\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke 3

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 15.01.07
\end{large}
\end{center}


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Superposisjonsprinsippet}

\noindent
[FGT 21.4; YF 21.3; TM 21.3; AF 21.5; LHL 19.3; DJG 2.1.1]
$$\bold{F}_i = \sum_{j=1}^{n}\bold{F}_{ij} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\sum_{j=1}^{n}\frac{q_j q_i}{r_{ij}^2}\hat{r}_{ij}$$
= elektrostatisk kraft p{\aa} ladning $q_i$ fra ladninger $q_j$ ($j=1,2,\dots n$)
i innbyrdes avstand $r_{ij}$.


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke33_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Elektrisk felt} 

\noindent
[FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.5; LHL 19.4; DJG 2.1.3]
$$\bold{E} = \frac{\bold{F}}{q}$$
= kraft pr ladningsenhet

\vspace{0.3cm}
\noindent
SI-enhet for elektrisk felt: [$E$] = N/C


\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 16.01.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Elektrisk felt fra punktladning} 

\noindent
[FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.6; LHL 19.5; DJG 2.1.3]
$$\bold{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{r}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Superposisjonsprinsipp for elektrisk felt:
$$\bold{E} = \sum_{j=1}^{n}\bold{E}_{j} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\sum_{j=1}^{n}\frac{q_j}{r_j^2}\hat{r}_j$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke34_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Kontinuerlige ladningsfordelinger} 

\noindent
[FGT 21.4, 22.3; YF 21.5; TM 22.1; AF eks. 21.6; LHL 19.5; DJG 2.1.4]

\vspace{0.2cm}
\noindent
P{\aa} en lengdeskala som er stor i forhold til avstanden mellom enkeltladninger ser man
en tiln{\ae}rmet {\em kontinuerlig} ladningsfordeling. (P{\aa} samme m{\aa}te som at
makroskopiske objekter har en tiln{\ae}rmet kontinuerlig massefordeling, selv om de
egentlig best{\aa}r av ``enkeltmasser'' (atomer).)

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Sum} over enkeltladninger erstattes da av {\em integral} over en ladningsfordeling:
$$\sum_i \Delta q_i \stackrel{\Delta q_i \rightarrow 0}{\rightarrow} \int dq$$

\vspace{0.4cm}
\noindent
$3D$ (= 3 dimensjoner): romladning
\begin{eqnarray}
dq &=& \rho\;dV \nonumber \\
\rho &=& \rho(x,y,z) = \; {\rm ladning\;pr\;volumenhet}\;=\;{\rm romladningstetthet} \nonumber \\
{[\rho]} &=& [q/V] = {\rm C/m^3} \nonumber\\
%\end{eqnarray}
%\begin{eqnarray}
{\rm Volumelement:}\; dV &=& dx\;dy\;dz \;\; ({\rm kartesiske\;koordinater}) \nonumber\\
&=& r^2 \sin\theta\;d\theta\;d\phi\;dr \;\; ({\rm kulekoordinater)} \nonumber\\
&=& \rho\;d\rho\;d\phi\;dz \;\; ({\rm sylinderkoordinater)} \nonumber
\end{eqnarray}


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.5in \epsfbox{uke34_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.4cm}
\noindent
$2D$: flateladning
\begin{eqnarray}
dq &=& \sigma\;dA \nonumber \\
\sigma &=& \sigma(x,y) = \; {\rm ladning\;pr\;flateenhet}\;=\;{\rm flateladningstetthet} \nonumber \\
{[\sigma]} &=& [q/A] = {\rm C/m^2} \nonumber\\
{\rm Flateelement:}\;dA &=& dx\;dy \;\; ({\rm kartesiske\;koordinater}) \nonumber\\
&=& r\;d\phi\;dr \;\; ({\rm polarkoordinater)} \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.4cm}
\noindent
$1D$: linjeladning
\begin{eqnarray}
dq &=& \lambda\;dl \nonumber \\
\lambda &=& \lambda(x) = \; {\rm ladning\;pr\;lengdeenhet}\;=\;{\rm linjeladningstetthet} \nonumber \\
{[\lambda]} &=& [q/L] = {\rm C/m} \nonumber\\
{\rm Linjeelement:}\;dl &=& dx \;\; ({\rm rett\;linje}) \nonumber\\
&=& R\; d\phi \;\; ({\rm for \; sirkel \; med \; radius\;} R) \nonumber
\end{eqnarray}

\newpage
\noindent
Elektrisk felt i avstand $\bold{r}$ fra infinitesimal ladning $dq$:
$$d\bold{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\hat{r}$$
Elektrisk felt fra kontinuerlig ladningsfordeling:
$$\bold{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\hat{r}\;dq}{r^2}
\;\stackrel{3D}{=}\; \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\hat{r}\rho\;dV}{r^2}$$
Mer presist: Det elektriske feltet $\bold{E}(\bold{r})$ i et punkt $\bold{r}=(x,y,z)$
p{\aa} grunn av en fordeling av elektrisk ladning beskrevet ved ladningstettheten
$\rho(\bold{r}')=\rho(x',y',z')$ er gitt ved
$$\bold{E}(\bold{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{(\bold{r}-\bold{r}')\rho(\bold{r}')\;dV'}
{|\bold{r}-\bold{r}'|^3}$$
der $dV' = dx'\;dy'\;dz'$ (i kartesiske koordinater) er et volumelement i posisjon $\bold{r}'$.

\noindent
Legg merke til at $\bold{r}$ ikke har samme betydning i de to siste ligningene. I den f{\o}rste angir
$\bold{r}$ vektoren fra $dq$ til punktet der $\bold{E}$ skal bestemmes. Dermed vil $\bold{r}$ v{\ae}re
forskjellig for de ulike ladningselementene $dq$ i systemet vi ser p{\aa}.
I den andre ligningen angir $\bold{r}$ posisjonen der $\bold{E}$ skal bestemmes, mens $\bold{r}'$
er posisjonsvariabelen til ladningstettheten $\rho$. Her hadde vi valget mellom {\aa} innf{\o}re
en ny vektor $\bold{\cal R}\equiv\bold{r}-\bold{r}'$ og skrive $\hat{\bold{\cal R}}/{\cal R}^2$,
eller (som vi valgte) {\aa} skrive om enhetsvektoren. P{\aa} sin plass med en figur, kanskje:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke34_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi ser at den ``aktuelle'' enhetsvektoren skal peke fra volumelementet $dV'$ i posisjon $\bold{r}'$
til posisjonen $\bold{r}$. Vi kan dermed skrive $(\bold{r}-\bold{r}')/|\bold{r}-\bold{r}'|^3$
i uttrykket for $\bold{E}(\bold{r})$.


\end{document}
