\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 2
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Mandag 26. januar

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 30. januar kl 12.00


\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 1 (fra tidligere midtsemesterpr{\o}ver)}

\vspace{0.7cm}
\noindent
$a)$ Figuren viser feltlinjer for et uniformt elektrisk felt. Et
elektron som plasseres i dette feltet vil

\noindent
\parbox{11cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & bevege seg med konstant hastighet mot venstre. \\
B & bevege seg med konstant hastighet mot h{\o}yre. \\
C & akselereres mot venstre. \\
D & akselereres mot h{\o}yre.
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid1_fig1.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.7cm}
\noindent
$b)$ To positive og to negative punktladninger, alle fire like store i
absoluttverdi ($q$), skal plasseres i hvert sitt hj{\o}rne av et kvadrat.
P{\aa} hvilken m{\aa}te skal punktladningene plasseres for {\aa} oppn{\aa}
st{\o}rst mulig elektrisk feltstyrke midt p{\aa} h{\o}yre sidekant,
i punktet P?
                                                                                                                                                           
\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{mid3_fig10.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{1.5cm}
\begin{small}
\noindent
Kommentar: P{\aa} midtsemesterpr{\o}ven i dette faget skal slike oppgaver {\em kun} besvares
med en bokstav, dvs {\em uten} utregning eller begrunnelse. Ettersom dette er en 
regne{\o}ving, foresl{\aa}r jeg at du svarer {\em med} begrunnelse og/eller utregning
(dvs: som vanlig p{\aa} en regne{\o}ving!).
\end{small}


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4in \epsfbox{ov1_fig1.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ To punktladninger $3q$ og $-q$ er plassert p{\aa} $x$-aksen i
henholdsvis $x=0$ og $x=a$. Forklar hvorfor mulige likevektsposisjoner for
en tredje ladning $q$ m{\aa} v{\ae}re p{\aa} $x$-aksen.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Det er {\em en} likevektsposisjon $x_0$ p{\aa} $x$-aksen for denne
tredje ladningen. (I tillegg til det "singul{\ae}re" punktet $x=a$.)
Bestem $x_0$. Begrunn, {\em uten} ytterligere regning, at
denne likevekten er ustabil med hensyn p{\aa} en liten
forflytning i $x$-retning. (Alternativt, {\em med} ytterligere regning:
Vurder stabiliteten av likevekten ved {\aa} se p{\aa} $dF/dx$ i $x=x_0$.)

\vspace{0.2cm}
\noindent
[I {\em likevekt} virker det ingen netto kraft p{\aa} ladningen.
N{\aa}r den forskyves en avstand $\Delta x$ fra likevektsposisjonen, vil den
p{\aa}virkes av en kraft. Dersom denne kraften virker i samme retning som $\Delta x$,
er likevekten ustabil, i motsatt fall stabil.]



\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.3cm}
\noindent
En tynn stav med lengde $L$ har uniform ladning $\lambda$ pr lengdeenhet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en liten lengde $dx$ av staven? Hva er
stavens totale ladning $Q$?

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.2in \epsfbox{ov2_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Vi legger staven p{\aa} $x$-aksen, slik at punktet $P$ har koordinater $(x,y)=(0,R)$.
Vis at det elektriske feltet i $P$, dvs i avstand $R$ fra staven, er gitt ved
$\bold{E}=E_x\hat{x}+E_y\hat{y}$, med
$$ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2) \;\;\;\;\;\;\;\;
E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\sin\theta_1 - \sin\theta_2) $$
Her er $\theta_1$ og $\theta_2$ vinklene som dannes mellom linjene fra $P$ til
stavens endepunkter og normalen til staven gjennom $P$ (dvs $y$-aksen), som vist i figuren. (Fortegnet
til vinklene er som indikert i figuren, dvs $\theta$ er negativ n{\aa}r $x < 0$).

