\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2006, uke18

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Fredag 5. mai
\end{large}
\end{center}


\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Elektromagnetisk induksjon (fortsatt)} 

\noindent
[FGT 30.1 - 30.6; YF 29.1 - 29.5; TM 28.2 - 28.3; AF 27.1 - 27.3; LHL 24.1; DJG 7.2]

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Retningen} p{\aa} indusert ems $\ems$ bestemmes med {\em Lenz' lov}: En eventuell generert str{\o}m
$I$, drevet av $\ems$, skaper et magnetfelt $\bold{B}_I$ og dermed en magnetisk fluks
$\phi_I = \int_S \bold{B}_I \cdot d\bold{A}$ som er {\em motsatt rettet fluksendringen}
$d\phi_m$ som i utgangspunktet for{\aa}rsaket $\ems$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
En indusert ems $\ems$ i ei lukket ledersl{\o}yfe impliserer et {\em indusert elektrisk
felt} $\bold{E}$:
$$\ems = \oint \bold{E} \cdot d\bold{l}$$
Faradays lov uttrykker dermed en sammenheng mellom {\em feltene} $\bold{E}$ og $\bold{B}$:
$$\oint_c \bold{E} \cdot d\bold{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$
der $c$ er en lukket kurve som omslutter en flate $S$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Ettersom integralet av et slik ``Faraday-indusert'' elektrisk felt rundt en lukket kurve
{\em ikke} er lik null, er det (pr definisjon) heller {\em ikke} et konservativt felt.
(Mens et {\em elektrostatisk} felt {\em er} konservativt.)



\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Gjensidig induktans}

\noindent
[FGT 32.1; YF 30.1; AF 27.12; LHL 25.4; DJG 7.2.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
En str{\o}m $I_1$ i ei str{\o}msl{\o}yfe (1) resulterer i et magnetfelt $\bold{B}_1$
i omr{\aa}det omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp
av Biot-Savarts lov:
$$\bold{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{4\pi}\oint_{(1)}\frac{d\bold{l}_1\times\hat{r}}{r^2}$$
(se f.eks. uke13.pdf). Dersom ei {\em anna} str{\o}msl{\o}yfe (2) er plassert i dette
omr{\aa}det, vil magnetfeltet  fra sl{\o}yfe (1) resultere i en magnetisk fluks gjennom
sl{\o}yfe (2):
$$\phi_2 = \int_{S_2} \bold{B}_1 \cdot d\bold{A}_2 =
\int_{S_2} \left\{ \frac{\mu_0 I_1}{4\pi}\oint_{(1)}\frac{d\bold{l}_1\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}_2$$
Uansett hva dette gufne integralet m{\aa}tte v{\ae}re, kan vi uttrykke det p{\aa} formen
$$\phi_2 = M_{21} I_1$$
forutsatt at $I_1$ er konstant i sl{\o}yfe (1), dvs den samme alle steder i sl{\o}yfa. (Og det
m{\aa} den jo v{\ae}re hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

\noindent
Faktoren $M_{21}$ er den {\em gjensidige induktansen} mellom de to sl{\o}yfene (1) og (2) og
uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ``gjennom'' (dvs omsluttet av) sl{\o}yfe (2)
n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfe (1):
$$M_{21} = \frac{\phi_2}{I_1}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Omvendt m{\aa} vi ogs{\aa} f{\aa} en magnetisk fluks gjennom sl{\o}yfe (1) hvis det g{\aa}r
en str{\o}m i sl{\o}yfe (2):
$$\phi_1 = \int_{S_1} \bold{B}_2 \cdot d\bold{A}_1 =
\int_{S_1} \left\{ \frac{\mu_0 I_2}{4\pi}\oint_{(2)}\frac{d\bold{l}_2\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}_1$$
dvs: Str{\o}mmen $I_2$ i sl{\o}yfe (2) skaper magnetfeltet $\bold{B}_2$, og dermed fluksen
$\phi_1$ gjennom sl{\o}yfe (1).

\noindent
Og uansett hva {\em dette} integralet m{\aa}tte bli, kan vi alltids skrive
$$\phi_1 = M_{12} I_2$$
der faktoren $M_{12}$ uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ``gjennom'' (dvs omsluttet av)
sl{\o}yfe (1) n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfe (2):
$$M_{12} = \frac{\phi_1}{I_2}$$
B{\aa}de $M_{21}$ og $M_{12}$ er rett og slett geometriske faktorer som avhenger av form, st{\o}rrelse
og relativ plassering til de to str{\o}msl{\o}yfene.

\noindent
En kan vise at
$$M_{21} = M_{12}$$
alltid gjelder. En kan dermed {\em velge} mellom to alternative framgangsm{\aa}ter for {\aa}
bestemme gjensidig induktans mellom to str{\o}msl{\o}yfer: Enten beregne magnetisk fluks gjennom
(1) pga str{\o}m i (2), eller omvendt. Noen ganger er det ene mye enklere enn det andre!

\vspace{1.0cm}
\noindent
Enhet for induktans: $[M] = [\phi_m/I] = [B \cdot A/I] =$ T$\cdot$m$^2$/A $\equiv$ H (henry)

\vspace{1.0cm}
\noindent
Gjensidig induksjon:

\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I_1(t)$ i sl{\o}yfe (1) gir tidsavhengig fluks $\phi_2(t)$ gjennom
sl{\o}yfe (2), og dermed indusert ems i sl{\o}yfe (2):
$$\ems_2 = -\frac{d\phi_2}{dt} = -M_{21}\frac{dI_1}{dt}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I_2(t)$ i sl{\o}yfe (2) gir tidsavhengig fluks $\phi_1(t)$ gjennom
sl{\o}yfe (1), og dermed indusert ems i sl{\o}yfe (1):
$$\ems_1 = -\frac{d\phi_1}{dt} = -M_{12}\frac{dI_2}{dt}$$



\end{document}
