\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 11
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Dette systemet kan oppfattes som en seriekobling av tre motstander:
de to 60 cm lange Cu--ledningene og motstanden $R = 20 \; \Omega$.
Motstanden til Cu--ledningene blir
$$R_C = \frac{l}{\sigma A} =
\cdot \frac{1.20{\rm m}}{5.8\cdot10^7\;\Omega^{-1}{\rm m}^{-1}\cdot
2\cdot10^{-6}{\rm m}^2} = 0.01\;\Omega$$
Samme str{\o}mstyrke $I$ g{\aa}r gjennom hele systemet. Den er
$$I = \frac{V}{R+R_C} = \frac{1.5\;{\rm V}}{20.01\;\Omega} =
0.07496\;{\rm A} \simeq 0.075\;{\rm A}$$
if{\o}lge Ohms lov. Vi f{\aa}r dermed spenningsfallene
$$V_R = RI = 20\;\Omega \cdot 0.075\;{\rm A} \simeq 1.5\;{\rm V}$$
over motstanden $R$ og
$$V_C = R_C I = 0.01\;\Omega \cdot 0.075\;{\rm A} = 0.00075\;{\rm V}$$
over de to Cu--ledningene tilsammen. Konklusjon: Neglisjerbart spenningsfall
i de to Cu--ledningene.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Str{\o}mstyrken $I$ beregnet vi under punkt $a)$. Utviklet
effekt i motstanden $R$ blir
$$P = V_R I = 1.5\;{\rm V} \cdot 0.075\;{\rm A} =
0.1125\;{\rm W} \simeq 0.11\;{\rm W}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Her m{\aa} vi bestemme tettheten av frie elektroner $n$. Deretter
kan vi bruke $I = j \cdot A = n e v A$ til {\aa} beregne midlere
driftshastighet $v$.
\noindent
I Cu har vi 8960 kg pr m$^3$. Dette tilsvarer 8960/0.06354 mol =
141014 mol = 141014 $\cdot 6.02\cdot10^{23}$ atomer = $8.49\cdot10^{28}$
atomer, og da like mange frie elektroner, med antagelsen ett fritt elektron
pr atom Cu. Midlere driftshastighet blir
$$v = \frac{I}{neA} = \frac{0.075}{8.49\cdot10^{28}\cdot1.6\cdot10^{-19}
\cdot2\cdot10^{-6}} = 2.76\cdot10^{-6} \; {\rm m/s} = 2.76 \mu{\rm m/s}$$
Midlere termiske hastighet for elektronene ansl{\aa}r vi ved {\aa}
sette kinetisk energi lik termisk energi:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}mv^2 &=& \frac{3}{2}k_B T \nonumber \\
\Rightarrow v &=& \sqrt{\frac{3k_B T}{m}} \simeq 10^5 \; {\rm m/s} \nonumber
\end{eqnarray}
Her er $k_B = 1.38\cdot10^{-23}$ J/K Boltzmanns konstant. Vi ser at midlere
driftshastighet er ca 11 st{\o}rrelsesordener mindre enn midlere termiske
hastighet. Det tar alts{\aa} mange timer for et gitt elektron {\aa} komme
seg fra den ene til den andre siden av systemet v{\aa}rt!


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ F{\o}rst er det en fordel {\aa} innse at vi her har [en parallellkobling
av $R_1$, $R_2$ og $R_3$] i serie med [en parallellkobling av $R_4$ og $R_0 = 0$]
i serie med [$R_5$]. Motstanden $R_4$ er med andre ord ''kortsluttet'', slik at
det ikke vil g{\aa} noen str{\o}m gjennom $R_4$. 
(Sagt p{\aa} en annen m{\aa}te: Vi har samme potensial p{\aa} hver side av $R_4$,
men da kan det heller ikke g{\aa} noen str{\o}m gjennom denne motstanden.)
Total motstand blir dermed
$$R = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right)^{-1} + R_5$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Det er vel klart at den totale str{\o}mmen $I$ m{\aa} bli den samme som str{\o}mmen
$I_5$ gjennom $R_5$. Dessuten er det klart at $I$ m{\aa} fordele seg p{\aa} de 3 str{\o}mmene
gjennom $R_1$, $R_2$ og $R_3$: $I = I_1 + I_2 + I_3$. Vi har i punkt $a)$ allerede konkludert
med at det ikke vil g{\aa} noen str{\o}m gjennom $R_4$: $I_4 = 0$.

