\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke 4

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 22.01.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Elektriske feltlinjer} 

\noindent
[FGT 22.2; YF 21.6; TM 21.5; AF 21.6; LHL 19.6; DJG 2.2.1]
\begin{itemize}
\item gir en visuell framstilling av $\bold{E}$ i et omr{\aa}de
\item $\bold{E}$ ligger tangentielt til feltlinjene overalt
\item styrken p{\aa} $\bold{E}$ (dvs $|\bold{E}|$) er proporsjonal med tettheten av feltlinjer,
dvs antall feltlinjer pr flateenhet
\end{itemize}
Konsekvenser av dette er bl.a. at
\begin{itemize}
\item feltlinjene g{\aa}r radielt {\em ut fra} positive (punkt-)ladninger og radielt {\em inn mot}
negative ladninger
\item like mange feltlinjer g{\aa}r ut fra ladning $+Q$ som inn mot $-Q$
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempler:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{feltlinjer.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{1.3cm}
\noindent
{\bf Elektrisk dipol og elektrisk dipolmoment} 

\noindent
[FGT 22.1; YF 21.7; TM 21.4; AF 21.11; LHL 19.10; DJG 2.2.1, 3.4.2]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dersom vi har to ladninger $q$ og $-q$ i en viss innbyrdes avstand,
har vi en elektrisk dipol. Avstandsvektoren $\bold{d}$ fra den negative
ladningen $-q$ til den positive ladningen $q$ beskriver hvordan de to
er lokalisert i forhold til hverandre.

\noindent
Dipolens elektriske {\em dipolmoment} $\bold{p}$ er da:
$$\bold{p} = q \bold{d}$$
Dipolmomentet er alts{\aa} en {\em vektor} som peker fra den negative mot
den positive ladningen, med st{\o}rrelse lik produktet av ladningen $q$
og avstanden $d$.

\noindent
Enhet for elektrisk dipolmoment: $[p] = [qd] =$ Cm.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Mer generelt kan vi definere det elektriske dipolmomentet for en vilk{\aa}rlig
ladningsfordeling innenfor et romlig omr{\aa}de $\Omega$:
$$\bold{p} = \int_\Omega \bold{r} \, dq$$
Her kan $\Omega$ v{\ae}re et omr{\aa}de i 1, 2 eller 3 dimensjoner.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{dipolgenerell.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
I 1D ("linjeladning"):
\begin{eqnarray}
dq &=& \lambda(x) \, dx \nonumber \\
\bold{r} &=& x \, \hat{x} \nonumber
\end{eqnarray}

I 2D ("flateladning"):
\begin{eqnarray}
dq &=& \sigma \, dA \nonumber \\
   &=& \sigma(x,y) \,dx\,dy \;\; {\rm (kartesisk)} \nonumber \\
   & & \sigma(r,\phi) \,r\,dr\,d\phi \;\; {\rm (polarkoord)} \nonumber \\
\bold{r} &=& x \, \hat{x} + y \, \hat{y} \;\; {\rm (kartesisk)} \nonumber \\
         & & r \, \hat{r} \;\; {\rm (polarkoord)} \nonumber
\end{eqnarray}

I 3D ("romladning"):
\begin{eqnarray}
dq &=& \rho \, dV \nonumber \\
   &=& \rho(x,y,z) \,dx\,dy\,dz \;\; {\rm (kartesisk)} \nonumber \\
   & & \rho(r,\theta,\phi) \,r^2\,dr\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi \;\; {\rm (kulekoord)} \nonumber \\
\bold{r} &=& x \, \hat{x} + y \, \hat{y} + z \, \hat{z} \;\; {\rm (kartesisk)} \nonumber \\
         & & r \, \hat{r} \;\; {\rm (kulekoord)} \nonumber
\end{eqnarray}

\noindent
Det elektriske dipolmomentet $\bold{p}$ er bare entydig definert dersom systemet har
null netto ladning, dvs
$$Q = \int_\Omega \, dq = 0$$
Dersom systemets nettoladning $Q$ er forskjellig fra null, vil $\bold{p}$ avhenge av
hvor vi plasserer origo (dvs $\bold{r}=0$).

\vspace{0.3cm}
\noindent
Eksempel: Stav med lengde $2L$, positiv ladning $\lambda_0$ pr lengdeenhet p{\aa}
den ene halvdelen ($0<x<L$), negativ ladning $-\lambda_0$ pr lengdeenhet p{\aa}
den andre halvdelen ($-L<x<0$). Bestem stavens elektriske dipolmoment $\bold{p}$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
L{\o}sning:

$$\bold{p} = \int_{-L}^{L} x\hat{x} \lambda(x) dx = \hat{x} \lambda_0
\left( \int_{-L}^{0} (-x)dx + \int_0^L x dx \right) = \hat{x} \lambda_0
\left(\frac{L^2}{2} + \frac{L^2}{2} \right) = \lambda_0 L^2 \hat{x}$$

%\vspace{0.5cm}
\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 23.01.07
\end{large}
\end{center}


\vspace{2.2cm}
\noindent
{\bf Elektrisk potensial} 

\noindent
[FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.1; AF 21.9; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 2.3.2, 2.4.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Vi har en {\em konservativ} kraft $\bold{F}$ dersom arbeidet $\int_A^B \bold{F}\cdot d\bold{l}$
er uavhengig av veien mellom startposisjonen $A$ og sluttposisjonen $B$.

