\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 13
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Sl{\o}yfas magnetiske dipolmoment:
$$\bold{m} = IA\;\hat{n} = I a^2\;\hat{n}$$
Sl{\o}yfa best{\aa}r av 4 rette ledere med lengde $a$, der to og to
har str{\o}mmen g{\aa}ende i motsatt retning. Dermed blir den
magnetiske kraften
$$\bold{F} = I \int \;d\bold{l} \times \bold{B} = I \bold{L}\times\bold{B}$$
motsatt rettet, men like stor i absoluttverdi, for slike par av rette lederbiter.
Den totale kraften p{\aa} sl{\o}yfa blir dermed null. Noen detaljer er inkludert
i figuren:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los13_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi ser av figuren at kreftene fra magnetfeltet ville ha deformert
str{\o}msl{\o}yfa dersom det hadde v{\ae}rt en mulighet. For ei makroskopisk
str{\o}msl{\o}yfe er dette som regel en neglisjerbar effekt, men dersom
str{\o}msl{\o}yfa er en klassisk modell av et elektron i bane rundt en atomkjerne,
aner vi at {\em i tillegg} til en innretting av str{\o}msl{\o}yfa (som vi skal se p{\aa}
i resten av denne oppgaven), vil magnetfeltet p{\aa}virke selve banebevegelsen til
elektronet rundt kjernen. Med andre ord: Atomets magnetiske moment endres b{\aa}de
i {\em retning} og i {\em absoluttverdi}. F{\o}rstnevnte effekt er {\em paramagnetisme},
sistnevnte effekt er {\em diamagnetisme}. En klassisk modell av diamagnetisme s{\aa} vi
p{\aa} i forrige {\o}ving. Her konsentrerer vi oss om orienteringen av $\bold{m}$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Av figuren over ser vi at de to str{\o}mmene som g{\aa}r parallelt med $xz$-planet
p{\aa}virkes av krefter i hhv positiv og negativ $y$-retning. Disse kreftene vil da
ikke bidra til dreiemomentet omkring $y$-aksen.

\noindent
Kreftene som virker p{\aa} str{\o}mmene som g{\aa}r parallelt med $y$-aksen gir tilsammen
et dreiemoment (se figuren nedenfor og ovenfor)

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los13_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\begin{eqnarray}
\bold{\tau} &=& \sum \bold{r}\times\bold{F} \nonumber \\
&=& - r_1 F_1 \sin\theta\;\hat{y} - r_2 F_2 \sin\theta\;\hat{y} \nonumber \\
&=& -2 \cdot \frac{a}{2} \cdot IaB \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& -Ia^2 \cdot B \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& -m \cdot B \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& \bold{m} \times \bold{B} \nonumber 
\end{eqnarray}
Skiftet av fortegn i siste linje skyldes av vi hadde valgt positiv vinkel $\theta$ mellom
$z$-aksen og $\hat{n}$, alts{\aa} mellom $\bold{B}$ og $\bold{m}$. Kryssproduktet
$\bold{m} \times \bold{B}$ er, pr definisjon, $m$ ganger $B$ ganger sinus til vinkelen
mellom $\bold{m}$ og $\bold{B}$, dvs $mB\sin(-\theta) = -mB\sin\theta$.


\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ I oppgave 4c i {\o}ving 5 hadde vi en {\em generell} sammenheng mellom dreiemoment $\tau$
og tilh{\o}rende potensiell energi $U$, nemlig at en rotasjon gjennom en vinkel $d\alpha$ under
p{\aa}virkning av et dreiemoment $\tau$ resulterer i en endring $dU$ i potensiell energi gitt
ved
$$dU = - \tau\;d\alpha$$
Denne sammenhengen er ikke avhengig av hvilken {\em type} krefter og dreiemoment
det handler om, og m{\aa} derfor gjelde like bra for v{\aa}r magnetiske dipol i et magnetfelt
som for den elektriske dipolen i et elektrisk felt i {\o}ving 5. F{\o}lgelig:
\begin{eqnarray}
U(\theta) &=& \int_{\theta_0}^{\theta} dU \nonumber \\
&=& -\int_{\theta_0}^{\theta} \tau(\alpha)\;d\alpha \nonumber \\
&=& m B \int_{\theta_0}^{\theta} \sin\alpha\;d\alpha \nonumber \\
&=& m B \left( \cos\theta_0 - \cos\theta \right) \nonumber \\
&=& - m B \cos\theta \nonumber \\
&=& - \bold{m} \cdot \bold{B} \nonumber
\end{eqnarray}
Her valgte jeg {\aa} sette $U(0) = - m B$, dvs $\theta_0 = \pi/2$.