\newpage
\noindent
[Tips: Feltet $d\bold{E}$ fra en liten bit $dx$ av staven (i posisjon $x$) er
$d\bold{E} = (\lambda\,dx/4\pi\varepsilon_0 r^2) \hat{r}$, der $\bold{r}$ er
avstandsvektoren fra biten $dx$ til punktet $P$. Pr{\o}v deretter {\aa} ende opp med
$\theta$ som integrasjonsvariabel ved {\aa} finne en sammenheng mellom $x$ og $\theta$.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem feltet n{\aa}r $P$ er like langt fra stavens to ender.
Hva blir \bold{E} n{\aa}r $P$ er langt unna staven (dvs $R \gg L$).
NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret $\bold{E}\simeq 0$ for 
$R \rightarrow \infty$, men derimot hvordan \bold{E} avhenger av $R$ ''til ledende orden'' 
for $R \gg L$. Er svaret som forventet?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Hva blir det elektriske feltet i avstand $R$ fra en uendelig lang uniformt ladet stav?
(Dvs: $L \rightarrow \infty$)


\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ei tynn, sirkelforma skive med radius $R_0$ har uniform ladning $\sigma$
pr flateenhet.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{ov2_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en tynn ring av skiva, med radius $R$
og bredde $dR$? Hva er skivas totale ladning $Q$?

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Bestem det elektriske feltet \bold{E} i et punkt $P$ p{\aa} symmetriaksen i
en avstand $a$ fra skiva. (Tips: Finn f{\o}rst feltet $d\bold{E}$ i $P$ fra en tynn
ring med radius $R$ og bredde $dR$, og integrer deretter fra $R=0$ til $R=R_0$.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Hva blir \bold{E} (igjen: til ledende orden, jfr forrige oppgave) i de to tilfellene
$a \gg R_0$ og $a \ll R_0$, dvs henholdsvis langt unna
og n{\ae}rt inntil skiva? (Du drar kanskje kjensel p{\aa} svaret i tilfellet $a \gg R_0$?
Tenk dessuten litt p{\aa} hva det andre tilfellet, $R_0 \gg a$, inneb{\ae}rer.)

\vspace{0.7cm}
\noindent
Oppgitt: $(1+\alpha)^{\pm 1/2} \simeq 1 \pm \alpha/2$ dersom $\alpha \ll 1$.

\noindent
(Dette er ikke noe mystisk, men rett og slett de to f{\o}rste leddene i en polynomutvikling
(''rekkeutvikling'') av funksjonene $f(\alpha) = (1+\alpha)^{\pm 1/2}$ om punktet $\alpha=0$. Se notatet 
rekkeutvikling.pdf under samme katalog som fagets hjemmeside.)



\vspace{1cm}
%\newpage
\noindent
{\em Oppgave 5}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ For staven og skiva i oppgave 3 og 4, pr{\o}v {\aa} skissere elektriske feltlinjer,
b{\aa}de i et plan som inneholder staven (skiva) og i et plan normalt p{\aa}
staven gjennom dens midtpunkt (normalt p{\aa} skiva gjennom dens sentrum). Vis skissene
i stor og liten m{\aa}lestokk i hvert av de fire tilfellene, slik at de gir et kvalitativt
bilde av feltet, b{\aa}de n{\ae}rt og langt unna staven (skiva). (I alt 8 figurer.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Skisser elektriske feltlinjer for disse to systemene av punktladninger:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov3_pointcharges.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE
                                                                                
\vspace{1.0cm}
\noindent
Tips: I denne oppgaven kan det v{\ae}re til hjelp {\aa} g{\aa} inn p{\aa} f.eks.
http://www.falstad.com/vector3de, som er en Java applet
for {\aa} visualisere (blant annet) elektriske feltlinjer ("Display: Field Lines") fra
diverse ladningsfordelinger (punktladninger og kontinuerlige fordelinger). 
"finite line" representerer 
nettopp den ladete staven. Det n{\ae}rmeste vi kommer den sirkul{\ae}re skiva er 
"charged plate", som har endelig utstrekning i $x$-retning. Stavlengden og 
platest{\o}rrelsen kan varieres med det nederste rullefeltet.


\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 6}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ammoniakk, NH$_3$, er en elektrisk dipol, bortrifluorid, BF$_3$, er det ikke.
Bruk denne opplysningen til {\aa} finne ut (kvalitativt) hvordan disse to molekylene ser ut.
Kontroller svaret ditt via internett eller andre kilder.


\vspace{1.0cm}
\noindent
Fasitsvar:

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 2b}: $x_0 = (3+\sqrt{3})a/2$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Oppgave 4b}: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^2+R_0^2}}\right)$


\end{document}
