\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2006, uke19

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 8. mai
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Selvinduktans}

\noindent
[FGT 32.1; YF 30.2; TM 28.6; AF 27.8; LHL 25.1; DJG 7.2.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
En str{\o}m $I$ i ei str{\o}msl{\o}yfe resulterer i et magnetfelt $\bold{B}$
i omr{\aa}det omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp
av Biot-Savarts lov:
$$\bold{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2}$$
(se f.eks. uke14.pdf). Magnetfeltet  fra sl{\o}yfa resulterer i en magnetisk fluks gjennom
sl{\o}yfa  selv:
$$\phi = \int_{S} \bold{B} \cdot d\bold{A} =
\int_{S} \left\{ \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}$$
Uansett hva dette gufne integralet m{\aa}tte v{\ae}re, kan vi uttrykke det p{\aa} formen
$$\phi = L I$$
forutsatt at $I$ er konstant i sl{\o}yfa, dvs den samme alle steder i sl{\o}yfa. (Og det
m{\aa} den jo v{\ae}re hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

\noindent
Faktoren $L$ er {\em selvinduktansen} til sl{\o}yfa og
uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ``gjennom'' (dvs omsluttet av) sl{\o}yfa
n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfa:
$$L = \frac{\phi}{I}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Enhet for selvinduktans: $[L] = [\phi_m/I] = [B \cdot A/I] =$ T$\cdot$m$^2$/A $\equiv$ H (henry)

\vspace{1.0cm}
\noindent
Selvinduksjon:

\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I(t)$ i sl{\o}yfe gir tidsavhengig fluks $\phi(t)$ gjennom
sl{\o}yfa, og dermed indusert ems i sl{\o}yfa:
$$\ems = -\frac{d\phi}{dt} = -L\frac{dI}{dt}$$



\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf $RL$-krets} 

\noindent
[FGT 32.4; YF 30.4; TM 28.8; AF Ex 27.5; LHL 25.2; DJG Ex 7.12]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ser p{\aa} seriekobling av {\em induktans} $L$ (f.eks. en spole) og {\em resistans} $R$.
Et batteri med likespenning $V_0$ kobles til kretsen ved tidspunktet $t=0$.


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke48_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Total ems i kretsen er da
$$V_0 - L \frac{dI}{dt}$$
der det siste leddet er indusert ``motspenning'' over induktansen n{\aa}r vi pr{\o}ver
{\aa} {\em endre} str{\o}mstyrken gjennom den.

\noindent
If{\o}lge Kirchhoffs spenningsregel (evt ``sl{\o}yferegel'') m{\aa} denne totale emsen
i sl{\o}yfa tilsvare spenningsfallet over motstanden $R$, med andre ord
$$V_0 - L \frac{dI}{dt} = RI$$
eller
$$L \frac{dI}{dt} + RI = V_0$$
Dette er n{\o}yaktig samme type 1. ordens differensialligning for str{\o}mmen $I$
som det vi hadde for kondensatorladningen $Q$ da vi studerte opplading av kondensator
i en $RC$-krets (se uke13.pdf, side 4). L{\o}sningen blir
$$I(t) = \frac{V_0}{R} \left(1 - e^{-Rt/L} \right)$$
der vi har brukt initialbetingelsen $I(0) = 0$. (F{\o}r innkobling av batteriet er
{\aa}penbart $I=0$. I tidspunktet $t=0$ kan {\em ikke} str{\o}mmen i kretsen ``hoppe''
opp til en endelig verdi forskjellig fra null. Det m{\aa}tte i s{\aa}fall inneb{\ae}re
at $dI/dt \rightarrow \infty$ i $t=0$, hvilket igjen ville inneb{\ae}re en uendelig
stor motspenning over induktansen. Det er rett og slett ikke fysisk mulig! Alts{\aa}
m{\aa} $I$ v{\ae}re kontinuerlig i $t=0$, og vi kan sette $I(0)=0$.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Tidskonstant} for endring av str{\o}mmen:
$$\tau = \frac{L}{R}$$
Verdien av $\tau$ gir en {\em st{\o}rrelsesorden} for hvor lang tid det tar {\aa}
{\o}ke str{\o}mmen i en slik $RL$-krets fra 0 til maksimal verdi $V_0/R$:
$$I(t\rightarrow \infty) = \frac{V_0}{R}$$



\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Energi i magnetfelt} 

\noindent
[FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
La oss regne ut hvor mye energi som m{\aa} tilf{\o}res en spole med
induktans $L$ n{\aa}r vi {\o}ker str{\o}mmen gjennom spoletr{\aa}den
fra $i=0$ til en ``sluttverdi'' $i=I$.

