\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 9
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: 01.03, 02.03, 03.03, 04.03, 08.03, 09.03, 10.03

\noindent
(I auditorier, ikke i grupperom. Se veiledningsplan p{\aa} fagets hjemmeside.)

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 14. mars kl. 1200 (Svartabell p{\aa} siste side.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Opplysninger:
\begin{itemize}
\item Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.
\item Dersom ikke annet er oppgitt, er ``potensial'' underforst{\aa}tt ``elektrostatisk potensial'',
og tilsvarende for ``potensiell energi''.
\item Dersom ikke annet er oppgitt, er nullpunkt for (elektrostatisk) potensial og
potensiell energi valgt uendelig langt borte.
\item Noe av dette kan du f{\aa} bruk for: $1/4\pi\varepsilon_0 = 9\cdot10^9$ Nm$^2$/C$^2$,
$e=1.6\cdot10^{-19}$ C, $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ kg, $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ kg, $g = 9.8$ m/s$^2$
\item Symboler angis i kursiv (f.eks $V$ for potensial) mens enheter angis uten kursiv
(f.eks V for volt).
\end{itemize}

\vspace{1.5cm}
\noindent
$1)$ En vilk{\aa}rlig formet elektrisk leder har netto ladning $Q$. Hva skjer i
punktet $P$ dersom ladningen p{\aa} lederen {\o}kes til $2Q$?

\noindent
\parbox{10cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & Kun potensialet fordobles. \\
B & Kun den elektriske feltstyrken fordobles. \\
C & B{\aa}de potensialet og den elektriske \\
  & feltstyrken fordobles. \\
D & B{\aa}de potensialet og den elektriske \\
  & feltstyrken halveres.
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov8_fig1.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$2)$ En kompakt metallkule har positiv ladning $Q$. Avstanden fra kulas sentrum til punktet $A$
er halvparten s{\aa} stor som til punktet $B$. Null potensial velges uendelig langt borte.
Da gjelder f{\o}lgende for den elektriske feltstyrken $E$ og potensialet $V$ i de to punktene:

\noindent
\parbox{10cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $E_A = 4E_B$, $V_A = 4V_B$ \\
B & $E_A = 4E_B$, $V_A = 2V_B$ \\
C & $E_A = 2E_B$, $V_A = 4V_B$ \\
D & $E_A = 2E_B$, $V_A = 2V_B$
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov8_fig2.eps}}
%%END FIGURE
}

\newpage
\noindent
$3)$ Tre isolerte metallkuler 1, 2 og 3 (dvs: de p{\aa}virker ikke {\em hverandre}) har
hver en positiv ladning $Q$. Kulenes diameter er hhv $2a$, $3a$ og $5a$.
Hvordan forholder kulenes elektriske potensial seg til hverandre?

\noindent
\parbox{10cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $V_1 : V_2 : V_3 = 2:3:5$ \\
B & $V_1 : V_2 : V_3 = 5:3:2$ \\
C & $V_1 : V_2 : V_3 = 6:10:15$ \\
D & $V_1 : V_2 : V_3 = 15:10:6$ 
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov8_fig3.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$4)$ To negative punktladninger, hver med ladning $-q$,
er plassert p{\aa} $x$-aksen i henholdsvis $x=a$ og i $x=-a$. Det elektriske feltet
p{\aa} $x$-aksen er da $\bold{E}(x) = E(x) \; \hat{x}$. Hvilken graf angir
riktig $E(x)$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.2in \epsfbox{mid4_fig2.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{1.1cm}
\noindent
$5)$ Riktig figur angir elektriske feltlinjer i et plan som g{\aa}r
gjennom sentrum av en metallkule med nettoladning $Q > 0$.