\noindent
Eksempler p{\aa} konservative krefter: Gravitasjonskraften mellom to masser. Den
elektrostatiske kraften mellom to ladninger.

\noindent
Eksempel p{\aa} ikke-konservativ kraft: Friksjon.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Mer generelt har vi et {\em konservativt vektorfelt} $\bold{G}$ dersom {\em veiintegralet}
$\int_A^B \bold{G}\cdot d\bold{l}$ er uavhengig av integrasjonsveien mellom $A$ og $B$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
For et konservativt vektorfelt $\bold{G}$ gjelder:
$$\oint\bold{G}\cdot d\bold{l} = 0$$
der $\oint$ angir integral rundt {\em lukket kurve} i rommet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
For konservativ kraft $\bold{F}$ har vi en {\em potensiell energi} $U$ slik at arbeidet utf{\o}rt
av $\bold{F}$ p{\aa} "systemet" (f.eks. ladningen som flyttes) ved en forflytning fra $A$ til $B$
tilsvarer {\em endringen} i systemets potensielle energi:
$$\Delta U = U_B - U_A = - \int_A^B \bold{F}\cdot d\bold{l}$$
[Fortegnssjekk: Forflytning av masse $m$ oppover, dvs {\em mot} tyngdekraften $m\bold{g}$, gir
{\o}kt potensiell energi og samtidig er $\bold{F}\cdot d\bold{l} < 0$, alts{\aa} er fortegnet OK!]

\vspace{0.3cm}
\noindent
P{\aa} samme m{\aa}te som at det var hensiktsmessig {\aa} innf{\o}re elektrisk felt
$\bold{E} = \bold{F}/q$ = elektrisk kraft pr ladningsenhet, er det n{\aa}
hensiktsmessig {\aa} innf{\o}re {\em elektrisk potensial} som {\em potensiell energi pr ladningsenhet}:
$$V = U/q$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Enhet for elektrisk potensial: $[V] = [U/q]$ = J/C $\equiv$ V (volt)


\vspace{0.8cm}
\noindent
{\bf Sammenhengen mellom elektrisk potensial $V$ og elektrisk felt $\bold{E}$}

\noindent
[FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.1; AF 21.10; LHL 19.9; DJG 2.3.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
En ladning $q$ som p{\aa}virkes av en elektrostatisk kraft $\bold{F}$ har en forskjell i potensiell
energi
$$\Delta U = U_B - U_A = - \int_A^B \bold{F}\cdot d\bold{l}$$
mellom punktene $A$ og $B$. Da m{\aa} den {\em elektriske potensialforskjellen} $\Delta V$ mellom
punktene $A$ og $B$ v{\ae}re
$$\Delta V = V_B - V_A = \frac{\Delta U}{q} = - \int_A^B \frac{\bold{F}\cdot d\bold{l}}{q} =
- \int_A^B \bold{E}\cdot d\bold{l}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Alternativ enhet for elektrisk felt: $[E] = [V/l]$ = V/m

\vspace{0.3cm}
\noindent
Merk deg at mens elektrisk felt er en {\em vektorst{\o}rrelse}, s{\aa} er elektrisk
potensial en {\em skalar st{\o}rrelse}.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Merk: Bare {\em forskjeller} i elektrisk potensial (og potensiell energi) har fysisk betydning.
Kan fritt velge nullpunkt for potensialet. Vanlig valg: $V(r\rightarrow\infty) = 0$. Dermed,
for punkt $P$:
$$V_P = - \int_\infty^P \bold{E}\cdot d\bold{l}$$
(Vi kan ikke alltid velge $V(r\rightarrow\infty) = 0$. Det skal vi se eksempler p{\aa} etterhvert.)


\vspace{0.6cm} 
\noindent
{\bf Elektrisk potensial fra punktladning (Coulombpotensialet)} 

\noindent
[FGT 24.2; YF 23.2; TM 23.2; AF 21.11; LHL 19.9; DJG 2.3.4]:

\vspace{0.3cm}
$$V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

\vspace{0.6cm}
\noindent
Elektrisk potensial (i et punkt $P$) fra flere punktladninger:
$$V_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_i \frac{q_i}{r_i}$$
Her er $r_i$ avstanden fra ladning nr $i$ til punktet $P$. Det f{\o}lger
med andre ord at superposisjonsprinsippet ogs{\aa} gjelder for potensialet
$V$, ettersom det gjelder for feltet $\bold{E}$ (og krafta $\bold{F}$).


\vspace{0.6cm}
\noindent
Dersom vi har en kontinuerlig ladningsfordeling, kan vi g{\aa} fram p{\aa}
n{\o}yaktig samme vis som vi gjorde i forbindelse med elektrisk felt: Del
opp omr{\aa}det med ladning i sm{\aa} biter slik at bit nr $i$ har en liten
ladning $\Delta q_i$ som kan betraktes som en punktladning. I grensen
$\Delta q_i \rightarrow 0$ kan vi erstatte summen over $i$ med et integral:
$$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dq}{r}$$
med
$$dq = \left\{
\begin{array}{ll}
\rho(x,y,z)\;dV & (3D) \\
\sigma(x,y)\;dA & (2D) \\
\lambda(x)\;dx & (1D)
\end{array}
\right. $$ 


\end{document}
