Institutt for fysikk, NTNU Mars 2007 FY1003/TFY4155 Elektromagnetisme

MAGNETFELT OG MAGNETISME SOM RELATIVISTISK FENOMEN

(orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen)

Utgangspunkt: Anta at vi kjenner til Coulombs lov og elektriske krefter. Vi vet derimot ingenting om magnetfelt og magnetisme. (Ikke så ulikt vår situasjon nå.) Vi gjør så et eksperiment:

... og måler til vår store overraskelse en kraft på ladningen q:

F = k\frac{I}{a}qv

med retning inn mot lederen dersom q > 0. (Retning vekk fra lederen dersom q, I eller v skifter fortegn.) Lederen er elektrisk nøytral ⇒ den elektriske kraften må være null ! HVOR KOMMER KRAFTEN F FRA??

Løsning: Relativitetsteori!

Lorentzkontraksjon:

Per: Stavens lengde er L.

Pål: Stavens lengde er L/γ < L.

Her er:

γ = \frac{1}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} ≥ 1

med c = lyshastigheten (= 299792458 m/s ≃ 3 · 10^{8} m/s) og v = hastigheten til staven og Per (i stavens lengderetning) i forhold til Pål.

Eksempel: Per er i ro i forhold til staven og måler dens lengde til 1 m. Pål ser en stav som har en hastighet v = 30000 km/s. Da er v^{2}/c^{2} = 10^{−2} og Pål vil si at stavens lengde er 0.995 m, dvs 5 mm kortere.

Altså:

Objekter i bevegelse er kortere enn når de er i ro!

Konsekvenser av Lorentzkontraksjon for ladningen q som er i bevegelse langs den strømførende lederen:

Per: Lederen har negativ ladning −λ pr lengdeenhet og positiv ladning λ pr lengdeenhet. Alt i alt er lederen elektrisk nøytral.

Pål: Lederen har negativ ladning −λ_{−} pr lengdeenhet og positiv ladning λ_{+} pr lengdeenhet. De negative ladningene har størst hastighet i forhold til meg. På grunn av størst Lorentzkontraksjon ligger derfor disse tettere enn de positive ladningene. Altså er λ_{−} > λ_{+}. Alt i alt er lederen ikke elektrisk nøytral; den

har en netto negativ ladning Δλ = −λ_{−} + λ_{+} < 0.

Dermed måler Pål en tiltrekkende elektrisk kraft på ladningen q:

F_{Pal} = F_{e} = qE = q · \frac{Δλ}{2πε_{0}a}

der vi har brukt at elektrisk felt i avstand a fra en uendelig lang stav med ladning Δλ pr lengdeenhet er (se øving 3, oppgave 1d og øving 6, oppgave 2) E = Δλ/2πε_{0}a So what? Vi er typisk i Pers situasjon, dvs på laben, i ro i forhold til lederen, og hvem har sagt at Per, som ser en nøytral leder, vil måle en kraft på q?

Jo, det sier Einstein, med sitt relativitetsprinsipp:

Fysikkens lover gjelder i alle inertialsystemer, dvs i alle referansesystemer som er i ro eller i konstant hastighet.

Dermed: Hvis Pål måler en kraft på q, må også Per måle en kraft på q!

I forelesningene tok vi her rett og slett en snarvei og konstaterte at

F_{Per} = \sqrt{1 − v^{2}/c^{2}} F_{Pal}

Δλ = \frac{2λvu}{c^{2}\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}}

Den første av disse to ligningene skal vi ikke forsøke å utlede, men den uttrykker altså hvordan krefter, ifølge relativitetsteorien, transformerer mellom ulike referansesystemer som er i relativ bevegelse med hastighet v. I vårt tilfelle er ladningen q i ro i Pål sitt referansesystem, i Per sitt referansesystem har den hastighet v (mot høyre). Hvis da Pål måler en kraft

