\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008, uke 14

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 1. april
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisk vekselvirkning} 

\noindent
[FGT 28, 29; YF 27, 28; TM 26, 27; AF 22, 24B; LHL 23; DJG 5]

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Ladet partikkel i uniformt magnetfelt} 

\noindent
[FGT 28.3; YF 27.4; TM 26.2; AF 22.3; LHL 23.1, 23.4; DJG 5.1.2]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Kraft p{\aa} ladning $q$ med hastighet $\bold{v}$ i magnetfelt $\bold{B}$:
$$\bold{F} = q\bold{v}\times\bold{B}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med vinkel $\theta$ mellom $\bold{v}$ og $\bold{B}$:
$$F = qvB\sin\theta$$
Dersom $\bold{v}\perp\bold{B}$:
$$F = qvB$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Har alltid $\bold{F}\perp\bold{v}$ og $\bold{F}\perp\bold{B}$.
N{\aa}r $\bold{F}\perp\bold{v}$ blir partikkelens bane en {\em sirkel}
med konstant $v = |\bold{v}|$:
\begin{eqnarray}
& &\bold{F}\perp\bold{v} \;\;\Rightarrow\;\; \bold{F}\perp\frac{d\bold{l}}{dt} \nonumber \\
&\Rightarrow& dW = \bold{F} \cdot d\bold{l} = 0 \nonumber
\end{eqnarray}
dvs: $\bold{F} = q\bold{v}\times\bold{B}$ utf{\o}rer null arbeid
$$\Rightarrow v = \; {\rm konstant} \; \; {\rm og} \;\; T = \frac{1}{2}mv^2 = \; {\rm konstant}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Sentripetalakselerasjon:
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{v^2}{r} \nonumber \\
\Rightarrow F &=& ma = m\frac{v^2}{r} = qvB \nonumber \\
\Rightarrow r &=& \frac{mv}{qB} \nonumber
\end{eqnarray}
der $r$ er sirkelbanens radius.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Sirkelbevegelsens {\em vinkelfrekvens}:
$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m} \equiv \omega_c \;\;\; {\rm (syklotronfrekvensen)}$$
Vinkelfrekvens = ``oml{\o}pt'' vinkel pr tidsenhet

\vspace{0.2cm}
\noindent
Frekvensen = antall oml{\o}p pr tidsenhet:
$$f = \frac{\omega}{2\pi}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Perioden = oml{\o}pstida:
$$T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Med b{\aa}de elektrisk felt $\bold{E}$ og magnetfelt $\bold{B}$ til stede
p{\aa}virkes ladningen av {\em Lorentzkraften}:
$$\bold{F} = q\bold{E} + q\bold{v}\times\bold{B}$$
Vi ser at enheten for magnetfelt m{\aa} v{\ae}re
$$[B]=\frac{[F]}{[qv]}=\frac{{\rm N}}{{\rm C}{\rm m/s}}$$
I SI-systemet har dette f{\aa}tt en egen betegnelse:
$$[B] = {\rm T}$$
eller {\em tesla}. En alternativ enhet for magnetfeltet er {\em gauss} (G).
1 tesla er det samme som 10000 gauss. Jordmagnetfeltet er ca 0.5 G, s{\aa}
et magnetfelt p{\aa} 1 T er ganske mye.


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetfelt fra elektrisk str{\o}m} 

\noindent
[FGT 29.4; YF 28.2; TM 27.2; AF 24.11; LHL 23.5; DJG 5.2]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Biot--Savarts lov (empirisk, dvs eksperimentelt funnet):

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke44_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Bidraget $d\bold{B}$ til magnetfeltet i punktet som ligger i en avstand
fra lederbiten $d\bold{l}$ gitt ved vektoren $\bold{r}$, n{\aa}r lederen
f{\o}rer en stasjon{\ae}r (dvs tidsuavhengig) elektrisk str{\o}m $I$ er
$$d\bold{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\;d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} = 
\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\;d\bold{l}\times\bold{r}}{r^3}$$
Superposisjonsprinsippet gjelder for magnetfeltet, s{\aa} magnetfeltet fra
hele den lukkede str{\o}msl{\o}yfa blir
$$\bold{B} = \oint d\bold{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2}$$
Ettersom ladning ikke oppst{\aa}r eller forsvinner av seg selv, m{\aa} det ei {\em lukket}
sl{\o}yfe til for {\aa} opprettholde en konstant elektrisk str{\o}m $I$. 

