\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 14
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Fredag 18. og mandag 21. april

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 25. april


\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I forelesningene viste vi at atomer kan oppfattes som sm{\aa} str{\o}msl{\o}yfer,
dvs som sm{\aa} magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment $\bold{m} = I \bold{A}$
der str{\o}mmen $I$ g{\aa}r i en bane som omslutter et (plant) areal $A$.
(``Vektorarealet'' er da $\bold{A} = A\;\hat{n}$, der $\hat{n}$ er en enhetsvektor normalt
til den omsluttede flaten, med positiv retning bestemt ved h{\o}yreh{\aa}ndsregelen.)

\noindent
Her skal vi bruke ei {\em kvadratisk} str{\o}msl{\o}yfe som modell for en slik atom{\ae}r
magnetisk dipol og se n{\ae}rmere p{\aa} hvordan den vil oppf{\o}re seg i et
magnetfelt $\bold{B}$. (Vi kunne ogs{\aa} ha brukt ei {\em sirkul{\ae}r} str{\o}msl{\o}yfe,
men den kvadratiske er litt enklere {\aa} regne p{\aa}.)

\noindent
Str{\o}msl{\o}yfa har sidekanter med lengde $a$ og f{\o}rer alts{\aa}
en str{\o}m $I$. Den er plassert i et {\em homogent} magnetfelt
$\bold{B} = B\;\hat{z}$ og kan rotere fritt omkring $y$-aksen, som her g{\aa}r
gjennom  str{\o}msl{\o}yfas sentrum som vist i figuren:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov13_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Orienteringen av str{\o}msl{\o}yfa er definert ved vinkelen $\theta$ mellom
$z$-aksen og flatenormalen $\hat{n}$. (Positiv $\theta$ {\em med} klokka,
som vist i figuren.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hva blir str{\o}msl{\o}yfas magnetiske dipolmoment $\bold{m}$? Hva blir den
totale kraften fra $\bold{B}$ p{\aa} str{\o}msl{\o}yfa?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Beregn dreiemomentet $\bold{\tau}$ p{\aa} sl{\o}yfa omkring $y$-aksen
og vis at det kan uttrykkes p{\aa} formen $\bold{\tau} = \bold{m} \times \bold{B}$.

\noindent
[Tips: Finn kraften p{\aa} hver av de fire rette lederstykkene og bruk at dreiemoment
= ''arm ganger kraft''.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem den potensielle energien $U(\theta)$ til en slik magnetisk dipol i feltet
$\bold{B}$. Skisser $U(\theta)$.
Hva slags orientering av dipolen i forhold til $\bold{B}$ representerer henholdsvis
en stabil og en ustabil likevekt? [Tips: $\tau = -dU/d\theta$, jfr {\o}ving 5.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ I jern har hvert atom et magnetisk dipolmoment $\bold{m}_{\rm Fe}$ som dannes av to
parallelle elektronspinn, slik at $m_{\rm Fe} = 2 \mu_B$. Her er $\mu_B = e\hbar/2m_e$
det magnetiske dipolmomentet for ett elektronspinn, det s{\aa}kalte Bohr-magnetonet, med
verdi $9.27\cdot10^{-24}$ Am$^2$.

\noindent
Hva blir da den maksimale magnetiseringen $M$ i jern (dvs: magnetisk dipolmoment pr volumenhet)?

\vspace{0.2cm}
\noindent
Oppgitt: Molar masse, jern: 55.9 g/mol. Massetetthet, jern: 7.9 g/cm$^3$. 1 mol = $6.02\cdot10^{23}$.


\vspace{1.3cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.3cm}
\noindent
I et eksperiment har du studert magnetisk hysterese ved {\aa} vikle
opp en (plastbelagt) kobbertr{\aa}d omkring et sylinderformet stykke
jern. Ved {\aa} sende en vekselstr{\o}m $I$ gjennom kobbertr{\aa}den
har du kontroll p{\aa} $H$-feltet inne i jernsylinderen ettersom
$H=nI$, der $n$ er antall viklinger pr lengdeenhet av kobbertr{\aa}den.
Ved hjelp av det eksperimentelle oppsettet i figuren til h{\o}yre m{\aa}ler
du $B$-feltet inne i jernsylinderen. For hver periode av $I$, og dermed av $H$, f{\o}lger
$B$-feltet kurven i figuren til venstre, der pilene angir retningen p{\aa}
endringen i $H$-feltet. M{\aa}lte verdier for $B(H=0)$ og $H(B=0)$ er angitt
i figuren, og enheter benyttet for $B$ og $H$ er angitt p{\aa} aksene.

%%FIGURE
\vspace{1.4cm}
\centerline{\epsfxsize=5.5in \epsfbox{fy1303des2004_fig3.eps}}
\vspace{1.4cm}
%%END FIGURE

\noindent
Den m{\aa}lte hysteresekurven kan med god tiln{\ae}rmelse representeres ved funksjonene
$$B(H) = B_0 \arctan \left(\alpha \, \frac{H \mp H_0}{H_0} \right)$$
der {\o}vre  og nedre fortegn gjelder for henholdsvis {\o}kende og avtagende verdier av $H$.
Bestem st{\o}rrelsene $B_0$, $H_0$ og $\alpha$ ved {\aa} sammenholde med
den m{\aa}lte hysteresekurven.

