\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke 13

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 26.03.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisk vekselvirkning} 

\noindent
[FGT 28, 29; YF 27, 28; TM 26, 27; AF 22, 24B; LHL 23; DJG 5]

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetisme som relativistisk fenomen (orienteringsstoff)} 

\noindent
[DJG 12.3.1]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Se eget notat. ("Notater.")

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Ladet partikkel i uniformt magnetfelt} 

\noindent
[FGT 28.3; YF 27.4; TM 26.2; AF 22.3; LHL 23.1, 23.4; DJG 5.1.2]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Kraft p{\aa} ladning $q$ med hastighet $\bold{v}$ i magnetfelt $\bold{B}$:
$$\bold{F} = q\bold{v}\times\bold{B}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med vinkel $\theta$ mellom $\bold{v}$ og $\bold{B}$:
$$F = qvB\sin\theta$$
Dersom $\bold{v}\perp\bold{B}$:
$$F = qvB$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Har alltid $\bold{F}\perp\bold{v}$ og $\bold{F}\perp\bold{B}$.
N{\aa}r $\bold{F}\perp\bold{v}$ blir partikkelens bane en {\em sirkel}
med konstant $v = |\bold{v}|$:
\begin{eqnarray}
& &\bold{F}\perp\bold{v} \;\;\Rightarrow\;\; \bold{F}\perp\frac{d\bold{l}}{dt} \nonumber \\
&\Rightarrow& dW = \bold{F} \cdot d\bold{l} = 0 \nonumber
\end{eqnarray}
dvs: $\bold{F} = q\bold{v}\times\bold{B}$ utf{\o}rer null arbeid
$$\Rightarrow v = \; {\rm konstant} \; \; {\rm og} \;\; T = \frac{1}{2}mv^2 = \; {\rm konstant}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Sentripetalakselerasjon:
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{v^2}{r} \nonumber \\
\Rightarrow F &=& ma = m\frac{v^2}{r} = qvB \nonumber \\
\Rightarrow r &=& \frac{mv}{qB} \nonumber
\end{eqnarray}
der $r$ er sirkelbanens radius.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Sirkelbevegelsens {\em vinkelfrekvens}:
$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m} \equiv \omega_c \;\;\; {\rm (syklotronfrekvensen)}$$
Vinkelfrekvens = ``oml{\o}pt'' vinkel pr tidsenhet

\vspace{0.2cm}
\noindent
Frekvensen = antall oml{\o}p pr tidsenhet:
$$f = \frac{\omega}{2\pi}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Perioden = oml{\o}pstida:
$$T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Med b{\aa}de elektrisk felt $\bold{E}$ og magnetfelt $\bold{B}$ til stede
p{\aa}virkes ladningen av {\em Lorentzkraften}:
$$\bold{F} = q\bold{E} + q\bold{v}\times\bold{B}$$
Vi ser at enheten for magnetfelt m{\aa} v{\ae}re
$$[B]=\frac{[F]}{[qv]}=\frac{{\rm N}}{{\rm C}{\rm m/s}}$$
I SI-systemet har dette f{\aa}tt en egen betegnelse:
$$[B] = {\rm T}$$
eller {\em tesla}. En alternativ enhet for magnetfeltet er {\em gauss} (G).
1 tesla er det samme som 10000 gauss. Jordmagnetfeltet er ca 0.5 G, s{\aa}
et magnetfelt p{\aa} 1 T er ganske mye.


\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 27.03.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetfelt fra elektrisk str{\o}m} 

\noindent
[FGT 29.4; YF 28.2; TM 27.2; AF 24.11; LHL 23.5; DJG 5.2]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Biot--Savarts lov (empirisk, dvs eksperimentelt funnet):

