Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke19

Mandag 7. mai

Elektromagnetisk induksjon (fortsatt) [FGT 30.1 - 30.6; YF 29.1 - 29.5; TM 28.2 - 28.3; AF 27.1 - 27.3; LHL 24.1; DJG 7.2]

Retningen på indusert ems E bestemmes med Lenz’ lov: En eventuell generert strøm I, drevet av E, skaper et magnetfelt B_{I} og dermed en magnetisk fluks ϕ_{I} = ∫_{S} B_{I} · dA som er motsatt rettet fluksendringen dϕ_{m} som i utgangspunktet forårsaket E.

En indusert ems E i ei lukket ledersløyfe impliserer et indusert elektrisk felt E:

E = ∮ E · dl

Faradays lov (eller for å være presis: Faraday - Henrys lov) uttrykker dermed en sammenheng mellom feltene E og B:

∮_{c} E · dl = −\frac{d}{dt} ∫_{S} B · dA

der c er en lukket kurve som omslutter en flate S.

Ettersom integralet av et slik “Faraday-indusert” elektrisk felt rundt en lukket kurve ikke er lik null, er det (pr definisjon) heller ikke et konservativt felt. (Mens et elektrostatisk felt er konservativt.)

Gjensidig induktans [FGT 32.1; YF 30.1; AF 27.12; LHL 25.4; DJG 7.2.3]

En strøm I_{1} i ei strømsløyfe (1) resulterer i et magnetfelt B_{1} i området omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp av Biot-Savarts lov:

B_{1} = \frac{μ_{0}I_{1}}{4π} ∮_{(1)} \frac{dl_{1} × r̂}{r^{2}}

(se f.eks. uke13.pdf). Dersom ei anna strømsløyfe (2) er plassert i dette området, vil magnetfeltet fra sløyfe (1) resultere i en magnetisk fluks gjennom sløyfe (2):

ϕ_{2} = ∫_{S_{2}} B_{1} · dA_{2} = ∫_{S_{2}} \{\frac{μ_{0}I_{1}}{4π} ∮_{(1)} \frac{dl_{1} × r̂}{r^{2}}\} · dA_{2}

Uansett hva dette gufne integralet måtte være, kan vi uttrykke det på formen

ϕ_{2} = M_{21}I_{1}

forutsatt at I_{1} er konstant i sløyfe (1), dvs den samme alle steder i sløyfa. (Og det må den jo være hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!) Faktoren M_{21} er den gjensidige induktansen mellom de to sløyfene (1) og (2) og uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får “gjennom” (dvs omsluttet av) sløyfe (2) når det går en strøm i sløyfe (1):

M_{21} = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Omvendt må vi også få en magnetisk fluks gjennom sløyfe (1) hvis det går en strøm i sløyfe (2):

ϕ_{1} = ∫_{S_{1}} B_{2} · dA_{1} = ∫_{S_{1}} \{\frac{μ_{0}I_{2}}{4π} ∮_{(2)} \frac{dl_{2} × r̂}{r^{2}}\} · dA_{1}

dvs: Strømmen I_{2} i sløyfe (2) skaper magnetfeltet B_{2}, og dermed fluksen ϕ_{1} gjennom sløyfe (1). Og uansett hva dette integralet måtte bli, kan vi alltids skrive

ϕ_{1} = M_{12}I_{2}

der faktoren M_{12} uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får “gjennom” (dvs: gjennom arealet omsluttet av) sløyfe (1) når det går en strøm i sløyfe (2):

M_{12} = \frac{ϕ_{1}}{I_{2}}

Både M_{21} og M_{12} er rett og slett geometriske faktorer som avhenger av form, størrelse og relativ plassering til de to strømsløyfene. En kan vise at (se f.eks. Griffiths)

M_{21} = M_{12}

alltid gjelder. En kan dermed velge mellom to alternative framgangsmåter for å bestemme gjensidig induktans mellom to strømsløyfer: Enten beregne magnetisk fluks gjennom (1) pga strøm i (2), eller omvendt. Noen ganger er det ene mye enklere enn det andre!

Enhet for induktans: [M] = [ϕ_{m}/I] = [B · A/I] = T·m^{2}/A ≡ H (henry)

Gjensidig induksjon: Tidsavhengig strøm I_{1}(t) i sløyfe (1) gir tidsavhengig fluks ϕ_{2}(t) gjennom sløyfe (2), og dermed indusert ems i sløyfe (2):

E_{2} = −\frac{dϕ_{2}}{dt} = −M_{21} \frac{dI_{1}}{dt}

Tidsavhengig strøm I_{2}(t) i sløyfe (2) gir tidsavhengig fluks ϕ_{1}(t) gjennom sløyfe (1), og dermed indusert ems i sløyfe (1):

E_{1} = −\frac{dϕ_{1}}{dt} = −M_{12} \frac{dI_{2}}{dt}

Selvinduktans [FGT 32.1; YF 30.2; TM 28.6; AF 27.8; LHL 25.1; DJG 7.2.3]

