\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009, uke 5

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 28.01.09 og fredag 30.01.09
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Elektrisk potensial} 

\noindent
[FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.1; AF 21.9; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 2.3.2, 2.4.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Vi har en {\em konservativ} kraft $\bold{F}$ dersom arbeidet $\int_A^B \bold{F}\cdot d\bold{l}$
er uavhengig av veien mellom startposisjonen $A$ og sluttposisjonen $B$.

\noindent
Eksempler p{\aa} konservative krefter: Gravitasjonskraften mellom to masser. Den
elektrostatiske kraften mellom to ladninger.

\noindent
Eksempel p{\aa} ikke-konservativ kraft: Friksjon.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Mer generelt har vi et {\em konservativt vektorfelt} $\bold{G}$ dersom {\em veiintegralet}
$\int_A^B \bold{G}\cdot d\bold{l}$ er uavhengig av integrasjonsveien mellom $A$ og $B$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
For et konservativt vektorfelt $\bold{G}$ gjelder:
$$\oint\bold{G}\cdot d\bold{l} = 0$$
der $\oint$ angir integral rundt {\em lukket kurve} i rommet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
For konservativ kraft $\bold{F}$ har vi en {\em potensiell energi} $U$ slik at arbeidet utf{\o}rt
av $\bold{F}$ p{\aa} "systemet" (f.eks. ladningen som flyttes) ved en forflytning fra $A$ til $B$
tilsvarer {\em endringen} i systemets potensielle energi:
$$\Delta U = U_B - U_A = - \int_A^B \bold{F}\cdot d\bold{l}$$
[Fortegnssjekk: Forflytning av masse $m$ oppover, dvs {\em mot} tyngdekraften $m\bold{g}$, gir
{\o}kt potensiell energi og samtidig er $\bold{F}\cdot d\bold{l} < 0$, alts{\aa} er fortegnet OK!]

\vspace{0.3cm}
\noindent
P{\aa} samme m{\aa}te som at det var hensiktsmessig {\aa} innf{\o}re elektrisk felt
$\bold{E} = \bold{F}/q$ = elektrisk kraft pr ladningsenhet, er det n{\aa}
hensiktsmessig {\aa} innf{\o}re {\em elektrisk potensial} som {\em potensiell energi pr ladningsenhet}:
$$V = U/q$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Enhet for elektrisk potensial: $[V] = [U/q]$ = J/C $\equiv$ V (volt)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Energienheten elektronvolt: 1 eV = $1.6\cdot10^{-19}$ J = endringen i potensiell energi til en
element{\ae}rladning n{\aa}r den flyttes mellom to posisjoner med en potensialforskjell p{\aa} 1 volt.

\newpage
%\vspace{0.8cm}
\noindent
{\bf Sammenhengen mellom elektrisk potensial $V$ og elektrisk felt $\bold{E}$}

\noindent
[FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.1; AF 21.10; LHL 19.9; DJG 2.3.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
En ladning $q$ som p{\aa}virkes av en elektrostatisk kraft $\bold{F}$ har en forskjell i potensiell
energi
$$\Delta U = U_B - U_A = - \int_A^B \bold{F}\cdot d\bold{l}$$
mellom punktene $A$ og $B$. Da m{\aa} den {\em elektriske potensialforskjellen} $\Delta V$ mellom
punktene $A$ og $B$ v{\ae}re
$$\Delta V = V_B - V_A = \frac{\Delta U}{q} = - \int_A^B \frac{\bold{F}\cdot d\bold{l}}{q} =
- \int_A^B \bold{E}\cdot d\bold{l}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Alternativ enhet for elektrisk felt: $[E] = [V/l]$ = V/m

\vspace{0.3cm}
\noindent
Merk deg at mens elektrisk felt er en {\em vektorst{\o}rrelse}, s{\aa} er elektrisk
potensial en {\em skalar st{\o}rrelse}.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Merk: Bare {\em forskjeller} i elektrisk potensial (og potensiell energi) har fysisk betydning.
Kan fritt velge nullpunkt for potensialet. Vanlig valg: $V(r\rightarrow\infty) = 0$. Dermed,
for punkt $P$:
$$V_P = - \int_\infty^P \bold{E}\cdot d\bold{l}$$
(Vi kan ikke alltid velge $V(r\rightarrow\infty) = 0$. Det skal vi se eksempler p{\aa} etterhvert.)


