\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=24cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU
\hfill
5. april 2005

\noindent
FY1003/TFY4155 Elektromagnetisme


\end{bf}
\begin{large}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge MAGNETFELT OG MAGNETISME SOM 

\vspace{0.3cm}
RELATIVISTISK FENOMEN}

\vspace{0.5cm}
(orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen)
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
Utgangspunkt: Anta at vi kjenner til Coulombs lov og elektriske krefter. Vi vet derimot {\em ingenting}
om magnetfelt og magnetisme.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Vi gj{\o}r s{\aa} et eksperiment:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{rel_mag_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
... og m{\aa}ler til v{\aa}r store overraskelse en kraft p{\aa} ladningen $q$:
$$F = k \frac{I}{a} q v$$
med retning inn mot lederen dersom $q>0$. 

\noindent
(Retning vekk fra lederen dersom $q$ eller $v$ skifter fortegn.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Lederen er {\em elektrisk n{\o}ytral} $\Rightarrow$ den elektriske kraften m{\aa} v{\ae}re {\em null} !

\vspace{0.5cm}
\noindent
\fbox{HVOR KOMMER KRAFTEN $F$ FRA??}

\vspace{0.5cm}
\noindent
L{\o}sning: Relativitetsteori!
%%FIGURE
\hfill{\epsfxsize=1.1in \epsfbox{einstein.eps}}
%%END FIGURE


%\vspace{0.5cm}
\newpage
\noindent
Lorentzkontraksjon:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.2cm}
\begin{center} 
{\em Per}: Stavens lengde er $L$.

\vspace{0.2cm}
{\em P{\aa}l}: Stavens lengde er $L/\gamma < L$.
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Her er:
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \geq 1$$
med $c =$ lyshastigheten ($= 3 \cdot 10^8$ m/s) og $v =$ hastigheten til staven og Per (i stavens lengderetning)
i forhold til P{\aa}l.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempel: Per er i ro i forhold til staven og m{\aa}ler dens lengde til 1 m. P{\aa}l ser en stav som har en hastighet
$v = 3000$ km/s. Da er $v^2/c^2 = 10^{-4}$ og P{\aa}l vil si at stavens lengde er 0.999950 m, dvs 50 $\mu$m kortere.

\vspace{1.0cm}
\noindent
Alts{\aa}:

\vspace{1.0cm}
\begin{center} 
\fbox{Objekter i bevegelse er kortere enn n{\aa}r de er i ro!} 
\end{center}

\newpage
\noindent
Konsekvenser av Lorentzkontraksjon for ladningen $q$ som er i bevegelse 

\noindent
langs den str{\o}mf{\o}rende lederen:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\begin{center} 
{\em Per}: Lederen har negativ ladning $-\lambda$ pr lengdeenhet og positiv ladning $\lambda$
pr lengdeenhet. Alt i alt er lederen {\em elektrisk n{\o}ytral}.

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=4.5in \epsfbox{hva_paal_ser.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
{\em P{\aa}l}: Lederen har negativ ladning $-\lambda_{-}$ pr lengdeenhet og positiv ladning
$\lambda_{+}$ pr lengdeenhet. De negative ladningene har {\em st{\o}rst} hastighet i forhold til meg.
P{\aa} grunn av {\em st{\o}rst} Lorentzkontraksjon ligger derfor disse {\em tettere} enn de positive
ladningene. Alts{\aa} er $\lambda_{-} > \lambda_{+}$. Alt i alt er lederen {\em ikke elektrisk n{\o}ytral};
den har en {\em netto negativ ladning} $\Delta \lambda = -\lambda_{-} + \lambda_{+} < 0$.

\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
Dermed m{\aa}ler P{\aa}l en {\em tiltrekkende elektrisk kraft} p{\aa} ladningen $q$:
$$F_{\rm Pal} = F_e = qE = q\cdot\frac{\Delta \lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$$
der vi har brukt at elektrisk felt i avstand $a$ fra en uendelig lang stav med
ladning $\Delta \lambda$ pr lengdeenhet er (se {\o}ving 2, oppgave 2d og {\o}ving 5, oppgave 3)
$E = \Delta \lambda/2\pi\varepsilon_0 a$

\newpage
%\vspace{0.5cm}
\noindent
So what? {\em Vi} er typisk i Pers situasjon, dvs p{\aa} laben, i ro i forhold til lederen, og hvem
har sagt at Per, som ser en n{\o}ytral leder, vil m{\aa}le en kraft p{\aa} $q$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
Jo, det sier Einstein, med sitt {\em relativitetsprinsipp}:

\vspace{0.5cm}
\begin{center} 
Fysikkens lover gjelder i alle {\em inertialsystemer}, dvs i alle

referansesystemer som er i ro eller i konstant hastighet.
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent
Dermed: Hvis P{\aa}l m{\aa}ler en kraft p{\aa} $q$, {\em m{\aa}} ogs{\aa}
Per m{\aa}le en kraft p{\aa} $q$!