En strøm I i ei strømsløyfe resulterer i et magnetfelt B i området omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp av Biot-Savarts lov:

B = \frac{μ_{0}I}{4π} ∮ \frac{dl × r̂}{r^{2}}

(se f.eks. uke14.pdf). Magnetfeltet fra sløyfa resulterer i en magnetisk fluks gjennom sløyfa selv:

ϕ = ∫_{S} B · dA = ∫_{S} \{\frac{μ_{0}I}{4π} ∮ \frac{dl × r̂}{r^{2}}\} · dA

Uansett hva dette gufne integralet måtte være, kan vi uttrykke det på formen

ϕ = LI

forutsatt at I er konstant i sløyfa, dvs den samme alle steder i sløyfa. (Og det må den jo være hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!) Faktoren L er selvinduktansen til sløyfa og uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får “gjennom” (dvs: gjennom arealet omsluttet av) sløyfa når det går en strøm i sløyfa:

L = \frac{ϕ}{I}

Enhet for selvinduktans: [L] = [ϕ_{m}/I] = [B · A/I] = T·m^{2}/A ≡ H (henry)

Selvinduksjon: Tidsavhengig strøm I(t) i sløyfe gir tidsavhengig fluks ϕ(t) gjennom sløyfa, og dermed indusert ems i sløyfa:

E = −\frac{dϕ}{dt} = −L\frac{dI}{dt}

Tirsdag 8. mai

RL-krets (med likespenningskilde V_{0}) [FGT 32.4; YF 30.4; TM 28.8; AF Ex 27.5; LHL 25.2; DJG Ex 7.12]

Ser på seriekobling av induktans L (f.eks. en spole) og resistans R. Et batteri med likespenning V_{0} kobles til kretsen ved tidspunktet t = 0.

Total ems i kretsen er da

V_{0} − L\frac{dI}{dt}

der det siste leddet er indusert “motspenning” over induktansen når vi prøver å endre strømstyrken gjennom den. Ifølge Kirchhoffs spenningsregel (evt “sløyferegel”) må denne totale emsen i sløyfa tilsvare spenningsfallet over motstanden R, med andre ord

V_{0} − L\frac{dI}{dt} = RI

eller

L\frac{dI}{dt} + RI = V_{0}

Dette er nøyaktig samme type 1. ordens differensialligning for strømmen I som det vi hadde for kondensatorladningen Q da vi studerte opplading av kondensator i en RC-krets (se uke13.pdf, side 4). Løsningen blir

I(t) = \frac{V_{0}}{R} (1 − e^{−Rt/L})

der vi har brukt initialbetingelsen I(0) = 0. (Før innkobling av batteriet er åpenbart I = 0. I tidspunktet t = 0 kan ikke strømmen i kretsen “hoppe” opp til en endelig verdi forskjellig fra null. Det måtte i såfall innebære at dI/dt → ∞ i t = 0, hvilket igjen ville innebære en uendelig stor motspenning over induktansen. Det er rett og slett ikke fysisk mulig! Altså må I være kontinuerlig i t = 0, og vi kan sette I(0) = 0.)

Tidskonstant for endring av strømmen:

τ = \frac{L}{R}

Verdien av τ gir en størrelsesorden for hvor lang tid det tar å øke strømmen i en slik RL-krets fra 0 til maksimal verdi V_{0}/R:

I(t → ∞) = \frac{V_{0}}{R}

RL-krets (med vekselspenningskilde V_{0} cos ωt) [FGT 33.2; YF 31.2; TM 29.2, 29.3; AF Note 27.2; LHL 27.3]

Med en vekselspenningskilde V_{0} cos ωt koblet til en induktans L har vi med bruk av Kirchhoffs spenningsregel:

V_{0} cos ωt + V_{L} = 0
V_{0} cos ωt = L\frac{dI}{dt}
I(t) = \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt = \frac{V_{0}}{ωL} cos(ωt − \frac{π}{2} )

Vi kan skrive strømmen I(t) på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

(jfr uke12, og tilsvarende for kapasitans C og RC-kretser), og ser at strømamplituden er

I_{0} = \frac{V_{0}}{ωL}

mens fasevinkelen er

α = \frac{π}{2}

Dvs, strøm I og påtrykt spenning V = V_{0} cos ωt er faseforskjøvet med en kvart periode i forhold til hverandre. I forbindelse med RC-kretser og vekselspenningskilde innførte vi størrelsen impedans Z, definert ved

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}}

Med andre ord, en slags generalisert motstand, jfr Ohms lov R = V/I. Vi ser da at impedansen til en induktans L blir

Z_{L} = ωL

med fasevinkel

α_{L} = π/2

Et eksempel til: Vekselspenningskilde V_{0} cos ωt koblet til en parallellkobling av en motstand R og en induktans L. Da må den totale strømmen I som ”leveres” av spenningskilden fordele seg på en strøm I_{R} gjennom motstanden og en strøm I_{L} gjennom induktansen:

