\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1303: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2004

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 8
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: 23.02, (24.02), 25.02, 26.02, 27.02, 01.03, 03.03, 04.03

\noindent
Innleveringsfrist: Torsdag 4. mars kl. 1200 (Svartabell p{\aa} siste side.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Opplysninger:
\begin{itemize}
\item Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.
\item Dersom ikke annet er oppgitt, er ``potensial'' underforst{\aa}tt ``elektrostatisk potensial'',
og tilsvarende for ``potensiell energi''.
\item Dersom ikke annet er oppgitt, er nullpunkt for (elektrostatisk) potensial og
potensiell energi valgt uendelig langt borte.
\item Noe av dette kan du f{\aa} bruk for: $1/4\pi\varepsilon_0 = 9\cdot10^9$ Nm$^2$/C$^2$,
$e=1.6\cdot10^{-19}$ C, $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ kg, $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ kg, $g = 9.8$ m/s$^2$
\item Symboler angis i kursiv (f.eks $V$ for potensial) mens enheter angis uten kursiv
(f.eks V for volt).
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$1)$ En vilk{\aa}rlig formet elektrisk leder har netto ladning $Q$. Hva skjer i
punktet $P$ dersom ladningen p{\aa} lederen {\o}kes til $2Q$?

\noindent
\parbox{10cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & Kun potensialet fordobles. \\
B & Kun den elektriske feltstyrken fordobles. \\
C & B{\aa}de potensialet og den elektriske \\
  & feltstyrken fordobles. \\
D & Verken potensialet eller den elektriske \\
  & feltstyrken fordobles. \\
E & B{\aa}de potensialet og den elektriske \\
  & feltstyrken halveres.
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov8_fig1.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$2)$ En kompakt metallkule har positiv ladning $Q$. Avstanden fra kulas sentrum til punktet $A$
er halvparten s{\aa} stor som til punktet $B$. Null potensial velges uendelig langt borte.
Da gjelder f{\o}lgende for den elektriske feltstyrken $E$ og potensialet $V$ i de to punktene:

\noindent
\parbox{10cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $E_A = 4E_B$, $V_A = 4V_B$ \\
B & $E_A = 4E_B$, $V_A = 2V_B$ \\
C & $E_A = 4E_B$, $V_A = V_B$ \\
D & $E_A = 2E_B$, $V_A = 2V_B$ \\
E & $E_A = E_B$, $V_A = V_B$ 
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov8_fig2.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$3)$ Tre isolerte metallkuler 1, 2 og 3 (dvs: de p{\aa}virker ikke {\em hverandre}) har
hver en positiv ladning $Q$. Kulenes diameter er hhv $2a$, $3a$ og $5a$.
Hvordan forholder kulenes elektriske potensial seg til hverandre? ($V(\infty)=0$)

\noindent
\parbox{10cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $V_1 = V_2 = V_3$ \\
B & $V_1 < V_2 < V_3$ \\
C & $V_1 > V_2 > V_3$ \\
D & $V_1 = V_2 < V_3$ \\
E & $V_1 = V_2 > V_3$
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov8_fig3.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$4)$ Tenk deg to ulike eksperimenter med utgangspunkt i to isolerte, identiske
punktladninger $Q$: (i) En (positiv) punktladning $q$ bringes fra uendelig langt borte og til en
avstand $r$ fra den ene $Q$. (ii) En (positiv) punktladning $2q$ bringes fra uendelig langt borte og til en
avstand $2r$ fra den andre $Q$. N{\aa}r de to eksperimentene er utf{\o}rt, hva er da {\em ikke} sant?

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{12cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & Potensialet i avstand $r$ (dvs der ladningen $q$ er) er det samme\\
  & som potensialet i avstand $2r$ (dvs der ladningen $2q$ er). \\
B & I de to eksperimentene utf{\o}res like store arbeid. \\
C & I de to eksperimentene ender vi opp med samme \\
  & potensielle energi. \\
D & Ladningen $q$ i avstand $r$ p{\aa}virkes av en st{\o}rre \\
  & frast{\o}tende kraft enn ladningen $2q$ i avstand $2r$. \\
E & Forholdet mellom kreftene p{\aa} $q$ og $2q$ er ikke det \\
  & samme som forholdet mellom de elektriske feltstyrkene \\
  & i avstand $r$ og $2r$.
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov8_fig4.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$5)$ Riktig figur angir elektriske feltlinjer i et plan som g{\aa}r
gjennom sentrum av en metallkule med nettoladning $Q > 0$.