\noindent
\newpage
Skisse:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los13_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm} 
%%END FIGURE

\noindent
Vi har minimal $U$, og f{\o}lgelig stabil likevekt for $\theta = 0$, dvs
for dipolen orientert slik at $\bold{m}$ er parallell med $\bold{B}$.
Vi har maksimal $U$, og f{\o}lgelig ustabil likevekt for $\theta = \pm \pi$,
dvs for dipolen orientert slik at $\bold{m}$ er parallell med $-\bold{B}$.

\noindent
Dette er magnetismens analogi til polarisering av dielektriske medier i et ytre elektrisk felt:
Magnetiske dipoler retter seg inn langs det p{\aa}trykte magnetfeltet. Som nevnt lenger opp,
dette er hva vi kaller {\em paramagnetisme}. Vi har snakket om ulike typer
magnetisme i forelesningene -- la dette v{\ae}re en liten oppsummering av det:

\noindent
Medier som best{\aa}r av atomer som har et atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment som {\em ikke} er
lik null, og der dipolmomentene p{\aa} atomer i n{\ae}rheten av hverandre {\em ikke} vekselvirker med
hverandre, er {\em paramagneter}. {\em Uten} et ytre magnetfelt vil de atom{\ae}re magnetiske dipolmomentene
peke i tilfeldige retninger, slik at den midlere {\em magnetiseringen}, dvs midlere magnetiske
dipolmoment pr volumenhet (se punkt $d)$), blir lik null overalt i mediet. Slik var det ogs{\aa} med
midlere polarisering i et dielektrikum n{\aa}r vi ikke hadde noe ytre elektrisk felt. {\em Med} et
ytre magnetfelt f{\aa}r vi en tendens til innretting av magnetiske dipolmoment langs det ytre feltet,
og dermed en midlere magnetisering forskjellig fra null. Eksempler p{\aa} paramagnetiske materialer
er aluminium (Al) og magnesium (Mg).

\noindent
Medier som best{\aa}r av atomer med atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment {\em lik null} har ingenting
{\aa} rette inn i et p{\aa}trykt magnetfelt. Men, og som nevnt lenger opp, {\em banebevegelsen}
til elektronene rundt atomkjernen vil p{\aa}virkes av et ytre magnetfelt, slik at vi f{\aa}r
{\em indusert} et atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment i hvert eneste atom. Slike medier er {\em diamagneter}.
Vi s{\aa} kvalitativt p{\aa} denne effekten i forrige {\o}ving og fant at det induserte
magnetiske dipolmomentet ble {\em motsatt rettet det ytre feltet}. Diamagnetisme er en mye
svakere effekt enn paramagnetisme. Ogs{\aa} i paramagneter, der vi {\em har} permanente atom{\ae}re
magnetiske dipolmoment, f{\aa}r vi en slik diamagnetisk ''respons'' i et ytre magnetfelt. Den
diamagnetiske responsen vil
imidlertid v{\ae}re tiln{\ae}rmet neglisjerbar i en paramagnet. For {\aa} kunne m{\aa}le diamagnetisme,
trenger vi derfor medier med null atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment i utgangspunktet (dvs f{\o}r vi
skrur p{\aa} det ytre magnetfeltet). Eksempler p{\aa} diamagneter er gull (Au), s{\o}lv (Ag), kobber (Cu).

\noindent
I enkelte medier har vi atomer med magnetiske dipolmoment som {\em vekselvirker} med dipolmomentene
p{\aa} naboatomene. F.eks. kan vekselvirkningen v{\ae}re slik at det er energetisk foretrukket at
naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i samme retning. Da har vi en {\em ferromagnet}, og
eksempler p{\aa} ferromagneter er jern (Fe), kobolt (Co) og nikkel (Ni).

