Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007

Øving 15

Veiledning: Uke 17 Innleveringsfrist: Mandag 30. april

Oppgave 1

En sylinderformet jernstav med relativ permeabilitet μ_{r} = 2000 er plassert koaksialt inne i en spole, men fyller bare delvis volumet inne i spolen. Spolen har en viklingstetthet n = 2000 m^{−1} og strømmen i spoletråden er I = 3 A. Vi antar at både spolen og jernstaven er så lange at vi kan se bort fra randeffekter. Anta i første omgang at vi har lineær respons i jernstaven, dvs M = χ_{m}H, og bestem H, B og M inne i spolen, både inne i (indeks j) og utenfor (indeks 0) jernstaven. (Husk at H-feltet bestemmes av “fri” strøm, mens B bestemmes av total strøm.) Diskuter den beregnede verdien på M_{j} inne i jernstaven i lys av metningsmagnetiseringen i jern, dvs den maksimalt oppnåelige magnetiseringen, som du regnet ut i oppgave 1d i øving 14. Beregn deretter korrigert (maksimal) verdi for B_{j}.

Oppgitt:

B = μ_{0} (H + M) = μ_{r}μ_{0}H = μH
M = χ_{m}H = (μ_{r} − 1)H

(Siste linje er bare gyldig når vi har lineær respons.)

Et par tallsvar: B_{j} = 15 T (“ukorrigert”), B_{j} = 2 T (“korrigert”).

Oppgave 2

Figuren viser to spoler 1 og 2 som begge er viklet opp på en sylinder med radius R. Vi antar at sylinderen har magnetiske egenskaper som vakuum, dvs vi ser bort fra en eventuell magnetisering i sylinderen. Spole 1 har N_{1} viklinger, spole 2 har N_{2} viklinger. Begge spolene er viklet opp på en lengde d som er (tilnærmet uendelig) lang i forhold til sylinderens radius. (Figuren er sånn sett ikke kvantitativt riktig...!) Du kan anta at begge spoler er tett viklet, og at hver vikling i begge spoler omslutter samme magnetiske fluks. (Spoletrådene er belagt med et isolerende materiale, f.eks. et lag plast, slik at en eventuell elektrisk strøm er nødt til å følge spoletråden. Denne antagelsen er forøvrig underforstått i alle slike oppgaver med spoler.)

a) Anta at det går en strøm I_{1} i spole 1. Hva blir da styrken på magnetfeltet B inne i spolen? Hva blir videre total magnetisk fluks ϕ_{1} som omsluttes av hele spoletråden i spole 1 (dvs alle de N_{1} viklingene)? Hva blir total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av hele spoletråden i spole 2 (igjen: alle de N_{2} viklingene)? (Merk: Det går altså ingen strøm i spole 2. Strømmen i spole 1 kan vi lage f.eks. ved å koble den til et batteri og en motstand.)

b) Forholdet mellom total omsluttet magnetisk fluks ϕ_{1} og strømstyrken I_{1} i strømsløyfa ”selv” er, pr definisjon, en størrelse som kalles for strømsløyfas selvinduktans L:

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}}

Hva blir dermed selvinduktansen L til en slik lang sylinderformet spole med radius R, lengde d og N_{1} viklinger?

c) Forholdet mellom total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av spole 2 og strømstyrken I_{1} i spole 1 er, pr definisjon, en størrelse som kalles for gjensidig induktans M mellom de to strømsløyfene:

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Hva blir dermed den gjensidige induktansen M mellom to slike lange sylinderformede spoler, begge viklet opp på en sylinder med radius R over en lengde d, og med henholdsvis N_{1} og N_{2} viklinger? d) Bestem tallverdier for L og M (i SI-enheter) dersom R = 1 cm, d = 60 cm, N_{1} = 1200 og N_{2} = 600. (Svar: L = 9.5 · 10^{−4}, M = 4.7 · 10^{−4})

Kommentar: Vi skal komme tilbake til gjensidig induktans og selvinduktans i de siste forelesningene og se hvorfor dette er ”nyttige” størrelser i endel sammenhenger.

