\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 5
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Torsdag 10. februar og fredag 11. februar

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 14. februar


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov4_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
I oppgave 2 i {\o}ving 4 betraktet vi en elektrisk dipol, best{\aa}ende av to
punktladninger $\pm q$ lokalisert p{\aa} $z$-aksen i $z = \pm a/2$. Vi viste at
potensialet $V$ i stor avstand ($r \gg a$) fra dipolen er tiln{\ae}rmet lik
$$V(r,\theta) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
Her er $r$ avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, $\theta$ er vinkelen
mellom $z$-aksen og $\bold{r}$, og $p = |\bold{p}| = qa$ er dipolens elektriske dipolmoment.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Ta utgangspunkt i uttrykket for $V(r,\theta)$ og bestem det elektriske feltet
$\bold{E}(r,\theta) = E_r\hat{r} + E_\theta \hat{\theta}$ i stor avstand fra dipolen.

\noindent
Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er
$$\nabla = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} +
\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$$

\noindent
% [Fasit: $E_r=p\cos\theta/2\pi\varepsilon_0 r^3$, $E_\theta=p\sin\theta/4\pi\varepsilon_0 r^3$.]

\noindent
Du f{\aa}r ikke oppgitt noe fasitsvar her, men du kan til en viss grad sjekke
om du har regnet riktig ved {\aa} se om resultatet virker rimelig 
for $\theta = 0$ og for $\theta = \pi/2$. Hva med $r = 0$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ P{\aa} grunn av rotasjonssymmetrien omkring $z$-aksen kan vi f.eks. anta at vi
befinner oss i $xz$-planet.
Bestem det elektriske feltet $\bold{E}(x,z) = E_x\hat{x}+E_z\hat{z}$ uttrykt i kartesiske
koordinater for $r \gg a$. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for $E_r$ og $E_\theta$ i punkt $a)$.
Tegn opp en figur og finn sammenhengen mellom koordinatene $(x,z)$ og $(r,\theta)$, og
feltkomponentene $E_x, E_z$ og $E_r, E_\theta$.

\noindent
[Fasit: $E_x=3pxz/4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}$, $E_z=p(2z^2-x^2)/4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}$.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem ogs{\aa} $\bold{E}(x,z)$ ved f{\o}rst {\aa} skrive om
$V(r,\theta)$ til $V(x,z)$, og deretter anvende gradientoperatoren i kartesiske koordinater.


\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov5_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Figuren over viser en gaussflate (dvs lukket flate) $S$ formet som en kube med
sidekanter $a$. Flaten er plassert i et omr{\aa}de hvor det er en elektrisk
feltstyrke $\bold{E}$. I hvert av tilfellene $a)$ -- $d)$, bestem total (netto)
elektrisk fluks $\phi$ som passerer gjennom flaten $S$. Bruk Gauss' lov og
bestem i hvert tilfelle ogs{\aa} den totale ladningen $Q$ innenfor $S$.

\vspace{0.2cm}
\begin{eqnarray}
a)\;\;\bold{E} &=& C \hat{x} \nonumber \\
b)\;\;\bold{E} &=& C x \hat{x} \nonumber \\
c)\;\;\bold{E} &=& C x^2 \hat{x} \nonumber \\
d)\;\;\bold{E} &=& C \left(y\hat{x} + x\hat{y}\right) \nonumber
\end{eqnarray}
Her er $C$ en (skalar) konstant (og da med varierende enhet).

\vspace{0.2cm}
\noindent
$e)$ For tilfellet $c)$ skal du bestemme ladningstettheten $\rho$ innenfor $S$.
Ta utgangspunkt i Gauss' lov idet du betrakter et
lite (infinitesimalt) volumelement $a^2\;dx$, dvs en tynn skive med tykkelse $dx$ og
endeflater med areal $a^2$, lokalisert mellom $x$ og $x+dx$. (Mer presist: Bruk Gauss' lov
p{\aa} flaten som omslutter dette volumelementet.)

\vspace{0.4cm}
\begin{footnotesize}
\noindent
Noen svar: $b)$: $Q = C \varepsilon_0 a^3$ \hspace{1cm}  $c)$: $Q = C \varepsilon_0 a^4$
\hspace{1cm} $e)$: $\rho = 2C \varepsilon_0 x$
\end{footnotesize}


\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Bruk Gauss' lov til {\aa} bestemme det elektriske feltet i avstand $r$ fra en
uendelig lang (tynn) stav med ladning $\lambda$ pr lengdeenhet.

