Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke18

Tirsdag 29. april

Energi i magnetfelt [FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

La oss regne ut hvor mye energi som må tilføres en spole med induktans L når vi øker strømmen gjennom spoletråden fra i = 0 til en ”sluttverdi” i = I. Tilført energi ved å øke strømmen fra i til i + di:

dU_{B} = P dt = iv dt = iL\frac{di}{dt}dt = Li di

Her er P = iv tilført effekt, og v = Ldi/dt spenningen over spolen idet vi endrer strømmen fra i til i + di. Dermed blir total energi tilført for å øke strømmen fra 0 til I lik

U_{B} = ∫ dU_{B} = L ∫_{0}^{I} i di = \frac{1}{2}LI^{2}

Denne energien kan vi nå assosiere med magnetfeltet B inne i spolen. Anta at spolen er tilnærmet uendelig lang, med N viklinger på hele lengden l. Tverrsnittet av spolen har areal A. Da er magnetfeltet inne i spolen

B = μ_{0}nI = μ_{0} \frac{N}{l} I

(På utsiden av spolen er magnetfeltet null.) Total magnetisk fluks gjennom de N viklingene på spolen blir

ϕ_{m} = NAB = NAμ_{0} \frac{N}{l} I

som også kan skrives på formen

ϕ_{m} = LI

der L er spolens (selv-)induktans. Med dette kan vi omforme uttrykket for energien U_{B}:

U_{B} = \frac{1}{2} \frac{NAB}{I} I^{2} = \frac{1}{2}NAB · \frac{Bl}{μ_{0}N} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2} · Al

Her er Al lik volumet inne i spolen, så vi ser at vi har en energitetthet (dvs energi pr volumenhet) assosiert med magnetfeltet B:

u_{B} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Fra før har vi funnet at vi har en energitetthet u_{E} assosiert med et elektrisk felt E:

u_{E} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2}

Dermed blir total energitetthet i et elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Kommentar: Dette uttrykket er ”alltid riktig”, i den forstand at u representerer energien ”lagret” i feltene E og B. I litteraturen ”risikerer” du å støte på formelen

u = \frac{1}{2}D · E + \frac{1}{2}B · H = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}

for total energitetthet dersom vi har polariserbare og/eller magnetiserbare medier tilstede. (I den siste overgangen her brukte vi at D = εE og B = μH, med ε = mediets permittivitet og μ = mediets permeabilitet.) Disse to uttrykkene for u er ikke identiske, og kan derfor ikke representere den samme energitettheten. Det siste uttrykket for u inkluderer da også et bidrag som ikke er direkte ”lagret” i feltene, nemlig den ”elastiske” energien knyttet til polarisering og magnetisering, dvs innrettingen av elektriske og magnetiske dipoler. I den grad noe av dette blir aktuelt til eksamen, skal vi kun bry oss om feltenergien gitt ved

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Koblede systemer, selvinduktans og gjensidig induktans Anta at vi har to kretser, nr 1 og nr 2, med selvinduktans hhv L_{1} og L_{2} og gjensidig induktans M. Anta f.eks. at vi i krets nr 1 har en tidsavhengig spenningskilde E_{1}(t). Den samlede resistansen i de to kretsene er hhv R_{1} og R_{2}. Vi skal bestemme de resulterende strømstyrkene I_{1} og I_{2} i de to kretsene. Kirchhoffs spenningsregel gir da følgende ligninger:

E_{1} − L_{1}İ_{1} − R_{1}I_{1} − Mİ_{2} = 0
−L_{2}İ_{2} − R_{2}I_{2} − Mİ_{1} = 0

Dette er to koblede differensialligninger for de to ukjente, I_{1}(t) og I_{2}(t). Hvis E_{1} er en harmonisk vekselspenningskilde,

E_{1}(t) = E_{0} cos ωt,

med amplitude E_{0} og vinkelfrekvens ω, vil også strømmene I_{1} og I_{2} variere harmonisk med tiden, med samme vinkelfrekvens ω. Dermed kan vi generelt skrive

I_{1}(t) = A_{1} cos ωt + B_{1} sin ωt
I_{2}(t) = A_{2} cos ωt + B_{2} sin ωt

og innsetting av disse uttrykkene i de to differensialligningene gir da i alt fire ligninger, for fastleggelse av ”koeffisientene” A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}. (Fire ligninger fordi vi kan sammenligne cos ωtledd og sin ωt-ledd hver for seg, slik som i AC-eksemplet nedenfor.)

RL-krets med likespenningskilde V_{0} [FGT 32.4; YF 30.4; TM 28.8; AF Ex 27.5; LHL 25.2; DJG Ex 7.12]

Ser på seriekobling av induktans L (f.eks. en spole) og resistans R. Et batteri med likespenning V_{0} kobles til kretsen ved tidspunktet t = 0.