\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & \\
B & \\
C & \\
D &
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov8_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$6)$ Riktig figur angir elektriske feltlinjer i et plan som g{\aa}r
gjennom sentrum av en ladet metallkule ($Q > 0$) jevnt belagt med  
(elektrisk n{\o}ytral) plast (med $\varepsilon > \varepsilon_0$). 
Det omgivende mediet er luft.

\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & \\
B & \\
C & \\
D & 
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov8_fig6.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$7)$ Riktig figur angir elektriske feltlinjer for en
parallellplatekondensator som er halvveis fylt med et dielektrisk
materiale (dvs det skraverte omr{\aa}det har
$\varepsilon > \varepsilon_0$). Platenes line{\ae}re utstrekning
er stor i forhold til avstanden mellom platene. {\O}verste plate
har negativ ladning $-Q$, nederste plate har positiv ladning $Q$.

\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & \\
B & \\
C & \\
D &
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov8_fig7.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$8)$ Ei kompakt metallkule med radius $a$ har nettoladning $q>0$. Den er belagt
med et lag (elektrisk n{\o}ytral) plast med tykkelse $a/2$. Deretter f{\o}lger et
(elektrisk n{\o}ytralt) metallisk
kuleskall med tykkelse $a/2$. Utenfor dette har vi vakuum. Plasten
er et dielektrikum med
permittivitet $\varepsilon_1 = 10\varepsilon_0$. I hvilken av de 4 angitte
posisjonene {\bf A}, {\bf B}, {\bf C} eller {\bf D}
er den elektriske feltstyrken st{\o}rst? Avstanden fra kulas
sentrum er i {\bf A}: $a/2$, {\bf B}: $5a/4$, {\bf C}: $7a/4$, {\bf D}: $5a/2$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & \\
B & \\
C & \\
D &
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.7in \epsfbox{ov8_fig8.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$9)$ Fire punktladninger er plassert i $xy$-planet.
To har positiv ladning $q$ og ligger i henholdsvis $(x,y)=(a,-a)$ og $(-a,a)$,
og to har negativ ladning $-q$ og ligger i henholdsvis $(x,y)=(a,a)$ og $(-a,-a)$.
Hva blir retningen p{\aa} det elektriske feltet \bold{E} p{\aa} $x$-aksen
(anta $x>a$), dvs i $(x,0)$?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & Langs $\hat{x}$. \\
B & Langs $-\hat{x}$. \\
C & Langs $\hat{y}$. \\
D & Langs $-\hat{y}$. \\
E & Den avhenger av $x$.
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov8_fig9.eps}}
%%END FIGURE
}

\newpage
\noindent
$10)$ For systemet med de fire punktladningene i oppgave 9 velger vi nullpunkt
for elektrisk potensial, $V=0$, uendelig langt borte. Hva blir da $V(x,y=0)$,
dvs p{\aa} $x$-aksen?

\noindent
\begin{tabular}{cl}
A &  $V=0$ \\
B &  $V=q/4\pi\varepsilon_0 x$ \\
C &  $V=q/\pi\varepsilon_0 x$ \\
D &  $V=q/4\pi\varepsilon_0 \sqrt{(x-a)^2 + a^2}$ \\
E &  $V=-q/4\pi\varepsilon_0 \sqrt{(x-a)^2 + a^2}$
\end{tabular}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$11)$ Ei metallkule med radius $R$ har netto ladning $Q$. Hva er kulas potensielle
energi $U$? (Vi velger $U=0$ n{\aa}r alle infinitesimale bidrag til
$Q$ er uendelig langt fra hverandre.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $U=-Q^2/\pi\varepsilon_0 R$ \\
B & $U=-Q^2/8\pi\varepsilon_0 R$ \\
C & $U=Q^2/\pi\varepsilon_0 R$ \\
D & $U=Q^2/8\pi\varepsilon_0 R$ \\
E & $U=Q^2/4\pi\varepsilon_0 R^2$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.1in \epsfbox{ov8_fig10.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$12)$ To parallellplatekondensatorer er koblet i {\em parallell}, som vist
i figuren. De {\o}verste metallplatene er koblet sammen med en elektrisk
leder (f.eks. kobberledning) slik at disse to platene ``ligger'' p{\aa} samme
elektriske potensial. Det samme gjelder for de to nederste metallplatene. Derfor
er potensialforskjellen (eller {\em spenningsfallet}) $\Delta V$ den samme for
begge kondensatorene. Hva blir total kapasitans $C$ for en slik parallellkobling
av to kondensatorer, hver med kapasitans henholdsvis $C_1$ og $C_2$?

