\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 4
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Mandag 9. februar og fredag 13. (evt 6.) februar

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 13. februar kl 12.00

\vspace{1.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.4in \epsfbox{ov4_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{1.3cm}
\noindent
I forrige {\o}ving betraktet vi en elektrisk dipol, best{\aa}ende av to
punktladninger $\pm q$ lokalisert p{\aa} $z$-aksen i $z = \pm a/2$. Vi regnet ut 
det eksakte potensialet $V_e(x,z)$ og fant
$$V_e(x,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z-a/2\right)^2}} -
\frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z+a/2\right)^2}} \right)$$
Deretter viste vi at potensialet i stor avstand fra dipolen ($r \gg a$) blir tiln{\ae}rmet lik
(indeks $a$ for ''approximately'')
$$V_a(r,\theta) = \frac{qa\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
Her er $r$ avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, og $\theta$ er vinkelen
mellom $z$-aksen og $\bold{r}$. (Dipolmomentet er $p=qa$.)

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ I denne f{\o}rste deloppgaven skal vi visualisere dipolpotensialet og sammenligne det tiln{\ae}rmede
uttrykket $V_a$ med det eksakte uttrykket $V_e$. Dette kan vi gj{\o}re ved {\aa}
skrive et program i Octave (eller MatLab) som regner ut differansen, eller kanskje like gjerne
det prosentvise avviket $\Delta = 100 \cdot |(V_e - V_a)/V_e|$ mellom det eksakte
og det tiln{\ae}rmede uttrykket gitt ovenfor, og som plotter $V_e(x,z)$, $V_a(x,z)$ og 
''feilen'' $\Delta(x,z)$ i tre forskjellige figurer. 

\vspace{0.3cm}
\noindent
Noen tips og kommentarer:
\begin{itemize}
\item
Konverter f{\o}rst $V_a(r,\theta)$ til $V_a(x,z)$.
\item
Vurder om du skal plotte potensialene i SI-enhet (V) som funksjon av $x$ og $z$ i en
passende enhet, {\em eller} om du skal skrive om uttrykkene for $V_e$ og $V_a$ og plotte
dimensjonsl{\o}se potensialer som funksjon av dimensjonsl{\o}se koordinater.
\item
Finn et fornuftig omr{\aa}de i $(x,z)$-planet for plottene dine.
\item
Det kan v{\ae}re lurt {\aa} begrense ogs{\aa} ''funksjonsaksen'' i plottene dine, da
potensialet bl{\aa}ser opp i n{\ae}rheten av ladningene.
\item
Noen kommandoer og funksjoner som du kan f{\aa} bruk for: linspace, meshgrid, mesh, axis, caxis, figure,
xlabel, ylabel, zlabel. Let opp dokumentasjon for hjelp til {\aa} bruke disse. (Google 
for eksempel gnu octave manual (for Octave) eller mathworks matlab manual (for MatLab).)
\item
Det viktigste poenget med denne oppgaven er {\aa} f{\aa} litt trening i {\aa} bruke programmering
i tilknytning til det {\aa} jobbe med fysikk. Du vil f{\aa} flere anledninger senere. 
\end{itemize}



%\newpage
\vspace{1.0cm}
\noindent
$b)$ Tilbake til papir og blyant! Ta utgangspunkt i det tiln{\ae}rmede uttrykket 
$V_a(r,\theta)$ og bestem det elektriske feltet
$\bold{E}(r,\theta) = E_r \hat{r} + E_\theta \hat{\theta}$ i stor avstand fra dipolen.

\noindent
Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er
$$\nabla = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} +
\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$$

\noindent
[Fasit: $E_r=p\cos\theta/2\pi\varepsilon_0 r^3$, $E_\theta=p\sin\theta/4\pi\varepsilon_0 r^3$.]

\noindent
Kontroller om disse uttrykkene er fornuftige for $\theta = 0$ og for $\theta = \pi/2$. Hva med $r = 0$?