\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ Maksimal magnetisering i jern blir lik antall jernatomer 
pr volumenhet ganget med magnetisk dipolmoment pr jernatom: 
$$M = \frac{m}{V}= 2\mu_B \cdot \frac{7.9\cdot10^{6}}{55.9}\cdot 6.02\cdot 10^{23} =
2 \cdot 9.27 \cdot 10^{-24} \cdot \frac{7.9\cdot10^{6}}{55.9}\cdot 6.02\cdot 10^{23} =
1.6 \cdot 10^6$$
Enheten til $m$ er Am$^2$, enheten til $V$ er m$^3$. F{\o}lgelig blir enheten til
magnetisering A/m.



\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Fra hysteresekurven har vi at $B(H=0) = \pm 1.0$ T og $H(B=0) = \mp 3.4$ A/mm
= $\mp 3400$ A/m. Videre ser vi at $B(H \rightarrow \pm \infty) = \pm 1.5$ T.
Her gjelder {\o}vre fortegn for den {\o}verste kurven (dvs minkende $H$).

\noindent
Starter med {\aa} bestemme $H_0$:
$$B(3.4) = 0 = B_0 \arctan 0$$
$$\Rightarrow H_0 = 3.4 \; {\rm A/mm}$$
Deretter $B_0$:
$$B(\infty) = 1.5 \; {\rm T} = B_0 \arctan(\infty) = B_0 \frac{\pi}{2}$$
$$\Rightarrow B_0 = \frac{3.0}{\pi} \; {\rm T} \simeq 0.95 \; {\rm T}$$
Til slutt $\alpha$:
$$B(0) = 1.0 \; {\rm T} = B_0 \arctan(\alpha)$$
$$\Rightarrow \arctan(\alpha) = \frac{\pi}{3}$$
$$\Rightarrow \alpha = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \simeq 1.73$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
For {\aa} bestemme $w$ finner vi f{\o}rst $H(B)$:
\begin{eqnarray}
B(H) &=& B_0 \arctan \left(\alpha \, \frac{H \mp H_0}{H_0} \right) \nonumber \\
\Rightarrow \alpha \, \frac{H \mp H_0}{H_0} &=& \tan \left(\frac{B}{B_0}\right) \nonumber \\
\Rightarrow H \mp H_0 &=& \frac{H_0}{\alpha} \tan \left(\frac{B}{B_0}\right) \nonumber \\
\Rightarrow H_{\pm}(B) &=& \pm H_0 + \frac{H_0}{\alpha} \tan \left(\frac{B}{B_0}\right) \nonumber
\end{eqnarray}
Her gjelder {\o}vre fortegn kurven som tilsvarer {\o}kende verdi av $H$. Energien $w$ som tapes 
i jernsylinderen pr volumenhet og pr periode er gitt ved integralet av $H(B)$ en runde rundt
hysteresekurven. Integrasjonsgrensene er $\pm 1.5$ T, dvs $\pm B_0 \pi / 2$.
\begin{eqnarray}
w &=& \oint H(B)\, dB \nonumber \\
&=& \int_{-B_0\pi/2}^{B_0\pi/2} H_+ \, dB + \int_{B_0\pi/2}^{-B_0\pi/2} H_- \, dB \nonumber \\
&=& \int_{-B_0\pi/2}^{B_0\pi/2} H_+ \, dB - \int_{-B_0\pi/2}^{B_0\pi/2} H_- \, dB \nonumber \\
&=& \int_{-B_0\pi/2}^{B_0\pi/2} (H_+ - H_-)dB \nonumber \\
&=& 2H_0 \int_{-B_0\pi/2}^{B_0\pi/2} dB \nonumber \\
&=& 2H_0 B_0 \pi \nonumber
\end{eqnarray}
Innsetting av tallverdier gir
$$w = 2 \cdot 3400 \cdot \frac{3}{\pi} \cdot \pi = 20400$$
dvs i enheten J/m$^3$.