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{7cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C_1 - C_2$ \\
B & $C_1 + C_2$ \\
C & $(C_1 + C_2)/2$ \\
D & $(1/C_1 - 1/C_2)^{-1}$ \\
E & $(1/C_1 + 1/C_2)^{-1}$
\end{tabular}
}
\parbox{9cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov8_fig11.eps}}
%%END FIGURE
}

\newpage
\noindent
$13)$ To parallellplatekondensatorer er koblet i {\em serie}, som vist
i figuren. Nederste metallplate p{\aa} kondensator 1 er koblet sammen med 
{\o}verste metallplate p{\aa} kondensator 2 via en elektrisk
leder (f.eks. kobberledning) slik at disse to platene ``ligger'' p{\aa} samme
elektriske potensial. Total potensialforskjell (eller {\em spenningsfall}) $\Delta V$ 
over de to kondensatorene er lik summen av spenningsfallene $\Delta V_1$ og
$\Delta V_2$ over hver av de to. Netto ladning p{\aa} de ulike metallplatene er som
vist i figuren. Hva blir total kapasitans $C$ for en slik seriekobling
av to kondensatorer, hver med kapasitans henholdsvis $C_1$ og $C_2$?

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{7cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C_1 - C_2$ \\
B & $C_1 + C_2$ \\
C & $(C_1 + C_2)/2$ \\
D & $(1/C_1 - 1/C_2)^{-1}$ \\
E & $(1/C_1 + 1/C_2)^{-1}$
\end{tabular}
}
\parbox{9cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig12.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$14)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. En metallskive med tykkelse
$h < d$ settes inn mellom platene uten at den kommer i ber{\o}ring
med noen av dem. Da blir potensialforskjellen mellom
kondensatorplatene

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & mindre. \\
B & st{\o}rre. \\
C & uendret.
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig13.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$15)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. Hvilken st{\o}rrelse forblir
uendret dersom vi {\o}ker avstanden mellom platene?

\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & Kondensatorens kapasitans. \\
B & Det elektriske feltet mellom platene. \\
C & Den potensielle energien lagret i kondensatoren. \\
D & Potensialforskjellen mellom platene.
\end{tabular}

\newpage
\noindent
$16)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. Et dielektrikum med permittivitet
$\varepsilon > \varepsilon_0$ fyller den venstre halvdelen av rommet mellom
kondensatorplatene, som vist i figuren. I den h{\o}yre halvdelen har
vi vakuum. P{\aa} venstre halvdel av metallplatene har vi ladning henholdsvis
$Q_1$ og $-Q_1$, p{\aa} h{\o}yre halvdel ladning henholdsvis $Q_2$ og $-Q_2$.
Da er

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $Q_1 = Q_2$ \\
B & $Q_1 > Q_2$ \\
C & $Q_1 < Q_2$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig17.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$17)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. Et dielektrikum med permittivitet
$\varepsilon > \varepsilon_0$ fyller den venstre halvdelen av rommet mellom
kondensatorplatene, som vist i figuren. I den h{\o}yre halvdelen har
vi vakuum. Pilene i figuren angir da feltlinjer for

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & elektrisk forskyvning $\bold{D}$ \\
B & elektrisk felt $\bold{E}$ \\
C & polarisering $\bold{P}$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig14.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$18)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har areal $A$ og
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. Et dielektrikum med permittivitet
$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 > \varepsilon_0$ fyller 
den venstre halvdelen av rommet mellom kondensatorplatene, som vist i figuren. 
I den h{\o}yre halvdelen har vi vakuum. Hva blir kondensatorens
kapasitans $C$, uttrykt ved $C_0 = \varepsilon_0 A/d$, som ville ha v{\ae}rt
kapasitansen uten dielektrikumet til stede?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C = \left[2\varepsilon_r/(\varepsilon_r + 1)\right] C_0$ \\ 
B & $C = \left[\varepsilon_r/(\varepsilon_r + 1)\right] C_0$ \\ 
C & $C = \varepsilon_r C_0$ \\ 
D & $C = (\varepsilon_r + 1) C_0$ \\ 
E & $C = \left[(\varepsilon_r + 1)/2\right] C_0$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig15.eps}}
%%END FIGURE
}