F_{Pal} = F _{Pal}^{∥} + F _{Pal}^{⊥}

der F _{Pal}^{∥} er komponenten av F_{Pal} parallelt med hastighetsvektoren v og F _{Pal}^{⊥} er komponenten av F_{Pal} normalt på hastighetsvektoren v, så “kan det vises” at Per vil måle en kraft

F_{Per} = F _{Per}^{∥} + F _{Per}^{⊥}
= F _{Pal}^{∥} + \frac{1}{γ}F _{Pal}^{⊥}

Med andre ord, en eventuell kraftkomponent parallelt med v blir den samme i de to referansesystemene (i vårt tilfelle er F^{∥} = 0), mens for kraftkomponenten normalt på v (og vår kraft er nettopp normalt på v) har vi

F _{Per}^{⊥} = \frac{1}{γ}F _{Pal}^{⊥} = \sqrt{1 − v^{2}/c^{2}} F_{Pal}

som konstatert ovenfor.

Den andre av de to ligningene ovenfor kan vi utlede på bakgrunn av Einsteins regel for addisjon av relative hastigheter. La oss ta for oss 3 objekter A, B og C. Dersom v_{AB} er hastigheten til A relativt B og v_{BC} er hastigheten til B relativt C, da ville en nok intuitivt tenke som Galilei og si at

v_{AC} = v_{AB} + v_{BC}

må bli hastigheten til A relativt C. Tro det eller ei, men dette er faktisk ikke riktig! Og problemet oppstår i forbindelse med Einsteins 2. postulat (det 1. postulatet var relativitetsprinsippet, se ovenfor):

Lyshastigheten c i vakuum er konstant, uavhengig av kildens eller observatørens relative hastighet.

Nå ser du problemet med Galileis addisjonsformel: Dersom v_{AB} = c (dvs A er et lyssignal som beveger seg med hastighet c i forhold til B), blir v_{AC} ≠ c (dvs C vil påstå at hastigheten til lyssignalet A ikke er lik c)!!

Løsningen har vi med Einsteins addisjonsregel:

v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB} · v_{BC}/c^{2}}

Setter du nå v_{AB} = c, vil du også finne at v_{AC} = c, i samsvar med postulatet ovenfor.

Utstyrt med denne formelen kan vi nå regne ut hvor stor Lorentzkontraksjon ladningen q ser for henholdsvis de positive og de negative ladningsbærerne i den strømførende lederen.

Lederladningenes hastighet målt av Pål:

u_{±} = \frac{±u + (−v)}{1 + (±u) · (−v)/c^{2}} = ±\frac{u ∓ v}{1 ∓ uv/c^{2}}

Her er lederladningene objekt A (øvre fortegn for de positive), Pål og ladningen q er objekt C, mens Per tilsvarer objekt B. Dermed er v_{AC} = u_{±} = lederladningenes hastighet relativt Pål og q, v_{AB} = ±u = lederladningenes hastighet relativt Per (dvs laboratoriet, der lederen ligger i ro), mens v_{BC} = −v = Pers (og laboratoriets) hastighet relativt Pål (og ladningen q).

Da kan vi regne ut “Lorentzkontraksjonsfaktorene” γ_{±} for de positive (øvre fortegn) og de negative (nedre fortegn) lederladningene, sett fra Pål og q sitt referansesystem:

γ_{±} = \frac{1}{\sqrt{1 − u_{±}^{2}/c^{2}}}
= \frac{1}{\sqrt{1 − \frac{(u∓v)^{2}}{(1∓uv/c^{2})^{2}c^{2}}}}

= \frac{1 ∓ uv/c^{2}}{\sqrt{(1 ∓ uv/c^{2})^{2} − (u ∓ v)^{2} /c^{2}}}
= \frac{1 ∓ uv/c^{2}}{\sqrt{1 ∓ 2uv/c^{2} + u^{2}v^{2}/c^{4} − u^{2}/c^{2} − v^{2}/c^{2} ± 2uv/c^{2}}}
= \frac{1 ∓ uv/c^{2}}{\sqrt{(1 − u^{2}/c^{2}) · (1 − v^{2}/c^{2})}}

