Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke17

Tirsdag 22. april

Magnetisk susceptibilitet og permeabilitet [FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5, AF 26.7; LHL 26.1; DJG 6.4.1]

Dersom magnetiseringen er proporsjonal med det påtrykte feltet, kan vi skrive

M = χ_{m}H

Her er χ_{m} magnetisk susceptibilitet. Dermed, ut fra sammenhengen mellom B, H og M:

B = μ_{0}(H + M) = μ_{0}(1 + χ_{m})H = μ_{0}μ_{r}H = μH

Her er μ_{r} = 1 + χ_{m} relativ permeabilitet mens μ er mediets permeabilitet. (Jfr lineær respons i dielektriske medier!)

Noen typiske tallverdier: Diamagneter: χ_{m} ∼ −10^{−5} til −10^{−4} Paramagneter: χ_{m} ∼ 10^{−4} til 10^{−3} Ferromagneter: χ_{m} ∼ 10^{3} til 10^{4} (eller mer)

Dette betyr at det bare er ferromagnetiske materialer (Fe, Co, Ni...) som ”reagerer noe særlig” på et ytre magnetfelt. For en ”bløt” ferromagnet (f.eks. stål) vil M(H) med god tilnærmelse være gitt ved en lineær funksjon i nærheten av H = 0. Dermed har vi lineær respons, og en veldefinert magnetisk susceptibilitet i dette området. For økende verdier av |H| vil M etter hvert flate ut og nærme seg metningsmagnetiseringen M_{s} (dvs maksimal magnetisering).

Elektromagnetisk induksjon [FGT 30.1 - 30.6; YF 29.1 - 29.5; TM 28.2 - 28.3; AF 27.1 - 27.3; LHL 24.1; DJG 7.2]

En elektromotorisk spenning (ems) E induseres i ei ledersløyfe dersom den magnetiske fluksen ϕ_{m} som omsluttes av ledersløyfa varierer med tiden:

E = −\frac{dϕ_{m}}{dt}

Omsluttet magnetisk fluks er gitt ved flateintegralet av det magnetiske feltet B, der integralet tas over flaten S som omsluttes av ledersløyfa:

ϕ_{m} = ∫_{S} B · dA

Dermed ser vi at ϕ_{m} kan variere med tiden på ulike måter, f.eks. med

• tidsavhengig omsluttet areal S • tidsavhengig orientering av ledersløyfa (bestemt ved retningen på dA)

• tidsavhengig magnetfelt B (retning og/eller absoluttverdi)

I alle tilfelle får vi en indusert ems i ledersløyfa.

Retningen på indusert ems E bestemmes med Lenz’ lov: En eventuell generert strøm I, drevet av E, skaper et magnetfelt B_{I} og dermed en magnetisk fluks ϕ_{I} = ∫_{S} B_{I} · dA som er motsatt rettet fluksendringen dϕ_{m} som i utgangspunktet forårsaket E.

En indusert ems E i ei lukket ledersløyfe impliserer et indusert elektrisk felt E:

E = ∮ E · dl

Faradays lov (eller for å være presis: Faraday - Henrys lov) uttrykker dermed en sammenheng mellom feltene E og B:

∮_{c} E · dl = −\frac{d}{dt} ∫_{S} B · dA

der c er en lukket kurve som omslutter en flate S.

Ettersom integralet av et slik “Faraday-indusert” elektrisk felt rundt en lukket kurve ikke er lik null, er det (pr definisjon) heller ikke et konservativt felt. (Mens et elektrostatisk felt er konservativt.)

Onsdag 23. april

Gjensidig induktans [FGT 32.1; YF 30.1; AF 27.12; LHL 25.4; DJG 7.2.3]

En strøm I_{1} i ei strømsløyfe (1) resulterer i et magnetfelt B_{1} i området omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp av Biot-Savarts lov:

B_{1} = \frac{μ_{0}I_{1}}{4π} ∮_{(1)} \frac{dl_{1} × r̂}{r^{2}}

Dersom ei anna strømsløyfe (2) er plassert i dette området, vil magnetfeltet fra sløyfe (1) resultere i en magnetisk fluks gjennom sløyfe (2):

ϕ_{2} = ∫_{S_{2}} B_{1} · dA_{2} = ∫_{S_{2}} \{\frac{μ_{0}I_{1}}{4π} ∮_{(1)} \frac{dl_{1} × r̂}{r^{2}}\} · dA_{2}