\noindent
Tilf{\o}rt energi ved {\aa} {\o}ke str{\o}mmen fra $i$ til $i + di$:
$$dU_B = P\;dt = iv\;dt = iL \frac{di}{dt}dt = Li\;di$$
Her er $P=iv$ tilf{\o}rt effekt, og $v = L di/dt$ spenningen over spolen
idet vi endrer str{\o}mmen fra $i$ til $i + di$.

\noindent
Dermed blir total energi tilf{\o}rt for {\aa} {\o}ke str{\o}mmen fra 0 til $I$ lik
$$U_B = \int dU_B = L \int_0^I i\;di = \frac{1}{2} L I^2$$
Denne energien kan vi n{\aa} assosiere med magnetfeltet $B$ inne i spolen. Anta at
spolen er tiln{\ae}rmet uendelig lang, med $N$ viklinger p{\aa} hele lengden $l$.
Tverrsnittet av spolen har areal $A$. Da er magnetfeltet inne i spolen
$$B = \mu_0 n I = \mu_0 \frac{N}{l} I$$
(P{\aa} utsiden av spolen er magnetfeltet null.)
Total magnetisk fluks gjennom de $N$ viklingene p{\aa} spolen blir
$$\phi_m = NAB = NA\mu_0 \frac{N}{l}I$$
som ogs{\aa} kan skrives p{\aa} formen
$$\phi_m = LI$$
der $L$ er spolens (selv-)induktans. Med dette kan vi omforme uttrykket for
energien $U_B$:
$$U_B = \frac{1}{2} \frac{NAB}{I} I^2 = \frac{1}{2}NAB \cdot \frac{Bl}{\mu_0 N} = \frac{1}{2\mu_0} B^2 \cdot Al$$
Her er $Al$ lik volumet inne i spolen, s{\aa} vi ser at vi har en {\em energitetthet} (dvs energi
pr volumenhet) assosiert med magnetfeltet $B$:
$$u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2$$
Fra f{\o}r har vi funnet at vi har en energitetthet $u_E$ assosiert med et elektrisk felt $E$:
$$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$$
Dermed blir {\em total energitetthet i et elektromagnetisk felt}:
$$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Kommentar: Dette uttrykket er ``alltid riktig'', i den forstand at $u$ representerer energien ``lagret'' i
feltene $E$ og $B$. I litteraturen ``risikerer'' du {\aa} st{\o}te p{\aa} formelen
$$u = \frac{1}{2} \bold{D}\cdot\bold{E} + \frac{1}{2}\bold{B}\cdot\bold{H} =
\frac{1}{2} \varepsilon E^2 + \frac{1}{2\mu} B^2$$
for total energitetthet dersom vi har polariserbare og/eller magnetiserbare medier tilstede. (I den siste
overgangen her brukte vi at $\bold{D} = \varepsilon \bold{E}$ og $\bold{B} = \mu \bold{H}$, med
$\varepsilon =$ mediets permittivitet og $\mu =$ mediets permeabilitet.)

\noindent
Disse to uttrykkene for $u$ er ikke identiske, og kan derfor ikke representere den samme energitettheten.
Det siste uttrykket for $u$ inkluderer da ogs{\aa} et bidrag som ikke er direkte ``lagret'' i feltene,
nemlig den ``elastiske'' energien knyttet til polarisering og magnetisering, dvs innrettingen av
elektriske og magnetiske dipoler.

\noindent
I den grad noe av dette blir aktuelt til eksamen, skal vi kun bry oss om {\em feltenergien} gitt ved
$$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$


\end{document}