\vspace{0.8cm}
\noindent
$c)$ P{\aa} grunn av rotasjonssymmetrien omkring $z$-aksen kan vi f.eks. anta at vi
befinner oss i $xz$-planet.
Bestem det elektriske feltet $\bold{E}(x,z) = E_x\hat{x}+E_z\hat{z}$ uttrykt i kartesiske
koordinater for $r \gg a$. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for $E_r$ og $E_\theta$ i punkt $b)$.
Tegn gjerne opp en figur og finn p{\aa} den m{\aa}ten sammenhengen mellom 
koordinatene $(x,z)$ og $(r,\theta)$, og feltkomponentene $E_x, E_z$ og $E_r, E_\theta$.

\noindent
[Fasit: $E_x=3pxz/4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}$, $E_z=p(2z^2-x^2)/4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}$.]

\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ En {\em ideell elektrisk dipol} tilsvarer (formelt) at vi lar avstanden $a$ mellom $q$ og $-q$
g{\aa} mot null, uten at dipolmomentet $p = qa$ forsvinner. Det inneb{\ae}rer at vi m{\aa} la
$q \rightarrow \infty$ og $a \rightarrow 0$ samtidig, og p{\aa} en slik m{\aa}te at produktet
$p = qa$ blir endelig (dvs verken null eller uendelig). I {\em praksis} tilsvarer dette at vi befinner
oss i stor avstand $r$ fra dipolen, slik vi nettopp har gjort i denne oppgaven.

\noindent
Det elektriske feltet fra en slik ideell elektrisk dipol kan skrives p{\aa} s{\aa}kalt
{\em koordinatfri form}:
$$\bold{E}_{\rm dipol}(\bold{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}
\left[ 3 \left( \bold{p} \cdot \hat{r} \right) \hat{r} - \bold{p} \right]$$
Vis at dette uttrykket er i samsvar med $\bold{E}(r,\theta)$ og $\bold{E}(x,z)$ som du
regnet ut i hhv $b)$ og $c)$.



\vspace{2cm}
\noindent
{\em Oppgave 2 (fra tidligere midtsemesterpr{\o}ver)}

\vspace{0.6cm}
\noindent
$a)$ Fire punktladninger, to positive og to negative
($q = 9 \; \mu$C), er plassert i hj{\o}rnene p{\aa} et kvadrat med sidekanter
5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi?

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  19 J \\
B &  Null \\
C &  -7 J \\
D &  -38 J
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{mid3_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{1.2cm}
\noindent
$b)$ To punktladninger $Q_1 = 69$ nC og $Q_2 = -98$ nC er plassert i $xy$-planet,
som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor
endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi?
("Systemet" = de to punktladningene og elektronet.)
(1 eV = $1.6 \cdot 10^{-19}$ J)

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  -1 keV \\
B &  -1 eV \\
C &  1 eV  \\
D &  1 keV
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.2in \epsfbox{mid3_fig6.eps}}
%%END FIGURE
}


\newpage
\vspace{0.4cm}
\noindent
$c)$ Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate p{\aa}
50 V med en punktladning $10$ nC i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna.

\begin{tabular}{cl}
A & 1.3 m \\
B & 1.8 m \\
C & 3.2 m \\
D & 5.0 m
\end{tabular}


%%\newpage
\vspace{1.2cm}
\noindent
$d)$ Hvis potensialet $V$ som funksjon av avstanden $r$ fra en ladningsfordeling er
som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet $E$
som funksjon av avstanden $r$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  2 \\
B &  3 \\
C &  4 \\
D &  5
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{mid1_fig7.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{1.2cm}
\noindent
$e)$ Potensialet i et omr{\aa}de er
$$V(x,y,z) = (2 \;{\rm V/m}) x + (3 \;{\rm V/m}) y + (4 \;{\rm V/m}) z$$
Da er $x$-komponenten av det elektriske feltet i dette omr{\aa}det

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & --2 V/m \\
B & --3 V/m \\
C & --4 V/m \\
D & --9 V/m
\end{tabular}



\end{document}
