\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke 6

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 05.02.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Oppsummering til n{\aa}, og m{\o}te med Maxwell-ligning nr 1}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to ladninger $q$ og $q'$ i innbyrdes avstand $r$):
$$\bold{F} = \frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{r}$$
Elektrisk felt fra punktladning $q$ (f{\o}lger av definisjonen ``kraft pr ladningsenhet''):
$$\bold{E} = \frac{\bold{F}}{q'} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{r}$$
Konservativ kraft:
$$\int_A^B \bold{F}\cdot d\bold{l}$$
er uavhengig av integrasjonsveien, dvs veien mellom punktene $A$ og $B$. Dermed:
$$\oint \bold{F}\cdot d\bold{l} = 0$$
(dvs n{\aa}r vi integrerer rundt en {\em lukket} kurve)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Med definisjonen av $\bold{E}$ f{\o}lger det da at det elektrostatiske feltet
ogs{\aa} er konservativt, dvs:
$$\int_A^B \bold{E}\cdot d\bold{l}$$
er uavhengig av integrasjonsveien, og dermed
$$\oint \bold{E}\cdot d\bold{l} = 0$$
Dette er en av {\em Maxwells ligninger} (vel {\aa} merke, for statiske felt,
dvs felt som ikke endrer seg med tiden).

\noindent
Et konservativt vektorfelt kan alltid avledes fra et skalart {\em potensial}:
$$\bold{E} = - \nabla V$$
Potensialforskjellen mellom to punkter $A$ og $B$ kan beregnes dersom vi kjenner det elektriske
feltet i omr{\aa}det mellom $A$ og $B$:
$$\Delta V = V_B - V_A = - \int_A^B \bold{E}\cdot d\bold{l}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Superposisjonsprinsippet} gjelder for elektrisk kraft $\bold{F}$ (eksperimentelt resultat):
$$\bold{F}_i = \sum_{j=1}^{n}\bold{F}_{ij}$$
= kraft p{\aa} ladning $q_i$ fra ladninger $q_j$ ($j=1,2,\dots n$)

\noindent
Da f{\o}lger det at superposisjonsprinsippet ogs{\aa} gjelder for elektrisk felt $\bold{E}$,
$$\bold{E} = \sum_{j=1}^{n}\bold{E}_j$$
og for elektrisk potensial $V$,
$$V = \sum_{j=1}^{n} V_j$$
Her er $\bold{E}_j$ og $V_j$ bidrag til henholdsvis felt og potensial fra ladning nummer $j$.


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Elektrisk fluks} 

\noindent
[FGT 23.1; YF 22.1; TM 22.2; AF 25.3; LHL 19.7; DJG 2.2.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$$\phi = \int_S \bold{E} \cdot d\bold{A}$$
Noen ganger skriver vi $\phi_E$ for {\aa} presisere at det er snakk om {\em elektrisk} fluks.
Vi har tidligere definert elektriske feltlinjer slik at den elektriske feltstyrken $E = |\bold{E}|$
skulle v{\ae}re proporsjonal med tettheten av feltlinjer, eller antall feltlinjer
pr flateenhet. Av ovenst{\aa}ende definisjon av elektrisk fluks $\phi$ kan vi da slutte at
$\phi$ representerer antall feltlinjer som krysser flaten $S$.

\noindent
F{\o}lgende figur illustrerer hva dette g{\aa}r ut p{\aa}: 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm} 
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke36_fig1.eps}} 
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Flaten $S$ er en vilk{\aa}rlig ``tenkt'' eller ``valgt'' flate i rommet. Det elektriske feltet
``eksisterer'' i omr{\aa}det der flaten $S$ er ``plassert''. ($\bold{E}$ kan v{\ae}re null
eller forskjellig fra null.) Flaten $S$ tenkes s{\aa} delt inn i sm{\aa} flateelementer $d\bold{A} =
\hat{n}dA$, med areal $dA$ og orientering i rommet spesifisert ved {\em flatenormalen} $\hat{n}$.
Fluksen $d\phi$ gjennom flaten $dA$ er da lik $\bold{E}\cdot d\bold{A}$. Den totale fluksen gjennom
hele flaten $S$ f{\aa}r vi ved {\aa} integrere opp bidragene $d\phi$, alts{\aa} ligningen over.