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke44_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Bidraget $d\bold{B}$ til magnetfeltet i punktet som ligger i en avstand
fra lederbiten $d\bold{l}$ gitt ved vektoren $\bold{r}$, n{\aa}r lederen
f{\o}rer en stasjon{\ae}r (dvs tidsuavhengig) elektrisk str{\o}m $I$ er
$$d\bold{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\;d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} = 
\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\;d\bold{l}\times\bold{r}}{r^3}$$
Superposisjonsprinsippet gjelder for magnetfeltet, s{\aa} magnetfeltet fra
hele den lukkede str{\o}msl{\o}yfa blir
$$\bold{B} = \oint d\bold{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2}$$
Ettersom ladning ikke oppst{\aa}r eller forsvinner av seg selv, m{\aa} det ei {\em lukket}
sl{\o}yfe til for {\aa} opprettholde en konstant elektrisk str{\o}m $I$. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
I {\em prinsipp} kan Biot--Savarts lov brukes til {\aa} bestemme magnetfeltet i en vilk{\aa}rlig
posisjon i forhold til ei vilk{\aa}rlig utformet str{\o}msl{\o}yfe.

\noindent
I {\em praksis} klarer vi bare {\aa} l{\o}se integralet i Biot--Savarts lov {\em analytisk} for
enkelte spesialtilfeller, f.eks. rett leder, p{\aa} symmetriaksen til sirkul{\ae}r eller kvadratisk
str{\o}msl{\o}yfe osv.

\noindent
(Problemer som ikke kan l{\o}ses analytisk kan l{\o}ses med numeriske metoder.)

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetiske feltlinjer} 

\noindent
[FGT 29.2; YF 27.3; TM 26.1; LHL 23.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Innf{\o}res for {\aa} visualisere magnetfeltet i et omr{\aa}de. Defineres p{\aa}
tilsvarende vis som vi gjorde med elektriske feltlinjer:
\begin{itemize}
\item Retningen: $\bold{B}$ parallell med feltlinjene overalt.
\item Styrken: $|\bold{B}|$ proporsjonal med tettheten av feltlinjer (dvs antall feltlinjer
pr flateenhet)
\end{itemize}
MERK at vi alltid har {\em lukkede feltlinjer} for $\bold{B}$. Det er fordi det ikke eksisterer
magnetiske {\em monopoler} i naturen. (Mens {\em elektriske} monopoler, dvs positive og negative
ladninger, finnes!) 

\vspace{0.2cm}
\noindent
Derimot best{\aa}r naturen av.....

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetiske dipoler} 

\noindent
[FGT 28.5, 29.4; YF 27.7; TM 26.3; AF 22.7; LHL 23.3, 26.2; DJG 5.4.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrisk str{\o}msl{\o}yfe = Magnetisk dipol:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke44_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Magnetisk dipolmoment (for {\em plan} str{\o}msl{\o}yfe):
$$\bold{m} = I \bold{A} = I A \hat{n}$$
Enhet: $[m] = [IA]$ = Am$^2$


\vspace{1.0cm}
\noindent
Klassisk bilde av {\em atom}: Elektroner i (sirkul{\ae}r) bane rundt atomkjernen.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrisk str{\o}m $I$ i sirkelbanen for ladning $q$ med hastighet $v$ i sirkelbane
med radius $r$:
$$I = \frac{q}{T} = \frac{q}{2\pi r/v} = \frac{qv}{2\pi r}$$
der $T$ = oml{\o}pstiden.

\noindent
Omsluttet areal er:
$$A = \pi r^2$$
Magnetisk dipolmoment blir:
$$|\bold{m}| = IA = \frac{qv}{2\pi r} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2} qvr$$
Kan uttrykkes ved partikkelens {\em banedreieimpuls} $\bold{L}$:
$$\bold{L} = m \bold{r} \times \bold{v}$$
der $m$ = partikkelens masse.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.6in \epsfbox{uke44_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\noindent
For sirkelbane er $\bold{r} \perp \bold{v}$ slik at
$$L = |\bold{L}| = mrv$$
Dermed:
$$|\bold{m}| = \frac{1}{2}qvr = \frac{q}{2m}L$$
P{\aa} vektorform:
$$\bold{m} = \frac{q}{2m} \bold{L}$$
For elektron (med $q=-e$ og $m = m_e$):
$$\bold{m} = -\frac{e}{2m_e}\bold{L}$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{uke44_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{1.0cm}
\noindent
Etter p{\aa}ske (uke16): Litt mer om magnetiske dipoler, deretter magnetisk
kraft p{\aa} elektrisk str{\o}m, og etter hvert Amperes lov.



\end{document}
