Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008

Øving 10

Veiledning: Mandag 10. og fredag 14. mars Innleveringsfrist: Fredag 28. mars

Oppgave 1

En rett, sylinderformet leder med sirkulært tverrsnitt (radius R) fører en elektrisk strøm. La oss anta at strømtettheten er størst i sentrum av lederen og avtar med avstanden r fra sentrum på følgende måte:

j(r) = j_{0} e^{−r/R}

Ved lederens overflate (r = R) har vi med andre ord en strømtetthet j_{0}/e. (Retningen på j(r) er langs lederen.)

Vis at total strøm i lederen er

I = 2π j_{0} R^{2} (1 − \frac{2}{e}) (≃ 1.66 j_{0} R^{2})

Hint: Ta utgangspunkt i strømmen dI som går i et sylinderformet ”rør” med indre radius r og tykkelse dr. ∫ x e^{−x} dx løses greit ved hjelp av delvis integrasjon.

Oppgave 2

Figuren over viser en parallellplatekondensator der volumet mellom de to metallplatene er fylt med tre ulike dielektrika.

a) Bruk formlene for serie- og parallellkobling av kapasitanser (henholdsvis C^{−1} = ∑_{j} C_{j}^{−1} og C = ∑_{j} C_{j}) til å vise at parallellplatekondensatoren i figuren har kapasitans

C = \frac{A}{d} (\frac{ε_{1}}{2} + \frac{ε_{2}ε_{3}}{ε_{2} + ε_{3}} )

Her er A metallplatenes areal, d er avstanden mellom metallplatene og ε_{j} er permittiviteten til dielektrikum nr j (j = 1, 2, 3, se figuren).

b) De to stiplede linjene v og h ligger begge langt fra både ytterkantene og midtlinjen ab av kondensatoren. I nærheten av v og h kan vi derfor uten fare anta at det elektriske feltet E peker loddrett nedover. Du skal nå vise at E ikke kan peke loddrett nedover i nærheten av midtlinjen ab dersom ε_{2} er forskjellig fra ε_{3}. Det kan vi gjøre på følgende vis: Anta for eksempel at potensialforskjellen mellom metallplatene er ΔV = 100 V, og at ε_{j} = j! ε_{0}. Bestem så posisjonene til ekvipotensialflatene 25 V, 50 V og 75 V, både i nærheten av stiplet linje v og stiplet linje h. (Sett V = 0 på nedre metallplate.) Ettersom hver ekvipotensialflate må være kontinuerlig mellom v og h, kan du sikkert overbevise deg om at E ikke kan peke rett nedover i nærheten av midtlinjen ab. Tegn opp kondensatoren og skisser de nevnte ekvipotensialflatene.