\vspace{0.1cm}
\noindent
Merk at fluksen er en {\em skalar} st{\o}rrelse. Den kan imidlertid v{\ae}re positiv eller
negativ, avhengig av om vinkelen mellom vektorene $\bold{E}$ og $d\bold{A}$ er mindre eller
st{\o}rre enn 90 grader.

\vspace{0.3cm}
\noindent
En {\em lukket flate} $S$ er en flate som omslutter et veldefinert volum $V$, f.eks. et kuleskall,
et pean{\o}ttskall e.l. Den elektriske fluksen gjennom en lukket flate skriver vi slik
(jfr. notasjonen for veiintegral rundt lukket kurve):
$$\phi_c = \oint_S \bold{E} \cdot d\bold{A}$$
Indeksen $c$ st{\aa}r for ``closed''. Den er fors{\aa}vidt un{\o}dvendig s{\aa} lenge vi skriver
ned integralet. Ringen p{\aa} integrasjonssymbolet er tilstrekkelig for {\aa} understreke at det
er snakk om en lukket flate.

\noindent
Med en lukket flate kan vi gj{\o}re unna ``fortegnsproblemet'' en gang for alle: Vi velger
{\em positiv} retning p{\aa} $d\bold{A}$ {\em ut av} flaten.

\noindent
Dermed kan vi konkludere med at
\begin{eqnarray}
\bold{E} \cdot d\bold{A} > 0 \;\;\Rightarrow \;\;{\rm fluks}\;{\rm ut}\;{\rm gjennom}\;{\rm flaten} \nonumber \\
\bold{E} \cdot d\bold{A} < 0 \;\;\Rightarrow \;\;{\rm fluks}\;{\rm inn}\;{\rm gjennom}\;{\rm flaten} \nonumber
\end{eqnarray}
Dessuten:
\begin{eqnarray}
\phi_c > 0 \;\;\Rightarrow \;\;{\rm netto}\;{\rm fluks}\;{\rm ut}\;{\rm gjennom}\;{\rm flaten} \nonumber \\
\phi_c < 0 \;\;\Rightarrow \;\;{\rm netto}\;{\rm fluks}\;{\rm inn}\;{\rm gjennom}\;{\rm flaten} \nonumber
\end{eqnarray}
For en {\em ikke lukket} flate $S$ har vi ingen tilsvarende mulighet for {\aa} velge positiv retning
p{\aa} $d\bold{A}$. Flaten har to sider, og ingen av disse kan sies {\aa} v{\ae}re mer ``inne'' eller
``ute'' i forhold til den andre. I enkelte tilfeller velger vi
imidlertid en positiv retning p{\aa} (den lukkede!) kurven (linjen) som g{\aa}r rundt kanten av $S$.
Da definerer vi positiv retning p{\aa} $d\bold{A}$ ved hjelp av {\em h{\o}yreh{\aa}ndsregelen}:
La h{\o}yreh{\aa}ndas fire {\o}vrige fingre peke i positiv retning for flatens omsluttende kurve. Da
peker tommelen i positiv retning for $d\bold{A}$.

\vspace{1.8cm}
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 06.02.07
\end{large}
\end{center}


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Gauss' lov} 

\noindent
[FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov (p{\aa} s{\aa}kalt integralform; senere i kurset, hvis vi f{\aa}r tid,
skal vi se at vi ogs{\aa} har en versjon av Gauss' lov p{\aa} s{\aa}kalt
differensialform):
$$\oint_S \bold{E} \cdot d\bold{A} = \frac{q_{\rm in}}{\varepsilon_0}$$
Her er integralet p{\aa} venstre side av ligningen et {\em flateintegral}
over en {\em lukket} flate $S$, mens $q_{\rm in}$ er total (netto) ladning
innenfor den lukkede flaten (``gaussflaten'').

