\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 3
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Torsdag 27. januar og fredag 28. januar

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 31. januar


\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ I {\O}ving 2 bestemte vi det elektriske feltet fra en uniformt ladet stav og
ei uniformt ladet skive.
For staven og skiva i {\O}ving 2, pr{\o}v {\aa} skissere elektriske feltlinjer,
b{\aa}de i et plan som inneholder staven (skiva) og i et plan normalt p{\aa}
staven gjennom dens midtpunkt (normalt p{\aa} skiva gjennom dens sentrum). Vis skissene
i stor og liten m{\aa}lestokk i hvert av de fire tilfellene, slik at de gir et kvalitativt
bilde av feltet, b{\aa}de n{\ae}rt og langt unna staven (skiva).

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Skisser elektriske feltlinjer for disse to systemene av punktladninger:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov3_pointcharges.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE
                                                                                
\vspace{1.0cm}
\noindent
Tips: I denne oppgaven vil det kanskje v{\ae}re til hjelp {\aa} g{\aa} inn p{\aa} 
http://www.falstad.com/vector3de, som er en Java applet
for {\aa} visualisere (blant annet) elektriske feltlinjer ("Display: Field Lines") fra
diverse ladningsfordelinger (punktladninger og kontinuerlige fordelinger). 
"finite line" representerer 
nettopp den ladete staven. Det n{\ae}rmeste vi kommer den sirkul{\ae}re skiva er 
"charged plate", som har endelig utstrekning i $x$-retning. Stavlengden og 
platest{\o}rrelsen kan varieres med det nederste rullefeltet.


%\newpage
\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.1cm}
\noindent
I kartesiske koordinater er et infinitesimalt (differensielt) linjeelement (veielement)
gitt ved (vektoren)
$$d\bold{l} = dx\;\hat{x} + dy\;\hat{y} + dz\;\hat{z}$$
Et infinitesimalt volumelement er (den skalare st{\o}rrelsen)
$$dV  = dx\;dy\;dz$$
Et infinitesimalt flateelement kan vi uttrykke som en {\em vektor}: P{\aa} samme m{\aa}te
som et linjeelement m{\aa} spesifiseres ved hjelp av en {\em absoluttverdi} (dvs lengden
av elementet) og en {\em retning}, m{\aa} et flateelement spesifiseres ved hjelp av
en absoluttverdi (dvs arealet av flaten) og en {\em orientering}. Og skal vi f{\aa}
til {\aa} spesifisere flateelementets orientering, er det vel egentlig ganske naturlig
{\aa} velge den retningen i rommet som st{\aa}r normalt p{\aa} flaten; 
den s{\aa}kalte {\em flatenormalen}. Det betyr at et flateelement med areal $dA$ som er
orientert i rommet p{\aa} en slik m{\aa}te at enhetsvektoren $\hat{n}$ 
(dimensjonsl{\o}s og med lengde 1) st{\aa}r
vinkelrett p{\aa} flaten, kan spesifiseres med vektoren
$$dA \; \hat{n}$$
Med andre ord: En vektor med retning vinkelrett p{\aa} flaten, med absoluttverdi lik
flatens areal $dA$, og med dimensjon lik lengde kvadrert. (Dvs, enhet m$^2$.)

\noindent
For lettvinthets skyld bruker vi gjerne notasjonen
$$d\bold{A} = dA \; \hat{n}$$
for et slik flateelement.

