Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2008

Løsningsforslag til øving 14

Oppgave 1

a) Sløyfas magnetiske dipolmoment:

m = IA n̂ = Ia^{2} n̂

Sløyfa består av 4 rette ledere med lengde a, der to og to har strømmen gående i motsatt retning. Dermed blir den magnetiske kraften

F = I ∫ dl × B = IL × B

motsatt rettet, men like stor i absoluttverdi, for slike par av rette lederbiter. Den totale kraften på sløyfa blir dermed null. Noen detaljer er inkludert i figuren:

Vi ser av figuren at kreftene fra magnetfeltet ville ha deformert strømsløyfa dersom det hadde vært en mulighet. For ei makroskopisk strømsløyfe er dette som regel en neglisjerbar effekt, men dersom strømsløyfa er en klassisk modell av et elektron i bane rundt en atomkjerne, aner vi at i tillegg til en innretting av strømsløyfa (som vi skal se på i resten av denne oppgaven), vil magnetfeltet påvirke selve banebevegelsen til elektronet rundt kjernen. Med andre ord: Atomets magnetiske moment endres både i retning og i absoluttverdi. Førstnevnte effekt er paramagnetisme, sistnevnte effekt er diamagnetisme. En klassisk modell av diamagnetisme ser vi nærmere på i oppgave 3, her konsentrerer vi oss om orienteringen av m.

b) Av figuren over ser vi at de to strømmene som går parallelt med xz-planet påvirkes av krefter i hhv positiv og negativ y-retning. Disse kreftene vil da ikke bidra til dreiemomentet omkring y-aksen. Kreftene som virker på strømmene som går parallelt med y-aksen gir tilsammen et dreiemoment (se figuren nedenfor og ovenfor)

τ = ∑ r × F
= −r_{1}F_{1} sin θ ŷ − r_{2}F_{2} sin θ ŷ
= −2 · \frac{a}{2} · IaB sin θ ŷ
= −Ia^{2} · B sin θ ŷ
= −m · B sin θ ŷ
= m × B

Skiftet av fortegn i siste linje skyldes av vi hadde valgt positiv vinkel θ mellom z-aksen og n̂, altså mellom B og m. Kryssproduktet m × B er, pr definisjon, m ganger B ganger sinus til vinkelen mellom m og B, dvs mB sin(−θ) = −mB sin θ.

c) I oppgave 4c i øving 5 hadde vi en generell sammenheng mellom dreiemoment τ og tilhørende potensiell energi U, nemlig at en rotasjon gjennom en vinkel dα under påvirkning av et dreiemoment τ resulterer i en endring dU i potensiell energi gitt ved

dU = −τ dα

Denne sammenhengen er ikke avhengig av hvilken type krefter og dreiemoment det handler om, og må derfor gjelde like bra for vår magnetiske dipol i et magnetfelt som for den elektriske dipolen i et elektrisk felt i øving 5. Følgelig:

U(θ) = ∫_{θ_{0}}^{θ} dU
= − ∫_{θ_{0}}^{θ} τ(α) dα
= mB ∫_{θ_{0}}^{θ} sin α dα
= mB (cos θ_{0} − cos θ)
= −mB cos θ
= −m · B

Her valgte jeg å sette U(0) = −mB, dvs θ_{0} = π/2.

Skisse:

Vi har minimal U, og følgelig stabil likevekt for θ = 0, dvs for dipolen orientert slik at m er parallell med B. Vi har maksimal U, og følgelig ustabil likevekt for θ = ±π, dvs for dipolen orientert slik at m er parallell med −B. Dette er magnetismens analogi til polarisering av dielektriske medier i et ytre elektrisk felt: Magnetiske dipoler retter seg inn langs det påtrykte magnetfeltet. Som nevnt lenger opp, dette er hva vi kaller paramagnetisme. Vi har snakket om ulike typer magnetisme i forelesningene – la dette være en liten oppsummering av det: Medier som består av atomer som har et atomært magnetisk dipolmoment som ikke er lik null, og der dipolmomentene på atomer i nærheten av hverandre ikke vekselvirker med hverandre, er paramagneter. Uten et ytre magnetfelt vil de atomære magnetiske dipolmomentene peke i tilfeldige retninger, slik at den midlere magnetiseringen, dvs midlere magnetiske dipolmoment pr volumenhet (se punkt d)), blir lik null overalt i mediet. Slik var det også med midlere polarisering i et dielektrikum når vi ikke hadde noe ytre elektrisk felt. Med et ytre magnetfelt får vi en tendens til innretting av magnetiske dipolmoment langs det ytre feltet, og dermed en midlere magnetisering forskjellig fra null. Eksempler på paramagnetiske materialer er aluminium (Al) og magnesium (Mg). Medier som består av atomer med atomært magnetisk dipolmoment lik null har ingenting å rette inn i et påtrykt magnetfelt. Men, og som nevnt lenger opp, banebevegelsen til elektronene rundt atomkjernen vil påvirkes av et ytre magnetfelt, slik at vi får indusert et atomært magnetisk dipolmoment i hvert eneste atom. Slike medier er diamagneter. Vi så kvalitativt på denne effekten i forrige øving og fant at det induserte magnetiske dipolmomentet ble motsatt rettet det ytre feltet. Diamagnetisme er en mye svakere effekt enn paramagnetisme. Også i paramagneter, der vi har permanente atomære magnetiske dipolmoment, får vi en slik diamagnetisk ”respons” i et ytre magnetfelt. Den diamagnetiske responsen vil imidlertid være tilnærmet neglisjerbar i en paramagnet. For å kunne måle diamagnetisme, trenger vi derfor medier med null atomært magnetisk dipolmoment i utgangspunktet (dvs før vi skrur på det ytre magnetfeltet). Eksempler på diamagneter er gull (Au), sølv (Ag), kobber (Cu). I enkelte medier har vi atomer med magnetiske dipolmoment som vekselvirker med dipolmomentene på naboatomene. F.eks. kan vekselvirkningen være slik at det er energetisk foretrukket at naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i samme retning. Da har vi en ferromagnet, og eksempler på ferromagneter er jern (Fe), kobolt (Co) og nikkel (Ni).

