\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009, uke17

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 22.04.09 og fredag 24.04.09
\end{large}
\end{center}

\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Energi i magnetfelt} 

\noindent
[FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
La oss regne ut hvor mye energi som m{\aa} tilf{\o}res en spole med
induktans $L$ n{\aa}r vi {\o}ker str{\o}mmen gjennom spoletr{\aa}den
fra $i=0$ til en ''sluttverdi'' $i=I$.

\noindent
Tilf{\o}rt energi ved {\aa} {\o}ke str{\o}mmen fra $i$ til $i + di$:
$$dU_B = P\;dt = iv\;dt = iL \frac{di}{dt}dt = Li\;di$$
Her er $P=iv$ tilf{\o}rt effekt, og $v = L di/dt$ spenningen over spolen
idet vi endrer str{\o}mmen fra $i$ til $i + di$.

\noindent
Dermed blir total energi tilf{\o}rt for {\aa} {\o}ke str{\o}mmen fra 0 til $I$ lik
$$U_B = \int dU_B = L \int_0^I i\;di = \frac{1}{2} L I^2$$
Denne energien kan vi n{\aa} assosiere med magnetfeltet $B$ inne i spolen. Anta at
spolen er tiln{\ae}rmet uendelig lang, med $N$ viklinger p{\aa} hele lengden $l$.
Tverrsnittet av spolen har areal $A$. Da er magnetfeltet inne i spolen
$$B = \mu_0 n I = \mu_0 \frac{N}{l} I$$
(P{\aa} utsiden av spolen er magnetfeltet null.)
Total magnetisk fluks gjennom de $N$ viklingene p{\aa} spolen blir
$$\phi_m = NAB = NA\mu_0 \frac{N}{l}I$$
som ogs{\aa} kan skrives p{\aa} formen
$$\phi_m = LI$$
der $L$ er spolens (selv-)induktans. Med dette kan vi omforme uttrykket for
energien $U_B$:
$$U_B = \frac{1}{2} \frac{NAB}{I} I^2 = \frac{1}{2}NAB \cdot \frac{Bl}{\mu_0 N} = \frac{1}{2\mu_0} B^2 \cdot Al$$
Her er $Al$ lik volumet inne i spolen, s{\aa} vi ser at vi har en {\em energitetthet} (dvs energi
pr volumenhet) assosiert med magnetfeltet $B$:
$$u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2$$
Fra f{\o}r har vi funnet at vi har en energitetthet $u_E$ assosiert med et elektrisk felt $E$:
$$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$$
Dermed blir {\em total energitetthet i et elektromagnetisk felt}:
$$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Kommentar: Dette uttrykket er ''alltid riktig'', i den forstand at $u$ representerer energien ''lagret'' i
feltene $E$ og $B$. I litteraturen ''risikerer'' du {\aa} st{\o}te p{\aa} formelen
$$u = \frac{1}{2} \bold{D}\cdot\bold{E} + \frac{1}{2}\bold{B}\cdot\bold{H} =
\frac{1}{2} \varepsilon E^2 + \frac{1}{2\mu} B^2$$
for total energitetthet dersom vi har polariserbare og/eller magnetiserbare medier tilstede. (I den siste
overgangen her brukte vi at $\bold{D} = \varepsilon \bold{E}$ og $\bold{B} = \mu \bold{H}$, med
$\varepsilon =$ mediets permittivitet og $\mu =$ mediets permeabilitet.)

\noindent
Disse to uttrykkene for $u$ er ikke identiske, og kan derfor ikke representere den samme energitettheten.
Det siste uttrykket for $u$ inkluderer da ogs{\aa} et bidrag som ikke er direkte ''lagret'' i feltene,
nemlig den ''elastiske'' energien knyttet til polarisering og magnetisering, dvs innrettingen av
elektriske og magnetiske dipoler.

\noindent
I den grad noe av dette blir aktuelt til eksamen, skal vi kun bry oss om {\em feltenergien} gitt ved
$$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$



\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Koblede systemer, selvinduktans og gjensidig induktans} 

\noindent
(ble ikke forelest v{\aa}ren 2009, derfor er det ikke direkte pensum, men
kun orienteringsstoff)

\noindent
Anta at vi har to kretser, nr 1 og nr 2, med selvinduktans hhv $L_1$ og $L_2$ og gjensidig
induktans $M$. Anta f.eks.\ at vi i krets nr 1 har en tidsavhengig spenningskilde
$\ems_1(t)$. Den samlede resistansen i de to kretsene er hhv $R_1$ og $R_2$.