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vi ser f{\o}rst p{\aa} $B_n$, dvs komponenten av $\bold{B}$ som st{\aa}r
normalt p{\aa} det str{\o}mf{\o}rende planet. Som gaussflate velger vi
en fyrstikkeske, ''symmetrisk omsluttende'' et areal $L^2$ av det
str{\o}mf{\o}rende planet og med ''h{\o}yde'' $h$. Dvs, de to flatene
som ligger parallelt med planet ligger p{\aa} hver sin side i avstand
$h/2$ fra planet. N{\aa}r vi lar denne h{\o}yden $h$ g{\aa} mot null,
f{\aa}r vi ingen magnetisk fluks gjennom de fire sideflatene av gaussesken
som st{\aa}r normalt p{\aa} planet. Magnetfeltet like p{\aa} oversiden
er $\bold{B}$, s{\aa} magnetisk fluks gjennom ''topplokket'' av esken
blir $B_n \cdot L^2$. Vi lar alts{\aa} $L$ ogs{\aa} v{\ae}re liten,
men dog endelig. Dermed er magnetfeltet konstant over hele topplokket.
P{\aa} undersiden av flaten er magnetfeltet $\bold{B} + \Delta \bold{B}$.
Dersom fluksen gjennom topplokket er positiv (dvs ut av gaussesken),
m{\aa} $\bold{B}$ p{\aa} undersiden gi et like stort negativt bidrag,
$-B_n \cdot L^2$. I tillegg f{\aa}r vi et positivt eller negativt bidrag
$\Delta B_n \cdot L^2$ fra normalkomponenten $\Delta B_n$ til $\Delta\bold{B}$.
If{\o}lge Gauss' lov skal netto fluks gjennom den lukkede flaten forsvinne.
Dermed:
$$B_n \cdot L^2-B_n \cdot L^2+\Delta B_n \cdot L^2 = 0$$
Med andre ord: Normalkomponenten til $\Delta\bold{B}$ m{\aa} v{\ae}re lik null.
Dvs, normalkomponenten til $\bold{B}$ er kontinuerlig.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Deretter bruker vi Amperes lov p{\aa} den nederste av de to amperekurvene
i figuren i oppgaveteksten, nemlig den som omslutter et rektangel med
flatenormal tangentielt til planet, men normalt til str{\o}mretningen.
Vi lar lengden normalt til planet v{\ae}re $h$, som vi lar g{\aa} mot null,
mens lengden $L$ parallelt med planet lar vi v{\ae}re liten men endelig.
Da f{\aa}r vi null bidrag til kurveintegralet i Amperes lov fra de
to sidekantene med lengde $h$. Fra biten med lengde $L$ p{\aa} oversiden
av flaten f{\aa}r vi bidraget $B_{t\parallel} \cdot L$, der $B_{t\parallel}$
er komponenten av $\bold{B}$ som er parallell til b{\aa}de planet og til
str{\o}mretningen. (Som over antar vi $L$ s{\aa} liten at $\bold{B}$ er konstant
over hele lengden $L$.) Fra biten med lengde $L$ p{\aa} undersiden
av flaten f{\aa}r vi bidraget $-B_{t\parallel} \cdot L$ fra $\bold{B}$ 
(motsatt fortegn av bidraget p{\aa} oversiden fordi vi g{\aa}r motsatt vei)
og dessuten bidraget $\Delta B_{t\parallel} \cdot L$ fra $\Delta \bold{B}$.
Tilsammen skal kurveintegralet rundt den lukkede kurven, dvs rektangelet, v{\ae}re
lik $\mu_0$ ganget med str{\o}mmen som kurven omslutter. Her er omsluttet str{\o}m
lik null, s{\aa} vi f{\aa}r
$$B_{t\parallel} \cdot L-B_{t\parallel} \cdot L+\Delta B_{t\parallel}\cdot L = 0$$
Med andre ord: Komponenten av $\Delta\bold{B}$ som er parallell til b{\aa}de planet og til
str{\o}mretningen m{\aa} v{\ae}re lik null. Dvs, $B_{t\parallel}$ er kontinuerlig.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Endelig bruker vi Amperes lov p{\aa} den {\o}verste av de to amperekurvene
i figuren i oppgaveteksten, nemlig den som omslutter et rektangel med
