Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005

Sammendrag, uke 14 (5. og 6. april)

Magnetisk vekselvirkning [FGT 28, 29; YF 27, 28; TM 26, 27; AF 22, 24B; LHL 23; DJG 5]

Magnetisme som relativistisk fenomen (orienteringsstoff) [DJG 12.3.1]

Se eget notat. (”Notater.”)

Ladet partikkel i uniformt magnetfelt [FGT 28.3; YF 27.4; TM 26.2; AF 22.3; LHL 23.1, 23.4; DJG 5.1.2]

Kraft på ladning q med hastighet v i magnetfelt B:

F = qv × B

Med vinkel θ mellom v og B:

F = qvB sin θ

Dersom v ⊥ B:

F = qvB

Har alltid F ⊥ v og F ⊥ B. Når F ⊥ v blir partikkelens bane en sirkel med konstant v = |v|:

F ⊥ v ⇒ F ⊥ \frac{dl}{dt}

⇒ dW = F · dl = 0

dvs: F utfører null arbeid

⇒ v = konstant og T = \frac{1}{2}mv^{2} = konstant

Sentripetalakselerasjon:

a = \frac{v^{2}}{r}
⇒ F = ma = m\frac{v^{2}}{r} = qvB
⇒ r = \frac{mv}{qB}

der r er sirkelbanens radius.

Sirkelbevegelsens vinkelfrekvens:

ω = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m} ≡ ω_{c} (syklotronfrekvensen)

Vinkelfrekvens = “omløpt” vinkel pr tidsenhet

Frekvensen = antall omløp pr tidsenhet:

f = \frac{ω}{2π}

Perioden = omløpstida:

T = \frac{1}{f} = \frac{2π}{ω}

Med både elektrisk felt E og magnetfelt B tilstede påvirkes ladningen av Lorentzkraften:

F = qE + qv × B

Vi ser at enheten for magnetfelt må være

[B] = \frac{[F]}{[qv]} = \frac{N}{Cm/s}

I SI-systemet har dette fått en egen betegnelse:

[B] = T

eller tesla. En alternativ enhet for magnetfeltet er gauss (G). 1 tesla er det samme som 10000 gauss. Jordmagnetfeltet er ca 0.5 G, så et magnetfelt på 1 T er ganske mye.

Magnetfelt fra elektrisk strøm [FGT 29.4; YF 28.2; TM 27.2; AF 24.11; LHL 23.5; DJG 5.2]

Biot–Savarts lov (empirisk, dvs eksperimentelt funnet):

Bidraget dB til magnetfeltet i punktet som ligger i en avstand fra lederbiten dl gitt ved vektoren r, når lederen fører en stasjonær (dvs tidsuavhengig) elektrisk strøm I er

dB = \frac{μ_{0}}{4π} \frac{I dl × r̂}{r^{2}} = \frac{μ_{0}}{4π} \frac{I dl × r}{r^{3}}

Superposisjonsprinsippet gjelder for magnetfeltet, så magnetfeltet fra hele den lukkede strømsløyfa blir

B = ∮ dB = \frac{μ_{0}I}{4π} ∮ \frac{dl × r̂}{r^{2}}

Ettersom ladning ikke oppstår eller forsvinner av seg selv, må det ei lukket sløyfe til for å opprettholde en konstant elektrisk strøm I.

I prinsipp kan Biot–Savarts lov brukes til å bestemme magnetfeltet i en vilkårlig posisjon i forhold til ei vilkårlig utformet strømsløyfe. I praksis klarer vi bare å løse integralet i Biot–Savarts lov analytisk for enkelte spesialtilfeller, f.eks. rett leder, på symmetriaksen til sirkulær eller kvadratisk strømsløyfe osv. (Problemer som ikke kan løses analytisk kan løses med numeriske metoder.)

Magnetiske feltlinjer [FGT 29.2; YF 27.3; TM 26.1; LHL 23.1]

Innføres for å visualisere magnetfeltet i et område. Defineres på tilsvarende vis som vi gjorde med elektriske feltlinjer:

• Retningen: B parallell med feltlinjene overalt.

• Styrken: |B| proporsjonal med tettheten av feltlinjer (dvs antall feltlinjer pr flateenhet)

MERK at vi alltid har lukkede feltlinjer for B. Det er fordi det ikke eksisterer magnetiske monopoler i naturen. (Mens elektriske monopoler, dvs positive og negative ladninger, finnes!)

Derimot består naturen av.....

