Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2008

Løsningsforslag til øving 11

Oppgave 1

a) Dette systemet kan oppfattes som en seriekobling av tre motstander: de to 60 cm lange Cu–ledningene og motstanden R = 20 Ω. Motstanden til Cu–ledningene blir

R_{C} = \frac{l}{σA} = ·\frac{1.20m}{5.8 · 10^{7} Ω^{−1}m^{−1} · 2 · 10^{−6}m^{2}} = 0.01 Ω

Samme strømstyrke I går gjennom hele systemet. Den er

I = \frac{V}{R + R_{C}} = \frac{1.5 V}{20.01 Ω} = 0.07496 A ≃ 0.075 A

ifølge Ohms lov. Vi får dermed spenningsfallene

V_{R} = RI = 20 Ω · 0.075 A ≃ 1.5 V

over motstanden R og

V_{C} = R_{C}I = 0.01 Ω · 0.075 A = 0.00075 V

over de to Cu–ledningene tilsammen. Konklusjon: Neglisjerbart spenningsfall i de to Cu– ledningene.

b) Strømstyrken I beregnet vi under punkt a). Utviklet effekt i motstanden R blir

P = V_{R}I = 1.5 V · 0.075 A = 0.1125 W ≃ 0.11 W

c) Her må vi bestemme tettheten av frie elektroner n. Deretter kan vi bruke I = j · A = nevA til å beregne midlere driftshastighet v. I Cu har vi 8960 kg pr m^{3}. Dette tilsvarer 8960/0.06354 mol = 141014 mol = 141014 ·6.02 · 10^{23} atomer = 8.49 · 10^{28} atomer, og da like mange frie elektroner, med antagelsen ett fritt elektron pr atom Cu. Midlere driftshastighet blir

v = \frac{I}{neA} = \frac{0.075}{8.49 · 10^{28} · 1.6 · 10^{−19} · 2 · 10^{−6}} = 2.76 · 10^{−6} m/s = 2.76μm/s

Midlere termiske hastighet for elektronene anslår vi ved å sette kinetisk energi lik termisk energi:

\frac{1}{2}mv^{2} = \frac{3}{2}k_{B}T
⇒ v = \sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}} ≃ 10^{5} m/s

Her er k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K Boltzmanns konstant. Vi ser at midlere driftshastighet er ca 11 størrelsesordener mindre enn midlere termiske hastighet. Det tar altså mange timer for et gitt elektron å komme seg fra den ene til den andre siden av systemet vårt!

Oppgave 2

a) Først er det en fordel å innse at vi her har [en parallellkobling av R_{1}, R_{2} og R_{3}] i serie med [en parallellkobling av R_{4} og R_{0} = 0] i serie med [R_{5}]. Motstanden R_{4} er med andre ord ”kortsluttet”, slik at det ikke vil gå noen strøm gjennom R_{4}. (Sagt på en annen måte: Vi har samme potensial på hver side av R_{4}, men da kan det heller ikke gå noen strøm gjennom denne motstanden.) Total motstand blir dermed

R = (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} )^{−1} + R_{5}

b) Det er vel klart at den totale strømmen I må bli den samme som strømmen I_{5} gjennom R_{5}. Dessuten er det klart at I må fordele seg på de 3 strømmene gjennom R_{1}, R_{2} og R_{3}: I = I_{1} + I_{2} + I_{3}. Vi har i punkt a) allerede konkludert med at det ikke vil gå noen strøm gjennom R_{4}: I_{4} = 0. Spenningsfallet over de tre øverste motstandene er det samme:

V′ = R_{1}I_{1} = R_{2}I_{2} = R_{3}I_{3}

Spenningsfallet over R_{5} blir

V′′ = R_{5}I_{5} = R_{5}I = R_{5} \frac{E}{R}

Disse to må tilsammen utgjøre den påtrykte spenningen:

E = V′ + V′′

Dermed er

V′ = E − V′′ = E − R_{5} \frac{E}{R} = E (1 − \frac{R_{5}}{R} )

Dessuten:

I_{1} = \frac{V′}{R_{1}}

I_{2} = \frac{V′}{R_{2}}

I_{3} = \frac{V′}{R_{3}}

Oppgave 3

Kondensatoren vil lades ut ved at elektroner strømmer fra den negativt ladete siden (”platen”) gjennom motstanden til den positivt ladete platen. Med andre ord, en positiv strøm vil gå gjennom R, fra positivt ladet plate.