\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & \\
B & \\
C & \\
D &
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov8_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}

\newpage
\noindent
$6)$ En metallkule med ladning $q$ og radius $R$ er belagt med
et lag elektrisk n{\o}ytral plast med tykkelse $R$ og permittivitet $\varepsilon = 3 \varepsilon_0$.
Pilene i figuren angir da feltlinjer for

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & elektrisk forskyvning $\bold{D}$ \\
B & elektrisk felt $\bold{E}$ \\
C & polarisering $\bold{P}$ \\
D & b{\aa}de $\bold{D}$ og $\bold{E}$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid5_fig12.eps}}
%%END FIGURE
}



\vspace{1.1cm}
\noindent
$7)$ Riktig figur angir elektriske feltlinjer for en
parallellplatekondensator som er halvveis fylt med et dielektrisk
materiale (dvs det skraverte omr{\aa}det har
$\varepsilon > \varepsilon_0$). Platenes line{\ae}re utstrekning
er stor i forhold til avstanden mellom platene. {\O}verste plate
har negativ ladning $-Q$, nederste plate har positiv ladning $Q$.
(V{\ae}r forsiktig her!)

\vspace{1.1cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & \\
B & \\
C & \\
D &
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov8_fig7.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$8)$ Ei kompakt metallkule med radius $a$ har nettoladning $q>0$. Den er belagt
med et lag (elektrisk n{\o}ytral) plast med tykkelse $a/2$. Deretter f{\o}lger et
(elektrisk n{\o}ytralt) metallisk
kuleskall med tykkelse $a/2$. Utenfor dette har vi vakuum. Plasten
er et dielektrikum med
permittivitet $\varepsilon_1 = 10\varepsilon_0$. I hvilken av de 4 angitte
posisjonene {\bf A}, {\bf B}, {\bf C} eller {\bf D}
er den elektriske feltstyrken st{\o}rst? Avstanden fra kulas
sentrum er i {\bf A}: $a/2$, {\bf B}: $5a/4$, {\bf C}: $7a/4$, {\bf D}: $5a/2$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & \\
B & \\
C & \\
D &
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.7in \epsfbox{ov8_fig8.eps}}
%%END FIGURE
}

\newpage
\noindent
$9)$ Fire punktladninger er plassert i $xy$-planet.
To har positiv ladning $q$ og ligger i henholdsvis $(x,y)=(a,-a)$ og $(-a,a)$,
og to har negativ ladning $-q$ og ligger i henholdsvis $(x,y)=(a,a)$ og $(-a,-a)$.
Hva blir retningen p{\aa} det elektriske feltet \bold{E} p{\aa} $x$-aksen
(anta $x>a$), dvs i $(x,0)$?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & Langs $\hat{x}$. \\
B & Langs $-\hat{x}$. \\
C & Langs $\hat{y}$. \\
D & Langs $-\hat{y}$.
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov8_fig9.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.8cm}
\noindent
$10)$ For systemet med de fire punktladningene i oppgave 9:
Hva blir $V(x,0)$, dvs p{\aa} $x$-aksen?

\noindent
\begin{tabular}{cl}
A &  $V=0$ \\
B &  $V=q/4\pi\varepsilon_0 x$ \\
C &  $V=q/4\pi\varepsilon_0 \sqrt{(x-a)^2 + a^2}$ \\
D &  $V=-q/4\pi\varepsilon_0 \sqrt{(x-a)^2 + a^2}$
\end{tabular}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$11)$ Ei metallkule med radius $R$ har netto ladning $Q$. Hva er kulas potensielle
energi $U$? (Vi velger $U=0$ n{\aa}r alle infinitesimale bidrag til
$Q$ er uendelig langt fra hverandre.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $U=Q^2/\pi\varepsilon_0 R$ \\
B & $U=Q^2/2\pi\varepsilon_0 R$ \\
C & $U=Q^2/4\pi\varepsilon_0 R$ \\
D & $U=Q^2/8\pi\varepsilon_0 R$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.1in \epsfbox{ov8_fig10.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$12)$ To parallellplatekondensatorer er koblet i {\em parallell}, som vist
i figuren. De {\o}verste metallplatene er koblet sammen med en elektrisk
leder (f.eks. kobberledning) slik at disse to platene har samme
elektriske potensial. Det samme gjelder for de to nederste metallplatene. Derfor
er potensialforskjellen (eller {\em spenningsfallet}) $\Delta V$ den samme for
begge kondensatorene. Hva blir total kapasitans $C$ for en slik parallellkobling
av to kondensatorer, hver med kapasitans henholdsvis $C_1$ og $C_2$?