\vspace{0.6cm} 
\noindent
{\bf Elektrisk potensial fra punktladning (Coulombpotensialet)} 

\noindent
[FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.2; AF 21.11; LHL 19.9; DJG 2.3.4]:

\vspace{0.3cm}
$$V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

\vspace{0.6cm}
\noindent
Elektrisk potensial (i et punkt $P$) fra flere punktladninger:
$$V_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_i \frac{q_i}{r_i}$$
Her er $r_i$ avstanden fra ladning nr $i$ til punktet $P$. Det f{\o}lger
med andre ord at superposisjonsprinsippet ogs{\aa} gjelder for potensialet
$V$, ettersom det gjelder for feltet $\bold{E}$ (og krafta $\bold{F}$).


\vspace{0.6cm}
\noindent
Dersom vi har en kontinuerlig ladningsfordeling, kan vi g{\aa} fram p{\aa}
n{\o}yaktig samme vis som vi gjorde i forbindelse med elektrisk felt: Del
opp omr{\aa}det med ladning i sm{\aa} biter slik at bit nr $i$ har en liten
ladning $\Delta q_i$ som kan betraktes som en punktladning. I grensen
$\Delta q_i \rightarrow 0$ kan vi erstatte summen over $i$ med et integral:
$$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dq}{r}$$
med
$$dq = \left\{
\begin{array}{ll}
\rho(x,y,z)\;dV & (3D) \\
\sigma(x,y)\;dA & (2D) \\
\lambda(x)\;dx & (1D)
\end{array}
\right. $$ 

\newpage

\vspace{0.1cm}
\noindent
{\bf Potensiell energi for system med flere ladninger} 

\noindent
[FGT 24.1, 24.2; YF 23.1; TM 24.1; AF 21.9, 21.12; LHL 19.9,20.3; DJG 2.4]

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item mellom to punktladninger i innbyrdes avstand $r_{12}$: $U_{12} = q_1 q_2/4\pi\varepsilon_0 r_{12}$
\item mellom flere punktladninger: $U = \sum_{i<j} U_{ij}$ (der summen over $i$ og $j$ g{\aa}r over alle
punktladningene i systemet, dog slik at $j$ hele tiden er st{\o}rre enn $i$, dvs summen g{\aa}r over
alle par av punktladninger)
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Energibevarelse for ladete partikler i elektrisk felt} 

\noindent
[FGT 24.1; YF 23.1; AF 21.12; LHL 19.9]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med {\em konservative} krefter er {\em total energi bevart}:
\begin{eqnarray}
T + U &=& \;\;\;{\rm konstant} \nonumber \\
T &=& \frac{1}{2}mv^2 = \;\;\;{\rm kinetisk}\;\;{\rm energi} \nonumber \\
U &=& qV = \;\;\;{\rm potensiell}\;\;{\rm energi} \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Dersom partikkel med ladning $q$ og masse $m$ akselereres i elektrisk felt $\bold{E}$,
dvs gjennom potensialforskjell $\Delta V = V_2 - V_1$:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} m v_1^2 + q V_1 &=& \frac{1}{2} m v_2^2 + q V_2 \nonumber \\
\Rightarrow v_2^2 &=& v_1^2 + \frac{2q}{m} (V_1 - V_2) \nonumber \\
\Rightarrow v_2 &=& \sqrt{v_1^2 - \frac{2q \Delta V}{m}} = v_1 \sqrt{1 - \frac{2q \Delta V}{m v_1^2}} \nonumber
\end{eqnarray}
Her er $v_1$ partikkelens hastighet der potensialet er $V_1$ (``startpunkt'') og $v_2$ er
partikkelens hastighet der potensialet er $V_2$ (``sluttpunkt'').

\noindent
Dersom $q \Delta V < 0$ f{\aa}s $v_2 > v_1$, dvs (positiv) akselerasjon.

\noindent
Alts{\aa}:

\noindent
Negativ ladning akselereres i retning h{\o}yere potensial 

\noindent
Positiv ladning akselereres i retning lavere potensial 

\noindent
.... mens begge typer ladning selvsagt akselereres i retning lavere potensiell energi.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bevegelsen til en partikkel med masse $m$ og ladning $q$ i et elektrisk felt
er bestemt av Newtons 2. lov (= {\em bevegelsesligningen}):
$$\bold{F} = m\bold{a} = m\frac{d\bold{v}}{dt} = q\bold{E}$$
Dermed:
$$\bold{a} = \frac{q}{m}\bold{E}$$
Partikkel med positiv ladning akselereres langs $\bold{E}$.

\noindent
Partikkel med negativ ladning akselereres langs $-\bold{E}$.


\end{document}
