\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 15
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Uke 17

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 30. april

\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}


%%FIGURE
\vspace{0.8cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov14_fig5.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
En sylinderformet jernstav med relativ permeabilitet $\mu_r = 2000$ er plassert koaksialt inne i
en spole, men fyller bare delvis volumet inne i spolen. Spolen har en viklingstetthet
$n = 2000$ m$^{-1}$ og str{\o}mmen i spoletr{\aa}den er $I = 3$ A. Vi antar at b{\aa}de spolen
og jernstaven er s{\aa} lange at vi kan se bort fra randeffekter.

\noindent
Anta i f{\o}rste omgang at vi har line{\ae}r respons i jernstaven, dvs $\bold{M} = \chi_m \bold{H}$, og
bestem $\bold{H}$, $\bold{B}$ og $\bold{M}$ inne i spolen, b{\aa}de inne i (indeks j) og utenfor
(indeks 0) jernstaven. (Husk at $H$-feltet bestemmes av ``fri'' str{\o}m, mens $B$ bestemmes av total str{\o}m.)

\noindent
Diskuter den beregnede verdien p{\aa} $M_j$ inne i jernstaven i lys av {\em metningsmagnetiseringen}
i jern, dvs den maksimalt oppn{\aa}elige magnetiseringen, som du regnet ut i oppgave 1d i {\o}ving 14.
Beregn deretter korrigert (maksimal) verdi for $B_j$.


\vspace{0.3cm}
\noindent
Oppgitt:
$$\bold{B} = \mu_0 \left( \bold{H} + \bold{M} \right) = \mu_r \mu_0 \bold{H} = \mu \bold{H}$$
$$\bold{M} = \chi_m \bold{H} = (\mu_r - 1) \bold{H}$$
(Siste linje er bare gyldig n{\aa}r vi har line{\ae}r respons.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Et par tallsvar: $B_j = 15$ T (``ukorrigert''), $B_j = 2$ T (``korrigert'').


%\vspace{1.3cm}
\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Figuren viser to spoler 1 og 2 som begge er viklet opp p{\aa}
en sylinder med radius $R$. Vi antar at sylinderen
har magnetiske egenskaper som vakuum, dvs vi ser bort fra en
eventuell magnetisering i sylinderen. Spole 1 har $N_1$ viklinger,
spole 2 har $N_2$ viklinger. Begge spolene er viklet opp p{\aa}
en lengde $d$ som er (tiln{\ae}rmet uendelig) lang i forhold til
sylinderens radius. (Figuren er s{\aa}nn sett ikke kvantitativt riktig...!)
Du kan anta at begge spoler er tett
viklet, og at hver vikling i begge spoler omslutter samme magnetiske
fluks. (Spoletr{\aa}dene er belagt med et isolerende materiale, f.eks.
et lag plast, slik at en eventuell elektrisk str{\o}m er n{\o}dt til
{\aa} f{\o}lge spoletr{\aa}den. Denne antagelsen er for{\o}vrig
underforst{\aa}tt i alle slike oppgaver med spoler.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Anta at det g{\aa}r en str{\o}m $I_1$ i spole 1. Hva blir da
styrken p{\aa} magnetfeltet $B$ inne i spolen?  Hva blir videre
{\em total} magnetisk fluks $\phi_1$ som omsluttes av {\em hele} spoletr{\aa}den
i spole 1 (dvs alle de $N_1$ viklingene)? Hva blir total magnetisk fluks $\phi_2$ som omsluttes
av {\em hele} spoletr{\aa}den i spole 2 (igjen: alle de $N_2$ viklingene)?
(Merk: Det g{\aa}r alts{\aa} ingen str{\o}m i spole 2. Str{\o}mmen i spole 1
kan vi lage f.eks. ved {\aa} koble den til et batteri og en motstand.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Forholdet mellom total omsluttet magnetisk fluks $\phi_1$ og
str{\o}mstyrken $I_1$ i str{\o}msl{\o}yfa "selv" er, pr definisjon,
en st{\o}rrelse som kalles for str{\o}msl{\o}yfas {\em selvinduktans} $L$:
$$L = \frac{\phi_1}{I_1}$$
Hva blir dermed selvinduktansen $L$ til en slik lang sylinderformet
spole med radius $R$, lengde $d$ og $N_1$ viklinger?

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Forholdet mellom total magnetisk fluks $\phi_2$ som omsluttes
av spole 2 og str{\o}mstyrken $I_1$ i spole 1 er, pr definisjon,
en st{\o}rrelse som kalles for {\em gjensidig induktans} $M$ mellom
de to str{\o}msl{\o}yfene:
$$M = \frac{\phi_2}{I_1}$$ 
Hva blir dermed den gjensidige induktansen $M$ mellom to slike lange
sylinderformede spoler, begge viklet opp p{\aa} en sylinder med
radius $R$ over en lengde $d$, og med henholdsvis $N_1$ og
$N_2$ viklinger?

\vspace{0.5cm}
\noindent
$d)$ Bestem tallverdier for $L$ og $M$ (i SI-enheter) dersom $R=1$ cm,
$d=60$ cm, $N_1 = 1200$ og $N_2 = 600$. 

\noindent
(Svar: $L = 9.5 \cdot 10^{-4}$, $M = 4.7 \cdot 10^{-4}$)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Kommentar: Vi skal komme tilbake til gjensidig induktans og selvinduktans
i de siste forelesningene og se hvorfor dette er "nyttige" st{\o}rrelser
i endel sammenhenger.