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{7cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C_1 + C_2$ \\
B & $(C_1 + C_2)/2$ \\
C & $(1/C_1 + 1/C_2)^{-1}$ \\
D & $2(1/C_1 + 1/C_2)^{-1}$
\end{tabular}
}
\parbox{9cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov8_fig11.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.8cm}
\noindent
$13)$ To parallellplatekondensatorer er koblet i {\em serie}, som vist
i figuren. Nederste metallplate p{\aa} kondensator 1 er koblet sammen med 
{\o}verste metallplate p{\aa} kondensator 2 via en elektrisk
leder (f.eks. kobberledning) slik at disse to platene har samme
elektriske potensial. Total potensialforskjell (eller {\em spenningsfall}) $\Delta V$ 
over de to kondensatorene er lik summen av spenningsfallene $\Delta V_1$ og
$\Delta V_2$ over hver av de to. Netto ladning p{\aa} de ulike metallplatene er som
vist i figuren. Hva blir total kapasitans $C$ for en slik seriekobling
av to kondensatorer, hver med kapasitans henholdsvis $C_1$ og $C_2$?

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{7cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C_1 + C_2$ \\
B & $(C_1 + C_2)/2$ \\
C & $(1/C_1 + 1/C_2)^{-1}$ \\
D & $2(1/C_1 + 1/C_2)^{-1}$
\end{tabular}
}
\parbox{9cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig12.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$14)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. En metallskive med tykkelse
$h = 2d/3$ settes inn midt mellom platene. Da blir potensialforskjellen mellom
kondensatorplatene

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & ni ganger st{\o}rre. \\
B & tre ganger st{\o}rre. \\
C & tre ganger mindre. \\
D & ni ganger mindre.
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig13.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$15)$ Potensialet p{\aa} et uendelig stort positivt ladet plan
er $-20$ V. Planet har en uniform ladningstetthet 4 nC/m$^2$.
I hvilken avstand fra planet er da $V=0$?
                                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A &  9 m \\
B &  9 cm \\
C &  9 mm \\
D &  Potensialet $V$ er her negativt overalt.
\end{tabular}


\newpage
\noindent
$16)$ To tiln{\ae}rmet uendelig store metallplater har ladning $\pm \sigma$ pr
flateenhet og er plassert i $yz$--planet, dvs i $x=0$ (den positive), og i $x=5a$ (den negative),
som vist i figuren nedenfor til venstre. Rommet mellom platene er delvis fylt med to
(elektrisk n{\o}ytrale) dielektriske lag, som vist i figuren til venstre.
Det dielektriske laget i rommet $0 < x < 2a$ har permittivitet $\varepsilon_1 = 4\varepsilon_0$.
Det dielektriske laget i rommet $3a < x < 5a$ har permittivitet $\varepsilon_2 = 2\varepsilon_0$.
Hvilken av de fire grafene i figuren nedenfor til h{\o}yre illustrerer da
potensialet $V$ som funksjon av
avstanden $x$ fra den positivt ladete metallplata?

\vspace{0.2cm}
\noindent
A  1 \hspace{1cm}
B  2 \hspace{1cm}
C  3 \hspace{1cm}
D  4

\vspace{0.3cm}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid4_fig19.eps}}
%%END FIGURE
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{mid4_fig23.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{1.1cm}
\noindent
$17)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. Et dielektrikum med permittivitet
$\varepsilon > \varepsilon_0$ fyller den venstre halvdelen av rommet mellom
kondensatorplatene, som vist i figuren. I den h{\o}yre halvdelen har
vi vakuum. Pilene i figuren angir da feltlinjer for

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & elektrisk forskyvning $\bold{D}$ \\
B & elektrisk felt $\bold{E}$ \\
C & polarisering $\bold{P}$ \\
D & b{\aa}de $\bold{D}$ og $\bold{E}$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig14.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$18)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har areal $A$ og
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. Et dielektrikum med permittivitet
$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 > \varepsilon_0$ fyller 
den venstre halvdelen av rommet mellom kondensatorplatene, som vist i figuren. 
I den h{\o}yre halvdelen har vi vakuum. Hva blir kondensatorens
kapasitans $C$, uttrykt ved $C_0 = \varepsilon_0 A/d$, som ville ha v{\ae}rt
kapasitansen uten dielektrikumet til stede? (Tips: Dette er en parallellkobling
av to kondensatorer.)

