\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 10
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Uke 11

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 19. mars


\vspace{1.4cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.7cm}
\noindent
En rett, sylinderformet leder med sirkul{\ae}rt tverrsnitt (radius $R$)
f{\o}rer en elektrisk str{\o}m. La oss anta at str{\o}mtettheten er st{\o}rst i
sentrum av lederen og avtar med avstanden $r$ fra sentrum p{\aa}
f{\o}lgende m{\aa}te:
$$j(r) = j_0\, e^{-r/R}$$
Ved lederens overflate ($r=R$) har vi med andre ord en str{\o}mtetthet $j_0/e$.
(Retningen p{\aa} $\bold{j}(r)$ er {\em langs} lederen.) 

\vspace{0.7cm}
\noindent
Vis at total str{\o}m i lederen er
$$I = 2\pi\, j_0\, R^2 \left(1 - \frac{2}{e} \right) \;\;\;\; \left( \simeq 1.66 \, j_0 \, R^2 \right)$$

\vspace{0.7cm}
\noindent
Hint: Ta utgangspunkt i str{\o}mmen $dI$ som g{\aa}r i et sylinderformet "r{\o}r"
med indre radius $r$ og tykkelse $dr$.
$\int x\,e^{-x}\,dx$ l{\o}ses greit ved hjelp av delvis integrasjon.

\newpage
%\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{ov10_2006.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.8cm}
\noindent
Figuren over viser en parallellplatekondensator der volumet mellom de to metallplatene
er fylt med tre ulike dielektrika.

\vspace{0.8cm}
\noindent
$a)$ Bruk formlene for serie- og parallellkobling av kapasitanser (henholdsvis
$C^{-1} = \sum_j C_j^{-1}$ og $C = \sum_j C_j$) til {\aa} vise at 
parallellplatekondensatoren i figuren har kapasitans
$$C = \frac{A}{d} \left( \frac{\varepsilon_1}{2}+\frac{\varepsilon_2 \varepsilon_3}
{\varepsilon_2 + \varepsilon_3}\right)$$
Her er $A$ metallplatenes areal, $d$ er avstanden mellom metallplatene og $\varepsilon_j$
er permittiviteten til dielektrikum nr $j$ ($j=1,2,3$, se figuren).

\vspace{0.6cm}
\noindent
$b)$ De to stiplede linjene $v$ og $h$ ligger begge langt fra b{\aa}de ytterkantene og midtlinjen $ab$
av kondensatoren. I n{\ae}rheten av $v$ og $h$ kan vi derfor uten fare anta at
det elektriske feltet $\bold{E}$ peker loddrett nedover.

\noindent
Du skal n{\aa} vise at $\bold{E}$ {\em ikke} kan peke loddrett nedover i n{\ae}rheten av
midtlinjen $ab$ dersom $\varepsilon_2$ er forskjellig fra $\varepsilon_3$. Det kan vi gj{\o}re 
p{\aa} f{\o}lgende vis: Anta for eksempel at potensialforskjellen mellom metallplatene er 
$\Delta V = 100$ V, og at $\varepsilon_j = j!\, \varepsilon_0$. Bestem s{\aa} posisjonene til
ekvipotensialflatene 25 V, 50 V og 75 V, b{\aa}de i n{\ae}rheten av stiplet linje $v$ og
stiplet linje $h$. (Sett $V=0$ p{\aa} nedre metallplate.) Ettersom hver ekvipotensialflate m{\aa}
v{\ae}re kontinuerlig mellom $v$ og $h$, kan du sikkert overbevise deg om at $\bold{E}$
ikke kan peke rett nedover i n{\ae}rheten av midtlinjen $ab$. Tegn opp kondensatoren og
skisser de nevnte ekvipotensialflatene.

\end{document}