Total ems i kretsen er da

V_{0} − L\frac{dI}{dt}

der det siste leddet er indusert ”motspenning” over induktansen når vi prøver å endre strømstyrken gjennom den. Ifølge Kirchhoffs spenningsregel (evt ”sløyferegel”) må denne totale emsen i sløyfa tilsvare spenningsfallet over motstanden R, med andre ord

V_{0} − L\frac{dI}{dt} = RI

eller

L\frac{dI}{dt} + RI = V_{0}

Dette er nøyaktig samme type 1. ordens differensialligning for strømmen I som det vi hadde for kondensatorladningen Q da vi studerte opplading av kondensator i en RC-krets. Løsningen blir

I(t) = \frac{V_{0}}{R} (1 − e^{−Rt/L})

der vi har brukt initialbetingelsen I(0) = 0. (Før innkobling av batteriet er åpenbart I = 0. I tidspunktet t = 0 kan ikke strømmen i kretsen ”hoppe” opp til en endelig verdi forskjellig fra null. Det måtte i såfall innebære at dI/dt → ∞ i t = 0, hvilket igjen ville innebære en uendelig stor motspenning over induktansen. Det er rett og slett ikke fysisk mulig! Altså må I være kontinuerlig i t = 0, og vi kan sette I(0) = 0.)

Tidskonstant for endring av strømmen:

τ = \frac{L}{R}

Verdien av τ gir en størrelsesorden for hvor lang tid det tar å øke strømmen i en slik RL-krets fra 0 til maksimal verdi V_{0}/R:

I(t → ∞) = \frac{V_{0}}{R}

RL-krets med vekselspenningskilde V_{0} cos ωt [FGT 33.2; YF 31.2; TM 29.2, 29.3; AF Note 27.2; LHL 27.3]

Med en vekselspenningskilde V_{0} cos ωt koblet til en induktans L har vi med bruk av Kirchhoffs spenningsregel:

V_{0} cos ωt + V_{L} = 0
V_{0} cos ωt = L\frac{dI}{dt}
I(t) = \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt = \frac{V_{0}}{ωL} cos(ωt − \frac{π}{2} )

Vi kan skrive strømmen I(t) på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

(jfr tidligere i kurset, og tilsvarende for kapasitans C og RC-kretser), og ser at strømamplituden er

I_{0} = \frac{V_{0}}{ωL}

mens fasevinkelen er

α = \frac{π}{2}

Dvs, strøm I og påtrykt spenning V = V_{0} cos ωt er faseforskjøvet med en kvart periode i forhold til hverandre. I forbindelse med RC-kretser og vekselspenningskilde innførte vi størrelsen impedans Z, definert ved

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}}

Med andre ord, en slags generalisert motstand, jfr Ohms lov R = V/I. Vi ser da at impedansen til en induktans L blir

Z_{L} = ωL

med fasevinkel

α_{L} = π/2

Et eksempel til: Vekselspenningskilde V_{0} cos ωt koblet til en parallellkobling av en motstand R og en induktans L. Da må den totale strømmen I som ”leveres” av spenningskilden fordele seg på en strøm I_{R} gjennom motstanden og en strøm I_{L} gjennom induktansen:

I = I_{R} + I_{L}

(Dvs: Kirchhoffs strømregel.) Videre må vi gjenfinne den påtrykte spenningen som et tilsvarende spenningsfall, både over motstanden og over induktansen. Med andre ord:

V_{0} cos ωt = RI_{R}
V_{0} cos ωt = L\frac{dI_{L}}{dt}

(Dvs: Kirchhoffs spenningsregel.) Disse ligningene løses greit, og vi finner

I_{R} = \frac{V_{0}}{R} cos ωt
I_{L} = \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt

Total strøm levert av spenningskilden blir dermed

I(t) = I_{R}(t) + I_{L}(t) = \frac{V_{0}}{R} cos ωt + \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt

Vi kan skrive denne summen av to ledd på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

ved å bruke den trigonometriske relasjonen

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

Dermed:

cos(ωt − α) = cos ωt cos α + sin ωt sin α

Sammenligning med uttrykket for I(t) = I_{R} + I_{L} gir oss følgende to ligninger for de to ukjente størrelsene I_{0} og α:

\frac{V_{0}}{R} = I_{0} cos α
\frac{V_{0}}{ωL} = I_{0} sin α

Dette ligningssettet har løsning

tan α = \frac{R}{ωL} ⇒ α = arctan \frac{R}{ωL}

og

I_{0} = V_{0} (\frac{1}{R^{2}} + \frac{1}{ω^{2}L^{2}} )^{1/2}

Fra definisjonen av impedans, Z = V_{0}/I_{0}, ser vi at impedansen til en parallellkobling er

Z = (\frac{1}{R^{2}} + \frac{1}{ω^{2}L^{2}} )^{−1/2}

Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er liten, dvs ω ≪ R/L, vil leddet 1/ω^{2}L^{2} dominere i forhold til 1/R^{2}, slik at

Z ≃ ωL

Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er stor, dvs ω ≫ R/L, vil leddet 1/R^{2} dominere i forhold til 1/ω^{2}L^{2}, slik at

Z ≃ R