\vspace{2cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Grenseflatebetingelser for $\bold{E}$ og $\bold{B}$:

\vspace{0.2cm}
\noindent
La oss se litt p{\aa} hvordan det elektriske feltet og magnetfeltet "oppf{\o}rer seg"
n{\aa}r vi krysser en {\em grenseflate}. Med grenseflate
mener vi ikke annet enn en flate som deler rommet i omr{\aa}dene 1 ("over") og 2 ("under").
Vi ser f{\o}rst p{\aa} det elektriske feltet:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov15_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Det elektriske feltet er {\em diskontinuerlig} dersom en slik grenseflate inneholder 
elektrisk ladning $\sigma$ pr flateenhet:
$$\bold{E}_1 - \bold{E}_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \;\hat{n} \;\;\;\;\;\;\; (*)$$
Her er $\bold{E}_1$ feltet i omr{\aa}de 1 like over flaten, $\bold{E}_2$ tilsvarende
i omr{\aa}de 2 like under flaten, mens $\hat{n}$ er en flatenormal (enhetsvektor)
med retning oppover.

\noindent
Du ser at ligningen $(*)$ er en kompakt m{\aa}te {\aa} uttrykke at {\em parallellkomponenten}
av $\bold{E}$ er kontinuerlig,
$$E_1^\parallel - E_2^\parallel = 0,$$
mens {\em normalkomponenten} er diskontinuerlig,
$$E_1^\perp - E_2^\perp = \frac{\sigma}{\varepsilon_0},$$
n{\aa}r vi krysser grenseflaten.

\newpage
\noindent
Vi ser deretter p{\aa} magnetfeltet:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov15_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Her st{\aa}r alts{\aa} grenseflaten normalt p{\aa} papirplanet.
Det magnetiske feltet er {\em diskontinuerlig} dersom det i en slik grenseflate
g{\aa}r en elektrisk str{\o}m $\bold{i}$ pr lengdeenhet:
$$\Delta \bold{B} = \mu_0 \; \bold{i} \times \hat{n}$$
Dette betyr at b{\aa}de $B_n$ og $B_{t\parallel}$ er kontinuerlige
ved kryssing av planet, mens $B_{t\perp}$ er diskontinuerlig med et "sprang" $\mu_0 i$.
Her har vi dekomponert tangentialkomponenten $B_t$ av $\bold{B}$
i en komponent parallelt med str{\o}mretningen, $B_{t\parallel}$, og en
komponent normalt til str{\o}mretningen, $B_{t\perp}$. 

\vspace{0.6cm}
\noindent
$a)$ Se p{\aa} tidligere {\o}vingsoppgaver og forelesningsnotatene dine
og finn et par eksempler der du kan kontrollere at disse grenseflatebetingelsene er oppfylt.

\vspace{1.0cm}
\noindent
Dersom "systemet" v{\aa}rt inneholder dielektriske og/eller magnetiserbare medier,
kan det tenkes at vi har grenseflater hvor vi vet hva {\em fri} ladning $\sigma_f$ pr
flateenhet og {\em fri} str{\o}m $\bold{i}_f$ pr lengdeenhet er. (Men vi kan kanskje
ikke s{\aa}nn uten videre si hva {\em total} ladning $\sigma$ pr flateenhet eller
{\em total} str{\o}m $\bold{i}$ pr lengdeenhet er.) Da m{\aa} vi i tillegg benytte
oss av f{\o}lgende grenseflatebetingelser for normalkomponenten $D_n$ til den elektriske
forskyvningen,
$$D_{1n} - D_{2n} = \sigma_f,$$
samt tangentialkomponenten $\bold{H}_t$ til $H$-feltet,
$$\Delta \bold{H}_t = \bold{i}_f \times \hat{n}$$

\newpage
\noindent
$b)$ La oss pr{\o}ve oss p{\aa} et par eksempler hvor vi m{\aa} bruke de ulike
grenseflatebetingelsene for {\aa} bestemme de aktuelle feltstyrkene: 

\noindent
Anta at vi har et uniformt elektrisk felt $\bold{E}_0 = E_0 \, \hat{z}$. I dette feltet plasserer vi
ei (alt i alt elektrisk n{\o}ytral) dielektrisk skive med tiln{\ae}rmet uendelig stor utstrekning i $x$- og
$y$-retning og tykkelse $h$ i $z$-retning. Med andre ord, skiva er plassert p{\aa}
tvers i det ytre feltet. Materialet i skiva har relativ permittivitet $\varepsilon_r$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov15_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Hva blir elektrisk forskyvning $\bold{D}_1$ og elektrisk felt $\bold{E}_1$ inne i
den dielektriske skiva? Gjenta med skiva p{\aa} {\em langs} i det ytre feltet! (Dvs:
Med uendelig utstrekning i $y$- og $z$-retning og tykkelse $h$ i $x$-retning.)

\noindent
Gj{\o}r deretter tilsvarende for ei uendelig stor {\em magnetiserbar} skive med
tykkelse $h$ og relativ permeabilitet $\mu_r$, henholdsvis p{\aa} tvers og p{\aa}
langs i et uniformt ytre magnetfelt $\bold{B}_0 = B_0 \, \hat{z}$. Dvs: Bestem
$\bold{H}_1$ og $\bold{B}_1$ inne i skiva.

\noindent
Synes du resultatet ble uventet i noen av tilfellene? Hvordan vil du forklare at du
f{\aa}r ulik elektrisk feltstyrke inne i den dielektriske skiva med skiva p{\aa} tvers
og p{\aa} langs i det ytre feltet? Og tilsvarende: Hvordan vil du forklare at du f{\aa}r
ulik magnetisk feltstyrke inne i den magnetiserbare skiva i de to tilfellene?


\end{document}