\noindent
I kartesiske koordinater har vi dermed f{\o}lgende tre infinitesimale flater,
med orientering slik at flatenormalen peker henholdsvis langs $x$-, $y$- og
$z$-aksen:
\begin{eqnarray}
d\bold{A}_x &=& dy\;dz\;\hat{x} \nonumber \\
d\bold{A}_y &=& dx\;dz\;\hat{y} \nonumber \\
d\bold{A}_z &=& dx\;dy\;\hat{z} \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Vis at i kulekoordinater $(r,\theta,\phi)$ er de tilsvarende st{\o}rrelser
\begin{eqnarray}
d\bold{l} &=& dr\;\hat{r} + r\;d\theta\;\hat{\theta} + r\sin\theta\;d\phi\;\hat{\phi} \nonumber \\
d\bold{A}_r &=& r^2\sin\theta\;d\theta\;d\phi\;\hat{r} \nonumber \\
d\bold{A}_\theta &=& r\;dr\sin\theta\;d\phi\;\hat{\theta} \nonumber \\
d\bold{A}_\phi &=& r\;dr\;d\theta\;\hat{\phi} \nonumber \\
dV &=& r^2\;dr\sin\theta\;d\theta\;d\phi \nonumber
\end{eqnarray}
Med andre ord: Flateelementet $d\bold{A}_r$ er orientert slik at flatenormalen peker
radielt utover, dvs langs $\hat{r}$, og tilsvarende for de to andre.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Tips: Det vil v{\ae}re til stor hjelp {\aa} tegne
opp et infinitesimalt volumelement som avgrenses av flatene $r$ og $r + dr$,
$\theta$ og $\theta + d\theta$, $\phi$ og $\phi + d\phi$. Se figur i ukentlig sammendrag, uke 3.
Legg merke til at enhetsvektorene $\hat{r}$, $\hat{\theta}$ og
$\hat{\phi}$ {\em ikke} er faste vektorer i rommet (i motsetning til de 
kartesiske enhetsvektorene $\hat{x}$, $\hat{y}$ og $\hat{z}$),
de er avhengige av {\em hvor} i rommet vi er, og {\em endrer retning} ettersom
vi flytter oss rundt omkring. Eksempler: I et punkt p{\aa} $y$-aksen (med $y>0$)
er $\hat{r}=\hat{y}$ mens i et punkt p{\aa} $z$-aksen ($z>0$), derimot,
er $\hat{r}=\hat{z}$. I hele $xy$-planet er
$\hat{\theta}=-\hat{z}$, mens $\hat{\phi}=-\hat{x}$ p{\aa} positiv $y$-akse
og $\hat{\phi}=\hat{x}$ p{\aa} negativ $y$-akse.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Vis p{\aa} grunnlag av formlene over at ei kule med radius $R$ har volum
$4\pi R^3/3$ og overflateareal $4\pi R^2$.

\newpage
\noindent
Kommentar: Omkretsen av en sirkel med radius $R$ er $2\pi R$. Sirkelen {\em utspenner en vinkel}
p{\aa} $2\pi$ (radianer). Disse resultatene kommer vi fram til ved {\aa} starte med
et infinitesimalt bueelement $dl = R\;d\theta$ og integrere fra 0 til $2\pi$.
Tilsvarende har en kuleflate med radius $R$ et areal $4\pi R^2$. 
Kuleflaten {\em utspenner en romvinkel} p{\aa} $4\pi$ (s{\aa}kalte steradianer). 
Legg merke til analogien mellom vinkel i planet og romvinkel i rommet!
I sistnevnte tilfelle er utgangspunktet et infinitesimalt
{\em flateelement} $dA_R = R^2\;d\Omega$, der $d\Omega=\sin\theta\;d\theta\;d\phi$ er
et infinitesimalt {\em romvinkelelement}. Integrasjon over $\theta$ (fra retning ``nord'',
dvs langs positiv $z$, dvs $\theta=0$, til retning ``s{\o}r'', dvs langs negativ $z$, dvs
$\theta = \pi$) og $\phi$ (fra retning langs positiv $x$, dvs $\phi=0$, og en hel runde rundt,
dvs til $\phi = 2\pi$) gir deretter hele 
kuleflatens totale areal $A$, evt. den totale romvinkelen $\Omega = 4\pi$. 
Vi kommer snart tilbake til dette i forelesningene, i forbindelse med {\em Gauss lov}.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Anta n{\aa} at vi har ei kule med radius $R$. Inni kula har vi elektrisk ladning
gitt ved ladningstettheten (dvs ladning pr volumenhet)
$$\rho(r,\theta) = \rho_0 \frac{r}{R} \cos^2\theta$$
Hvor har vi st{\o}rst ladningstetthet? Enn minst? Bestem kulas totale ladning $Q$.

\end{document}
