Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2008

Løsningsforslag til øving 15

Oppgave 1

Den påtrykte strømmen I genererer et H-felt H = nI på langs overalt inne i spolen (pga Amperes lov for H). Dermed er det bare å benytte at

B = μ_{0} (H + M) = μ_{r}μ_{0}H

for å bestemme de ulike størrelsene:

Inne i jernstaven:

H_{j} = nI = 2000 m^{−1} · 3 A = 6000 A/m
B_{j} = μ_{r}μ_{0}H_{j} = 2000 · 4π · 10^{−7} (Vs/Am) · 6000 A/m = 15 T
M_{j} = (μ_{r} − 1)H_{j} = 1.2 · 10^{7} A/m

I den luftfylte delen inne i spolen:

H_{0} = H_{j} = 6000 A/m
B_{0} = μ_{0}H_{0} = 7.5 mT
M_{0} = 0

Den beregnede magnetiseringen inne i jernstaven, M_{j} = 1.2 · 10^{7} A/m, er større enn metningsmagnetiseringen M_{s} = 1.6 · 10^{6} A/m, og derfor ikke fysisk mulig. Årsaken er at vi har brukt den lineære sammenhengen B = μ_{r}μ_{0}H mellom magnetfeltet B og feltet H fra den påtrykte strømmen. Her har vi imidlertid et så sterkt “ytre” felt H at en slik lineær sammenheng ikke lenger er gyldig. Samtlige magnetiske dipolmoment er rettet inn langs det påtrykte feltet allerede ved H ≃ M_{s}/μ_{r} = 800 A/m. Ytterligere økning i H gir ingen økning i M. Korrigert, maksimal verdi for B_{j} blir

B_{j}^{korr} = μ_{0} (H_{j} + M_{s}) = 4π · 10^{−7} · (6000 + 1.6 · 10^{6}) = 2 T

Oppgave 2

a) Vi har brukt Amperes lov i forelesningene til å regne ut magnetfeltet inne i en slik lang spole:

B = μ_{0}nI_{1} = μ_{0} \frac{N_{1}}{d} I_{1}

En vikling av spoletråden omslutter et areal A = πR^{2}, og dermed en magnetisk fluks

ϕ = BA = μ_{0} \frac{N_{1}}{d} I_{1}πR^{2}

Da må N_{1} viklinger omslutte en fluks som er N_{1} ganger så stor, for her er jo magnetfeltet konstant overalt inne i spolen. Altså:

ϕ_{1} = N_{1}ϕ = μ_{0} \frac{N_{1}^{2}}{d} I_{1}πR^{2}

En vikling av spole 2 omslutter her akkurat det samme arealet, og dermed like stor fluks ϕ, slik at N_{2} viklinger av spole 2 må omslutte en total magnetisk fluks lik

ϕ_{2} = N_{2}ϕ = μ_{0} \frac{N_{1}N_{2}}{d} I_{1}πR^{2}

b) Selvinduktansen L blir

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}} = μ_{0} \frac{N_{1}^{2}}{d} πR^{2}

c) Gjensidig induktans M blir

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}} = μ_{0} \frac{N_{1}N_{2}}{d} πR^{2}

d) Tallverdier:

L = 4π · 10^{−7} · \frac{1200^{2}}{0.6} · π · 0.01^{2} = 9.5 · 10^{−4}

M = 4π · 10^{−7} · \frac{1200 · 600}{0.6} · π · 0.01^{2} = 4.7 · 10^{−4}

I SI-systemet har induktans fått sin egen enhet, henry (H). Her blir altså selvinduktansen 0.95 mH og den gjensidige induktansen 0.47 mH. Alternativt kunne vi f.eks. ha brukt enheten T m^{2}/A, ettersom magnetisk fluks må ha enheten til magnetfelt ganger areal, dvs T m^{2}.

