\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 14
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning uke 16

\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Sl{\o}yfas magnetiske dipolmoment:
$$\bold{m} = IA\;\hat{n} = I a^2\;\hat{n}$$
Sl{\o}yfa best{\aa}r av 4 rette ledere med lengde $a$, der to og to
har str{\o}mmen g{\aa}ende i motsatt retning. Dermed blir den
magnetiske kraften
$$\bold{F} = I \int \;d\bold{l} \times \bold{B} = I \bold{L}\times\bold{B}$$
motsatt rettet, men like stor i absoluttverdi, for slike par av rette lederbiter.
Den totale kraften p{\aa} sl{\o}yfa blir dermed null. Noen detaljer er inkludert
i figuren:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los13_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi ser av figuren at kreftene fra magnetfeltet ville ha deformert
str{\o}msl{\o}yfa dersom det hadde v{\ae}rt en mulighet. For ei makroskopisk
str{\o}msl{\o}yfe er dette som regel en neglisjerbar effekt, men dersom
str{\o}msl{\o}yfa er en klassisk modell av et elektron i bane rundt en atomkjerne,
aner vi at {\em i tillegg} til en innretting av str{\o}msl{\o}yfa (som vi skal se p{\aa}
i resten av denne oppgaven), vil magnetfeltet p{\aa}virke selve banebevegelsen til
elektronet rundt kjernen. Med andre ord: Atomets magnetiske moment endres b{\aa}de
i {\em retning} og i {\em absoluttverdi}. F{\o}rstnevnte effekt er {\em paramagnetisme},
sistnevnte effekt er {\em diamagnetisme}. En klassisk modell av diamagnetisme ser vi
n{\ae}rmere p{\aa} i oppgave 3, her konsentrerer vi oss om orienteringen av $\bold{m}$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Av figuren over ser vi at de to str{\o}mmene som g{\aa}r parallelt med $xz$-planet
p{\aa}virkes av krefter i hhv positiv og negativ $y$-retning. Disse kreftene vil da
ikke bidra til dreiemomentet omkring $y$-aksen.

\noindent
Kreftene som virker p{\aa} str{\o}mmene som g{\aa}r parallelt med $y$-aksen gir tilsammen
et dreiemoment (se figuren nedenfor og ovenfor)

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los13_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\begin{eqnarray}
\bold{\tau} &=& \sum \bold{r}\times\bold{F} \nonumber \\
&=& - r_1 F_1 \sin\theta\;\hat{y} - r_2 F_2 \sin\theta\;\hat{y} \nonumber \\
&=& -2 \cdot \frac{a}{2} \cdot IaB \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& -Ia^2 \cdot B \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& -m \cdot B \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& \bold{m} \times \bold{B} \nonumber 
\end{eqnarray}
Skiftet av fortegn i siste linje skyldes av vi hadde valgt positiv vinkel $\theta$ mellom
$z$-aksen og $\hat{n}$, alts{\aa} mellom $\bold{B}$ og $\bold{m}$. Kryssproduktet
$\bold{m} \times \bold{B}$ er, pr definisjon, $m$ ganger $B$ ganger sinus til vinkelen
mellom $\bold{m}$ og $\bold{B}$, dvs $mB\sin(-\theta) = -mB\sin\theta$.


\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ I oppgave 4c i {\o}ving 6 hadde vi en {\em generell} sammenheng mellom dreiemoment $\tau$
og tilh{\o}rende potensiell energi $U$, nemlig at en rotasjon gjennom en vinkel $d\alpha$ under
p{\aa}virkning av et dreiemoment $\tau$ resulterer i en endring $dU$ i potensiell energi gitt
ved
$$dU = - \tau\;d\alpha$$
Denne sammenhengen er ikke avhengig av hvilken {\em type} krefter og dreiemoment
det handler om, og m{\aa} derfor gjelde like bra for v{\aa}r magnetiske dipol i et magnetfelt
som for den elektriske dipolen i et elektrisk felt i {\o}ving 6. F{\o}lgelig:
\begin{eqnarray}
U(\theta) &=& \int_{\theta_0}^{\theta} dU \nonumber \\
&=& -\int_{\theta_0}^{\theta} \tau(\alpha)\;d\alpha \nonumber \\
&=& m B \int_{\theta_0}^{\theta} \sin\alpha\;d\alpha \nonumber \\
&=& m B \left( \cos\theta_0 - \cos\theta \right) \nonumber \\
&=& - m B \cos\theta \nonumber \\
&=& - \bold{m} \cdot \bold{B} \nonumber
\end{eqnarray}
Her valgte jeg {\aa} sette $U(0) = - m B$, dvs $\theta_0 = \pi/2$.