\noindent
Vi skal bestemme de resulterende str{\o}mstyrkene $I_1$ og $I_2$ i de to kretsene.
Kirchhoffs spenningsregel gir da f{\o}lgende ligninger:
\begin{eqnarray}
\ems_1 - L_1 \dot{I}_1 - R_1 I_1 - M \dot{I}_2 &=& 0 \nonumber \\
- L_2 \dot{I}_2 - R_2 I_2 - M \dot{I}_1 &=& 0 \nonumber
\end{eqnarray}
Dette er to koblede differensialligninger for de to ukjente,
$I_1(t)$ og $I_2(t)$. Hvis $\ems_1$ er en harmonisk vekselspenningskilde,
$$\ems_1(t) = \ems_0 \cos \omega t,$$
med amplitude $\ems_0$ og vinkelfrekvens $\omega$, vil ogs{\aa} str{\o}mmene
$I_1$ og $I_2$ variere harmonisk med tiden, med samme vinkelfrekvens $\omega$.
Dermed kan vi generelt skrive
\begin{eqnarray}
I_1(t) &=& A_1 \cos\omega t + B_1 \sin\omega t \nonumber \\
I_2(t) &=& A_2 \cos\omega t + B_2 \sin\omega t \nonumber
\end{eqnarray}
og innsetting av disse uttrykkene i de to differensialligningene gir da i alt
fire ligninger, for fastleggelse av ''koeffisientene'' $A_1, A_2, B_1, B_2$.
(Fire ligninger fordi vi kan sammenligne $\cos\omega t$-ledd og $\sin\omega t$-ledd
hver for seg, slik som i AC-eksemplet nedenfor.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
(herfra er stoffet pensum igjen)

\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf $RL$-krets med likespenningskilde $V_0$} 

\noindent
[FGT 32.4; YF 30.4; TM 28.8; AF Ex 27.5; LHL 25.2; DJG Ex 7.12]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ser p{\aa} seriekobling av {\em induktans} $L$ (f.eks. en spole) og {\em resistans} $R$.
Et batteri med likespenning $V_0$ kobles til kretsen ved tidspunktet $t=0$.


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke48_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Total ems i kretsen er da
$$V_0 - L \frac{dI}{dt}$$
der det siste leddet er indusert ''motspenning'' over induktansen n{\aa}r vi pr{\o}ver
{\aa} {\em endre} str{\o}mstyrken gjennom den.

\noindent
If{\o}lge Kirchhoffs spenningsregel (evt ''sl{\o}yferegel'') m{\aa} denne totale emsen
i sl{\o}yfa tilsvare spenningsfallet over motstanden $R$, med andre ord
$$V_0 - L \frac{dI}{dt} = RI$$
eller
$$L \frac{dI}{dt} + RI = V_0$$
Dette er n{\o}yaktig samme type 1. ordens differensialligning for str{\o}mmen $I$
som det vi hadde for kondensatorladningen $Q$ da vi studerte opplading av kondensator
i en $RC$-krets. L{\o}sningen blir
$$I(t) = \frac{V_0}{R} \left(1 - e^{-Rt/L} \right)$$
der vi har brukt initialbetingelsen $I(0) = 0$. (F{\o}r innkobling av batteriet er
{\aa}penbart $I=0$. I tidspunktet $t=0$ kan {\em ikke} str{\o}mmen i kretsen ''hoppe''
opp til en endelig verdi forskjellig fra null. Det m{\aa}tte i s{\aa}fall inneb{\ae}re
at $dI/dt \rightarrow \infty$ i $t=0$, hvilket igjen ville inneb{\ae}re en uendelig
stor motspenning over induktansen. Det er rett og slett ikke fysisk mulig! Alts{\aa}
m{\aa} $I$ v{\ae}re kontinuerlig i $t=0$, og vi kan sette $I(0)=0$.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Tidskonstant} for endring av str{\o}mmen:
$$\tau = \frac{L}{R}$$
Verdien av $\tau$ gir en {\em st{\o}rrelsesorden} for hvor lang tid det tar {\aa}
{\o}ke str{\o}mmen i en slik $RL$-krets fra 0 til maksimal verdi $V_0/R$:
$$I(t\rightarrow \infty) = \frac{V_0}{R}$$


\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf $RL$-krets med vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$} 