\noindent
Gauss' lov er en av {\em Maxwells ligninger}. (Vi konsentrerer oss fremdeles
om {\em elektrostatikk} en god stund framover, men faktisk er det slik at
Gauss' lov ogs{\aa} gjelder selv om $\bold{E}$ skulle finne p{\aa} {\aa}
variere med tiden.)

\noindent
Innholdet i ligningen kan formuleres slik: Netto antall feltlinjer ut
av et volum, dvs ut gjennom den lukkede flaten som avgrenser dette
volumet, er bestemt av, og direkte proporsjonal med netto ladning inne
i volumet, dvs innenfor den lukkede flaten.

\noindent
Gauss' lov f{\o}lger direkte av Coulombs lov, og representerer s{\aa}ledes
ingen ny fysikk.

\vspace{0.3cm}
\noindent
I forbindelse med beviset for Gauss' lov fikk vi bruk for det vi kalte
en {\em romvinkel} $\Omega$. P{\aa} samme m{\aa}te som en liten sektor
i et plan utspenner en {\em vinkel} $d\phi$ vil en liten kjegle i rommet
utspenne en {\em romvinkel} $d\Omega$. Videre: P{\aa} samme m{\aa}te
som at buelengden $dl$ i avstand $r$ fra ``sentrum'' da blir $dl = r\;d\phi$
blir arealet $dA_r$ av flaten som st{\aa}r normalt p{\aa} $\bold{r}$ og
som avgrenses av den lille kjeglen da lik $dA_r = r^2\;d\Omega$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke37_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Lar vi sektoren i planet utspenne en hel omdreining, tilsvarer det
en vinkel
$$\oint d\phi = \int_0^{2\pi}d\phi = 2\pi$$
Tilsvarende: Lar vi kjeglen i rommet utspenne en hel kuleflate, tilsvarer
det en romvinkel
$$\oint d\Omega = \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi \sin\theta\;d\theta = 4\pi$$
(Her har vi brukt kulekoordinater, der $dA_r = r^2 \sin\theta \; d\theta \; d\phi$
(se {\o}ving 4!), slik at $d\Omega = \sin\theta \; d\theta \; d\phi$.)


\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf N{\aa}r er Gauss' lov spesielt nyttig?} 

\noindent
[FGT 23.3; YF 22.4; TM 22.3; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov kan brukes til {\aa} bestemme det
elektriske feltet fra en ladningsfordeling der vi har en eller annen form
for {\em symmetri}. Eksempler: Kulesymmetri, plansymmetri, sylindersymmetri.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Sylindersymmetri:}
Se {\o}ving 6, uendelig lang stav med uniform ladning $\lambda$ pr lengdeenhet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Kulesymmetri:}
I forelesningen s{\aa} vi p{\aa} en jevnt ladet kuleflate og fant at det elektriske
feltet {\em inni} kula da var lik null, mens det {\em utenfor} kula var som om
hele kuleflatens ladning $Q$ var samlet i kulas sentrum, dvs
$$E(r) = Q/4\pi\varepsilon_0 r^2$$
N{\aa}r vi har en kulesymmetrisk ladningsfordeling, innser vi at det elektriske
feltet m{\aa} bli radielt rettet, og dessuten at den elektriske feltstyrken
$|\bold{E}|$ bare avhenger av avstanden $r$ fra ladningsfordelingens sentrum
(og ikke vinklene $\theta$ og $\phi$, dvs hvor vi er p{\aa} en gitt kuleflate).
Vi innser da at det er lurt {\aa} velge nettopp en kuleflate med radius $r$ 
som gaussflate for {\aa} bestemme $E(r)$, fordi "flateelementvektoren" $d\bold{A}$ 
da er parallell med $\bold{E}$ p{\aa} hele gaussflaten. Integralet i Gauss' lov
blir da lett {\aa} l{\o}se:
$$\oint \bold{E} \cdot d\bold{A} = E(r) \cdot 4 \pi r^2$$
Med kulesymmetrisk ladningsfordeling, dvs at ladningen pr volumenhet $\rho$ bare
er en funksjon av $r'$ (og ikke $\theta'$ og $\phi'$), blir det ogs{\aa} lett {\aa}
bestemme hvor mye ladning vi har innenfor gaussflaten:
\begin{eqnarray}
q_{\rm in}(r) &=& \int_{r'<r} \rho(r') dV' \nonumber \\
&=& \int_{r'=0}^{r} \int_{\theta'=0}^{\pi} \int_{\phi'=0}^{2\pi} \rho(r')
    (r')^2\;dr'\sin\theta'\;d\theta'\;d\phi' \nonumber \\
&=& 4\pi \int_{r'=0}^{r} \rho(r')\;(r')^2\;dr' \nonumber
\end{eqnarray}
Bare ladningstettheten $\rho(r')$ ikke er en altfor "slem" funksjon, klarer vi som
regel {\aa} l{\o}se det siste integralet over $r'$. Vi ser f.eks. at med konstant
$\rho$, vil $q_{\rm in}(r) \sim r^3$, og hvis $\rho(r') \sim r'$ (line{\ae}rt
voksende), vil $q_{\rm in}(r) \sim r^4$. I f{\o}rstnevnte tilfelle vil dermed
$E(r) \sim r$, i sistnevnte tilfelle vil $E(r) \sim r^2$.