\noindent
\newpage
Skisse:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los13_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm} 
%%END FIGURE

\noindent
Vi har minimal $U$, og f{\o}lgelig stabil likevekt for $\theta = 0$, dvs
for dipolen orientert slik at $\bold{m}$ er parallell med $\bold{B}$.
Vi har maksimal $U$, og f{\o}lgelig ustabil likevekt for $\theta = \pm \pi$,
dvs for dipolen orientert slik at $\bold{m}$ er parallell med $-\bold{B}$.

\noindent
Dette er magnetismens analogi til polarisering av dielektriske medier i et ytre elektrisk felt:
Magnetiske dipoler retter seg inn langs det p{\aa}trykte magnetfeltet. Som nevnt lenger opp,
dette er hva vi kaller {\em paramagnetisme}. Vi har snakket om ulike typer
magnetisme i forelesningene -- la dette v{\ae}re en liten oppsummering av det:

\noindent
Medier som best{\aa}r av atomer som har et atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment som {\em ikke} er
lik null, og der dipolmomentene p{\aa} atomer i n{\ae}rheten av hverandre {\em ikke} vekselvirker med
hverandre, er {\em paramagneter}. {\em Uten} et ytre magnetfelt vil de atom{\ae}re magnetiske dipolmomentene
peke i tilfeldige retninger, slik at den midlere {\em magnetiseringen}, dvs midlere magnetiske
dipolmoment pr volumenhet (se punkt $d)$), blir lik null overalt i mediet. Slik var det ogs{\aa} med
midlere polarisering i et dielektrikum n{\aa}r vi ikke hadde noe ytre elektrisk felt. {\em Med} et
ytre magnetfelt f{\aa}r vi en tendens til innretting av magnetiske dipolmoment langs det ytre feltet,
og dermed en midlere magnetisering forskjellig fra null. Eksempler p{\aa} paramagnetiske materialer
er aluminium (Al) og magnesium (Mg).

\noindent
Medier som best{\aa}r av atomer med atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment {\em lik null} har ingenting
{\aa} rette inn i et p{\aa}trykt magnetfelt. Men, og som nevnt lenger opp, {\em banebevegelsen}
til elektronene rundt atomkjernen vil p{\aa}virkes av et ytre magnetfelt, slik at vi f{\aa}r
{\em indusert} et atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment i hvert eneste atom. Slike medier er {\em diamagneter}.
Vi skal se kvalitativt p{\aa} denne effekten i oppgave 3 nedenfor og finne at det induserte
magnetiske dipolmomentet vil bli {\em motsatt rettet det ytre feltet}. Diamagnetisme er en mye
svakere effekt enn paramagnetisme. Ogs{\aa} i paramagneter, der vi {\em har} permanente atom{\ae}re
magnetiske dipolmoment, f{\aa}r vi en slik diamagnetisk ``respons'' i et ytre magnetfelt. Den
diamagnetiske responsen vil
imidlertid v{\ae}re tiln{\ae}rmet neglisjerbar i en paramagnet. For {\aa} kunne m{\aa}le diamagnetisme,
trenger vi derfor medier med null atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment i utgangspunktet (dvs f{\o}r vi
skrur p{\aa} det ytre magnetfeltet). Eksempler p{\aa} diamagneter er gull (Au), s{\o}lv (Ag), kobber (Cu).

\noindent
I enkelte medier har vi atomer med magnetiske dipolmoment som {\em vekselvirker} med dipolmomentene
p{\aa} naboatomene. F.eks. kan vekselvirkningen v{\ae}re slik at det er energetisk foretrukket at
naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i samme retning. Da har vi en {\em ferromagnet}, og
eksempler p{\aa} ferromagneter er jern (Fe), kobolt (Co) og nikkel (Ni).

\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ Maksimal tetthet av magnetisk dipolmoment i jern blir lik antall jernatomer 
pr volumenhet ganget med magnetisk dipolmoment pr jernatom: 
$$\frac{m}{V}= 2\mu_B \cdot \frac{7.9\cdot10^{6}}{55.9}\cdot 6.02\cdot 10^{23} =
2 \cdot 9.27 \cdot 10^{-24} \cdot \frac{7.9\cdot10^{6}}{55.9}\cdot 6.02\cdot 10^{23} =
1.6 \cdot 10^6$$
Enheten til $m$ er Am$^2$, enheten til $V$ er m$^3$. F{\o}lgelig blir enheten til
magnetisk dipolmoment pr volumenhet, eller {\em magnetisering}, A/m.