\noindent
[FGT 33.2; YF 31.2; TM 29.2, 29.3; AF Note 27.2; LHL 27.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Med en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ koblet til en induktans $L$
har vi med bruk av Kirchhoffs spenningsregel:
\begin{eqnarray}
V_0 \cos \omega t + V_L &=& 0 \nonumber \\
V_0 \cos \omega t &=& L \frac{dI}{dt} \nonumber \\
I(t) &=& \frac{V_0}{\omega L} \sin \omega t = \frac{V_0}{\omega L} \cos (\omega t - \frac{\pi}{2} ) \nonumber
\end{eqnarray}
Vi kan skrive str{\o}mmen $I(t)$ p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \cos (\omega t - \alpha)$$
(jfr tidligere i kurset, og tilsvarende for kapasitans $C$ og $RC$-kretser), og ser at str{\o}mamplituden er
$$I_0 = \frac{V_0}{\omega L}$$
mens fasevinkelen er
$$\alpha = \frac{\pi}{2}$$
Dvs, str{\o}m $I$ og p{\aa}trykt spenning $V = V_0 \cos \omega t$ er faseforskj{\o}vet med en kvart periode
i forhold til hverandre. I forbindelse med $RC$-kretser og vekselspenningskilde innf{\o}rte vi 
st{\o}rrelsen {\em impedans} $Z$, definert ved
$$Z = \frac{V_0}{I_0}$$
Med andre ord, en slags generalisert motstand, jfr Ohms lov $R = V/I$. Vi ser da at impedansen til
en induktans $L$ blir
$$Z_L = \omega L$$
med fasevinkel
$$\alpha_L = \pi/2$$

\vspace{0.8cm}
%%\newpage
\noindent
Et eksempel til: Vekselspenningskilde $V_0 \cos\omega t$ koblet til en parallellkobling av
en motstand $R$ og en induktans $L$.

\noindent
Da m{\aa} den totale str{\o}mmen $I$ som ''leveres'' av spenningskilden fordele seg p{\aa}
en str{\o}m $I_R$ gjennom motstanden og en str{\o}m $I_L$ gjennom induktansen:
$$I = I_R + I_L$$
(Dvs: Kirchhoffs str{\o}mregel.) Videre m{\aa} vi gjenfinne den p{\aa}trykte spenningen som
et tilsvarende spenningsfall, b{\aa}de over motstanden og over induktansen. Med andre ord:
\begin{eqnarray}
V_0 \cos\omega t &=& R I_R \nonumber \\
V_0 \cos\omega t &=& L \frac{dI_L}{dt} \nonumber
\end{eqnarray}
(Dvs: Kirchhoffs spenningsregel.) Disse ligningene l{\o}ses greit, og vi finner
\begin{eqnarray}
I_R &=& \frac{V_0}{R} \cos\omega t \nonumber \\
I_L &=& \frac{V_0}{\omega L} \sin\omega t \nonumber
\end{eqnarray}
Total str{\o}m levert av spenningskilden blir dermed
$$I(t) = I_R(t) + I_L(t) = \frac{V_0}{R} \cos\omega t + \frac{V_0}{\omega L} \sin\omega t$$
Vi kan skrive denne summen av to ledd p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \cos (\omega t - \alpha)$$
ved {\aa} bruke den trigonometriske relasjonen
$$\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$
Dermed:
$$\cos (\omega t - \alpha) = \cos \omega t \cos\alpha + \sin \omega t \sin\alpha$$
Sammenligning med uttrykket for $I(t) = I_R + I_L$ gir oss f{\o}lgende to ligninger
for de to ukjente st{\o}rrelsene $I_0$ og $\alpha$:
\begin{eqnarray}
\frac{V_0}{R} &=& I_0 \cos\alpha \nonumber \\
\frac{V_0}{\omega L} &=& I_0 \sin\alpha \nonumber
\end{eqnarray}
Dette ligningssettet har l{\o}sning
$$\tan\alpha = \frac{R}{\omega L} \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
\alpha = \arctan \frac{R}{\omega L}$$
og
$$I_0 = V_0 \left( \frac{1}{R^2} + \frac{1}{\omega^2 L^2} \right)^{1/2}$$
Fra definisjonen av impedans, $Z = V_0/I_0$, ser vi at impedansen til en
parallellkobling er
$$Z = \left( \frac{1}{R^2} + \frac{1}{\omega^2 L^2} \right)^{-1/2}$$
Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er liten, dvs $\omega \ll R/L$,
vil leddet $1/\omega^2 L^2$ dominere i forhold til $1/R^2$, slik at
$$Z \simeq \omega L$$
Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er stor, dvs $\omega \gg R/L$,
vil leddet $1/R^2$ dominere i forhold til $1/\omega^2 L^2$, slik at
$$Z \simeq R$$