Oppgave 3

Dielektrisk skive på tvers i konstant ytre elektrisk felt E_{0}: Her har vi grenseflater som står normalt på feltene. Vi kan ikke uten videre bruke grenseflatebetingelsen for E for vi vet ikke hvor mye ladning vi har i grenseflatene mellom vakuum og dielektrikum. Vi vet at det induseres bundet ladning, positiv i øvre flate og negativ i nedre flate, men ikke hvor mye. Men vi kan bruke grenseflatebetingelsen for D, for vi vet at det er null fri ladning i skiva. Dermed har vi D_{1} = D_{0}, der D_{0} = ε_{0}E_{0} er elektrisk forskyvning utenfor skiva. Dessuten har vi at D_{1} = ε_{1}E_{1} = ε_{r}ε_{0}E_{1}. Dermed:

D_{1} = ε_{0}E_{0}
E_{1} = \frac{1}{ε_{r}} E_{0}

Dielektrisk skive på langs i konstant ytre elektrisk felt E_{0}: Nå har vi grenseflater parallelt med feltretningen. Da kan vi bruke at parallellkomponenten til E er kontinuerlig, dvs E_{1} = E_{0}. Sammenhengen D_{1} = ε_{r}ε_{0}E_{1} gjelder selvsagt fortsatt, så

D_{1} = ε_{r}ε_{0}E_{0}
E_{1} = E_{0}

Magnetiserbar skive på tvers i konstant ytre magnetfelt B_{0}: Her har vi igjen grenseflater som står normalt på feltene. Vi kan da benytte oss av at B_{n} er kontinuerlig, dvs B_{1} = B_{0}. Dessuten har vi at B_{1} = μ_{1}H_{1} = μ_{r}μ_{0}H_{1}. Dermed:

H_{1} = \frac{1}{μ_{r}μ_{0}} B_{0}
B_{1} = B_{0}

Magnetiserbar skive på langs i konstant ytre magnetfelt B_{0}: Grenseflatene er parallelt med feltene. Vi vet at det induseres magnetiseringsstrøm i skivas overflate men ikke hvor mye. Men vi kan bruke grenseflatebetingelsen for H, for vi vet at det er null fri strøm i skiva. Dermed har vi H_{1} = H_{0}, der H_{0} = B_{0}/μ_{0} er H-feltet utenfor skiva (vakuum). Dessuten har vi B_{1} = μ_{r}μ_{0}H_{1}. Dermed:

H_{1} = \frac{1}{μ_{0}} B_{0}
B_{1} = μ_{r}B_{0}

Forklaring på ulik E_{1} og B_{1} i de to tilfellene: Dielektrisk skive på tvers gir polarisering, og tilhørende indusert ladning i overflaten. Den induserte ladningen gir bidrag til feltet motsatt rettet det ytre feltet, slik at E_{1} blir mindre enn E_{0}. Med skiva på langs blir den induserte overflateladningen lokalisert uendelig langt unna ”der vi er”. Dermed bidrar den ikke til feltet der vi er, og E_{1} = E_{0}. Magnetiserbar skive på langs gir magnetisering, og tilhørende indusert strøm i overflaten. Den induserte strømmen gir bidrag til feltet i samme retning som det ytre feltet, slik at B_{1} blir større enn B_{0}. Med skiva på tvers blir den induserte overflatestrømmen lokalisert uendelig langt unna ”der vi er”. Dermed bidrar den ikke til feltet der vi er, og B_{1} = B_{0}.

Oppgave 4

a) Arealet som strømsløyfa omslutter er L · x, og dette øker lineært med tiden, dA/dt = Ldx/dt = Lv. Omsluttet magnetisk fluks er ϕ = B·A = BLx, slik at indusert ems i strømsløyfa blir E = dϕ/dt = BLdx/dt = BLv. Sløyfa har resistans R, så ifølge Ohms lov blir strømmen i kretsen

I = E/R = BLv/R

Strømmen går mot klokka. Det innser vi fordi kraften på en positiv ladning q i metallstanga, qv × B, er rettet oppover. Alternativt, med Lenz’ lov: Økende areal gir økende omsluttet magnetisk fluks inn i planet. Strømmen må da gå i en slik retning av fluksen på grunn av I peker ut av planet når vi er på innsiden av sløyfa.

