Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 5

Mandag 29.01.07

Potensiell energi mellom punktladninger [FGT 24.1, 24.2; YF 23.1; TM 24.1; AF 21.9, 21.12; LHL 19.9; DJG 2.4]

• mellom to punktladninger i innbyrdes avstand r_{12}: U_{12} = q_{1}q_{2}/4πε_{0}r_{12}

• mellom flere punktladninger: U = ∑_{i<j} U_{ij} (der summen over i og j går over alle punktladningene i systemet, dog slik at j hele tiden er større enn i, dvs summen går over alle par av punktladninger)

Energienheten elektronvolt: 1 eV = 1.6 · 10^{−19} J = energiforskjellen til en elementærladning når den flyttes mellom to posisjoner med en potensialforskjell på 1 volt.

Tirsdag 30.01.07

Energibevarelse for ladete partikler i elektrisk felt [FGT 24.1; YF 23.1; AF 21.12; LHL 19.9]

Med konservative krefter er total energi bevart:

T + U = konstant
T = \frac{1}{2}mv^{2} = kinetisk energi
U = qV = potensiell energi

Dersom partikkel med ladning q og masse m akselereres i elektrisk felt E, dvs gjennom potensialforskjell ΔV = V_{2} − V_{1}:

\frac{1}{2}mv_{1}^{2} + qV_{1} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} + qV_{2}
⇒ v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + \frac{2q}{m} (V_{1} − V_{2})
⇒ v_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} − \frac{2qΔV}{m}} = v_{1}\sqrt{1 − \frac{2qΔV}{mv_{1}^{2}}}

Her er v_{1} partikkelens hastighet der potensialet er V_{1} (“startpunkt”) og v_{2} er partikkelens hastighet der potensialet er V_{2} (“sluttpunkt”).

Dersom qΔV < 0 fås v_{2} > v_{1}, dvs (positiv) akselerasjon. Altså: Negativ ladning akselereres i retning høyere potensial Positiv ladning akselereres i retning lavere potensial .... mens begge typer ladning selvsagt akselereres i retning lavere potensiell energi.

Bevegelsen til en partikkel med masse m og ladning q i et elektrisk felt er bestemt av Newtons 2. lov (= bevegelsesligningen):

F = ma = m\frac{dv}{dt} = qE

Dermed:

a = \frac{q}{m}E

Partikkel med positiv ladning akselereres langs E. Partikkel med negativ ladning akselereres langs −E.

Ekvipotensialflater [FGT 24.3; YF 23.4; TM 23.5; AF 21.11; LHL 19.11; DJG 2.3.2]

Ekvipotensialflater er flater i rommet med konstant potensial.

ΔV = − ∫ E · dl = 0

for vilkårlig integrasjonsvei på en ekvipotensialflate. Dermed:

E ⊥ ekvipotensialflate

Beregning av E fra V [FGT 24.4; YF 23.5; TM 23.3; AF 21.10; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 1.2.2]

E = −∇V

Gradientoperatoren ∇:

∇V = \frac{∂V}{∂x} x̂ + \frac{∂V}{∂y} ŷ + \frac{∂V}{∂z} ẑ (kartesiske koordinater)
= \frac{∂V}{∂r} r̂ + \frac{1}{r} \frac{∂V}{∂θ} θ̂ + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂V}{∂ϕ} ϕ̂ (kulekoordinater)

(Det er ikke meningen at du skal gå rundt og huske på hvordan gradientoperatoren ser ut i kulekoordinater. Den vil bli oppgitt dersom det f.eks. skulle bli bruk for den til eksamen.) Hvis vi har kulesymmetri (dvs E og V kun avhengig av r, ikke av vinklene θ og ϕ):

E = E(r)r̂ = −\frac{∂V}{∂r} r̂

Betydning av gradientoperatoren

Vektoren ∇V peker i den retningen der V øker raskest, dvs i den retningen der den retningsderiverte til V er størst. Ettersom E = −∇V, betyr det at det elektriske feltet peker i den retningen der V avtar raskest. Eksempel: Dersom en punktladning q plasseres et sted der ∇V = 0, blir den ikke utsatt for noen elektrisk kraft, for da er F = qE = −q∇V = 0.