Oppgave 3

Grenseflatebetingelser for E og B:

La oss se litt på hvordan det elektriske feltet og magnetfeltet ”oppfører seg” når vi krysser en grenseflate. Med grenseflate mener vi ikke annet enn en flate som deler rommet i områdene 1 (”over”) og 2 (”under”). Vi ser først på det elektriske feltet:

Det elektriske feltet er diskontinuerlig dersom en slik grenseflate inneholder elektrisk ladning σ pr flateenhet:

E_{1} − E_{2} = \frac{σ}{ε_{0}} n̂ (∗)

Her er E_{1} feltet i område 1 like over flaten, E_{2} tilsvarende i område 2 like under flaten, mens n̂ er en flatenormal (enhetsvektor) med retning oppover. Du ser at ligningen (∗) er en kompakt måte å uttrykke at parallellkomponenten av E er kontinuerlig,

E_{1}^{∥} − E_{2}^{∥} = 0,

mens normalkomponenten er diskontinuerlig,

E_{1}^{⊥} − E_{2}^{⊥} = \frac{σ}{ε_{0}} ,

når vi krysser grenseflaten.

Vi ser deretter på magnetfeltet:

Her står altså grenseflaten normalt på papirplanet. Det magnetiske feltet er diskontinuerlig dersom det i en slik grenseflate går en elektrisk strøm i pr lengdeenhet:

ΔB = μ_{0} i × n̂

Dette betyr at både B_{n} og B_{t∥} er kontinuerlige ved kryssing av planet, mens B_{t⊥} er diskontinuerlig med et ”sprang” μ_{0}i. Her har vi dekomponert tangentialkomponenten B_{t} av B i en komponent parallelt med strømretningen, B_{t∥}, og en komponent normalt til strømretningen, B_{t⊥}.

a) Se på tidligere øvingsoppgaver og forelesningsnotatene dine og finn et par eksempler der du kan kontrollere at disse grenseflatebetingelsene er oppfylt.

Dersom ”systemet” vårt inneholder dielektriske og/eller magnetiserbare medier, kan det tenkes at vi har grenseflater hvor vi vet hva fri ladning σ_{f} pr flateenhet og fri strøm i_{f} pr lengdeenhet er. (Men vi kan kanskje ikke sånn uten videre si hva total ladning σ pr flateenhet eller total strøm i pr lengdeenhet er.) Da må vi i tillegg benytte oss av følgende grenseflatebetingelser for normalkomponenten D_{n} til den elektriske forskyvningen,

D_{1n} − D_{2n} = σ_{f},

samt tangentialkomponenten H_{t} til H-feltet,

ΔH_{t} = i_{f} × n̂

b) La oss prøve oss på et par eksempler hvor vi må bruke de ulike grenseflatebetingelsene for å bestemme de aktuelle feltstyrkene: Anta at vi har et uniformt elektrisk felt E_{0} = E_{0} ẑ. I dette feltet plasserer vi ei (alt i alt elektrisk nøytral) dielektrisk skive med tilnærmet uendelig stor utstrekning i x- og y-retning og tykkelse h i z-retning. Med andre ord, skiva er plassert på tvers i det ytre feltet. Materialet i skiva har relativ permittivitet ε_{r}.

Hva blir elektrisk forskyvning D_{1} og elektrisk felt E_{1} inne i den dielektriske skiva? Gjenta med skiva på langs i det ytre feltet! (Dvs: Med uendelig utstrekning i y- og z-retning og tykkelse h i x-retning.) Gjør deretter tilsvarende for ei uendelig stor magnetiserbar skive med tykkelse h og relativ permeabilitet μ_{r}, henholdsvis på tvers og på langs i et uniformt ytre magnetfelt B_{0} = B_{0} ẑ. Dvs: Bestem H_{1} og B_{1} inne i skiva. Synes du resultatet ble uventet i noen av tilfellene? Hvordan vil du forklare at du får ulik elektrisk feltstyrke inne i den dielektriske skiva med skiva på tvers og på langs i det ytre feltet? Og tilsvarende: Hvordan vil du forklare at du får ulik magnetisk feltstyrke inne i den magnetiserbare skiva i de to tilfellene?