d) Maksimal magnetisering i jern blir lik antall jernatomer pr volumenhet ganget med magnetisk dipolmoment pr jernatom:

M = \frac{m}{V} = 2μ_{B} · \frac{7.9 · 10^{6}}{55.9} · 6.02 · 10^{23} = 2 · 9.27 · 10^{−24} · \frac{7.9 · 10^{6}}{55.9} · 6.02 · 10^{23} = 1.6 · 10^{6}

Enheten til m er Am^{2}, enheten til V er m^{3}. Følgelig blir enheten til magnetisering A/m.

Oppgave 2

Fra hysteresekurven har vi at B(H = 0) = ±1.0 T og H(B = 0) = ∓3.4 A/mm = ∓3400 A/m. Videre ser vi at B(H → ±∞) = ±1.5 T. Her gjelder øvre fortegn for den øverste kurven (dvs minkende H). Starter med å bestemme H_{0}:

B(3.4) = 0 = B_{0} arctan 0
⇒ H_{0} = 3.4 A/mm

Deretter B_{0}:

B(∞) = 1.5 T = B_{0} arctan(∞) = B_{0} \frac{π}{2}

⇒ B_{0} = \frac{3.0}{π} T ≃ 0.95 T

Til slutt α:

B(0) = 1.0 T = B_{0} arctan(α)

⇒ arctan(α) = \frac{π}{3}

⇒ α = tan \frac{π}{3} = \sqrt{3} ≃ 1.73

For å bestemme w finner vi først H(B):

B(H) = B_{0} arctan (α \frac{H ∓ H_{0}}{H_{0}} )
⇒ α \frac{H ∓ H_{0}}{H_{0}} = tan (\frac{B}{B_{0}} )
⇒ H ∓ H_{0} = \frac{H_{0}}{α} tan (\frac{B}{B_{0}} )
⇒ H_{±}(B) = ±H_{0} + \frac{H_{0}}{α} tan (\frac{B}{B_{0}} )

Her gjelder øvre fortegn kurven som tilsvarer økende verdi av H. Energien w som tapes i jernsylinderen pr volumenhet og pr periode er gitt ved integralet av H(B) en runde rundt hysteresekurven. Integrasjonsgrensene er ±1.5 T, dvs ±B_{0}π/2.

w = ∮ H(B) dB
= ∫_{−B_{0}π/2}^{B_{0}π/2} H_{+} dB + ∫_{B_{0}π/2}^{−B_{0}π/2} H_{−} dB

= ∫_{−B_{0}π/2}^{B_{0}π/2} H_{+} dB − ∫_{−B_{0}π/2}^{B_{0}π/2} H_{−} dB
= ∫_{−B_{0}π/2}^{B_{0}π/2}(H_{+} − H_{−})dB
= 2H_{0} ∫_{−B_{0}π/2}^{B_{0}π/2} dB
= 2H_{0}B_{0}π

Innsetting av tallverdier gir

w = 2 · 3400 · \frac{3}{π} · π = 20400

dvs i enheten J/m^{3}.

Oppgave 3

Vi ser først på B_{n}, dvs komponenten av B som står normalt på det strømførende planet. Som gaussflate velger vi en fyrstikkeske, “symmetrisk omsluttende” et areal L^{2} av det strømførende planet og med “høyde” h. Dvs, de to flatene som ligger parallelt med planet ligger på hver sin side i avstand h/2 fra planet. Når vi lar denne høyden h gå mot null, får vi ingen magnetisk fluks gjennom de fire sideflatene av gaussesken som står normalt på planet. Magnetfeltet like på oversiden er B, så magnetisk fluks gjennom “topplokket” av esken blir B_{n} · L^{2}. Vi lar altså L også være liten, men dog endelig. Dermed er magnetfeltet konstant over hele topplokket. På undersiden av flaten er magnetfeltet B + ΔB. Dersom fluksen gjennom topplokket er positiv (dvs ut av gaussesken), må B på undersiden gi et like stort negativt bidrag, −B_{n} · L^{2}. I tillegg får vi et positivt eller negativt bidrag ΔB_{n} · L^{2} fra normalkomponenten ΔB_{n} til ΔB. Ifølge Gauss’ lov skal netto fluks gjennom den lukkede flaten forsvinne. Dermed:

B_{n} · L^{2} − B_{n} · L^{2} + ΔB_{n} · L^{2} = 0

Med andre ord: Normalkomponenten til ΔB må være lik null. Dvs, normalkomponenten til B er kontinuerlig.