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C = \left[2\varepsilon_r/(\varepsilon_r + 1)\right] C_0$ \\ 
B & $C = \left[\varepsilon_r/(\varepsilon_r + 1)\right] C_0$ \\ 
C & $C = (\varepsilon_r + 1) C_0$ \\ 
D & $C = \left[(\varepsilon_r + 1)/2\right] C_0$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig15.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.8cm}
\noindent
$19)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har areal $A$ og
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. Et dielektrikum med permittivitet
$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 > \varepsilon_0$ fyller 
den nederste halvdelen av rommet mellom kondensatorplatene, som vist i figuren. 
I den {\o}verste halvdelen har vi vakuum. Hva blir kondensatorens
kapasitans $C$, uttrykt ved $C_0 = \varepsilon_0 A/d$, som ville ha v{\ae}rt
kapasitansen uten dielektrikumet til stede? (Tips: Dette er en seriekobling
av to kondensatorer.)

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C = \left[2\varepsilon_r/(\varepsilon_r + 1)\right] C_0$ \\ 
B & $C = \left[\varepsilon_r/(\varepsilon_r + 1)\right] C_0$ \\ 
C & $C = (\varepsilon_r + 1) C_0$ \\ 
D & $C = \left[(\varepsilon_r + 1)/2\right] C_0$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig16.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$20)$ En sylinderkondensator best{\aa}r av to (tynne) parallelle konsentriske
metallsylindre, den innerste med radius $a$ og den ytterste med radius $b$. 
De to sylindrene har lengde $L$ og ladning pr lengdeenhet henholdsvis $\lambda$ 
(innerst) og $-\lambda$ (ytterst). Et dielektrikum med permittivitet $\varepsilon$ fyller 
rommet mellom indre og ytre metallsylinder. Det elektriske feltet i omr{\aa}det
$a < r < b$ er $\bold{E}(r) = (\lambda/2\pi\varepsilon r) \hat{r}$, der $r$ angir
avstanden fra sylindrenes senterakse, og $\hat{r}$ er enhetsvektor i retning normalt
p{\aa} sylindrenes akse. Hva blir sylinderkondensatorens kapasitans $C$?
[Tips: Bestem f{\o}rst potensialforskjellen $\Delta V$ mellom indre og ytre sylinder.]

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C = \pi\varepsilon L^2/b$ \\ 
B & $C = \pi\varepsilon L^2/a$ \\ 
C & $C = 2\pi\varepsilon L/\ln (a/b)$ \\
D & $C = 2\pi\varepsilon L/\ln (b/a)$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig18.eps}}
%%END FIGURE
}


\newpage

\noindent
{\O}ving 9 i Elektromagnetisme / Elektrisitet og magnetisme v{\aa}ren 2005

\vspace{0.3cm}
\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 14. mars kl. 1200.

\vspace{1cm}
\noindent
Navn:

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\O}vingsgruppe:

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|} \hline
Oppgave &\hspace{0.5cm} A \hspace{0.5cm} &\hspace{0.5cm} B \hspace{0.5cm} &\hspace{0.5cm} C \hspace{0.5cm} &
\hspace{0.5cm} D \hspace{0.5cm}  \\ \hline
1 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
2 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
3 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
4 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
5 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
6 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
7 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
8 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
9 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
10 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
11 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
12 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
13 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
14 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
15 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
16 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
17 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
18 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
19 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
20 \hspace{0.5cm} & & & & \\ \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}
\noindent
Det er tilstrekkelig {\aa} levere inn utfylt svartabell innen fristen for {\aa} f{\aa} godkjent
denne {\o}vingen.


\end{document}