flatenormal tangentielt til planet {\em og} til str{\o}mretningen. Nok en gang
lar vi h{\o}yden $h$ g{\aa} mot null slik at vi ikke f{\aa}r noe bidrag til
kurveintegralet fra de to bitene normalt til planet. Bidraget fra lengden $L$
over planet blir n{\aa} $B_{t\perp}\cdot L$, der $B_{t\perp}$ er komponenten av
$\bold{B}$ tangentielt til planet og normalt til str{\o}mretningen. Hvis bidraget 
er positivt n{\aa}r vi integrerer som vist i figuren, dvs mot klokka, betyr det
at $B_{t\perp}$ er positiv mot venstre i figuren. Bidraget fra lengden $L$
under planet blir dermed $-B_{t\perp}\cdot L$ fra $\bold{B}$ (for her g{\aa}r
vi motsatt vei) og $\Delta B_{t\perp}\cdot L$ fra $\Delta\bold{B}$. Her m{\aa} vi
passe p{\aa} fortegnet: Vi integrerer fra venstre mot h{\o}yre, s{\aa} hvis dette
siste bidraget er positivt, betyr det at $\Delta\bold{B}$ peker mot h{\o}yre.
Omsluttet str{\o}m i dette tilfellet er ikke lik null. Pr lengdeenhet har vi en
str{\o}m $i$ i det str{\o}mf{\o}rende planet. P{\aa} en lengde $L$ har vi derfor
en str{\o}m $iL$. Amperes lov gir da:
$$B_{t\perp}\cdot L-B_{t\perp}\cdot L+\Delta B_{t\perp}\cdot L = \mu_0 i L$$
dvs
$$\Delta B_{t\perp} = \mu_0 i$$
Og dette er alts{\aa} hele diskontinuiteten i magnetfeltet n{\aa}r vi krysser
det str{\o}mf{\o}rende planet. Vi har valgt oml{\o}psretning for kurveintegralet
i Amperes lov konsistent med positiv str{\o}m ut av planet. Med andre ord,
diskontinuiteten $\Delta\bold{B}$ blir en vektor mot h{\o}yre, som vist i figuren,
med absoluttverdi $\mu_0 i$. Vi ser at med flatenormalen $\hat{n}$ pekende nedover
og str{\o}mmen $\bold{i}$ ut av planet, f{\aa}r vi riktig retning p{\aa}
$\Delta\bold{B}$ ved {\aa} skrive
$$\Delta \bold{B} = \mu_0 \; \bold{i} \times \hat{n}$$
som oppgitt i oppgaveteksten.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Legg merke til at hele diskontinuiteten $\Delta\bold{B}$ dannes av den str{\o}mmen
som g{\aa}r i planet akkurat der vi krysser planet, eller om du vil, der vi krysser
planet og et lite omr{\aa}de omkring. Resten av verden, inklusive hele det str{\o}mf{\o}rende
planet, {\em unntatt} den lille biten omkring krysningspunktet, skaper et magnetfelt som
er kontinuerlig gjennom krysningspunktet. Dette er fullstendig analogt i elektrostatikken:
Der fant vi at det elektriske feltet var diskontinuerlig n{\aa}r vi krysset en flate
med netto ladning $\sigma$ pr flateenhet. Ogs{\aa} der kan vi tenke oss at vi ser p{\aa}
en liten bit (skive) av flaten omkring krysningspunktet og lar det totale feltet v{\ae}re
feltet fra denne biten pluss feltet fra resten av verden, inklusive resten av den
ladete flaten. Diskontinuiteten i det elektriske feltet skyldes da nettopp den lille ladete
skiva omkring krysningspunktet, mens feltet fra resten av verden er kontinuerlig idet vi
krysser flaten. Husk imidlertid den lille men viktige forskjellen, nemlig at det er
{\em normalkomponenten} til det elektriske feltet som er diskontinuerlig, mens det
er {\em tangentialkomponenten} (og mer presist, den som st{\aa}r vinkelrett p{\aa}
str{\o}mretningen) til det magnetiske feltet som er diskontinuerlig.



\end{document}