Deretter bruker vi Amperes lov på den nederste av de to amperekurvene i figuren i oppgaveteksten, nemlig den som omslutter et rektangel med flatenormal tangentielt til planet, men normalt til strømretningen. Vi lar lengden normalt til planet være h, som vi lar gå mot null, mens lengden L parallelt med planet lar vi være liten men endelig. Da får vi null bidrag til kurveintegralet i Amperes lov fra de to sidekantene med lengde h. Fra biten med lengde L på oversiden av flaten får vi bidraget B_{t∥} ·L, der B_{t∥} er komponenten av B som er parallell til både planet og til strømretningen. (Som over antar vi L så liten at B er konstant over hele lengden L.) Fra biten med lengde L på undersiden av flaten får vi bidraget −B_{t∥}·L fra B (motsatt fortegn av bidraget på oversiden fordi vi går motsatt vei) og dessuten bidraget ΔB_{t∥} · L fra ΔB. Tilsammen skal kurveintegralet rundt den lukkede kurven, dvs rektangelet, være lik μ_{0} ganget med strømmen som kurven omslutter. Her er omsluttet strøm lik null, så vi får

B_{t∥} · L − B_{t∥} · L + ΔB_{t∥} · L = 0

Med andre ord: Komponenten av ΔB som er parallell til både planet og til strømretningen må være lik null. Dvs, B_{t∥} er kontinuerlig.

Endelig bruker vi Amperes lov på den øverste av de to amperekurvene i figuren i oppgaveteksten, nemlig den som omslutter et rektangel med flatenormal tangentielt til planet og til strømretningen. Nok en gang lar vi høyden h gå mot null slik at vi ikke får noe bidrag til kurveintegralet fra de to bitene normalt til planet. Bidraget fra lengden L over planet blir nå B_{t⊥} · L, der B_{t⊥} er komponenten av B tangentielt til planet og normalt til strømretningen. Hvis bidraget er positivt når vi integrerer som vist i figuren, dvs mot klokka, betyr det at B_{t⊥} er positiv mot venstre i figuren. Bidraget fra lengden L under planet blir dermed −B_{t⊥} · L fra B (for her går vi motsatt vei) og ΔB_{t⊥} · L fra ΔB. Her må vi passe på fortegnet: Vi integrerer fra venstre mot høyre, så hvis dette siste bidraget er positivt, betyr det at ΔB peker mot høyre. Omsluttet strøm i dette tilfellet er ikke lik null. Pr lengdeenhet har vi en strøm i i det strømførende planet. På en lengde L har vi derfor en strøm iL. Amperes lov gir da:

B_{t⊥} · L − B_{t⊥} · L + ΔB_{t⊥} · L = μ_{0}iL

dvs

ΔB_{t⊥} = μ_{0}i

Og dette er altså hele diskontinuiteten i magnetfeltet når vi krysser det strømførende planet. Vi har valgt omløpsretning for kurveintegralet i Amperes lov konsistent med positiv strøm ut av planet. Med andre ord, diskontinuiteten ΔB blir en vektor mot høyre, som vist i figuren, med absoluttverdi μ_{0}i. Vi ser at med flatenormalen n̂ pekende nedover og strømmen i ut av planet, får vi riktig retning på ΔB ved å skrive

ΔB = μ_{0} i × n̂

som oppgitt i oppgaveteksten.

Legg merke til at hele diskontinuiteten ΔB dannes av den strømmen som går i planet akkurat der vi krysser planet, eller om du vil, der vi krysser planet og et lite område omkring. Resten av verden, inklusive hele det strømførende planet, unntatt den lille biten omkring krysningspunktet, skaper et magnetfelt som er kontinuerlig gjennom krysningspunktet. Dette er fullstendig analogt i elektrostatikken: Der fant vi at det elektriske feltet var diskontinuerlig når vi krysset en flate med netto ladning σ pr flateenhet. Også der kan vi tenke oss at vi ser på en liten bit (skive) av flaten omkring krysningspunktet og lar det totale feltet være feltet fra denne biten pluss feltet fra resten av verden, inklusive resten av den ladete flaten. Diskontinuiteten i det elektriske feltet skyldes da nettopp den lille ladete skiva omkring krysningspunktet, mens feltet fra resten av verden er kontinuerlig idet vi krysser flaten. Husk imidlertid den lille men viktige forskjellen, nemlig at det er normalkomponenten til det elektriske feltet som er diskontinuerlig, mens det er tangentialkomponenten (og mer presist, den som står vinkelrett på strømretningen) til det magnetiske feltet som er diskontinuerlig.