\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Retningen p{\aa} $\bold{B}$:
\begin{itemize}
\item
$B_y = 0$ fordi $d\bold{B} \sim \hat{y} \times \hat{r} \perp \hat{y}$ if{\o}lge Biot-Savarts
lov. (Alle str{\o}mbidrag g{\aa}r i $y$-retningen.)
\item
$B_z=0$: Se p{\aa} figuren nedenfor. Her er $d\bold{B}_{+}$ og $d\bold{B}_{-}$ bidrag til
magnetfeltet henholdsvis over og under $xy$-planet fra ``symmetrisk lokaliserte'' uendelig
lange, tynne str{\o}mf{\o}rende ledere i posisjon $\pm x$. Biot-Savarts lov og figurbetraktning gir
at $\bold{B}$ m{\aa} v{\ae}re rettet i positiv $x$-retning for $z>0$ og i negativ
$x$-retning for $z<0$.
\end{itemize}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los13_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Absoluttverdien av magnetfeltet kan ikke avhenge av $x$ eller $y$ n{\aa}r det
str{\o}mf{\o}rende planet er uendelig stort. Dessuten m{\aa} $B$ v{\ae}re like
stor en avstand $z$ over $xy$-planet som en avstand $z$ under. 
($B_{+} = B_{-} = B$, se figuren nedenfor) Da skulle vi
ha det beste valget av amperekurve klart: Et rektangel med flatenormal i positiv
$y$-retning, symmetrisk plassert i forhold til $xy$-planet:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los13_fig6.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE
                                                                                                                         
\noindent
N{\aa}r integrasjonsveien velges som vist i figuren, er str{\o}mmen omsluttet
av amperekurven {\em positiv}, if{\o}lge h{\o}yreh{\aa}ndsregelen. Med en lengde
$L$ i $x$-retningen blir den omsluttede str{\o}mmen $I_{\rm in} = i \cdot L$.
Amperes lov gir dermed:
$$\oint \bold{B}\cdot \; d\bold{l} = 2 \cdot B \cdot L = \mu_0 i \cdot L$$
eller
$$B = \mu_0 i/2$$
(P{\aa} de vertikale bitene av amperekurven er $\bold{B} \perp \;d\bold{l}$ s{\aa}
disse gir null bidrag til integralet.)

\noindent
Alternativt kunne vi f{\o}rst ha lagt hele ampererektangelet p{\aa} en side av
$xy$-planet. Da hadde vi hatt null omsluttet str{\o}m, og dermed f{\aa}tt at
$B$ m{\aa}tte v{\ae}re uavhengig av $z$. I neste omgang legger vi amperekurven slik
at den omslutter en del av $xy$-planet, og dermed ogs{\aa} en viss str{\o}m, og
finner det samme som over. S{\aa} langt jeg kan se, holder det {\aa} bruke
Amperes lov {\em en} gang
n{\aa}r vi legger amperekurven symmetrisk om $xy$-planet.


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vi m{\aa} her bestemme i hvilke posisjoner $\pm x_0$ vi har viklinger som gir
null $x$-komponent for $\bold{B}$. Viklingene p{\aa} intervallet
$(-x_0,x_0)$ vil da v{\ae}re de som bidrar med negativ $x$-komponent til $\bold{B}$.

\noindent
Fra den oppgitte formelen og figuren i oppgaveteksten f{\aa}r vi:
\begin{eqnarray}
3 \left(\bold{m} \cdot \hat{r} \right) \hat{r} - \bold{m} &=&
3 \left( m\,\hat{x}\cdot\left(\frac{x}{r}\hat{x}+\frac{y}{r}\hat{y}\right)\right)
\left(\frac{x}{r}\hat{x}+\frac{y}{r}\hat{y}\right) - m\hat{x} \nonumber \\
&=& 3m\frac{x}{r}\frac{x}{r}\hat{x} + 3m\frac{x}{r}\frac{y}{r}\hat{y}-m\hat{x} \nonumber \\
&=& \left(3\frac{x^2}{r^2} - 1 \right) m\hat{x} + 3\frac{xy}{r^2}m\hat{y} \nonumber
\end{eqnarray}
Vi har her uttrykt $\hat{r}$ i kartesiske komponenter, dvs $\hat{r} = \cos\theta \, \hat{x} +
\sin\theta \, \hat{y} = (x/r) \, \hat{x} + (y/r) \, \hat{y}$, der $\theta$ er vinkelen mellom
$\bold{m}$ og $\hat{r}$.

\noindent
Alts{\aa} null $x$-komponent n{\aa}r
$$3\frac{x^2}{r^2} - 1 = 0$$
og ettersom $r^2 = x^2+y^2$, finner vi
$$x_0 = y/\sqrt{2}$$
P{\aa} lengden $2x_0 = \sqrt{2}y = 0.707$ m har vi 707 viklinger.


\end{document}