\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Resonanskrets: $RCL$-krets med vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$} 

\noindent
[YF 31.3; LHL 27.5]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Figuren nedenfor viser en s{\aa}kalt resonanskrets. 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{resonanskrets.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Kirchhoffs spenningsregel gir
$$V_0 \cos \omega t - RI - L \dot{I} -Q/C = 0$$
som med $I = \dot{Q}$ gir
$$L \ddot{Q} + R \dot{Q} + Q/C = V_0 \cos\omega t$$
Dette er en 2.\ ordens inhomogen differensialligning for kondensatorladningen $Q$.
Den generelle l{\o}sningen er en sum av en homogen l{\o}sning (dvs: l{\o}sning av
ligningen med null p{\aa} h{\o}yre side) og en partikul{\ae}rl{\o}sning. Vi er her
ikke interessert i den homogene l{\o}sningen, som kun bidrar til et ''innsvingningsforl{\o}p''
rett etter at vi har koblet til spenningskilden. Det som interesserer oss her er
partikul{\ae}rl{\o}sningen, dvs den som beskriver ''tvungne'' svingninger av $Q$ og $I$,
dvs svingninger med samme (vinkel-)frekvens som p{\aa}trykt spenning. Da kan vi skrive
str{\o}mmen p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \cos(\omega t - \alpha),$$
dvs
$$I = \dot{Q} = I_0 \cos\alpha \cos\omega t + I_0 \sin\alpha \sin\omega t.$$
Det gir videre
$$\ddot{Q} = -\omega I_0 \cos\alpha \sin\omega t + \omega I_0 \sin\alpha \cos\omega t$$
og
$$Q = \frac{I_0}{\omega} \cos\alpha \sin\omega t - \frac{I_0}{\omega} \sin\alpha \cos\omega t.$$
Innsetting av disse uttrykkene i diffligningen for $Q$ gir oss 2 ligninger for de 2 ubestemte
st{\o}rrelsene $I_0$ og $\alpha$, i og med at leddproporsjonale med $\sin\omega t$ og $\cos\omega t$
m{\aa} stemme overens hver for seg. Etter litt algebra kommer vi fram til l{\o}sningen
$$\alpha = \arctan \left(\frac{\omega L - 1/\omega C}{R}\right)$$
for fasevinkelen og
$$I_0 = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - 1/\omega C\right)^2}}$$
for str{\o}mamplituden. Resonanskretsens impedans er f{\o}lgelig
$$Z = \frac{V_0}{I_0} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - 1/\omega C\right)^2}$$
Figuren nedenfor viser hvordan $I_0$ varierer med $\omega$ for hhv stor, middels og liten
verdi for resistansen $R$. N{\aa}r $\omega = \omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, f{\aa}r vi maksimal
amplitude p{\aa} str{\o}mmen. Vi har da {\em resonans}. Frekvensen til den p{\aa}trykte
spenningen ''matcher'' da den elektriske kretsens ''naturlige frekvens'' $\omega_0$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{resonanskurver.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
For riktig lave frekvenser ($\omega \rightarrow 0$) representerer kondensatoren et brudd i en
tiln{\ae}rmet likestr{\o}mkrets. Da er det ikke urimelig at $I_0 \rightarrow 0$. For riktig
h{\o}ye frekvenser ($\omega \rightarrow \infty$, eventuelt $\omega \gg \omega_0$)
blir indusert motspenning i induktansen $L$ stor selv uten str{\o}m av betydning. Da er det 
heller ikke urimelig at $I_0 \rightarrow 0$ i denne grensen.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave:} Vis at midlere effekt som spenningskilden tilf{\o}rer kretsen,
$$\langle P \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T V(t) I(t) dt$$
blir 
$$\langle P \rangle = \frac{V_0 I_0 \cos\alpha}{2}$$
Hva blir $\langle P \rangle$ p{\aa} resonans, dvs n{\aa}r $\omega = \omega_0 = 1/\sqrt{LC}$?

\vspace{2.5cm}
\noindent
{\bf AC-kretser med kompleks regning. Kompleks impedans.}

\noindent
[YF 31.3; LHL 27.6]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Utregning av str{\o}m og impedans i AC-kretser kan forenkles {\em betraktelig} ved {\aa} utnytte at
$$\cos \omega t = {\rm Re} \left\{ e^{i\omega t} \right\},$$
eventuelt
$$\sin \omega t = {\rm Im} \left\{ e^{i\omega t} \right\}.$$
Dermed kan vi (midlertidig!) skrive p{\aa}trykt spenning som
$$V(t) = V_0 e^{i\omega t}$$
og str{\o}mmen p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 e^{i\omega t}.$$
Vi m{\aa} bare huske p{\aa} {\aa} ta realdelen av utregnet $I(t)$ til slutt for {\aa} f{\aa}
den {\em fysiske} str{\o}mmen i kretsen.