Magnetiske dipoler [FGT 28.5, 29.4; YF 27.7; TM 26.3; AF 22.7; LHL 23.3, 26.2; DJG 5.4.3]

Elektrisk strømsløyfe = Magnetisk dipol:

Magnetisk dipolmoment (for plan strømsløyfe):

m = IA = IAn̂

Enhet: [m] = [IA] = Am^{2}

Elementærpartiklers og atomers magnetiske dipolmoment [FGT 31.2; YF 28.8; TM 27.5; AF 22.7, 23.7; LHL 26.2; DJG 5.4.3, Problem 5.56]

Klassisk bilde av atom: Elektroner i (sirkulær) bane rundt atomkjernen.

Elektrisk strøm I i sirkelbanen for ladning q med hastighet v i sirkelbane med radius r:

I = \frac{q}{τ} = \frac{q}{2πr/v} = \frac{qv}{2πr}

der τ = omløpstiden. Omsluttet areal er:

A = πr^{2}

Magnetisk dipolmoment blir:

|m| = IA = \frac{qv}{2πr} · πr^{2} = \frac{1}{2}qvr

Kan uttrykkes ved partikkelens banedreieimpuls L:

L = mr × v

der m = partikkelens masse.

For sirkelbane er r ⊥ v slik at

L = |L| = mrv

Dermed:

|m| = \frac{1}{2}qvr = \frac{q}{2m}L

På vektorform:

m = \frac{q}{2m}L

For elektron (med q = −e og m = m_{e}):

m = −\frac{e}{2m_{e}} L

Elektroner (og protoner og nøytroner osv) har også “indre dreieimpuls”, såkalt spinn S. Klassisk bilde av spinn for elektron: Roterende ladet kule. Klassisk forventes bidrag

−\frac{e}{2m_{e}} S

fra spinnbevegelsen til elektronets totale magnetiske dipolmoment.

Kvalitativt er disse klassiske bildene OK: Elementærpartikler som elektroner, protoner og nøytroner har magnetisk dipolmoment m som kan uttrykkes ved partikkelens totale dreieimpuls J = L+S = vektorsummen av banedreieimpulsen L og spinnet S.

Kvantitativt bryter den klassiske modellen sammen: Det er helt nødvendig med en kvantemekanisk beskrivelse for å kunne regne ut de ulike partiklenes magnetiske dipolmoment, og dermed et atoms magnetiske dipolmoment m_{A}.

Vi kan ikke gå inn på den kvantemekaniske beskrivelsen her. Vi har imidlertid kanskje klart å overbevise oss om at atomer faktisk er små elektriske strømsløyfer, og derfor små magnetiske dipoler. Med andre ord: Materien som vi omgir oss med består av mange små atomære magnetiske dipoler:

Tidligere i kurset har vi studert elektriske dipoler med elektrisk dipolmoment p og sett hvordan disse utsettes for et dreiemoment τ = p × E og rettes inn når de plasseres i et elektrisk felt E. Vi har sett at dette er relevant for å kunne forstå hvordan dielektriske materialer oppfører seg i et elektrisk felt, fordi et dielektrikum nettopp består av atomære eller molekylære elektriske dipoler, dvs atomer eller molekyler med elektrisk dipolmoment p.

Det vi etterhvert skal gjøre er å se på hvordan magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment m på samme vis utsettes for et dreiemoment τ = m × B og rettes inn når de plasseres i et magnetfelt B. Dette er relevant for å kunne forstå hvordan ulike materialer oppfører seg i et magnetfelt, fordi materie nettopp består av atomære magnetiske dipoler, dvs atomer med magnetisk dipolmoment m.

Magnetisering og “magnetisme” er magnetostatikkens svar på polarisering i elektrostatikken!

NESTE UKE (uke 15): Vi starter med å se på hva slags krefter som virker på en elektrisk strøm når den plasseres i et magnetfelt. Det er klart at det må være utgangspunktet for å forstå hvordan en magnetisk dipol (dvs ei elektrisk strømsløyfe) påvirkes av et magnetfelt, på samme måte som at elektriske krefter på punktladninger var utgangspunktet for å forstå hvordan en elektrisk dipol påvirkes av et elektrisk felt. Vi skal også snakke om Amperes lov, som i endel tilfeller med ”passende symmetri” gjør det meget enkelt å bestemme magnetfeltet fra en gitt ”konfigurasjon av elektrisk(e) strøm(mer)”.