\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 14
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning torsdag 21. og fredag 22. april


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{los14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ La oss tenke oss sylinderformede stavmagneter. En slik magnet kan
da oppfattes som et str{\o}mf{\o}rende sylinderskall (dorull!), eventuelt
tettliggende str{\o}mf{\o}rende ringer. Vi ser n{\aa} p{\aa} den magnetiske
kraften som virker p{\aa} en slik ring i magnetfeltet fra den andre
stavmagneten:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{los14_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Kraften $d\bold{F}$ p{\aa} et lite element $d\bold{l}$ av ringen
som f{\o}rer en str{\o}m $I_m$ er i magnetfeltet $\bold{B}$ gitt ved
$$d\bold{F} = I_m d\bold{l} \times \bold{B}$$
To slike er tegnet inn p{\aa} figuren over. Vi ser at av symmetrigrunner
m{\aa} nettokraften p{\aa} en slik ring bli rettet mot venstre. Det samme
argumentet gjelder for alle ringene som utgj{\o}r hele stavmagneten,
alts{\aa} f{\aa}r vi en {\em tiltrekning} mellom magnetene.

\noindent
En plassering med S mot S, evt N mot N, tilsvarer at vi snur str{\o}mretningen
i ringen i figuren over. Da m{\aa} vi ogs{\aa} snu retningen p{\aa} alle
kraftbidragene $d\bold{F}$ slik at total netto kraft p{\aa} magneten blir
rettet mot h{\o}yre, dvs {\em frast{\o}tning}.


\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Ei umagnetisk st{\aa}lkule inneholder et stort antall ferromagnetiske
{\em domener}, der atom{\ae}re magnetiske dipoler innenfor et gitt domene
peker i samme retning, slik at magnetiseringen $\bold{M}_d$ i domenet blir
forskjellig fra null. Uten et ytre magnetfelt vil imidlertid $\bold{M}_d$
i ulike domener peke i alle mulige retninger, slik at den totale magnetiseringen
i kula blir lik null. N{\aa}r kula kommer inn i magnetfeltet fra stavmagneten,
blir de atom{\ae}re magnetiske dipolene rettet inn langs det ytre feltet, slik
at hele kula f{\aa}r en magnetisering $\bold{M}_k$ i samme retning som
magnetens akse. Da har vi essensielt samme situasjon som i punkt $b)$ og kan
tilskrive kula en magnetiseringsstr{\o}m i overflaten, p{\aa} samme m{\aa}te
som vi gjorde med stavmagneten. Vi f{\aa}r dermed en tiltrekkende kraft mellom
stavmagneten og st{\aa}lkula.

\noindent
Det spiller ingen rolle om vi plasserer kula ved magnetens S- eller N-pol.
Uansett vil kulas magnetiske dipoler rettes inn langs det p{\aa}trykte
feltet og gi en netto magnetisering og tilh{\o}rende magnetiseringsstr{\o}m
i overflaten med retning slik at nettokraften blir inn mot magneten (dvs inn
mot der vi har det sterkeste feltet.


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Vi har brukt Amperes lov i forelesningene til {\aa} regne ut magnetfeltet
inne i en slik lang spole:
$$B = \mu_0 n I_1 = \mu_0 \frac{N_1}{d} I_1$$
{\em En} vikling av spoletr{\aa}den omslutter et areal $A = \pi R^2$, og dermed
en magnetisk fluks
$$\phi = B A = \mu_0 \frac{N_1}{d} I_1 \pi R^2$$
Da m{\aa} $N_1$ viklinger omslutte en fluks som er $N_1$ ganger s{\aa} stor,
for her er jo magnetfeltet konstant overalt inne i spolen. Alts{\aa}:
$$\phi_1 = N_1 \phi = \mu_0 \frac{N_1^2}{d} I_1 \pi R^2$$
En vikling av spole 2 omslutter her akkurat det samme arealet, og dermed
like stor fluks $\phi$, slik at $N_2$ viklinger av spole 2 m{\aa} omslutte
en total magnetisk fluks lik
$$\phi_2 = N_2 \phi = \mu_0 \frac{N_1 N_2}{d} I_1 \pi R^2$$
 
\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Selvinduktansen $L$ blir
$$L = \frac{\phi_1}{I_1} = \mu_0 \frac{N_1^2}{d}\pi R^2$$
 
\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Gjensidig induktans $M$ blir
$$M = \frac{\phi_2}{I_1} = \mu_0 \frac{N_1 N_2}{d}\pi R^2$$
 
\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ Tallverdier:
$$L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{1200^2}{0.6} \cdot \pi \cdot 0.01^2 =
9.5 \cdot 10^{-4}$$
$$M = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{1200 \cdot 600}{0.6} \cdot \pi \cdot 0.01^2 =
4.7 \cdot 10^{-4}$$
I SI-systemet har induktans f{\aa}tt sin egen enhet, henry (H). Her blir alts{\aa}
selvinduktansen 0.95 mH og den gjensidige induktansen 0.47 mH. Alternativt kunne
vi f.eks. ha brukt enheten T m$^2$/A, ettersom magnetisk fluks m{\aa} ha enheten
til magnetfelt ganger areal, dvs T m$^2$.


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vi m{\aa} her bestemme i hvilke posisjoner $\pm x_0$ vi har viklinger som gir
null $x$-komponent for $\bold{B}_{\rm dipol}$. Viklingene p{\aa} intervallet
$(-x_0,x_0)$ vil da v{\ae}re de som bidrar med negativ $x$-komponent til $\bold{B}$.

\noindent
Fra den oppgitte formelen og figuren i oppgaveteksten f{\aa}r vi:
\begin{eqnarray}
3 \left(\bold{m} \cdot \hat{r} \right) \hat{r} - \bold{m} &=&
3 \left( m\,\hat{x}\cdot\left(\frac{x}{r}\hat{x}+\frac{y}{r}\hat{y}\right)\right)
\left(\frac{x}{r}\hat{x}+\frac{y}{r}\hat{y}\right) - m\hat{x} \nonumber \\
&=& 3m\frac{x}{r}\frac{x}{r}\hat{x} + 3m\frac{x}{r}\frac{y}{r}\hat{y}-m\hat{x} \nonumber \\
&=& \left(3\frac{x^2}{r^2} - 1 \right) m\hat{x} + 3\frac{xy}{r^2}m\hat{y} \nonumber
\end{eqnarray}
Vi har her uttrykt $\hat{r}$ i kartesiske komponenter, dvs $\hat{r} = \cos\theta \, \hat{x} +
\sin\theta \, \hat{y} = (x/r) \, \hat{x} + (y/r) \, \hat{y}$, der $\theta$ er vinkelen mellom
$\bold{m}$ og $\hat{r}$.

\noindent
Alts{\aa} null $x$-komponent n{\aa}r
$$3\frac{x^2}{r^2} - 1 = 0$$
og ettersom $r^2 = x^2+y^2$, finner vi
$$x_0 = y/\sqrt{2}$$
P{\aa} lengden $2x_0 = \sqrt{2}y = 0.707$ m har vi 707 viklinger.

\end{document}