\vspace{1cm}
\noindent
I forelesningene tok vi her rett og slett en snarvei og konstaterte at
$$F_{\rm Per} = \sqrt{1-v^2/c^2}\; F_{\rm Pal}$$
$$\Delta \lambda = \frac{2\lambda v u}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
Den f{\o}rste av disse to ligningene skal vi ikke fors{\o}ke {\aa} utlede, men
den uttrykker alts{\aa} hvordan krefter, if{\o}lge relativitetsteorien,
{\em transformerer} mellom ulike referansesystemer som er i relativ bevegelse med
hastighet $\bold{v}$. I v{\aa}rt tilfelle er ladningen $q$ i ro i P{\aa}l sitt referansesystem, i Per sitt
referansesystem har den hastighet $\bold{v}$ (mot h{\o}yre). Hvis da P{\aa}l m{\aa}ler
en kraft
$$\bold{F}_{\rm Pal} = \bold{F}_{\rm Pal}^{\parallel} + \bold{F}_{\rm Pal}^{\perp}$$
der $\bold{F}_{\rm Pal}^{\parallel}$ er komponenten av $\bold{F}_{\rm Pal}$ parallelt
med hastighetsvektoren $\bold{v}$ og $\bold{F}_{\rm Pal}^{\perp}$ er komponenten av
$\bold{F}_{\rm Pal}$ normalt p{\aa} hastighetsvektoren $\bold{v}$, s{\aa} ``kan det vises''
at Per vil m{\aa}le en kraft
\begin{eqnarray}
\bold{F}_{\rm Per} &=& \bold{F}_{\rm Per}^{\parallel} + \bold{F}_{\rm Per}^{\perp} \nonumber \\
&=& \bold{F}_{\rm Pal}^{\parallel} + \frac{1}{\gamma}\bold{F}_{\rm Pal}^{\perp} \nonumber
\end{eqnarray}
Med andre ord, en eventuell kraftkomponent parallelt med $\bold{v}$ blir den samme i de to
referansesystemene (i v{\aa}rt tilfelle er $F^{\parallel}=0$), mens for kraftkomponenten
normalt p{\aa} $\bold{v}$ (og v{\aa}r kraft er nettopp normalt p{\aa} $\bold{v}$) har vi
$$\bold{F}_{\rm Per}^{\perp} = \frac{1}{\gamma}\bold{F}_{\rm Pal}^{\perp} = \sqrt{1-v^2/c^2}\; F_{\rm Pal}$$
som konstatert ovenfor.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Den andre av de to ligningene ovenfor kan vi utlede p{\aa} bakgrunn av {\bf Einsteins regel for
addisjon av relative hastigheter}.

\noindent
La oss ta for oss 3 objekter $A$, $B$ og $C$.
Dersom $v_{AB}$ er hastigheten til $A$ relativt $B$ og $v_{BC}$ er hastigheten til
$B$ relativt $C$, da ville en nok intuitivt tenke som Galilei og si at
$$v_{AC} = v_{AB} + v_{BC}$$
m{\aa} bli hastigheten til $A$ relativt $C$. Tro det eller ei, men dette er faktisk ikke
riktig! Og problemet oppst{\aa}r i forbindelse med Einsteins 2. postulat (det 1. postulatet
var relativitetsprinsippet, se ovenfor):

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
Lyshastigheten $c$ i vakuum er konstant, uavhengig av

kildens eller observat{\o}rens relative hastighet.
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
N{\aa} ser du problemet med Galileis addisjonsformel: Dersom $v_{AB}=c$ (dvs $A$ er et lyssignal
som beveger seg med hastighet $c$ i forhold til $B$), blir $v_{AC} \neq c$ (dvs $C$ vil p{\aa}st{\aa}
at hastigheten til lyssignalet $A$ ikke er lik $c$)!!