b) Strømmen I går oppover i metallstanga, magnetfeltet peker inn i planet, så magnetsk kraft på strømmen I blir rettet mot venstre og er

F = ILB = B^{2}L^{2}v/R

c) Fra forrige punkt har vi altså at vi må trekke metallstanga bortover mot høyre med en kraft F for å opprettholde konstant hastighet. Slipper vi stanga, blir den eneste krafta som virker den (bremsende) magnetiske krafta mot venstre. Newtons 2. lov gir oss da følgende bevegelsesligning:

m\frac{dv}{dt} = −\frac{B^{2}L^{2}v}{R}

Dette er en 1. ordens differensialligning for v(t). Løsning:

\frac{dv}{v} = −\frac{B^{2}L^{2}}{mR} dt
⇒ ln v = −\frac{B^{2}L^{2}}{mR} t + ln k
⇒ v(t) = k e^{−B^{2}L^{2}t/mR}
⇒ v(t) = v_{0} e^{−B^{2}L^{2}t/mR}

der vi brukte initialbetingelsen v(0) = v_{0}.

d) Vi må regne ut hvor mye energi som tapes som varme i motstanden. Effekttapet er lik V I, der V er spenningsfallet over motstanden, dvs V = RI. Da effekttap er energitap pr tidsenhet, kan vi skrive

dW = P dt = V I dt = RI^{2} dt

for energien dW tapt på et tidsrom dt. Vi har i a funnet I uttrykt ved metallstangas hastighet v, så det er bare å sette inn. Totalt energitap må bli integralet av dW, dvs fra t = 0 til t = ∞:

W = ∫ dW
= ∫_{0}^{∞} RI^{2} dt
= ∫_{0}^{∞} R (\frac{BLv}{R} )^{2} dt
= \frac{B^{2}L^{2}v_{0}^{2}}{R} ∫_{0}^{∞} e^{−2B^{2}L^{2}t/mR} dt
= \frac{B^{2}L^{2}v_{0}^{2}}{R} |_{0}^{∞} (−\frac{mR}{2B^{2}L^{2}} ) e^{−2B^{2}L^{2}t/mR}
= mv_{0}^{2}/2

som var det vi skulle vise.

Oppgave 5

a) Magnetfelt fra lang, rett strømførende leder er B(x) = μ_{0}I/2πx, der x er avstanden fra lederen. På planet som her er omsluttet av den kvadratiske sløyfa peker magnetfeltet rett ut av papirplanet. x-aksen er valgt oppover. Magnetfeltet og ”flateelementvektoren” dA er parallelle, så vi har rett og slett dϕ = B · dA for fluks gjennom flateelement dA. Her velger vi horisontal stripe med bredde a og høyde dx som flateelement. Total fluks omsluttet av den kvadratiske sløyfa får vi ved å ”summmere” opp slike striper, dvs ved å integrere fra x = d til x = d + a. (Vi har valgt x = 0 der den rette lederen ligger.)

ϕ = ∫ dϕ
= ∫_{d}^{d+a} \frac{μ_{0}I}{2πx}a dx
= \frac{μ_{0}Ia}{2π}|_{d}^{d+a} ln x
= \frac{μ_{0}Ia}{2π} ln \frac{d + a}{d}

b) Indusert ems er lik den tidsderiverte av omsluttet magnetisk fluks:

E = −\frac{dϕ}{dt}
= −\frac{μ_{0}Ia}{2π} \frac{d}{dt} (ln(d + a) − ln d)
= −\frac{μ_{0}Ia}{2π} (\frac{1}{d + a} \frac{dd}{dt} − \frac{1}{d} \frac{dd}{dt})
= \frac{μ_{0}Iav}{2π} \frac{a}{(d + a)d}

Her har vi brukt at v = dd/dt, og nå er ikke d en konstant avstand, men en avstand som øker lineært med tiden, f.eks. d(t) = d_{0} + vt. Fluksen opp av planet avtar med tiden. Da må indusert ems og tilhørende strøm bli mot klokka for å motvirke dette.

c) Hvis sløyfa trekkes mot høyre, endres ikke fluksen innenfor sløyfa. Dermed blir indusert ems lik null.