Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 4

Mandag 22.01.07

Elektriske feltlinjer [FGT 22.2; YF 21.6; TM 21.5; AF 21.6; LHL 19.6; DJG 2.2.1]

• gir en visuell framstilling av E i et område

• E ligger tangentielt til feltlinjene overalt

• styrken på E (dvs |E|) er proporsjonal med tettheten av feltlinjer, dvs antall feltlinjer pr

flateenhet Konsekvenser av dette er bl.a. at

• feltlinjene går radielt ut fra positive (punkt-)ladninger og radielt inn mot negative ladninger

• like mange feltlinjer går ut fra ladning +Q som inn mot −Q

Eksempler:

Elektrisk dipol og elektrisk dipolmoment [FGT 22.1; YF 21.7; TM 21.4; AF 21.11; LHL 19.10; DJG 2.2.1, 3.4.2]

Dersom vi har to ladninger q og −q i en viss innbyrdes avstand, har vi en elektrisk dipol. Avstandsvektoren d fra den negative ladningen −q til den positive ladningen q beskriver hvordan de to er lokalisert i forhold til hverandre. Dipolens elektriske dipolmoment p er da:

p = qd

Dipolmomentet er altså en vektor som peker fra den negative mot den positive ladningen, med størrelse lik produktet av ladningen q og avstanden d. Enhet for elektrisk dipolmoment: [p] = [qd] = Cm.

Mer generelt kan vi definere det elektriske dipolmomentet for en vilkårlig ladningsfordeling innenfor et romlig område Ω:

p = ∫_{Ω} r dq

Her kan Ω være et område i 1, 2 eller 3 dimensjoner.

I 1D (”linjeladning”):

dq = λ(x) dx
r = x x̂

I 2D (”flateladning”):

dq = σ dA
= σ(x, y) dx dy (kartesisk)

σ(r, ϕ) r dr dϕ (polarkoord)

r = x x̂ + y ŷ (kartesisk)

r r̂ (polarkoord)

I 3D (”romladning”):

dq = ρ dV
= ρ(x, y, z) dx dy dz (kartesisk)

ρ(r, θ, ϕ) r^{2} dr sin θ dθ dϕ (kulekoord)

r = x x̂ + y ŷ + z ẑ (kartesisk)

r r̂ (kulekoord)

Det elektriske dipolmomentet p er bare entydig definert dersom systemet har null netto ladning, dvs

Q = ∫_{Ω} dq = 0

Dersom systemets nettoladning Q er forskjellig fra null, vil p avhenge av hvor vi plasserer origo (dvs r = 0).

Eksempel: Stav med lengde 2L, positiv ladning λ_{0} pr lengdeenhet på den ene halvdelen (0 < x < L), negativ ladning −λ_{0} pr lengdeenhet på den andre halvdelen (−L < x < 0). Bestem stavens elektriske dipolmoment p.

Løsning:

p = ∫_{−L}^{L} xx̂λ(x)dx = x̂λ_{0} (∫_{−L}^{0}(−x)dx + ∫_{0}^{L} xdx) = x̂λ_{0} (\frac{L^{2}}{2} + \frac{L^{2}}{2} ) = λ_{0}L^{2}x̂

Tirsdag 23.01.07

Elektrisk potensial [FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.1; AF 21.9; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 2.3.2, 2.4.1]

Vi har en konservativ kraft F dersom arbeidet ∫_{A}^{B} F · dl er uavhengig av veien mellom startposisjonen A og sluttposisjonen B. Eksempler på konservative krefter: Gravitasjonskraften mellom to masser. Den elektrostatiske kraften mellom to ladninger. Eksempel på ikke-konservativ kraft: Friksjon.

Mer generelt har vi et konservativt vektorfelt G dersom veiintegralet ∫_{A}^{B} G · dl er uavhengig av integrasjonsveien mellom A og B.

For et konservativt vektorfelt G gjelder:

∮ G · dl = 0

der ∮ angir integral rundt lukket kurve i rommet.

For konservativ kraft F har vi en potensiell energi U slik at arbeidet utført av F på ”systemet” (f.eks. ladningen som flyttes) ved en forflytning fra A til B tilsvarer endringen i systemets potensielle energi:

ΔU = U_{B} − U_{A} = − ∫_{A}^{B} F · dl

[Fortegnssjekk: Forflytning av masse m oppover, dvs mot tyngdekraften mg, gir økt potensiell energi og samtidig er F · dl < 0, altså er fortegnet OK!]

På samme måte som at det var hensiktsmessig å innføre elektrisk felt E = F /q = elektrisk kraft pr ladningsenhet, er det nå hensiktsmessig å innføre elektrisk potensial som potensiell energi pr ladningsenhet:

V = U/q

Enhet for elektrisk potensial: [V] = [U/q] = J/C ≡ V (volt)

Sammenhengen mellom elektrisk potensial V og elektrisk felt E [FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.1; AF 21.10; LHL 19.9; DJG 2.3.1]

En ladning q som påvirkes av en elektrostatisk kraft F har en forskjell i potensiell energi

ΔU = U_{B} − U_{A} = − ∫_{A}^{B} F · dl

mellom punktene A og B. Da må den elektriske potensialforskjellen ΔV mellom punktene A og B være

ΔV = V_{B} − V_{A} = \frac{ΔU}{q} = − ∫_{A}^{B} \frac{F · dl}{q} = − ∫_{A}^{B} E · dl

Alternativ enhet for elektrisk felt: [E] = [V/l] = V/m

Merk deg at mens elektrisk felt er en vektorstørrelse, så er elektrisk potensial en skalar størrelse.

Merk: Bare forskjeller i elektrisk potensial (og potensiell energi) har fysisk betydning. Kan fritt velge nullpunkt for potensialet. Vanlig valg: V (r → ∞) = 0. Dermed, for punkt P:

V_{P} = − ∫_{∞}^{P} E · dl

(Vi kan ikke alltid velge V (r → ∞) = 0. Det skal vi se eksempler på etterhvert.)

Elektrisk potensial fra punktladning (Coulombpotensialet) [FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.2; AF 21.11; LHL 19.9; DJG 2.3.4]:

V (r) = \frac{q}{4πε_{0}r}

Elektrisk potensial (i et punkt P) fra flere punktladninger:

V_{P} = \frac{1}{4πε_{0}} ∑_{i} \frac{q_{i}}{r_{i}}

Her er r_{i} avstanden fra ladning nr i til punktet P. Det følger med andre ord at superposisjonsprinsippet også gjelder for potensialet V, ettersom det gjelder for feltet E (og krafta F).

Dersom vi har en kontinuerlig ladningsfordeling, kan vi gå fram på nøyaktig samme vis som vi gjorde i forbindelse med elektrisk felt: Del opp området med ladning i små biter slik at bit nr i har en liten ladning Δq_{i} som kan betraktes som en punktladning. I grensen Δq_{i} → 0 kan vi erstatte summen over i med et integral:

V (r) = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{dq}{r}

med

dq = \{ \begin{matrix}ρ(x, y, z) dV & (3D) \\ σ(x, y) dA & (2D) \\ λ(x) dx & (1D) \end{matrix}