\vspace{0.3cm}
\noindent
L{\o}sningen har vi med Einsteins addisjonsregel:
$$v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}\cdot v_{BC}/c^2}$$
Setter du n{\aa} $v_{AB}=c$, vil du ogs{\aa} finne at $v_{AC} = c$, i samsvar med postulatet ovenfor.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Utstyrt med denne formelen kan vi n{\aa} regne ut hvor stor Lorentzkontraksjon ladningen $q$ ser
for henholdsvis de positive og de negative ladningsb{\ae}rerne i den str{\o}mf{\o}rende lederen.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Lederladningenes hastighet m{\aa}lt av P{\aa}l:
$$u_{\pm} = \frac{\pm u + (-v)}{1 + (\pm u)\cdot(-v)/c^2} = \pm \frac{u \mp v}{1 \mp uv/c^2}$$
Her er lederladningene objekt $A$ ({\o}vre fortegn for de positive), P{\aa}l og ladningen $q$
er objekt $C$, mens Per tilsvarer objekt $B$. Dermed er $v_{AC} = u_{\pm}$ = lederladningenes
hastighet relativt P{\aa}l og $q$, $v_{AB} = \pm u$ = lederladningenes hastighet relativt
Per (dvs laboratoriet, der lederen ligger i ro), mens $v_{BC} = -v$ = Pers (og laboratoriets)
hastighet relativt P{\aa}l (og ladningen $q$).

\vspace{0.3cm}
\noindent
Da kan vi regne ut ``Lorentzkontraksjonsfaktorene'' $\gamma_{\pm}$ for de positive ({\o}vre fortegn)
og de negative (nedre fortegn) lederladningene, sett fra P{\aa}l og $q$ sitt referansesystem:
\begin{eqnarray}
\gamma_{\pm} &=& \frac{1}{\sqrt{1 - u_{\pm}^2/c^2}} \nonumber \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\left(u \mp v\right)^2}{\left(1 \mp uv/c^2\right)^2 c^2 }}} \nonumber \\
&=& \frac{1 \mp uv/c^2}{\sqrt{\left(1 \mp uv/c^2\right)^2 - \left(u \mp v\right)^2/c^2}} \nonumber \\
&=& \frac{1 \mp uv/c^2}{\sqrt{1 \mp 2uv/c^2 + u^2 v^2/c^4 - u^2/c^2 - v^2/c^2 \pm 2uv/c^2}} \nonumber \\
&=& \frac{1 \mp uv/c^2}{\sqrt{\left(1 - u^2/c^2\right) \cdot \left(1 - v^2/c^2\right)}} \nonumber
\end{eqnarray}
Dette gj{\o}r oss i stand til {\aa} regne ut tettheten av lederladninger, observert fra P{\aa}l og $q$
sitt referansesystem:
$$\lambda_{\pm} = \gamma_{\pm} \lambda_0$$
der (NB!) $\lambda_0$ er (antalls-)tettheten av lederladninger {\em m{\aa}lt av lederladningene selv}.
Per, i ro i laboratoriet, m{\aa}ler antallstettheten $\lambda$ for lederladningene. Ettersom disse
har hastigheten $u$ relativt Per, blir sammenhengen mellom $\lambda$ og $\lambda_0$
$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \lambda_0 \;\;\;( > \lambda_0)$$
Dvs like stor Lorentzkontraksjon for positive og negative lederladninger, sett fra Pers st{\aa}sted.
(Sagt p{\aa} en annen m{\aa}te: Fordi Per m{\aa}ler like stor antallstetthet for positive og negative
lederladninger, og dermed en elektrisk n{\o}ytral leder, og samtidig like stor hastighet ($\pm$) $u$,
betyr det at lederladningene selv ogs{\aa} m{\aa} m{\aa}le en like stor antallstetthet $\lambda_0$,
enten de n{\aa} er av det positive eller negative slaget.)