I = I_{R} + I_{L}

(Dvs: Kirchhoffs strømregel.) Videre må vi gjenfinne den påtrykte spenningen som et tilsvarende spenningsfall, både over motstanden og over induktansen. Med andre ord:

V_{0} cos ωt = RI_{R}
V_{0} cos ωt = L\frac{dI_{L}}{dt}

(Dvs: Kirchhoffs spenningsregel.) Disse ligningene løses greit, og vi finner

I_{R} = \frac{V_{0}}{R} cos ωt
I_{L} = \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt

Total strøm levert av spenningskilden blir dermed

I(t) = I_{R}(t) + I_{L}(t) = \frac{V_{0}}{R} cos ωt + \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt

Vi kan skrive denne summen av to ledd på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

ved å bruke den trigonometriske relasjonen

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

Dermed:

cos(ωt − α) = cos ωt cos α + sin ωt sin α

Sammenligning med uttrykket for I(t) = I_{R} + I_{L} gir oss følgende to ligninger for de to ukjente størrelsene I_{0} og α:

\frac{V_{0}}{R} = I_{0} cos α
\frac{V_{0}}{ωL} = I_{0} sin α

Dette ligningssettet har løsning

tan α = \frac{R}{ωL} ⇒ α = arctan \frac{R}{ωL}

og

I_{0} = V_{0} (\frac{1}{R^{2}} + \frac{1}{ω^{2}L^{2}} )^{1/2}

Fra definisjonen av impedans, Z = V_{0}/I_{0}, ser vi at impedansen til en parallellkobling er

Z = (\frac{1}{R^{2}} + \frac{1}{ω^{2}L^{2}} )^{−1/2}

Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er liten, dvs ω ≪ R/L, vil leddet 1/ω^{2}L^{2} dominere i forhold til 1/R^{2}, slik at

Z ≃ ωL

Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er stor, dvs ω ≫ R/L, vil leddet 1/R^{2} dominere i forhold til 1/ω^{2}L^{2}, slik at

Z ≃ R

Energi i magnetfelt [FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

La oss regne ut hvor mye energi som må tilføres en spole med induktans L når vi øker strømmen gjennom spoletråden fra i = 0 til en “sluttverdi” i = I. Tilført energi ved å øke strømmen fra i til i + di:

dU_{B} = P dt = iv dt = iL\frac{di}{dt}dt = Li di

Her er P = iv tilført effekt, og v = Ldi/dt spenningen over spolen idet vi endrer strømmen fra i til i + di. Dermed blir total energi tilført for å øke strømmen fra 0 til I lik

U_{B} = ∫ dU_{B} = L ∫_{0}^{I} i di = \frac{1}{2}LI^{2}

Denne energien kan vi nå assosiere med magnetfeltet B inne i spolen. Anta at spolen er tilnærmet uendelig lang, med N viklinger på hele lengden l. Tverrsnittet av spolen har areal A. Da er magnetfeltet inne i spolen

B = μ_{0}nI = μ_{0} \frac{N}{l} I

(På utsiden av spolen er magnetfeltet null.) Total magnetisk fluks gjennom de N viklingene på spolen blir

ϕ_{m} = NAB = NAμ_{0} \frac{N}{l} I

som også kan skrives på formen

ϕ_{m} = LI

der L er spolens (selv-)induktans. Med dette kan vi omforme uttrykket for energien U_{B}:

U_{B} = \frac{1}{2} \frac{NAB}{I} I^{2} = \frac{1}{2}NAB · \frac{Bl}{μ_{0}N} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2} · Al

Her er Al lik volumet inne i spolen, så vi ser at vi har en energitetthet (dvs energi pr volumenhet) assosiert med magnetfeltet B:

u_{B} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Fra før har vi funnet at vi har en energitetthet u_{E} assosiert med et elektrisk felt E:

u_{E} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2}

Dermed blir total energitetthet i et elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Kommentar: Dette uttrykket er “alltid riktig”, i den forstand at u representerer energien “lagret” i feltene E og B. I litteraturen “risikerer” du å støte på formelen

u = \frac{1}{2}D · E + \frac{1}{2}B · H = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}

for total energitetthet dersom vi har polariserbare og/eller magnetiserbare medier tilstede. (I den siste overgangen her brukte vi at D = εE og B = μH, med ε = mediets permittivitet og μ = mediets permeabilitet.) Disse to uttrykkene for u er ikke identiske, og kan derfor ikke representere den samme energitettheten. Det siste uttrykket for u inkluderer da også et bidrag som ikke er direkte “lagret” i feltene, nemlig den “elastiske” energien knyttet til polarisering og magnetisering, dvs innrettingen av elektriske og magnetiske dipoler. I den grad noe av dette blir aktuelt til eksamen, skal vi kun bry oss om feltenergien gitt ved

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}