\noindent
Det kan vises at arealet innenfor hysteresekurven tilsvarer energien $w$ som tapes i
jernsylinderen pr volumenhet og pr hysteresesyklus. (Sjekk at $H \cdot B$ har
enhet J/m$^3$!) Finn et uttrykk for $w$ i dette eksperimentet. Dvs: Finn $w$ uttrykt ved st{\o}rrelser
i ligningen over. (Tips: Finn f{\o}rst $H(B)$.) Bestem ogs{\aa} tallverdi for $w$.  Oppgi svaret i SI-enheter.

\vspace{0.6cm}
\noindent
${\rm Oppgitt:} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;w = \oint H \, dB$


\vspace{1.6cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Bruk de to Maxwell-ligningene
$$\oint \bold{B}\cdot d\bold{l} = \mu_0 I_{\rm in}$$
og
$$\oint \bold{B}\cdot d\bold{A} = 0$$
til {\aa} vise at diskontinuiteten (''spranget'') i
magnetfeltet $\bold{B}$ n{\aa}r vi krysser et str{\o}mf{\o}rende
plan med str{\o}m pr lengdeenhet $\bold{i}$ er
$$\Delta \bold{B} = \mu_0 \; \bold{i} \times \hat{n}$$
Her er $\hat{n}$ en enhetsvektor normalt til planet, med retning slik
at $\Delta \bold{B}$ i figuren nedenfor blir en vektor mot h{\o}yre:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov14_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Tips: Bruk Gauss' lov for $\bold{B}$ til {\aa} vise at $B_n$, dvs komponenten
av $\bold{B}$ normalt til planet, er kontinuerlig n{\aa}r vi krysser det
str{\o}mf{\o}rende planet. En fornuftig gaussflate er en fyrstikkeske med to av
sideflatene parallelt med planet, beliggende p{\aa} hver sin side av planet.

\noindent
Bruk deretter Amperes lov til {\aa} vise at $B_{t\parallel}$ ogs{\aa} er kontinuerlig
ved kryssing av planet, mens $B_{t\perp}$ er diskontinuerlig med et sprang $\mu_0 i$.
Her betrakter vi komponenten $B_t$ av $\bold{B}$ tangentielt til planet. Denne kan igjen
dekomponeres i en komponent parallelt med str{\o}mretningen, $B_{t\parallel}$, og en
komponent normalt til str{\o}mretningen, $B_{t\perp}$. Fornuftige amperekurver for denne
delen av oppgaven er rektangler beliggende symmetrisk i forhold til det str{\o}mf{\o}rende
planet, med ulik orientering i forhold til str{\o}mretningen, 
avhengig av om vi skal ende opp med en grenseflatebetingelse for $B_{t\parallel}$ eller $B_{t\perp}$. 
F{\o}lgende figur kan muligens v{\ae}re til hjelp:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov14_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Kontroller til slutt at de tre grenseflatebetingelsene du har endt opp med, for hhv $B_n$, $B_{t\parallel}$
og $B_{t\perp}$, kan sammenfattes i ligningen for $\Delta \bold{B}$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Kommentar 1: Gitt at vi har l{\o}st oppgaven i {\o}ving 13 om magnetfelt fra uendelig stort
plan med uniform str{\o}m, er egentlig denne oppgaven ogs{\aa} l{\o}st: Det totale magnetfeltet
ved en slik grenseflate m{\aa} v{\ae}re lik magnetfeltet fra en liten bit av grenseflaten omkring
der vi krysser pluss magnetfeltet fra ''resten av verden'' (husk: superposisjonsprinsippet). Magnetfeltet
fra resten av verden m{\aa} v{\ae}re kontinuerlig idet vi krysser grenseflaten (fordi alle
str{\o}melementer som bidrar til dette ''resten-av-verden-feltet'' ligger langt unna i forhold til den 
infinitesimale veien vi m{\aa} g{\aa} for faktisk {\aa} krysse flaten). F{\o}lgelig m{\aa} en
eventuell diskontinuitet i det totale feltet v{\ae}re lik diskontinuiteten i feltet fra den lille
biten omkring krysningspunktet. Denne lille biten ser ut som en uendelig stor, plan flate idet vi
krysser flaten, for vi kan starte og ende v{\aa}r flatekrysning s{\aa} n{\ae}r flaten som vi bare vil.
Men da m{\aa} feltet fra den lille biten av grenseflaten bli det samme som vi fant i {\o}ving 13,
dvs $\mu_0 i/2$, med motsatt retning p{\aa} hver side av grenseflaten, tangentielt til flaten og
normalt p{\aa} str{\o}mretningen. F{\o}lgelig med diskontinuitet lik $\mu_0 i$ i absoluttverdi og retning
konsistent med ligningen for $\Delta \bold{B}$.


\vspace{0.2cm}
\noindent
Kommentar 2: Dersom ''systemet'' v{\aa}rt inneholder magnetiserbare medier,
kan det tenkes at vi har grenseflater hvor vi vet hva {\em fri} str{\o}m $\bold{i}_f$ pr
lengdeenhet er. (Men vi kan kanskje ikke s{\aa}nn uten videre si hva {\em total} 
str{\o}m $\bold{i}$ pr lengdeenhet er. Jfr eksempelet med lang spole fylt med
et magnetiserbart medium.) Du kan da bruke Amperes lov for $\bold{H}$ til {\aa}
utlede grenseflatebetingelsen(e) for tangentialkomponenten $\bold{H}_t$ til $H$-feltet,
$$\Delta \bold{H}_t = \bold{i}_f \times \hat{n}$$


\end{document}