\noindent
Tips: Utnytt sylindersymmetrien i problemet til {\aa} velge en fornuftig gaussflate.

\noindent
(Sammenlign svaret med det du fant i oppgave 2 $d)$ i {\o}ving 2.)

\newpage
\noindent
{\em Oppgave 4 (multiple choice)}

\vspace{0.4cm}
\noindent
$a)$ P{\aa} en lukket flate er det elektriske feltet $\bold{E}$ overalt rettet {\em innover}.
Da kan vi fastsl{\aa} at

\begin{tabular}{cl}
A & flatenormalen $\hat{n}$ over hele flaten er parallell med $\bold{E}$ \\
B & flaten omslutter null netto ladning \\
C & flaten omslutter en netto negativ ladning \\ 
D & flaten omslutter en netto positiv ladning
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Figuren illustrerer en lukket flate som omslutter to punktladninger $q$ og $-q$.
Netto elektrisk fluks ut gjennom denne flaten er da

\parbox{5cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & null \\
B & $-q/\varepsilon_0$ \\
C & $q/\varepsilon_0$ \\
D & $2q/\varepsilon_0$
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov5_fig2.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Figuren illustrerer en lukket flate som omslutter to punktladninger $-2q$ og $q$.
Netto elektrisk fluks ut gjennom denne flaten er da

\parbox{5cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & null \\
B & $-q/\varepsilon_0$ \\
C & $q/\varepsilon_0$ \\
D & $2q/\varepsilon_0$
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov5_fig3.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$d)$ Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate p{\aa}
50 V med en punktladning $10$ nC i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna.

\begin{tabular}{cl}
A & 1.3 m \\
B & 1.8 m \\
C & 3.2 m \\
D & 5.0 m
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$e)$ Potensialet i et omr{\aa}de er $V(x,y,z)=100$ V. Det elektriske
feltet $\bold{E}$ i dette omr{\aa}det er da

\begin{tabular}{cl}
A & (100 V/m) $\hat{x}$ \\
B & (100 V/m) $\hat{y}$ \\
C & (100 V/m) $\hat{z}$ \\
D & null
\end{tabular}


\vspace{0.5cm}
\noindent
$f)$ En uniformt ladet uendelig stor flate har ladning $\sigma$ pr
flateenhet. Tre gaussflater (lukkede flater) $a$, $b$ og $c$ er vist i figuren.
Alle de tre flatene omslutter en sirkelformet skive med radius $R$ n{\aa}r de
krysser den ladete flaten.
Ranger de tre lukkede flatene $a$, $b$ og $c$ i henhold til hvor stor netto
elektrisk fluks som passerer ut gjennom dem.

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  $a > b > c$ \\
B &  $a > b = c$ \\
C &  $a = b = c$ \\
D &  $a < b < c$
\end{tabular}
}
\parbox{6cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid1_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$g)$ Hvis potensialet $V$ som funksjon av avstanden $r$ fra en ladningsfordeling er
som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet $E$
som funksjon av avstanden $r$?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  2 \\
B &  3 \\
C &  4 \\
D &  5
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid1_fig7.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$h)$ Potensialet i et omr{\aa}de er
$$V(x) = 50 \;{\rm V} + (15 \;{\rm V/m}) x$$
Det elektriske feltet i dette omr{\aa}det er da

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A &  50 V $\hat{x}$ \\
B &  (15 V/m) $x \; \hat{x}$ \\
C &  (15 V/m) $\hat{x}$ \\
D &  --(15 V/m) $\hat{x}$
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$i)$ Potensialet i et omr{\aa}de er
$$V(x,y,z) = (2 \;{\rm V/m}) x + (3 \;{\rm V/m}) y + (4 \;{\rm V/m}) z$$
Da er $x$-komponenten av det elektriske feltet i dette omr{\aa}det

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & --2 V/m \\
B & --3 V/m \\
C & --4 V/m \\
D & --9 V/m
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$j)$ En punktladning $q$ er plassert i det ene hj{\o}rnet av en kube. Hva blir den
elektriske fluksen gjennom den skraverte sideflaten i figuren til h{\o}yre?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $q/\varepsilon_0$ \\
B & $q/4\varepsilon_0$ \\
C & $q/8\varepsilon_0$ \\
D & $q/24\varepsilon_0$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid1_fig19.eps}}
%%END FIGURE
}



\end{document}
