\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 10
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Mandag 16.\ og fredag 20.\ mars

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 20.\ mars

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.4cm}
\noindent
En rett, sylinderformet leder med sirkul{\ae}rt tverrsnitt (radius $R$)
f{\o}rer en elektrisk str{\o}m. La oss anta at str{\o}mtettheten er st{\o}rst i
sentrum av lederen og avtar med avstanden $r$ fra sentrum p{\aa}
f{\o}lgende m{\aa}te:
$$j(r) = j_0\, e^{-r/R}$$
Ved lederens overflate ($r=R$) har vi med andre ord en str{\o}mtetthet $j_0/e$.
(Retningen p{\aa} $\bold{j}(r)$ er {\em langs} lederen.) 

\vspace{0.4cm}
\noindent
Vis at total str{\o}m i lederen er
$$I = 2\pi\, j_0\, R^2 \left(1 - \frac{2}{e} \right) \;\;\;\; \left( \simeq 1.66 \, j_0 \, R^2 \right)$$

\vspace{0.4cm}
\noindent
Hint: Ta utgangspunkt i str{\o}mmen $dI$ som g{\aa}r i et sylinderformet "r{\o}r"
med indre radius $r$ og tykkelse $dr$.
$\int x\,e^{-x}\,dx$ l{\o}ses greit ved hjelp av delvis integrasjon.


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Figuren viser to kuleformede ledere med radius hhv $a$ (innerst) og $b$ (ytterst).
Omr{\aa}det i mellom disse er fylt med et materiale med resistivitet $\rho$.

\noindent
(NB: Merk at symbolet $\rho$ her st{\aa}r for resistivitet, eller invers
konduktivitet, ettersom $\rho = 1/\sigma$. Her betyr alts{\aa} ikke $\rho$
ladning pr volumenhet...!)

\noindent
En tynn, isolert tilf{\o}rselsledning g{\aa}r gjennom et lite hull i den ytterste
lederen og inn til innerste leder. En stasjon{\ae}r (dvs tidsuavhengig) elektrisk str{\o}m g{\aa}r
''gjennom systemet'' som vist i figuren, og da er potensialforskjellen mellom
indre og ytre leder $\Delta V = V_a - V_b$, med st{\o}rst potensial innerst.
Anta at tilf{\o}rselsledningene har neglisjerbar motstand i forhold til
materialet mellom indre og ytre leder og vis at systemets resistans er
$R = \rho (a^{-1} - b^{-1})/4\pi$.
Du kan gj{\o}re dette p{\aa} en av to m{\aa}ter (eller begge!):

\begin{enumerate}
\item Med utgangspunkt i at motstanden til et kuleskall med radius $r$ og tykkelse
$dr$ er $dR = \rho dr/4\pi r^2$.
\item Ved {\aa} anta at den innerste kula har ladning $Q$ og bestemme b{\aa}de
$\Delta V$ og str{\o}mstyrken $I = \int \bold{j} \cdot d\bold{A} =
\rho^{-1} \int \bold{E} \cdot d\bold{A}$.
\end{enumerate}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov10_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.4cm}
\noindent
En spenningskilde $V = 1.5$ V er koblet til en motstand med
resistans $R = 20 \; \Omega$ ved hjelp av to 60 cm lange
kobberledninger med tverrsnitt 2 mm$^2$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov10_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvor stort blir spenningsfallet over henholdsvis Cu--tr{\aa}dene
og motstanden? [Svar: 0.75 mV og 1.5 V]

\vspace{0.4cm}
\noindent
$b)$ Bestem str{\o}mstyrken og utviklet effekt i motstanden.
[Svar: ca 0.075 A og 0.11 W]

\vspace{0.4cm}
\noindent
$c)$ Hva blir de frie elektronenes midlere driftshastighet gjennom
Cu--tr{\aa}dene? Anta her ett fritt elektron fra hvert Cu--atom.
Sammenlign med midlere termiske hastighet for et elektron ved
romtemperatur. (Midlere kinetisk energi pr elektron ved temperatur $T$
er $3 k_B T / 2$, der $k_B$ er Boltzmanns konstant.)
[Svar: 2.76 $\mu$m/s og ca $10^5$ m/s.]

\vspace{0.6cm}
\noindent
Oppgitt: Tetthet for Cu: 8960 kg/m$^3$. Molar masse for Cu: 63.54 g/mol.
Elektrisk ledningsevne for Cu ved romtemperatur: $5.8\cdot 10^7$ $\Omega^{-1}$m$^{-1}$.
Boltzmanns konstant: $k_B = 1.38 \cdot 10^{-23}$ J/K.


\newpage
%\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Figuren nedenfor viser en elektrisk krets med 5 motstander $R_j$, $j = 1,..,5$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov11_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Bestem total motstand $R$ mellom punktene A og B, dvs:
Bestem motstanden $R$ i den ekvivalente kretsen i f{\o}lgende figur:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{ov11_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ En ideell spenningskilde med elektromotorisk spenning $\cal E$ kobles
til kretsen slik at $\Delta V = V_A - V_B = {\cal E}$. Bestem hvor stor
str{\o}m $I_j$ som da passerer gjennom hver av motstandene $R_j$.

\noindent
(Med mindre noe annet er spesifisert, regner vi alltid i slike oppgaver med at
ledningene mellom de ulike motstandene er {\em perfekte ledere}, dvs med null motstand.)


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 5}

\vspace{0.3cm}
\noindent
En kondensator med kapasitans $C$ har ladning $\pm Q_0$. Kondensatoren kobles
ved tidspunktet $t=0$ til en motstand $R$ slik at vi f{\aa}r en lukket krets, og
det begynner {\aa} g{\aa} en str{\o}m i kretsen. Bestem kondensatorladningen
$Q(t)$ og str{\o}mmen $I(t)$ for $t \ge 0$.



\end{document}
