Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2007

Løsningsforslag til oppgaver som omhandler elektromagnetisk induksjon

Oppgave 1

a) Arealet som strømsløyfa omslutter er L · x, og dette øker lineært med tiden, dA/dt = Ldx/dt = Lv. Omsluttet magnetisk fluks er ϕ = B·A = BLx, slik at indusert ems i strømsløyfa blir E = dϕ/dt = BLdx/dt = BLv. Sløyfa har resistans R, så ifølge Ohms lov blir strømmen i kretsen

I = E/R = BLv/R

Strømmen går mot klokka. Det innser vi fordi kraften på en positiv ladning q i metallstanga, qv × B, er rettet oppover. Alternativt, med Lenz’ lov: Økende areal gir økende omsluttet magnetisk fluks inn i planet. Strømmen må da gå i en slik retning av fluksen på grunn av I peker ut av planet når vi er på innsiden av sløyfa.

b) Strømmen I går oppover i metallstanga, magnetfeltet peker inn i planet, så magnetsk kraft på strømmen I blir rettet mot venstre og er

F = ILB = B^{2}L^{2}v/R

c) Fra forrige punkt har vi altså at vi må trekke metallstanga bortover mot høyre med en kraft F for å opprettholde konstant hastighet. Slipper vi stanga, blir den eneste krafta som virker den (bremsende) magnetiske krafta mot venstre. Newtons 2. lov gir oss da følgende bevegelsesligning:

m\frac{dv}{dt} = −\frac{B^{2}L^{2}v}{R}

Dette er en 1. ordens differensialligning for v(t). Løsning:

\frac{dv}{v} = −\frac{B^{2}L^{2}}{mR} dt
⇒ ln v = −\frac{B^{2}L^{2}}{mR} t + ln k
⇒ v(t) = k e^{−B^{2}L^{2}t/mR}
⇒ v(t) = v_{0} e^{−B^{2}L^{2}t/mR}

der vi brukte initialbetingelsen v(0) = v_{0}.

d) Vi må regne ut hvor mye energi som tapes som varme i motstanden. Effekttapet er lik V I, der V er spenningsfallet over motstanden, dvs V = RI. Da effekttap er energitap pr tidsenhet, kan vi skrive

dW = P dt = V I dt = RI^{2} dt

for energien dW tapt på et tidsrom dt. Vi har i a funnet I uttrykt ved metallstangas hastighet v, så det er bare å sette inn. Totalt energitap må bli integralet av dW, dvs fra t = 0 til t = ∞:

W = ∫ dW
= ∫_{0}^{∞} RI^{2} dt
= ∫_{0}^{∞} R (\frac{BLv}{R} )^{2} dt
= \frac{B^{2}L^{2}v_{0}^{2}}{R} ∫_{0}^{∞} e^{−2B^{2}L^{2}t/mR} dt
= \frac{B^{2}L^{2}v_{0}^{2}}{R} |_{0}^{∞} (−\frac{mR}{2B^{2}L^{2}} ) e^{−2B^{2}L^{2}t/mR}
= mv_{0}^{2}/2

som var det vi skulle vise.

Oppgave 4

a) Magnetfelt fra lang, rett strømførende leder er B(x) = μ_{0}I/2πx, der x er avstanden fra lederen. På planet som her er omsluttet av den kvadratiske sløyfa peker magnetfeltet rett ut av papirplanet. x-aksen er valgt oppover. Magnetfeltet og ”flateelementvektoren” dA er parallelle, så vi har rett og slett dϕ = B · dA for fluks gjennom flateelement dA. Her velger vi horisontal stripe med bredde a og høyde dx som flateelement. Total fluks omsluttet av den kvadratiske sløyfa får vi ved å ”summmere” opp slike striper, dvs ved å integrere fra x = d til x = d + a. (Vi har valgt x = 0 der den rette lederen ligger.)

ϕ = ∫ dϕ
= ∫_{d}^{d+a} \frac{μ_{0}I}{2πx}a dx
= \frac{μ_{0}Ia}{2π}|_{d}^{d+a} ln x
= \frac{μ_{0}Ia}{2π} ln \frac{d + a}{d}

b) Indusert ems er lik den tidsderiverte av omsluttet magnetisk fluks:

E = −\frac{dϕ}{dt}
= −\frac{μ_{0}Ia}{2π} \frac{d}{dt} (ln(d + a) − ln d)
= −\frac{μ_{0}Ia}{2π} (\frac{1}{d + a} \frac{dd}{dt} − \frac{1}{d} \frac{dd}{dt})
= \frac{μ_{0}Iav}{2π} \frac{a}{(d + a)d}

Her har vi brukt at v = dd/dt, og nå er ikke d en konstant avstand, men en avstand som øker lineært med tiden, f.eks. d(t) = d_{0} + vt. Fluksen opp av planet avtar med tiden. Da må indusert ems og tilhørende strøm bli mot klokka for å motvirke dette.

c) Hvis sløyfa trekkes mot høyre, endres ikke fluksen innenfor sløyfa. Dermed blir indusert ems lik null.

Løsningsforslag til oppgavene 1, 2 og 3 fra øving 12 høsten 2002: http://web.phys.ntnu.no/∼stovneng/SIF4012/losning12.pdf