\vspace{0.5cm}
\noindent
I {\em prinsipp} kan Biot--Savarts lov brukes til {\aa} bestemme magnetfeltet i en vilk{\aa}rlig
posisjon i forhold til ei vilk{\aa}rlig utformet str{\o}msl{\o}yfe.

\noindent
I {\em praksis} klarer vi bare {\aa} l{\o}se integralet i Biot--Savarts lov {\em analytisk} for
enkelte spesialtilfeller, f.eks. rett leder, p{\aa} symmetriaksen til sirkul{\ae}r eller kvadratisk
str{\o}msl{\o}yfe osv.

\noindent
(Problemer som ikke kan l{\o}ses analytisk kan l{\o}ses med numeriske metoder.)

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 2. april
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetisme som relativistisk fenomen (orienteringsstoff)} 

\noindent
[DJG 12.3.1]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ekstratimen, ikke pensum. Se eget notat. ("Notater.")

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetiske feltlinjer} 

\noindent
[FGT 29.2; YF 27.3; TM 26.1; LHL 23.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Innf{\o}res for {\aa} visualisere magnetfeltet i et omr{\aa}de. Defineres p{\aa}
tilsvarende vis som vi gjorde med elektriske feltlinjer:
\begin{itemize}
\item Retningen: $\bold{B}$ parallell med feltlinjene overalt.
\item Styrken: $|\bold{B}|$ proporsjonal med tettheten av feltlinjer (dvs antall feltlinjer
pr flateenhet)
\end{itemize}
MERK at vi alltid har {\em lukkede feltlinjer} for $\bold{B}$. Det er fordi det ikke eksisterer
magnetiske {\em monopoler} i naturen. (Mens {\em elektriske} monopoler, dvs positive og negative
ladninger, finnes!) 


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetisk kraft p{\aa} elektrisk str{\o}m} 

\noindent
[FGT 28.4; YF 27.6; TM 26.1; AF 24.9; LHL 23.2; DJG 5.1.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Rett leder, lengde $L$, str{\o}m $I$:
$$\bold{F} = I \bold{L}\times\bold{B}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Generalisering: Leder med lengde $L$, str{\o}m $I$, vilk{\aa}rlig ``form'':
$$\bold{F} = \int_L\;d\bold{F} = I \int_L \;d\bold{l}\times\bold{B}$$

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetisk kraft mellom parallelle str{\o}mf{\o}rende ledere} 

\noindent
[FGT 29.1; YF 28.4; TM 27.2; AF 24.14; LHL 23.5]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Kraft pr lengdeenhet mellom parallelle ledere med str{\o}m hhv $I_1$ og $I_2$:
$$f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$$
der $r$ er avstanden mellom lederne.

\noindent
Samme retning p{\aa} str{\o}mmene $\Rightarrow$ tiltrekning

\noindent
Motsatt retning p{\aa} str{\o}mmene $\Rightarrow$ frast{\o}tning



\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Magnetiske dipoler} 

\noindent
[FGT 28.5, 29.4; YF 27.7; TM 26.3; AF 22.7; LHL 23.3, 26.2; DJG 5.4.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrisk str{\o}msl{\o}yfe = Magnetisk dipol:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke44_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Magnetisk dipolmoment (for {\em plan} str{\o}msl{\o}yfe):
$$\bold{m} = I \bold{A} = I A \hat{n}$$
Enhet: $[m] = [IA]$ = Am$^2$

\vspace{0.3cm}
\noindent
I likhet med elektrisk dipolmoment har ogs{\aa} magnetisk
dipolmoment en mer {\em generell} definisjon enn den vi innf{\o}rte ovenfor.
Har vi en str{\o}mfordeling gitt ved str{\o}mtettheten $\bold{j}(\bold{r})$, er
magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ pr definisjon
$$\bold{m} = \frac{1}{2} \int \bold{r} \times \bold{j}(\bold{r})\; d^3 r$$
Her g{\aa}r integralet over ''hele rommet'', dvs der henholdsvis $\rho$ og $\bold{j}$
er forskjellig fra null.
For {\em spesialtilfellet} som vi stort sett
ser p{\aa} i dette kurset, dvs plan str{\o}msl{\o}yfe med
stasjon{\ae}r str{\o}m $I$ som omslutter et areal beskrevet ved vektoren 
(noen ganger kalt ''vektorarealet'') $\bold{A} = A\;\hat{n}$,
reduserer denne generelle definisjonen seg nettopp til
$$\bold{m} = I\bold{A}$$


\end{document}