Dette gjør oss i stand til å regne ut tettheten av lederladninger, observert fra Pål og q sitt referansesystem:

λ_{±} = γ_{±}λ_{0}

der (NB!) λ_{0} er (antalls-)tettheten av lederladninger målt av lederladningene selv. Per, i ro i laboratoriet, måler antallstettheten λ for lederladningene. Ettersom disse har hastigheten u relativt Per, blir sammenhengen mellom λ og λ_{0}

λ = \frac{1}{\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}}}λ_{0} (> λ_{0})

Dvs like stor Lorentzkontraksjon for positive og negative lederladninger, sett fra Pers ståsted. (Sagt på en annen måte: Fordi Per måler like stor antallstetthet for positive og negative lederladninger, og dermed en elektrisk nøytral leder, og samtidig like stor hastighet (±) u, betyr det at lederladningene selv også må måle en like stor antallstetthet λ_{0}, enten de nå er av det positive eller negative slaget.)

Tilbake til Pål og q, som nå altså ikke observerer en elektrisk nøytral leder, men derimot en ladet leder med ladning pr lengdeenhet

Δλ = λ_{+} − λ_{−}
= γ_{+}λ_{0} − γ_{−}λ_{0}
= (γ_{+} − γ_{−}) · \sqrt{1 − u^{2}/c^{2}} λ
= \frac{\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}} λ}{\sqrt{(1 − u^{2}/c^{2}) · (1 − v^{2}/c^{2})}} · [1 − \frac{uv}{c^{2}} − (1 + \frac{uv}{c^{2}} )]
= −\frac{2λvu}{c^{2}\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}}

Det negative fortegnet innebærer at Pål ser en negativt ladet leder, noe vi allerede fant ut på side 3. Nå har vi i tillegg altså regnet ut hvor mye negativ ladning Pål ser på lederen.

Dermed kjenner vi elektrisk kraft målt av Pål (side 3), hvoretter vi kan regne ut magnetisk kraft målt av Per, dvs i laboratoriet:

F_{Per} = F_{m} = \sqrt{1 − v^{2}/c^{2}} · q · \frac{2λvu}{2πε_{0}ac^{2}\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}}
= qv\frac{2λu}{2πε_{0}c^{2}a}
= qv\frac{I}{2πε_{0}c^{2}a}

= magnetisk kraft fra strømførende leder på ladning q i avstand a og med hastighet v langs lederen.

Dvs: Som vårt eksperiment, med

k = \frac{1}{2πε_{0}c^{2}}

(dvs en naturkonstant)

La oss skrive

F_{Per} = F_{m} = qvB

med

B = \frac{I}{2πε_{0}c^{2}a}

Størrelsen B er nettopp magnetfeltet (her: i avstand a fra en lang, rett strømførende leder med strøm I), og F_{m} er den magnetiske kraften på ladningen q med hastighet v.

Merk at vi har fått oppklart to viktige spørsmål:

Hvor kommer magnetfeltet fra? Svar: Fra ladninger i bevegelse, dvs elektrisk strøm.

Hvordan virker den magnetiske kraften på en ladning i bevegelse? Svar: F_{m} = qvB

Men hvordan uttrykke F_{m} = qvB på vektorform? Både F_{m} og v er jo vektorer, men ikke parallelle vektorer.... Vi må ty til kryssprodukt! La B være en vektor som peker inn i planet:

Da ser vi at vi kan skrive:

F_{m} = qv × B

KONKLUSJON:

Fra før: Elektrisk felt E lages av ladninger (i ro eller i bevegelse) og resulterer i elektrisk kraft på ladninger (i ro eller i bevegelse):

F_{e} = qE

Nå: Magnetfelt B lages av strøm (dvs ladninger i bevegelse) og resulterer i magnetisk kraft på ladninger i bevegelse:

F_{m} = qv × B

Med både E og B til stede samtidig, påvirkes ladningen q med hastighet v av Lorentzkraften

F = F_{e} + F_{m} = qE + qv × B