\newpage
\noindent
$19)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to parallelle
metallplater i innbyrdes avstand $d$. De to metallplatene har areal $A$ og
ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$. Et dielektrikum med permittivitet
$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 > \varepsilon_0$ fyller 
den nederste halvdelen av rommet mellom kondensatorplatene, som vist i figuren. 
I den {\o}verste halvdelen har vi vakuum. Hva blir kondensatorens
kapasitans $C$, uttrykt ved $C_0 = \varepsilon_0 A/d$, som ville ha v{\ae}rt
kapasitansen uten dielektrikumet til stede?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C = \left[2\varepsilon_r/(\varepsilon_r + 1)\right] C_0$ \\ 
B & $C = \left[\varepsilon_r/(\varepsilon_r + 1)\right] C_0$ \\ 
C & $C = \varepsilon_r C_0$ \\ 
D & $C = (\varepsilon_r + 1) C_0$ \\ 
E & $C = \left[(\varepsilon_r + 1)/2\right] C_0$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig16.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.1cm}
\noindent
$20)$ En sylinderkondensator best{\aa}r av to (tynne) parallelle konsentriske
metallsylindre, den innerste med radius $a$ og den ytterste med radius $b$. 
De to sylindrene har lengde $L$ og ladning pr lengdeenhet henholdsvis $\lambda$ 
(innerst) og $-\lambda$ (ytterst). Et dielektrikum med permittivitet $\varepsilon$ fyller 
rommet mellom indre og ytre metallsylinder. Det elektriske feltet i omr{\aa}det
$a < r < b$ er $\bold{E}(r) = (\lambda/2\pi\varepsilon r) \hat{r}$, der $r$ angir
avstanden fra sylindrenes senterakse, og $\hat{r}$ er enhetsvektor i retning normalt
p{\aa} sylindrenes akse. Hva blir sylinderkondensatorens kapasitans $C$?
[Tips: Potensialforskjellen mellom indre og ytre sylinder er $\Delta V =
V_a - V_b = -\int_b^a E(r)\;dr$.]

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $C = \pi\varepsilon L^2/b$ \\ 
B & $C = \pi\varepsilon L^2/a$ \\ 
C & $C = \pi\varepsilon L^3/ab$ \\ 
D & $C = 2\pi\varepsilon L/\ln (a/b)$ \\
E & $C = 2\pi\varepsilon L/\ln (b/a)$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov8_fig18.eps}}
%%END FIGURE
}


\newpage

\noindent
{\O}ving 8 i Elektromagnetisme / Elektrisitet og magnetisme v{\aa}ren 2004

\vspace{0.3cm}
\noindent
Innleveringsfrist: Torsdag 4. mars kl. 1200.

\vspace{1cm}
\noindent
Navn:

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\O}vingsgruppe:

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|} \hline
Oppgave &\hspace{0.5cm} A \hspace{0.5cm} &\hspace{0.5cm} B \hspace{0.5cm} &\hspace{0.5cm} C \hspace{0.5cm} &
\hspace{0.5cm} D \hspace{0.5cm} &\hspace{0.5cm} E \hspace{0.5cm} \\ \hline
1 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
2 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
3 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
4 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
5 \hspace{0.5cm} & & & & &\#\#\#\#\# \\ \hline
6 \hspace{0.5cm} & & & & &\#\#\#\#\# \\ \hline
7 \hspace{0.5cm} & & & & &\#\#\#\#\# \\ \hline
8 \hspace{0.5cm} & & & & &\#\#\#\#\# \\ \hline
9 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
10 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
11 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
12 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
13 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
14 \hspace{0.5cm} & & & &\#\#\#\#\# &\#\#\#\#\# \\ \hline
15 \hspace{0.5cm} & & & & &\#\#\#\#\# \\ \hline
16 \hspace{0.5cm} & & & &\#\#\#\#\# &\#\#\#\#\# \\ \hline
17 \hspace{0.5cm} & & & &\#\#\#\#\# &\#\#\#\#\# \\ \hline
18 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
19 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
20 \hspace{0.5cm} & & & & & \\ \hline
\end{tabular}

\vspace{1.2cm}
\noindent
\#\#\#\#\#: ikke aktuelt svaralternativ
\end{document}
