Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008

Øving 15

Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. april Innleveringsfrist: Fredag 2. mai

Oppgave 1

En sylinderformet jernstav med relativ permeabilitet μ_{r} = 2000 er plassert koaksialt inne i en spole, men fyller bare delvis volumet inne i spolen. Spolen har en viklingstetthet n = 2000 m^{−1} og strømmen i spoletråden er I = 3 A. Vi antar at både spolen og jernstaven er så lange at vi kan se bort fra randeffekter. Anta i første omgang at vi har lineær respons i jernstaven, dvs M = χ_{m}H, og bestem H, B og M inne i spolen, både inne i (indeks j) og utenfor (indeks 0) jernstaven. (Husk at H-feltet bestemmes av “fri” strøm, mens B bestemmes av total strøm.) Diskuter den beregnede verdien på M_{j} inne i jernstaven i lys av metningsmagnetiseringen i jern, dvs den maksimalt oppnåelige magnetiseringen, som du regnet ut i oppgave 1d i øving 14. Beregn deretter korrigert (maksimal) verdi for B_{j}.

Oppgitt:

B = μ_{0} (H + M) = μ_{r}μ_{0}H = μH
M = χ_{m}H = (μ_{r} − 1)H

(Siste linje er bare gyldig når vi har lineær respons.)

Et par tallsvar: B_{j} = 15 T (“ukorrigert”), B_{j} = 2 T (“korrigert”).

Oppgave 2

Figuren viser to spoler 1 og 2 som begge er viklet opp på en sylinder med radius R. Vi antar at sylinderen har magnetiske egenskaper som vakuum, dvs vi ser bort fra en eventuell magnetisering i sylinderen. Spole 1 har N_{1} viklinger, spole 2 har N_{2} viklinger. Begge spolene er viklet opp på en lengde d som er (tilnærmet uendelig) lang i forhold til sylinderens radius. (Figuren er sånn sett ikke kvantitativt riktig...!) Du kan anta at begge spoler er tett viklet, og at hver vikling i begge spoler omslutter samme magnetiske fluks. (Spoletrådene er belagt med et isolerende materiale, f.eks. et lag plast, slik at en eventuell elektrisk strøm er nødt til å følge spoletråden. Denne antagelsen er forøvrig underforstått i alle slike oppgaver med spoler.)

a) Anta at det går en strøm I_{1} i spole 1. Hva blir da styrken på magnetfeltet B inne i spolen? Hva blir videre total magnetisk fluks ϕ_{1} som omsluttes av hele spoletråden i spole 1 (dvs alle de N_{1} viklingene)? Hva blir total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av hele spoletråden i spole 2 (igjen: alle de N_{2} viklingene)? (Merk: Det går altså ingen strøm i spole 2. Strømmen i spole 1 kan vi lage f.eks. ved å koble den til et batteri og en motstand.)

b) Forholdet mellom total omsluttet magnetisk fluks ϕ_{1} og strømstyrken I_{1} i strømsløyfa ”selv” er, pr definisjon, strømsløyfas selvinduktans L:

L = \frac{ϕ_{1}}{I_{1}}

Hva blir dermed selvinduktansen L til en slik lang sylinderformet spole med radius R, lengde d og N_{1} viklinger?

c) Forholdet mellom total magnetisk fluks ϕ_{2} som omsluttes av spole 2 og strømstyrken I_{1} i spole 1 er, pr definisjon, gjensidig induktans M mellom de to strømsløyfene:

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Hva blir dermed den gjensidige induktansen M mellom to slike lange sylinderformede spoler, begge viklet opp på en sylinder med radius R over en lengde d, og med henholdsvis N_{1} og N_{2} viklinger? d) Bestem tallverdier for L og M (i SI-enheter) dersom R = 1 cm, d = 60 cm, N_{1} = 1200 og N_{2} = 600. (Svar: L = 9.5 · 10^{−4}, M = 4.7 · 10^{−4})

Oppgave 3

Fra tidligere øvinger (7 og 14) har vi disse grenseflatebetingelsene:

ΔE^{∥} = 0
ΔD^{⊥} = σ_{f}
ΔB^{⊥} = 0
ΔH^{∥} = i_{f} × n̂

Anta at vi har et uniformt elektrisk felt E_{0} = E_{0} ẑ. I dette feltet plasserer vi ei (alt i alt elektrisk nøytral) dielektrisk skive med tilnærmet uendelig stor utstrekning i x- og y-retning og tykkelse h i z-retning. Med andre ord, skiva er plassert på tvers i det ytre feltet. Materialet i skiva har relativ permittivitet ε_{r}.

Hva blir elektrisk forskyvning D_{1} og elektrisk felt E_{1} inne i den dielektriske skiva? Gjenta med skiva på langs i det ytre feltet! (Dvs: Med uendelig utstrekning i y- og z-retning og tykkelse h i x-retning.) Gjør deretter tilsvarende for ei uendelig stor magnetiserbar skive med tykkelse h og relativ permeabilitet μ_{r}, henholdsvis på tvers og på langs i et uniformt ytre magnetfelt B_{0} = B_{0} ẑ. Dvs: Bestem H_{1} og B_{1} inne i skiva. Synes du resultatet ble uventet i noen av tilfellene? Hvordan vil du forklare at du får ulik elektrisk feltstyrke inne i den dielektriske skiva med skiva på tvers og på langs i det ytre feltet? Og tilsvarende: Hvordan vil du forklare at du får ulik magnetisk feltstyrke inne i den magnetiserbare skiva i de to tilfellene?

Oppgave 4

Ei metallstang med masse m glir uten friksjon på to parallelle ledere i innbyrdes avstand L som vist i figuren. De to parallelle lederne er koblet sammen via en motstand R slik at vi får en lukket krets. Hele systemet befinner seg i et uniformt magnetfelt B som peker inn i planet.

a) Hvor stor blir strømmen I i kretsen dersom stanga har hastighet v mot høyre? I hvilken retning går strømmen?

b) Hva er den magnetiske krafta F på stanga? (Størrelse og retning.)

c) Hvis stanga starter med hastighet v_{0} ved tidspunktet t = 0, og deretter overlates til seg selv, hva er da hastigheten v ved et senere tidspunkt t?

d) Vis at stangas kinetiske energi mv_{0}^{2}/2 er presis lik den energien som tapes i motstanden R.

Oppgave 5

Ei kvadratisk strømsløyfe med sidekanter a ligger i avstand d fra en lang rett leder som fører en strøm I:

a) Hvor mye magnetisk fluks omsluttes av strømsløyfa?

b) Strømsløyfa trekkes nå med hastighet v bort fra den rette lederen. Hvor stor elektromotorisk spenning induseres i sløyfa, og i hvilken retning vil den resulterende strømmen gå? (Med eller mot klokka?)

c) Hvis strømsløyfa trekkes mot høyre, dvs parallelt med den rette lederen, hva blir da den induserte emsen i sløyfa?