Uansett hva dette gufne integralet måtte være, kan vi uttrykke det på formen

ϕ_{2} = M_{21}I_{1}

forutsatt at I_{1} er konstant i sløyfe (1), dvs den samme alle steder i sløyfa. (Og det må den jo være hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

Faktoren M_{21} er den gjensidige induktansen mellom de to sløyfene (1) og (2) og uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får ”gjennom” (dvs omsluttet av) sløyfe (2) når det går en strøm i sløyfe (1):

M_{21} = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}}

Omvendt må vi også få en magnetisk fluks gjennom sløyfe (1) hvis det går en strøm i sløyfe (2):

ϕ_{1} = ∫_{S_{1}} B_{2} · dA_{1} = ∫_{S_{1}} \{\frac{μ_{0}I_{2}}{4π} ∮_{(2)} \frac{dl_{2} × r̂}{r^{2}}\} · dA_{1}

dvs: Strømmen I_{2} i sløyfe (2) skaper magnetfeltet B_{2}, og dermed fluksen ϕ_{1} gjennom sløyfe (1). Og uansett hva dette integralet måtte bli, kan vi alltids skrive

ϕ_{1} = M_{12}I_{2}

der faktoren M_{12} uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får ”gjennom” (dvs: gjennom arealet omsluttet av) sløyfe (1) når det går en strøm i sløyfe (2):

M_{12} = \frac{ϕ_{1}}{I_{2}}

Både M_{21} og M_{12} er rett og slett geometriske faktorer som avhenger av form, størrelse og relativ plassering til de to strømsløyfene. En kan vise at (se f.eks. Griffiths)

M_{21} = M_{12}

alltid gjelder. En kan dermed velge mellom to alternative framgangsmåter for å bestemme gjensidig induktans mellom to strømsløyfer: Enten beregne magnetisk fluks gjennom (1) pga strøm i (2), eller omvendt. Noen ganger er det ene mye enklere enn det andre!

Enhet for induktans: [M] = [ϕ_{m}/I] = [B · A/I] = T·m^{2}/A ≡ H (henry)

Gjensidig induksjon: Tidsavhengig strøm I_{1}(t) i sløyfe (1) gir tidsavhengig fluks ϕ_{2}(t) gjennom sløyfe (2), og dermed indusert ems i sløyfe (2):

E_{2} = −\frac{dϕ_{2}}{dt} = −M_{21} \frac{dI_{1}}{dt}

Tidsavhengig strøm I_{2}(t) i sløyfe (2) gir tidsavhengig fluks ϕ_{1}(t) gjennom sløyfe (1), og dermed indusert ems i sløyfe (1):

E_{1} = −\frac{dϕ_{1}}{dt} = −M_{12} \frac{dI_{2}}{dt}

Selvinduktans [FGT 32.1; YF 30.2; TM 28.6; AF 27.8; LHL 25.1; DJG 7.2.3]

En strøm I i ei strømsløyfe resulterer i et magnetfelt B i området omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp av Biot-Savarts lov:

B = \frac{μ_{0}I}{4π} ∮ \frac{dl × r̂}{r^{2}}

Magnetfeltet fra sløyfa resulterer i en magnetisk fluks gjennom sløyfa selv:

ϕ = ∫_{S} B · dA = ∫_{S} \{\frac{μ_{0}I}{4π} ∮ \frac{dl × r̂}{r^{2}}\} · dA

Uansett hva dette gufne integralet måtte være, kan vi uttrykke det på formen

ϕ = LI

forutsatt at I er konstant i sløyfa, dvs den samme alle steder i sløyfa. (Og det må den jo være hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!) Faktoren L er selvinduktansen til sløyfa og uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi får ”gjennom” (dvs: gjennom arealet omsluttet av) sløyfa når det går en strøm i sløyfa:

L = \frac{ϕ}{I}

Enhet for selvinduktans: [L] = [ϕ_{m}/I] = [B · A/I] = T·m^{2}/A ≡ H (henry)

Selvinduksjon: Tidsavhengig strøm I(t) i sløyfe gir tidsavhengig fluks ϕ(t) gjennom sløyfa, og dermed indusert ems i sløyfa:

E = −\frac{dϕ}{dt} = −L\frac{dI}{dt}

Induktans som ”element” i en elektrisk krets har følgelig denne sammenhengen mellom spenning ΔV og strøm I:

ΔV = −L dI/dt