\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke 5

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 29.01.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.8cm}
\noindent
{\bf Potensiell energi mellom punktladninger} 

\noindent
[FGT 24.1, 24.2; YF 23.1; TM 24.1; AF 21.9, 21.12; LHL 19.9; DJG 2.4]

\vspace{0.3cm}
\begin{itemize}
\item mellom to punktladninger i innbyrdes avstand $r_{12}$: $U_{12} = q_1 q_2/4\pi\varepsilon_0 r_{12}$
\item mellom flere punktladninger: $U = \sum_{i<j} U_{ij}$ (der summen over $i$ og $j$ g{\aa}r over alle
punktladningene i systemet, dog slik at $j$ hele tiden er st{\o}rre enn $i$, dvs summen g{\aa}r over
alle par av punktladninger)
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Energienheten elektronvolt: 1 eV = $1.6\cdot10^{-19}$ J = energiforskjellen til en
element{\ae}rladning n{\aa}r den flyttes mellom to posisjoner med en potensialforskjell 
p{\aa} 1 volt.

\vspace{1.2cm}

\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 30.01.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.6cm}
\noindent
{\bf Energibevarelse for ladete partikler i elektrisk felt} 

\noindent
[FGT 24.1; YF 23.1; AF 21.12; LHL 19.9]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Med {\em konservative} krefter er {\em total energi bevart}:
\begin{eqnarray}
T + U &=& \;\;\;{\rm konstant} \nonumber \\
T &=& \frac{1}{2}mv^2 = \;\;\;{\rm kinetisk}\;\;{\rm energi} \nonumber \\
U &=& qV = \;\;\;{\rm potensiell}\;\;{\rm energi} \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dersom partikkel med ladning $q$ og masse $m$ akselereres i elektrisk felt $\bold{E}$,
dvs gjennom potensialforskjell $\Delta V = V_2 - V_1$:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} m v_1^2 + q V_1 &=& \frac{1}{2} m v_2^2 + q V_2 \nonumber \\
\Rightarrow v_2^2 &=& v_1^2 + \frac{2q}{m} (V_1 - V_2) \nonumber \\
\Rightarrow v_2 &=& \sqrt{v_1^2 - \frac{2q \Delta V}{m}} = v_1 \sqrt{1 - \frac{2q \Delta V}{m v_1^2}} \nonumber
\end{eqnarray}
Her er $v_1$ partikkelens hastighet der potensialet er $V_1$ (``startpunkt'') og $v_2$ er
partikkelens hastighet der potensialet er $V_2$ (``sluttpunkt'').

\noindent
Dersom $q \Delta V < 0$ f{\aa}s $v_2 > v_1$, dvs (positiv) akselerasjon.

\noindent
Alts{\aa}:

\noindent
Negativ ladning akselereres i retning h{\o}yere potensial 

\noindent
Positiv ladning akselereres i retning lavere potensial 

\noindent
.... mens begge typer ladning selvsagt akselereres i retning lavere potensiell energi.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bevegelsen til en partikkel med masse $m$ og ladning $q$ i et elektrisk felt
er bestemt av Newtons 2. lov (= {\em bevegelsesligningen}):
$$\bold{F} = m\bold{a} = m\frac{d\bold{v}}{dt} = q\bold{E}$$
Dermed:
$$\bold{a} = \frac{q}{m}\bold{E}$$
Partikkel med positiv ladning akselereres langs $\bold{E}$.

\noindent
Partikkel med negativ ladning akselereres langs $-\bold{E}$.



\vspace{0.6cm}
\noindent
{\bf Ekvipotensialflater} 

\noindent
[FGT 24.3; YF 23.4; TM 23.5; AF 21.11; LHL 19.11; DJG 2.3.2]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ekvipotensialflater er flater i rommet med konstant potensial.

$$\Delta V = - \int \bold{E}\cdot d\bold{l} = 0$$
for {\em vilk{\aa}rlig} integrasjonsvei p{\aa} en ekvipotensialflate.

\noindent
Dermed:
$$\bold{E} \perp \;\; {\rm ekvipotensialflate}$$

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Beregning av $\bold{E}$ fra $V$} 

\noindent
[FGT 24.4; YF 23.5; TM 23.3; AF 21.10; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 1.2.2]

\vspace{0.3cm}
$$\bold{E} = - \nabla V$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gradientoperatoren $\nabla$:
\begin{eqnarray}
\nabla V &=& \frac{\partial V}{\partial x} \hat{x} +
\frac{\partial V}{\partial y} \hat{y} +
\frac{\partial V}{\partial z} \hat{z} \;\;{\rm (kartesiske}\;{\rm koordinater)} \nonumber \\
&=& \frac{\partial V}{\partial r}\hat{r} +
\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}\hat{\theta} +
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial\phi}\hat{\phi} \;\;{\rm (kulekoordinater)} \nonumber
\end{eqnarray}
(Det er ikke meningen at du skal g{\aa} rundt og huske p{\aa} hvordan gradientoperatoren
ser ut i kulekoordinater. Den vil bli oppgitt dersom det f.eks. skulle bli bruk for den til eksamen.)

\noindent
Hvis vi har kulesymmetri (dvs $\bold{E}$ og $V$ kun avhengig av $r$, ikke av vinklene $\theta$ og $\phi$):
$$\bold{E} = E(r)\hat{r} = -\frac{\partial V}{\partial r} \hat{r} $$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Betydning av gradientoperatoren} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
Vektoren $\nabla V$ peker i den retningen der $V$ {\o}ker raskest, dvs i den retningen der den
{\em retningsderiverte} til $V$ er st{\o}rst. Ettersom $\bold{E} = - \nabla V$, betyr det at
det elektriske feltet peker i den retningen der $V$ {\em avtar} raskest.

\noindent
Eksempel: Dersom en punktladning $q$ plasseres et sted der $\nabla V = 0$, blir den ikke
utsatt for noen elektrisk kraft, for da er $\bold{F} = q\bold{E} = -q\nabla V = 0$.

\end{document}