I figuren er I tegnet med retning mot positiv plate, til tross for at vi ble enige om at positiv I går andre veien. Det skyldes at jeg foretrekker å beholde sammenhengen

I = +\frac{dQ}{dt}

(og ikke med omvendt fortegn). Kirchhoffs spenningsregel gir

−RI − \frac{Q}{C} = 0

dvs

\frac{dQ}{Q} = −\frac{dt}{RC}

Integrasjon på begge sider gir

Q = ke^{−t/RC}

og startbetingelsen Q(0) = Q_{0} fastlegger integrasjonskonstanten k:

Q_{0} = ke^{0} = k

slik at

Q(t) = Q_{0}e^{−t/RC}

Strømmen blir dermed

I(t) = \frac{dQ}{dt} = −\frac{Q_{0}}{RC} e^{−t/RC}

Som ventet med et minustegn, slik at positiv I går mot klokka i figuren ovenfor.

Oppgave 4

a) Kirchhoffs spenningsregel (K2) gir

E = \frac{Q}{C}

Dessuten har vi

I = \frac{dQ}{dt}

Dermed:

Q(t) = V_{0}C cos ωt

og

I(t) = Q̇ = −V_{0}ωC sin ωt

Skisse av E(t) (i figuren V (t), heltrukken linje) og I(t) mellom t = 0 og t = T = 2π/ω:

Vi ser at påtrykt spenning E(t) og resulterende strøm I(t) i kretsen ikke er maksimale, null etc ved de samme tidspunkter. Vi sier at vi har en faseforskyvning mellom E(t) og I(t). For denne enkle kretsen, med kun en kondensator, ser vi at I er null når E er maksimal, og omvendt. Altså er de to størrelsene faseforskjøvet med π/2. Dette ser vi kanskje klarest dersom vi skriver I på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

Vi har at

− sin ωt = cos(ωt + π/2)

Dermed ser vi at I_{0} = V_{0}ωC og α = −π/2. Impedansen til denne enkle kretsen, dvs en enkelt kondensator med kapasitans C, blir

Z_{C}(ω) = \frac{V_{0}}{I_{0}} = \frac{1}{ωC}

Legg merke til at impedansen øker når (vinkel-)frekvensen blir mindre. I grensen ω → 0 går Z_{C} mot uendelig, som rimelig er: Ingen likestrøm gjennom en kondensator. I den andre grensen, ω → ∞, går Z_{C} mot null, hvilket heller ikke er urimelig: Ladningen på en gitt plate svinger mellom +V_{0}C og −V_{0}C, uavhengig av hva frekvensen er. Når frekvensen økes, øker strømmen i kretsen simpelthen proporsjonalt med frekvensen. (Vi skal senere se hvordan magnetfeltet kommer inn og hindrer strømmen i en slik krets å vokse over alle grenser.)

b) Kirchhoffs spenningsregel (K2) gir

E = \frac{Q}{C} = RI_{R}

mens Kirchhoffs strømregel (K1) gir

I = I_{C} + I_{R}

Dessuten har vi

I_{C} = \frac{dQ}{dt}

Dermed:

I_{R}(t) = \frac{V_{0}}{R} cos ωt
Q(t) = V_{0}C cos ωt
I_{C}(t) = −ωCV_{0} sin ωt = ωCV_{0} cos(ωt + π/2)

Total strøm levert av spenningskilden blir dermed

I(t) = \frac{V_{0}}{R} cos ωt − ωCV_{0} sin ωt

Vi ønsker å ha I(t) på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

med amplitude I_{0} = V_{0}/Z, der Z er impedansen til parallellkoblingen av R og C, mens α blir fasevinkelen, dvs faseforskyvningen mellom E(t) og I(t). Vi har

cos(ωt − α) = cos ωt cos α + sin ωt sin α

Dermed, ved direkte sammenligning:

\frac{cos α}{Z} = \frac{1}{R}
\frac{sin α}{Z} = −ωC

Disse to ligningene, med to ukjente Z og α, løses lett, og vi finner

Z = \frac{R}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

I_{0} = \frac{V_{0}}{R} \sqrt{1 + (ωRC)^{2}}
α = − arctan(ωRC)

I grensen ω → 0 bør vi gjenfinne ”velkjente” resultater fra likespenningseksemplene i forelesningene, og det gjør vi: Z → R og α → 0 slik at I_{0} → V_{0}/R. All strøm går gjennom motstanden R, mens kapasitansen C nå representerer en åpen krets der det ikke går noen likestrøm.

Med de oppgitte tallverdiene har vi

ωRC = 2π · 10^{6} · 10 · 16 · 10^{−9} = 1.0

slik at

I_{0} = \frac{1.0}{10} · \sqrt{2} = 0.14 A
α = − arctan 1.0 = −45^{∘}

Skisse av E(t), I(t), I_{R}(t) og I_{C}(t):

Legg merke til at I_{R} svinger i fase med E, mens I_{C} er faseforskjøvet π/2 i forhold til E. Faseforskyvningen mellom E og total strøm I = I_{R} + I_{C} blir med de aktuelle tallverdiene liggende midt mellom, dvs 45 grader.

Skisse av α, I_{0} og Z (med α i radianer og ωRC mellom 0.016 og 160 langs horisontal akse):

Legg merke til at faseforskyvningen α mellom påtrykt spenning E og total strøm I er omtrent lik null for lave frekvenser. Da går det meste av strømmen gjennom motstanden (I ≃ I_{R}), og kretsen oppfører seg omtrent som den ville ha gjort uten kapasitansen til stede. For høye frekvenser blir α omtrent lik -90 grader. Da går det meste av strømmen i ”grenen” med kondensatoren (I ≃ I_{C}), og kretsen oppfører seg omtrent som den ville ha gjort uten motstanden til stede. For lave frekvenser blir dermed strømamplituden I_{0} omtrent konstant, dvs uavhengig av frekvensen, mens for høye frekvenser øker I_{0} proporsjonalt med frekvensen. Vi ser at overgangen mellom ”lave” og ”høye” frekvenser skjer der ω ≃ 1/RC = 1/τ, der τ er tidskonstanten for en slik RC-krets.

Oppgave 5

1. Hele området mellom r = a og r = b kan oppfattes som en seriekobling av motstander dR, der hver motstand er et tynt kuleskall med radius r og tykkelse dr:

dR = \frac{ρ dr}{4πr^{2}}

Hele motstanden finner vi ved å legge sammen enkeltmotstandene, dvs ved å integrere fra r = a til r = b:

R = ∫ dR
= ∫_{a}^{b} \frac{ρ dr}{4πr^{2}}
= \frac{ρ}{4π} |_{a}^{b} (−\frac{1}{r})
= \frac{ρ}{4π} (\frac{1}{a} − \frac{1}{b})

2. Det oppgitte uttrykket for strømstyrken I viser at vi her kan bruke Gauss’ lov for det elektriske feltet til å bestemme I:

I = \frac{1}{ρ} · \frac{Q}{ε_{0}}

Vi må her forutsette at ladningen som kommer inn på den innerste lederen umiddelbart fordeler seg jevnt over kuleflaten ved r = a før den starter sin vandring gjennom materialet mellom r = a og r = b. Potensialforskjellen mellom indre og ytre lederskall bestemmes enkelt ettersom vi kjenner feltet E:

ΔV = V_{a} − V_{b}
= − ∫_{b}^{a} E(r) dr
= \frac{Q}{4πε_{0}} |_{b}^{a} \frac{1}{r}
= \frac{Q}{4πε_{0}} (\frac{1}{a} − \frac{1}{b})

Av disse uttrykkene følger det at motstanden er

R = \frac{ΔV}{I} = \frac{ρ}{4π} (\frac{1}{a} − \frac{1}{b})