\newpage
\vspace{0.2cm}
\noindent
Tilbake til P{\aa}l og $q$, som n{\aa} alts{\aa} ikke observerer en elektrisk n{\o}ytral leder,
men derimot en ladet leder med ladning pr lengdeenhet
\begin{eqnarray}
\Delta \lambda &=& \lambda_{+} - \lambda_{-} \nonumber \\
&=& \gamma_{+} \lambda_0 - \gamma_{-} \lambda_0 \nonumber \\
&=& \left(\gamma_{+} - \gamma_{-} \right) \cdot \sqrt{1 - u^2/c^2}\; \lambda \nonumber \\
&=& \frac{\sqrt{1 - u^2/c^2}\; \lambda}{\sqrt{\left(1 - u^2/c^2\right) \cdot \left(1 - v^2/c^2\right)}}
\cdot \left[1 - \frac{uv}{c^2} - \left(1 + \frac{uv}{c^2} \right)\right] \nonumber \\
&=& - \frac{2 \lambda v u}{c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2}} \nonumber
\end{eqnarray}
Det negative fortegnet inneb{\ae}rer at P{\aa}l ser en {\em negativt} ladet leder, noe vi allerede
fant ut p{\aa} side 3. N{\aa} har vi i tillegg alts{\aa} regnet ut {\em hvor mye} negativ ladning
P{\aa}l ser p{\aa} lederen.


\vspace{1cm}
\noindent
Dermed kjenner vi elektrisk kraft m{\aa}lt av P{\aa}l (side 3), hvoretter vi kan regne
ut magnetisk kraft m{\aa}lt av Per, dvs i laboratoriet:
\begin{eqnarray}
F_{\rm Per} = F_m &=& \sqrt{1-v^2/c^2} \cdot q \cdot
\frac{2\lambda v u}{2\pi\varepsilon_0 a c^2 \sqrt{1-v^2/c^2}} \nonumber \\
&=& q v \frac{2 \lambda u}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a} \nonumber \\
&=& q v \frac{I}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a} \nonumber
\end{eqnarray}
= {\em magnetisk kraft} fra str{\o}mf{\o}rende leder p{\aa} ladning $q$
i avstand $a$ og med hastighet $v$ langs lederen.

\vspace{1cm}
\noindent
Dvs: Som v{\aa}rt eksperiment, med
$$k = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0 c^2}$$
(dvs en naturkonstant)

\vspace{1cm}
\noindent
La oss skrive
$$F_{\rm Per} = F_m = qvB$$
med
$$B = \frac{I}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a}$$
St{\o}rrelsen $B$ er nettopp {\em magnetfeltet} (her: i avstand $a$ fra en lang, rett
str{\o}mf{\o}rende leder med str{\o}m $I$),
og $F_m$ er den {\em magnetiske kraften} p{\aa} ladningen $q$ med
hastighet $v$.

\vspace{1.5cm}
\noindent
Merk at vi har f{\aa}tt oppklart to viktige sp{\o}rsm{\aa}l:

\vspace{0.5cm}
\noindent
Hvor kommer magnetfeltet fra? 

\noindent
Svar: Fra ladninger i bevegelse, dvs {\em elektrisk str{\o}m}.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Hvordan virker den magnetiske kraften p{\aa} en ladning i bevegelse? 

\noindent
Svar: $F_m=qvB$

\vspace{2.0cm}
\noindent
Men hvordan uttrykke $F_m = qvB$ p{\aa} {\em vektorform}? B{\aa}de $\bold{F}_m$ og
$\bold{v}$ er jo vektorer, men ikke parallelle vektorer....

\noindent
Vi m{\aa} ty til {\em kryssprodukt}! La $\bold{B}$ v{\ae}re en vektor som peker
inn i planet:

\vspace{1.5cm}
%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{1cm}
\noindent
Da ser vi at vi kan skrive:
$$\bold{F}_m = q \bold{v} \times \bold{B}$$

\newpage
\noindent
KONKLUSJON:

\vspace{1cm}
\noindent
Fra f{\o}r: Elektrisk felt $\bold{E}$ lages av ladninger (i ro eller i bevegelse) og resulterer i elektrisk kraft p{\aa}
ladninger (i ro eller i bevegelse):
$$\bold{F}_e = q \bold{E}$$

\vspace{1cm}
\noindent
N{\aa}: Magnetfelt $\bold{B}$ lages av str{\o}m (dvs ladninger i bevegelse)
og resulterer i magnetisk kraft p{\aa} ladninger i bevegelse:
$$\bold{F}_m = q \bold{v} \times \bold{B}$$

\vspace{1.5cm}
\noindent
Med b{\aa}de $\bold{E}$ og $\bold{B}$ til stede samtidig, p{\aa}virkes ladningen $q$ med hastighet $\bold{v}$
av {\em Lorentzkraften}
$$\bold{F} = \bold{F}_e + \bold{F}_m = q\bold{E} + q\bold{v} \times \bold{B}$$

\vspace{1.5cm}
%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\end{large}
\end{document}