\noindent
Spenningsfallet over de tre {\o}verste motstandene er det samme:
$$V' = R_1 I_1 = R_2 I_2 = R_3 I_3$$
Spenningsfallet over $R_5$ blir
$$V'' = R_5 I_5 = R_5 I = R_5 \frac{\cal E}{R}$$
Disse to m{\aa} tilsammen utgj{\o}re den p{\aa}trykte spenningen:
$${\cal E} = V' + V''$$
Dermed er
$$V' = {\cal E} - V'' = {\cal E} - R_5 \frac{\cal E}{R} = {\cal E} \left(1 - \frac{R_5}{R} \right)$$
Dessuten:
$$I_1 = \frac{V'}{R_1}$$
$$I_2 = \frac{V'}{R_2}$$
$$I_3 = \frac{V'}{R_3}$$


\newpage
%\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Kondensatoren vil lades ut ved at elektroner str{\o}mmer fra den negativt ladete siden (''platen'')
gjennom motstanden til den positivt ladete platen. Med andre ord, en positiv str{\o}m
vil g{\aa} gjennom $R$, fra positivt ladet plate.

%%FIGURE
\vspace{0.8cm}
\centerline{\epsfxsize=2.4in \epsfbox{los11_utladning.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
I figuren er $I$ tegnet med retning mot positiv plate, til tross for at vi ble enige om
at positiv $I$ g{\aa}r andre veien. Det skyldes at jeg foretrekker {\aa} beholde
sammenhengen
$$I = + \frac{dQ}{dt}$$
(og ikke med omvendt fortegn). Kirchhoffs spenningsregel gir
$$-RI - \frac{Q}{C} = 0$$
dvs
$$\frac{dQ}{Q} = -\frac{dt}{RC}$$
Integrasjon p{\aa} begge sider gir
$$Q = k e^{-t/RC}$$
og startbetingelsen $Q(0) = Q_0$ fastlegger integrasjonskonstanten $k$:
$$Q_0 = k e^0 = k$$
slik at
$$Q(t) = Q_0 e^{-t/RC}$$
Str{\o}mmen blir dermed
$$I(t) = \frac{dQ}{dt} = -\frac{Q_0}{RC} e^{-t/RC}$$
Som ventet med et minustegn, slik at positiv $I$ g{\aa}r mot klokka i figuren ovenfor.


\newpage
%\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Kirchhoffs spenningsregel (K2) gir
$$\ems = \frac{Q}{C}$$
Dessuten har vi
$$I = \frac{dQ}{dt}$$
Dermed:
$$Q(t) = V_0 C \cos\omega t$$
og
$$I(t) = \dot{Q} = -V_0 \omega C \sin\omega t$$
Skisse av $\ems(t)$ (i figuren $V(t)$, heltrukken linje) og $I(t)$ mellom $t=0$ og $t=T=2\pi/\omega$:

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{EC-skisse.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi ser at p{\aa}trykt spenning $\ems(t)$ og resulterende str{\o}m $I(t)$ i kretsen
ikke er maksimale, null etc ved de samme tidspunkter. Vi sier at vi har
en {\em faseforskyvning} mellom $\ems(t)$ og $I(t)$. For denne enkle kretsen, med
kun en kondensator, ser vi at $I$ er null n{\aa}r $\ems$ er maksimal, og omvendt.
Alts{\aa} er de to st{\o}rrelsene faseforskj{\o}vet med $\pi/2$. Dette ser vi
kanskje klarest dersom vi skriver $I$ p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \cos(\omega t - \alpha)$$
Vi har at
$$-\sin\omega t = \cos(\omega t + \pi/2)$$
Dermed ser vi at $I_0 = V_0 \omega C$ og $\alpha = -\pi/2$. Impedansen til
denne enkle kretsen, dvs en enkelt kondensator med kapasitans $C$, blir
$$Z_C(\omega) = \frac{V_0}{I_0} = \frac{1}{\omega C}$$
Legg merke til at impedansen {\o}ker n{\aa}r (vinkel-)frekvensen blir mindre.
I grensen $\omega \rightarrow 0$ g{\aa}r $Z_C$ mot uendelig, som rimelig er:
Ingen likestr{\o}m gjennom en kondensator. I den andre grensen,
$\omega \rightarrow \infty$, g{\aa}r $Z_C$ mot null, hvilket heller ikke er
urimelig: Ladningen p{\aa} en gitt plate svinger mellom $+V_0 C$ og $-V_0 C$,
uavhengig av hva frekvensen er. N{\aa}r frekvensen {\o}kes, {\o}ker str{\o}mmen
i kretsen simpelthen proporsjonalt med frekvensen. (Vi skal senere se hvordan
magnetfeltet kommer inn og hindrer str{\o}mmen i en slik krets {\aa} vokse over
alle grenser.)


\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Kirchhoffs spenningsregel (K2) gir
$$\ems = \frac{Q}{C} = R I_R$$
mens Kirchhoffs str{\o}mregel (K1) gir
$$I = I_C + I_R$$
Dessuten har vi
$$I_C = \frac{dQ}{dt}$$
Dermed:
\begin{eqnarray}
I_R(t) &=& \frac{V_0}{R} \, \cos\omega t \nonumber \\
Q(t) &=& V_0 C \, \cos\omega t \nonumber \\
I_C(t) &=& -\omega C V_0 \, \sin\omega t = \omega C V_0 \, \cos(\omega t +\pi/2) \nonumber
\end{eqnarray}
Total str{\o}m levert av spenningskilden blir dermed
$$I(t) = \frac{V_0}{R} \, \cos\omega t - \omega C V_0 \, \sin\omega t$$
Vi {\o}nsker {\aa} ha $I(t)$ p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \, \cos(\omega t - \alpha)$$
med amplitude $I_0 = V_0/Z$, der $Z$ er impedansen til parallellkoblingen av $R$ og $C$, mens
$\alpha$ blir fasevinkelen, dvs faseforskyvningen mellom $\ems(t)$ og $I(t)$. Vi har
$$\cos(\omega t - \alpha) = \cos\omega t \, \cos\alpha + \sin\omega t \, \sin\alpha$$
Dermed, ved direkte sammenligning:
\begin{eqnarray}
\frac{\cos\alpha}{Z} &=& \frac{1}{R} \nonumber \\
\frac{\sin\alpha}{Z} &=& -\omega C \nonumber
\end{eqnarray}
Disse to ligningene, med to ukjente $Z$ og $\alpha$, l{\o}ses lett, og vi finner
\begin{eqnarray}
Z &=& \frac{R}{\sqrt{1 + (\omega R C)^2}} \nonumber \\
I_0 &=& \frac{V_0}{R} \, \sqrt{1 + (\omega R C)^2} \nonumber \\
\alpha &=& -\arctan(\omega RC) \nonumber
\end{eqnarray}
I grensen $\omega \rightarrow 0$ b{\o}r vi gjenfinne ''velkjente'' resultater fra
likespenningseksemplene i forelesningene, og det gj{\o}r vi: $Z \rightarrow R$ og $\alpha \rightarrow 0$
slik at $I_0 \rightarrow V_0/R$. All str{\o}m g{\aa}r gjennom motstanden $R$, mens kapasitansen
$C$ n{\aa} representerer en {\aa}pen krets der det ikke g{\aa}r noen likestr{\o}m.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med de oppgitte tallverdiene har vi
$$\omega RC = 2\pi \cdot 10^6 \cdot 10 \cdot 16 \cdot 10^{-9} = 1.0$$
slik at
\begin{eqnarray}
I_0 &=& \frac{1.0}{10} \cdot \sqrt{2} = 0.14 \; {\rm A} \nonumber \\
\alpha &=& - \arctan 1.0 = -45^\circ \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Skisse av $\ems(t)$, $I(t)$, $I_R(t)$ og $I_C(t)$:

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=5.5in \epsfbox{los12_skisse_1.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE

\newpage
\noindent
Legg merke til at $I_R$ svinger i fase med $\ems$, mens $I_C$ er
faseforskj{\o}vet $\pi/2$ i forhold til $\ems$. Faseforskyvningen mellom
$\ems$ og total str{\o}m $I = I_R + I_C$ blir med de aktuelle tallverdiene
liggende midt mellom, dvs 45 grader.


%\newpage
\vspace{1.5cm}
\noindent
Skisse av $\alpha$, $I_0$ og $Z$ (med $\alpha$ i radianer og
$\omega RC$ mellom 0.016 og 160 langs horisontal akse):

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{los12_skisse_2.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE

\noindent
Legg merke til at faseforskyvningen $\alpha$ mellom p{\aa}trykt spenning $\ems$ og
total str{\o}m $I$ er omtrent lik null for lave frekvenser. Da g{\aa}r det meste av
str{\o}mmen gjennom motstanden ($I \simeq I_R$), og kretsen oppf{\o}rer seg omtrent
som den ville ha gjort uten kapasitansen til stede. For h{\o}ye frekvenser blir
$\alpha$ omtrent lik -90 grader. Da g{\aa}r det meste av str{\o}mmen i ''grenen''
med kondensatoren ($I \simeq I_C$), og kretsen oppf{\o}rer seg omtrent som den
ville ha gjort uten motstanden til stede.

\noindent
For lave frekvenser blir dermed str{\o}mamplituden $I_0$ omtrent konstant, dvs uavhengig
av frekvensen, mens for h{\o}ye frekvenser {\o}ker $I_0$ proporsjonalt med frekvensen.

\noindent
Vi ser at overgangen mellom ''lave'' og ''h{\o}ye'' frekvenser skjer der
$\omega \simeq 1/RC = 1/\tau$, der $\tau$ er tidskonstanten for en slik $RC$-krets.



\newpage
%\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 5}

\vspace{0.2cm}
\noindent
1. Hele omr{\aa}det mellom $r=a$ og $r=b$ kan oppfattes som en seriekobling
av motstander $dR$, der hver motstand er et tynt kuleskall med radius $r$ og tykkelse $dr$:
$$dR = \frac{\rho\;dr}{4\pi r^2}$$
Hele motstanden finner vi ved {\aa} legge sammen enkeltmotstandene, dvs ved
{\aa} integrere fra $r=a$ til $r=b$:
\begin{eqnarray}
R &=& \int dR \nonumber \\
&=& \int_a^b \frac{\rho\;dr}{4\pi r^2} \nonumber \\
&=& \frac{\rho}{4\pi} |_a^b \left(-\frac{1}{r}\right) \nonumber \\
&=& \frac{\rho}{4\pi}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \nonumber
\end{eqnarray}


\vspace{0.2cm}
\noindent
2. Det oppgitte uttrykket for str{\o}mstyrken $I$ viser at vi her kan
bruke Gauss' lov for det elektriske feltet til {\aa} bestemme $I$:
$$I = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
Vi m{\aa} her forutsette at ladningen som kommer inn p{\aa} den innerste
lederen umiddelbart fordeler seg jevnt over kuleflaten ved $r=a$ f{\o}r den starter
sin vandring gjennom materialet mellom $r=a$ og $r=b$.

\noindent
Potensialforskjellen mellom indre og ytre lederskall bestemmes enkelt
ettersom vi kjenner feltet $\bold{E}$:
\begin{eqnarray}
\Delta V &=& V_a - V_b \nonumber \\
&=& - \int_b^a E(r)\; dr \nonumber \\
&=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} |_b^a \frac{1}{r} \nonumber \\
&=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
Av disse uttrykkene f{\o}lger det at motstanden er
$$R = \frac{\Delta V}{I} = \frac{\rho}{4\pi}
\left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$$



\end{document}