\noindent
Her m{\aa} vi dessuten tillate $I_0$ {\aa} bli en kompleks st{\o}rrelse,
$$I_0 = |I_0| e^{-i \alpha},$$
inntil videre. Da har vi nemlig at
$${\rm Re} \left\{ I_0 e^{i\omega t} \right\} = |I_0| \cos (\omega t - \alpha),$$
og det er jo nettopp p{\aa} den formen vi {\o}nsker {\aa} skrive str{\o}mmen i en
slik AC-krets!

\noindent
Kretsens impedans $Z$ blir dermed ogs{\aa} en kompleks st{\o}rrelse:
$$Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{V_0}{|I_0|} e^{i\alpha} = |Z| e^{i\alpha},$$
dvs med absoluttverdi
$$|Z| = V_0/|I_0|,$$
og med fasevinkel $\alpha$. Med andre ord: Den komplekse impedansen har innebygd
informasjon om b{\aa}de str{\o}mmens amplitude $|I_0|$ {\em og} faseforskyvningen
$\alpha$ mellom p{\aa}trykt spenning og resulterende str{\o}m! Smart, ikke sant?

\noindent
Men tilbake til det regnetekniske: Poenget er at den deriverte av eksponentialfunksjonen
er eksponentialfunksjonen selv. Dermed vil alle ledd i ligningen(e) som f{\o}lger n{\aa}r
vi anvender Kirchhoffs regler, ha {\em samme} tidsavhengige faktor $\exp(i\omega t)$, som
dermed kan forkortes uten videre. Vi slipper {\aa} styre og herje med {\aa} skrive om
trigonometriske funksjoner for {\aa} bestemme $|I_0|$ og $\alpha$.

\noindent
For $RCL$-kretsen hadde vi diffligningen
$$L \ddot{Q} + R \dot{Q} + Q/C = V_0 \cos\omega t$$
for kondensatorladningen $Q$. Vi erstatter h{\o}yre side med $V_0 \exp(i\omega t)$ og
skriver ladningen p{\aa} formen
$$Q(t) = Q_0 e^{i \omega t},$$
der vi som for $I_0$ tillater kompleks amplitude $Q_0$. Innsetting av $Q$ gir da
$$(-\omega^2 L + i\omega R + 1/C) Q_0 e^{i \omega t} = V_0 e^{i \omega t},$$
dvs
$$Q_0 = \frac{V_0}{i \omega R - \omega^2 L + 1/C}.$$
Vi har da
$$I = \dot{Q} = i\omega Q = i\omega Q_0 e^{i \omega t} =
\frac{V_0}{R + i\omega L + 1/i\omega C} \, e^{i \omega t}$$
med kompleks amplitude
$$I_0 = \frac{V_0}{R + i\omega L + 1/i\omega C}$$
Her er nevneren nettopp den komplekse impedansen,
$$Z = R + i\omega L + 1/i\omega C$$
som ganske enkelt er en sum av enkeltimpedansene $Z_R = R$ (for en resistans $R$),
$Z_L = i\omega L$ (for en induktans $L$) og $Z_C = 1/i\omega C$ (for en kapasitans $C$).
Dvs: Samme regel for seriekobling av komplekse impedanser i AC-kretser som for
seriekoblede resistanser i DC-kretser!

\noindent
Da er det nok ingen overraskelse {\aa} f{\aa} h{\o}re at vi ogs{\aa} har samme regel
for parallellkobling av komplekse impedanser i AC-kretser som for parallellkobling
av vanlige resistanser i DC-kretser. Eksempel: Total impedans i en krets med
en $R$, $L$ og $C$ koblet i parallell er
$$Z = \left(1/R + 1/i\omega L + i\omega C \right)^{-1}.$$
Oppsummert:

\noindent
Impedans for motstand $R$: $Z_R = R$

\noindent
Impedans for induktans $L$: $Z_L = i\omega L$

\noindent
Impedans for kapasitans $C$: $Z_C = 1/i\omega C$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Disse uttrykkene kan du selv overbevise deg om ved {\aa} se p{\aa} tre kretser hver for seg,
med en spenningskilde $V_0 \exp(i\omega t)$ koblet til hhv en motstand, en induktans og
en kapasitans.


\end{document}
