Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 7

Tirsdag 12.02.08

Elektrisk polarisering. Dielektrika. [FGT 25.5, 25.6; YF 24.4, 24.5; TM 24.5, 24.6; AF 25.6, 25.7; LHL 20.5; DJG 4.1]

Isolator: Ingen mobile (frie) ladninger (men bundne ladninger) Dielektrikum bruker vi simpelthen som en alternativ betegnelse for en isolator.

Plasseres et dielektrikum i et ytre elektrisk felt E_{0}, får vi innretting av (molekylære) elektriske dipoler langs E_{0}, jfr øving 5, oppgave 4. (Eventuelt: Polarisering internt i atomer og upolare molekyler som i utgangspunktet har null elektrisk dipolmoment.)

Netto (makroskopisk) effekt av det ytre feltet: Forskyvning av bundne ladninger

±Q_{i} = indusert nettoladning på isolatorens overflater

Polarisering = dipolmoment pr volumenhet:

P = \frac{p}{V}

Elektrisk dipolmoment (for punktladninger ±q i innbyrdes avstand a, repetisjon!):

p = qa

Kommentar: I noen materialer vil det være energetisk gunstig at de atomære (evt molekylære) elektriske dipolene peker i samme retning, selv uten påvirkning fra et ytre felt. Slike ferroelektriske krystaller vil typisk ha en ordnet fase med P ≠ 0 så lenge temperaturen T ikke overstiger en såkalt kritisk temperatur T_{c}.

Dielektrikum i ytre felt E_{0}:

Volum: V = Ad Tetthet av indusert overflateladning: σ_{i} = Q_{i}/A

Dermed: Totalt dipolmoment: p = |p| = Q_{i}d = σ_{i}Ad = σ_{i}V Polarisering: P = |P | = p/V = σ_{i}

Generelt: P · n̂ = P_{⊥} = σ_{i} (n̂ = flatenormal, P_{⊥} = komponenten av P som står normalt på overflaten)

Elektrisk forskyvning. [FGT 25.6; YF 24.6; TM 24.6; AF 25.8; LHL 20.5; DJG 4.3]

Bruker idealisert system som vi har sett på før: Motsatt ladede metallplater (uendelig store), nå med dielektrikum i mellom:

Fri ladning pr flateenhet på metallplatene: σ_{f} ... som genererer elektrisk felt mellom platene: E_{f} = σ_{f}/ε_{0} (null felt utenfor platene) Indusert ladning pr flateenhet på overflaten av dielektrikum: σ_{i} ... som genererer elektrisk felt mellom platene: E_{i} = σ_{i}/ε_{0} Totalt felt mellom platene: E = E_{f} + E_{i} ⇒ E = |E| = E_{f} − E_{i} = (σ_{f} − σ_{i})/ε_{0} Netto ladning på overflatene: ±σ = ±(σ_{f} − σ_{i}) ... som genererer totalt felt mellom platene: E = σ/ε_{0} = (σ_{f} − σ_{i})/ε_{0}, OK!

Vi har: σ_{i} = P = polariseringen i dielektrikumet ( = dipolmoment pr volumenhet)

Dermed:

σ_{f} = σ + σ_{i} = ε_{0}E + P

Vi ser altså at tettheten av fri ladning σ_{f} er knyttet til kombinasjonen ε_{0}E + P. I endel tilfeller, f.eks. i endel eksperimenter, er det nettopp den frie ladningen vi har kontroll over. Med dielektrikum til stede er det derfor ofte hensiktsmessig å ”referere til” vektorfeltet

D ≡ ε_{0}E + P

D kalles elektrisk forskyvning.

Her:

D = |D| = σ_{f}

Generelt (som vi også fant for P):

σ_{f} = D · n̂ = D_{⊥}

der D_{⊥} er normalkomponenten av den elektriske forskyvningen.

Vi har en Gauss’ lov for den elektriske forskyvningen D. Denne kan vi benytte oss av i problemer der vi kjenner den frie ladningen, men ikke den induserte ladningen knyttet til polariseringen av dielektriske medier som er til stede.

Gauss’ lov for D:

∮_{S} D · dA = Q_{f}

der Q_{f} er netto fri ladning innenfor den lukkede flaten S. (Netto total ladning innenfor S er Q_{in} = Q_{f} − Q_{i}, med −Q_{i} = netto bundet ladning, knyttet til polariseringen P, innenfor S.)

Onsdag 13.02.08

Elektrisk susceptibilitet og permittivitet; lineær respons. [FGT 25.5; YF 24.4; TM 24.5, 24.6; AF 25.9; LHL 20.5; DJG 4.4]

Lineær respons: P proporsjonal med E, dvs vi kan skrive

P = χ_{e}ε_{0}E

der vi har innført χ_{e} = elektrisk susceptibilitet. NB: En slik lineær sammenheng mellom P og E gjelder ikke alltid, men i dette kurset skal vi hele tiden anta at det gjelder. Merk også at E er det totale elektriske feltet, ikke bare det ytre feltet.

Dermed:

D = ε_{0}E + P
= (1 + χ_{e})ε_{0}E
= ε_{r}ε_{0}E
= εE

Her har vi innført størrelsene ε_{r} = 1 + χ_{e} = relativ permittivitet (“dielektrisitetskonstanten”) ε = ε_{r}ε_{0} = mediets permittivitet

Enheter: [χ_{e}] = [ε_{r}] = 1 (dimensjonsløs) [ε] = [ε_{0}] = C^{2}/Nm^{2}

Punktladning q i dielektrikum med permittivitet ε:

Elektrisk felt: E(r) = (q/4πεr^{2})r̂ Elektrisk potensial: V (r) = q/4πεr Dvs: Som for punktladning i vakuum, men med ε_{0} → ε > ε_{0}; mediet polariseres og skjermer punktladningen slik at E og V reduseres med en faktor 1/ε_{r}.

Kondensator og kapasitans. [FGT 25.1, 25.5; YF 24.1, 24.4; TM 24.2, 24.5; AF 25.10; LHL 20.1; DJG 2.5.4] Kondensator = to adskilte elektriske ledere med ladning ±Q (Eventuelt: En elektrisk leder med ladning Q, den andre tenkt flyttet uendelig langt bort.) Coulombs lov ⇒ elektrisk felt i området omkring lederne er proporsjonalt med Q Dermed følger også at potensialforskjellen ΔV mellom de to lederne er proporsjonal med Q:

C = \frac{Q}{ΔV}

C = kondensatorens kapasitans Enhet for kapasitans: [C] = [Q/ΔV] = C/V ≡ F (farad) Symbol i elektriske kretser: