}E_{0}
E_{1} = E_{0}

Magnetiserbar skive på tvers i konstant ytre magnetfelt B_{0}: Her har vi igjen grenseflater som står normalt på feltene. Vi kan da benytte oss av at B_{n} er kontinuerlig, dvs B_{1} = B_{0}. Dessuten har vi at B_{1} = μ_{1}H_{1} = μ_{r}μ_{0}H_{1}. Dermed:

H_{1} = \frac{1}{μ_{r}μ_{0}} B_{0}
B_{1} = B_{0}

Magnetiserbar skive på langs i konstant ytre magnetfelt B_{0}: Grenseflatene er parallelt med feltene. Vi vet at det induseres magnetiseringsstrøm i skivas overflate men ikke hvor mye. Men vi kan bruke grenseflatebetingelsen for H, for vi vet at det er null fri strøm i skiva. Dermed har vi H_{1} = H_{0}, der H_{0} = B_{0}/μ_{0} er H-feltet utenfor skiva (vakuum). Dessuten har vi B_{1} = μ_{r}μ_{0}H_{1}. Dermed:

H_{1} = \frac{1}{μ_{0}} B_{0}
B_{1} = μ_{r}B_{0}

Forklaring på ulik E_{1} og B_{1} i de to tilfellene: Dielektrisk skive på tvers gir polarisering, og tilhørende indusert ladning i overflaten. Den induserte ladningen gir bidrag til feltet motsatt rettet det ytre feltet, slik at E_{1} blir mindre enn E_{0}. Med skiva på langs blir den induserte overflateladningen lokalisert uendelig langt unna ”der vi er”. Dermed bidrar den ikke til feltet der vi er, og E_{1} = E_{0}. Magnetiserbar skive på langs gir magnetisering, og tilhørende indusert strøm i overflaten. Den induserte strømmen gir bidrag til feltet i samme retning som det ytre feltet, slik at B_{1} blir større enn B_{0}. Med skiva på tvers blir den induserte overflatestrømmen lokalisert uendelig langt unna ”der vi er”. Dermed bidrar den ikke til feltet der vi er, og B_{1} = B_{0}.