\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=24cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2006, uke16

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Fredag 21. april
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Magnetfelt fra uendelig lang spole med tette viklinger:

\noindent
Inne i spolen:
$$B = \mu_0 n I$$
med $I$ = str{\o}mmen i spoletr{\aa}den og $n$ = antall viklinger
av spoletr{\aa}den pr lengdeenhet. Dvs: Uniformt magnetfelt.

\noindent
Utenfor spolen er $B=0$.


\vspace{2.0cm}
\noindent
Kommentar til eksemplet med uendelig lang spole: Etter forelesningene p{\aa} fredag fikk jeg et h{\o}yst
relevant sp{\o}rsm{\aa}l, nemlig hvorfor jeg kunne v{\ae}re s{\aa} sikker p{\aa} at $B=0$ n{\aa}r jeg fjerner
meg uendelig langt vekk fra spolen. (Dette var en n{\o}dvendig antagelse for {\aa} bevise at $B=0$ overalt utenfor
spolen.) {\AA}rsaken til bekymringen var blant annet at det elektriske feltet fra et uendelig stort uniformt
ladet plan {\em ikke} g{\aa}r mot null selv om vi g{\aa}r uendelig langt unna. S{\aa} derfor: Med {\em uendelig}
lang spole kan det vel tenkes at ogs{\aa} $B$ ikke g{\aa}r mot null uendelig langt borte?

\noindent
Svaret er ja, det kan tenkes, men nei, det er ikke tilfelle! Hvorfor? Vel, her kan det argumenteres p{\aa}
flere m{\aa}ter. For det f{\o}rste kan vi ta utgangspunkt i Biot-Savarts lov og rett og slett regne ut 
magnetfeltet p{\aa} utsiden av en uendelig lang spole. Dette er litt kronglete, men det lar seg gj{\o}re,
og du vil finne at $B=0$ uansett avstand til spolen.

\noindent
Et litt mer "l{\o}saktig" argument er som f{\o}lger: Hver vikling p{\aa} spolen er en magnetisk {\em dipol},
slik at bidraget (i absoluttverdi) fra hver vikling faller av som $1/r^3$ for store avstander $r$ mellom
viklingen og "observasjonspunktet". Sammenligner vi med det uendelig store ladete planet, har vi i det
tilfellet bidrag til det elektriske feltet fra elektriske {\em monopoler} (dvs ladningsbiter $dq$) som 
"bare" faller av som $1/r^2$, der $r$ er avstanden fra ladningselementet $dq$ til observasjonspunktet.
I tillegg kommer det med retningen p{\aa} de ulike bidragene inn: Det elektriske feltet fra et uendelig
stort ladet plan er sammensatt av sm{\aa} bidrag som alle har normalkomponent
enten bort fra eller inn mot planet (avhengig
av om planet er positivt eller negativt ladet). Men slik er det ikke med magnetfeltbidragene fra de ulike
viklingene p{\aa} spolen: Viklingen "rett under" observasjonspunktet bidrar med magnetfelt rettet fullstendig
i spolens lengderetning. Viklinger i n{\ae}rheten av rett under observasjonspunktet bidrar med samme
fortegn p{\aa} "langsmedkomponenten", mens viklinger langt unna rett under observasjonspunktet bidrar med
motsatt fortegn. (Se {\o}ving 14 oppgave 2!) Alt i alt: All grunn til {\aa} kunne anta at $B=0$ langt borte fra spolen.

\noindent
Og sammenhold gjerne med oppgave 1 i {\o}ving 14, det uendelig store str{\o}mf{\o}rende planet: Her g{\aa}r
{\em ikke} magnetfeltet mot null selv om vi g{\aa}r uendelig langt unna! Men her g{\aa}r da ogs{\aa}
alle str{\o}mbidrag i samme retning, slik at bidragene til det totale magnetfeltet legger seg sammen til
noe som er {\em endelig}, og ikke null.



\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisk fluks og Gauss' lov for $\bold{B}$} 

\noindent
[FGT 29.2; YF 27.3; TM 28.1, 27.3; AF 26.3; LHL 23.7; DJG 5.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Magnetisk fluks $\phi_B$ gjennom flate $S$:
$$\phi_B = \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetfeltstyrken $B$ er proporsjonal med antall magnetiske feltlinjer
pr flateenhet. Dermed blir den magnetiske fluksen $\phi_B$ proporsjonal
med antall feltlinjer gjennom flaten. (Sammenlign med elektrisk fluks!)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Siden magnetiske feltlinjer alltid er {\em lukkede}, f{\aa}r vi Gauss' lov for magnetfeltet:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{A} = 0$$
for lukket flate. Uttrykker at det ikke finnes magnetiske monopoler.

\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Oppsummering, elektrostatikk og magnetostatikk: Maxwells ligninger}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov for elektrostatisk felt:
$$\oint \bold{E} \cdot d\bold{A} = q_{\rm in}/\varepsilon_0$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrostatisk felt er konservativt:
$$\oint \bold{E} \cdot d\bold{l} = 0$$

%\newpage
\noindent
Gauss' lov for magnetfelt:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{A} = 0$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Amperes lov:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{l} = \mu_0 I_{\rm in}$$

\vspace{0.8cm}
\noindent
Med gitte ``kilder'', dvs statiske ladninger og stasjon{\ae}re
str{\o}mmer, 
gir dette oppskriften p{\aa} beregning av $\bold{E}$ og $\bold{B}$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Lorentzkraften,
$$\bold{F} = q\bold{E} + q\bold{v}\times\bold{B}$$
bestemmer deretter hvordan en ladning $q$ med hastighet $\bold{v}$ vil bevege seg
i feltene $\bold{E}$ og $\bold{B}$


\newpage
%\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisme} 

\noindent
[FGT 31.1 - 31.4; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.3; LHL 26.1 - 26.5; DJG 6.4]

\vspace{0.2cm}

\begin{itemize}
\item
Paramagnetisme: I materiale med atom{\ae}re magnetiske dipolmoment $\bold{m} \neq 0$
rettes $\bold{m}$ inn langs det p{\aa}trykte magnetfeltet $\bold{B}$,
analogt en elektrisk dipol som rettes inn langs et p{\aa}trykt elektrisk
felt $\bold{E}$.
\item
Diamagnetisme: Det p{\aa}trykte feltet $\bold{B}$
p{\aa}virker elektronets banebevegelse slik
at vi f{\aa}r indusert en endring $\Delta \bold{m}$ i magnetisk dipolmoment med
motsatt retning av $\bold{B}$. Har en slik diamagnetisk respons i alle atomer,
men da den er svak, observeres den typisk bare i materialer med null
permanent atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment.
\end{itemize}

\end{document}
