Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 8

Tirsdag 19.02.08

Kondensator og kapasitans (fortsatt). [FGT 25.1, 25.5; YF 24.1, 24.4; TM 24.2, 24.5; AF 25.10; LHL 20.1; DJG 2.5.4]

Kapasitansen C til en kondensator er en geometrisk faktor, avhengig av ledernes utforming og innbyrdes avstand, og dessuten det mellomliggende mediet. Kapasitans er, pr definisjon, en positiv størrelse. Utregning av C for et gitt system vil gå ut på å bestemme potensialforskjellen mellom de to lederne, ΔV = V_{+} − V_{−}, for en gitt ladning ±Q.

Parallellplatekondensator, luftfylt (vakuum), med plateareal A, plateavstand d: Ladning ±Q på de to platene gir elektrisk feltstyrke E = σ/ε_{0} = Q/ε_{0}A mellom platene, og dermed potensialforskjell V = Ed = Qd/ε_{0}A mellom platene. Med definisjonen C = Q/V har vi da en kapasitans

C = ε_{0} \frac{A}{d}

Parallellplatekondensator, fylt med dielektrikum med relativ permittivitet ε_{r}, plateareal A, plateavstand d: Ladning ±Q på de to platene gir elektrisk forskyvning D = Q/A mellom platene, og dermed elektrisk feltstyrke E = D/ε_{r}ε_{0} = Q/Aε_{r}ε_{0} mellom platene, og dermed potensialforskjell V = Ed = Qd/ε_{r}ε_{0}A mellom platene. Dermed kapasitans

C = ε_{0}ε_{r} \frac{A}{d}

Dersom området mellom kondensatorens to ledere, som i utgangspunktet er fylt med luft (≃ vakuum), helt eller delvis fylles med et dielektrikum, vil kondensatorens kapasitans alltid bli større enn den var med bare luft. (Det samme gjelder også hvis området med luft/vakuum erstattes med metall.)

Kobling av flere kapasitanser [FGT 25.4; YF 24.2; TM 24.4; AF Ex. 25.8, LHL 20.2]:

Seriekobling av N kapasitanser C_{i}, i = 1, .., N:

\frac{1}{C} = ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{C_{i}}

Parallellkobling av N kapasitanser C_{i}, i = 1, .., N:

C = ∑_{i=1}^{N} C_{i}

I disse uttrykkene representerer C den ekvivalente kapasitansen dersom vi erstatter alle de serie- eller parallellkoblede kapasitansene med en enkelt kapasitans.

Energi assosiert med elektrisk felt [FGT 25.3; YF 24.3; TM 24.3; AF 25.11; LHL 20.4; DJG 2.4.3]

Vi regnet ut arbeidet W som skal til for å lade opp en parallellplatekondensator fra q = 0 til endelig ladning q = Q. (Egentlig: ±Q) Dette arbeidet tilsvarer potensiell energi lagret i kondensatoren. Vi fant:

W = U = ∫_{0}^{Q} v(q)dq = ∫_{0}^{Q} \frac{q}{C} dq = \frac{Q^{2}}{2C}

Her var utgangspunktet at det trengs et arbeid dW = v(q)dq for å øke kondensatorens ladning fra ±q til ±(q + dq). v(q) er potensialforskjellen mellom platene når de har ladning ±q. Med sammenhengen C = Q/V har vi de alternative uttrykkene

U = \frac{Q^{2}}{2C} = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^{2}

Bruker vi det siste av disse og setter inn C = ε_{0}A/d og V = Ed, finner vi

U = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} · (Ad)

Ettersom faktoren Ad er volumet der vi har et elektrisk felt, er vi framme ved et resultat som viser seg å gjelde generelt:

Potensiell energitetthet, dvs potensiell energi pr volumenhet, i elektrisk felt E er lik

u = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2}

Vi hadde også at potensiell energi kunne ”assosieres” med den elektriske ladningen: Dersom et ”system” har elektrisk potensial (f.eks. relativt til potensialet uendelig langt borte, som vi som regel kan sette lik null) v(q) når det har ladning q, må vi utføre et arbeid dW = v(q) dq for å øke ladningen fra q til q + dq. Følgelig blir totalt arbeid, og dermed også total ”lagret” potensiell energi i systemet, lik

W = U = ∫_{0}^{Q} v(q) dq

for å lade opp systemet fra null ladning til endelig ladning Q.

Alternativt kan vi altså regne ut lagret potensiell energi ved å integrere opp energitettheten u over hele volumet V:

U = ∫_{V} u dV = ∫_{V} \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} dV

(Merk at her står V for volum og ikke potensial. Dessuten: Ikke la deg forvirre av notasjonen brukt ovenfor: Jeg brukte v(q) for å angi potensialforskjellen mellom de to kondensatorplatene med ladning q og −q, dvs på et vilkårlig tidspunkt underveis i oppladingen. Grunnen var at jeg ønsket å reservere V for potensialforskjellen mellom platene når de var ferdig oppladet, dvs med ladning Q og −Q. Jeg forsøker å minimere ”sammenblanding” av symboler, men V bruker jeg altså for potensial og volum.)

Onsdag 20.02.08

Elektrisk strøm. [FGT 26.1; YF 25.1; TM 25.1; AF 24.1, 24.2; LHL 21.1; DJG 5.1.3]

Elektrisk strømstyrke = (positiv) ladning som passerer gjennom tverrsnitt av leder pr tidsenhet. I metall er elektroner ladningsbærerne, med ladning −e. Da går partikkelstrømmen og den elektriske strømmen i motsatt retning.

Med ladning ΔQ som passerer tverrsnitt A på tiden Δt:

I = \frac{ΔQ}{Δt} →^{Δt→0} \frac{dQ}{dt}

Enhet for strømstyrke: [I] = [Q/t] = C/s = A (ampere)

Med n = ΔN/ΔV ladningsbærere pr volumenhet, med midlere driftshastighet v og ladning q:

ΔQ = qΔN = nqΔV = nqΔxA

⇒ I = \frac{ΔQ}{Δt} = nqA\frac{Δx}{Δt} = nqAv

Strømtetthet = strøm pr flateenhet:

j = \frac{I}{A}

Dermed:

j = nqv

Både strømtetthet j og driftshastighet v er vektorer:

j = nqv

Dersom vi også betrakter tverrsnittet A som en vektor, blir I en skalar størrelse:

I = j · A

Strømmen I har da kun retning i forhold til lederen (positiv eller negativ).

Generalisering, dersom j ikke er konstant over lederens tverrsnitt:

I = ∫_{S} j · dA

I følge mine notater er vi nå ganske nøyaktig halvveis, i og med at 21 av 42 forelesningstimer er unnagjort. Neste forelesning er tirsdag 11. mars. Vi fortsetter da å diskutere elektrisk strøm, Ohms lov, elektrisk ledningsevne, enkle elektriske kretser osv. Det som ble forelest onsdag 20. februar er ikke pensum til midtsemesterprøven den 6. mars.