Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008

Øving 11

Veiledning: Fredag 28. og mandag 31. mars Innleveringsfrist: Fredag 4. april

Oppgave 1

En spenningskilde V = 1.5 V er koblet til en motstand med resistans R = 20 Ω ved hjelp av to 60 cm lange kobberledninger med tverrsnitt 2 mm^{2}.

a) Hvor stort blir spenningsfallet over henholdsvis Cu–trådene og motstanden? [Svar: 0.75 mV og 1.5 V]

b) Bestem strømstyrken og utviklet effekt i motstanden. [Svar: ca 0.075 A og 0.11 W]

c) Hva blir de frie elektronenes midlere driftshastighet gjennom Cu–trådene? Anta her ett fritt elektron fra hvert Cu–atom. Sammenlign med midlere termiske hastighet for et elektron ved romtemperatur. (Midlere kinetisk energi pr elektron ved temperatur T er 3k_{B}T/2, der k_{B} er Boltzmanns konstant.) [Svar: 2.76 μm/s og ca 10^{5} m/s.]

Oppgitt: Tetthet for Cu: 8960 kg/m^{3}. Molar masse for Cu: 63.54 g/mol. Elektrisk ledningsevne for Cu ved romtemperatur: 5.8 · 10^{7} Ω^{−1}m^{−1}. Boltzmanns konstant: k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K.

Oppgave 2

Figuren nedenfor viser en elektrisk krets med 5 motstander R_{j}, j = 1, .., 5.

a) Bestem total motstand R mellom punktene A og B, dvs: Bestem motstanden R i den ekvivalente kretsen i følgende figur:

b) En ideell spenningskilde med elektromotorisk spenning E kobles til kretsen slik at ΔV = V_{A} − V_{B} = E. Bestem hvor stor strøm I_{j} som da passerer gjennom hver av motstandene R_{j}. (Med mindre noe annet er spesifisert, regner vi alltid i slike oppgaver med at ledningene mellom de ulike motstandene er perfekte ledere, dvs med null motstand.)

Oppgave 3

En kondensator med kapasitans C har ladning ±Q_{0}. Kondensatoren kobles ved tidspunktet t = 0 til en motstand R slik at vi får en lukket krets, og det begynner å gå en strøm i kretsen. Bestem kondensatorladningen Q(t) og strømmen I(t) for t ≥ 0.

Oppgave 4

For en likestrømkrets med spenningskilde V_{0} som leverer en strøm I_{0} vil kretsens totale resistans R være gitt ved Ohms lov, R = V_{0}/I_{0}. For en vekselstrømkrets med spenningskilde V_{0} cos ωt som leverer en strøm I_{0} cos(ωt − α) kan vi på tilsvarende måte definere en ”generalisert motstand”, eller impedans Z, for kretsen: Z = V_{0}/I_{0}. Vi holder her muligheten åpen for at strømmen kan være faseforskjøvet med α i forhold til den påtrykte spenningen. Vi skal også se i eksemplene nedenfor at strømamplituden I_{0} kan bli avhengig av (vinkel-)frekvensen ω, slik at impedansen også kan bli frekvensavhengig, dvs Z = Z(ω). I forelesningene regnet vi ut at med en spenningskilde V_{0} cos ωt koblet til en enkel resistans R blir strømmen I_{0} cos ωt, med amplitude I_{0} = V_{0}/R. Dermed blir impedansen til en motstand R simpelthen Z_{R} = R.

a) En vekselspenningskilde E(t) = V_{0} cos ωt er koblet til en kapasitans C:

Bestem ladningen Q(t) på kondensatoren og strømmen I(t) i kretsen. Tegn opp E(t) og I(t) mellom t = 0 og t = T = 2π/ω. Vis at strømmen kan skrives på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

og bestem (den frekvensavhengige) strømamplituden I_{0} og fasevinkelen α. Hva blir da impedansen Z_{C}(ω) til en kapasitans C?

b) En vekselspenningskilde E(t) = V_{0} cos ωt er koblet til en parallellkobling av en kapasitans C og en motstand R:

Bruk Kirchhoffs regler til å bestemme strømstyrkene I(t), I_{C}(t) og I_{R}(t). Vis at den totale strømmen som leveres av spenningskilden kan skrives på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

med amplitude

I_{0} = \frac{V_{0}}{R} \sqrt{1 + (ωRC)^{2}}

og fasevinkel

α = − arctan(ωRC)

Tips: Benytt cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b.

Anta at spenningskilden har amplitude V_{0} = 1.0 V og frekvens f = 1.0 MHz, og at R = 10 Ω og C = 16 nF. Bestem tallverdier for I_{0} og α. Skisser E(t), I(t), I_{R}(t) og I_{C}(t) for t mellom 0 og T = 1/f. (Svar: I_{0} = 0.14 A, α = −45^{∘})

Med de gitte tallverdiene for V_{0}, R og C, skisser funksjonene I_{0}(ω), α(ω) og kretsens impedans Z(ω) = V_{0}/I_{0}(ω) for vinkelfrekvenser mellom 10^{5} og 10^{9} s^{−1}. Tips: Bruk logaritmisk skala langs ω-aksen, dvs skisser I_{0} og α for vinkelfrekvenser slik at log ω varierer mellom verdiene 5 og 9.

Oppgave 5

Figuren viser to kuleformede ledere med radius hhv a (innerst) og b (ytterst). Området i mellom disse er fylt med et materiale med resistivitet ρ. (NB: Merk at symbolet ρ her står for resistivitet, eller invers konduktivitet, ettersom ρ = 1/σ. Her betyr altså ikke ρ ladning pr volumenhet...!) En tynn, isolert tilførselsledning går gjennom et lite hull i den ytterste lederen og inn til innerste leder. En stasjonær (dvs tidsuavhengig) elektrisk strøm går “gjennom systemet” som vist i figuren, og da er potensialforskjellen mellom indre og ytre leder ΔV = V_{a} − V_{b}, med størst potensial innerst. Anta at tilførselsledningene har neglisjerbar motstand i forhold til materialet mellom indre og ytre leder og vis at systemets resistans er R = ρ(a^{−1} − b^{−1})/4π. Du kan gjøre dette på en av to måter (eller begge!):

1. Med utgangspunkt i at motstanden til et kuleskall med radius r og tykkelse dr er dR = ρdr/4πr^{2}.

2. Ved å anta at den innerste kula har ladning Q og bestemme både ΔV og strømstyrken I = ∫ j · dA = ρ^{−1} ∫ E · dA.