\noindent
Merk at hvis $r$ er s{\aa} stor at hele ladningen $Q$ ligger innenfor gaussflaten (dvs:
$\rho(r') = 0$ for $r' > r$), vil vi alltid ha $E(r) = Q/4\pi \varepsilon_0 r^2$, dvs som om hele
ladningen var samlet i sentrum. Dette resultatet er spesielt for kulesymmetri. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Plansymmetri:}
Et annet viktig eksempel er et jevnt ladet, uendelig stort plan. Vi viste da
at dersom planet har ladning $\sigma$ pr flateenhet, blir det elektriske feltet
$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$
dvs uavhengig av avstanden til planet. I dette tilfellet innser vi for det
f{\o}rste at $\bold{E}$ overalt m{\aa} st{\aa} vinkelrett p{\aa} det ladede planet,
og dessuten at feltstyrken $|\bold{E}|$ i hvert fall ikke kan avhenge av annet
enn avstanden til planet. Med det som utgangspunkt innser vi at en lur gaussflate
m{\aa} bli en fyrstikkeske eller sylinder som gjennomskj{\ae}res p{\aa} midten
av det ladede planet. Da har vi at flateelementvektoren $d\bold{A}$ er parallell
med $\bold{E}$ p{\aa} gaussflatens to endeflater som er parallelle med det ladede
planet, mens $d\bold{A}$ st{\aa}r vinkelrett p{\aa} $\bold{E}$ p{\aa} resten
av gaussflaten. Integralet i Gauss' lov reduserer seg dermed til $2EA$, der $A$
er arealet av gaussflatens nevnte endeflater. Ladningen innenfor en slik
gaussflate blir $\sigma \, A$, ettersom et areal $A$ av den ladede flaten n{\aa}
ligger innenfor gaussflaten. Dermed finner vi at $E$ er konstant, og alts{\aa}
heller ikke avhengig av avstanden til det ladede planet!

\vspace{0.5cm}
\noindent
Det var deretter ikke vanskelig {\aa} bestemme det elektriske feltet fra to
parallelle plan med motsatt ladning, $\pm \sigma$ (begge planene fremdeles
uendelig store). Bruk av superposisjonsprinsippet gav
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
i omr{\aa}det mellom planene, og
$$E=0$$
i omr{\aa}det p{\aa} utsiden av planene. Mellom planene er feltet rettet fra
det positive til det negative planet.

\noindent
Dette siste eksemplet er meget relevant: Det representerer en s{\aa}kalt
{\em parallellplatekondensator}, der platenes areal er stort i forhold til
avstanden mellom dem. Vi skal komme tilbake til dette eksemplet mange ganger.


\end{document}
