\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 12
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Uke 13

\noindent
Innleveringsfrist: Onsdag 11. april

\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
En vekselspenningskilde $\ems(t) = V_0 \, \cos\omega t$ er koblet til en krets best{\aa}ende
av en parallellkobling av en kapasitans $C$ og en motstand $R$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov12_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bruk Kirchhoffs regler til {\aa} bestemme str{\o}mstyrkene $I(t)$, $I_C(t)$ og $I_R(t)$.
Vis at den totale str{\o}mmen som leveres av spenningskilden kan skrives p{\aa}
formen
$$I(t) = I_0 \, \cos(\omega t - \alpha)$$
med amplitude
$$I_0 = \frac{V_0}{R} \, \sqrt{1 + (\omega RC)^2}$$
og fasevinkel
$$\alpha = -\arctan(\omega RC)$$
Tips: Benytt $\cos(a \pm b) = \cos a \, \cos b \mp \sin a \, \sin b$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Anta at spenningskilden har amplitude $V_0 = 1.0$ V og frekvens
$f = 1.0$ MHz, og at $R = 10 \, \Omega$ og $C = 16$ nF.
Bestem tallverdier for $I_0$ og $\alpha$. Skisser $\ems(t)$, $I(t)$,
$I_R(t)$ og $I_C(t)$ for $t$ mellom 0 og $1/f$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med de gitte tallverdiene for $V_0$, $R$ og $C$, skisser funksjonene $I_0(\omega)$,
$\alpha(\omega)$ og kretsens {\em impedans} $Z(\omega) = V_0/I_0(\omega)$
for vinkelfrekvenser mellom $10^5$ og $10^9$ s$^{-1}$.
Tips: Bruk {\em logaritmisk} skala langs $\omega$-aksen, dvs skisser $I_0$ og
$\alpha$ for vinkelfrekvenser slik at $\log\omega$ varierer mellom verdiene 5 og 9.



\newpage
%\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Partikler med masse $m$, ladning $q$ og hastighet $\bold{v}$ kommer
inn i et omr{\aa}de med ``krysset'' elektrisk og magnetisk felt, $\bold{E}$
og $\bold{B}$, som vist i figuren. $\bold{E}$ har retning nedover, $\bold{B}$
har retning inn i papirplanet. I omr{\aa}det med utstrekning $L$ antar vi at
feltene er homogene. Utenfor dette omr{\aa}det er $\bold{E}=\bold{B}=0$.

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{ov12_fig1.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Du holder den elektriske feltstyrken $E$ konstant gjennom hele eksperimentet.
F{\o}rst setter du $B=0$ og registrerer at partiklene avb{\o}yes og treffer
detektoren i en avstand $y$ ovenfor senterlinjen (som er stiplet). Deretter gjentar
du fors{\o}ket, men n{\aa} justerer du verdien av $B$ inntil partiklene ikke b{\o}yes
av.

\noindent
Vis at forholdet mellom partiklenes ladning og masse er proporsjonal med
avb{\o}yningen (n{\aa}r $B=0$), dvs
$$\frac{q}{m} = - a y,$$
og finn st{\o}rrelsen $a$ uttrykt ved $E$, $B$, $D$ og $L$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Oppgitt: $\bold{F} = q \left(\bold{E} + \bold{v} \times \bold{B} \right)$ \hspace{0.3cm} (Lorentzkraften)

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\small P{\aa} denne m{\aa}ten analyserte J. J. Thomson i 1897 s{\aa}kalte katodestr{\aa}ler
og p{\aa}viste at disse bestod av en bestemt type partikler med negativ ladning. Dette er
nettopp elektroner som emitteres fra metallet i katoden. Thomson var alts{\aa} den f{\o}rste
som bestemte forholdet $e/m_e$. Thomson fant det samme forholdet uavhengig av hva slags metall
han brukte i katoden og kunne konkludere med at de observerte partiklene m{\aa}tte v{\ae}re
en {\em fundamental} ingrediens i naturen.}


%\vspace{0.7cm}
\newpage
\noindent
{\em Oppgave 3}


%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov12_fig2.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Figuren viser et massespektrometer. En ionekilde emitterer ladete partikler.
{\AA}pningene $S_1$ og $S_2$ s{\o}rger for at en godt samlet ({\em kollimert})
partikkelstr{\aa}le kommer inn i omr{\aa}det med magnetfelt $\bold{B}$ (som
har retning inn i papirplanet). Mellom $S_1$ og $S_2$ har vi en spenningsforskjell
$V$ som akselererer ionene. Hastigheten ved $S_2$ er mye st{\o}rre enn ved
$S_1$, slik at vi kan sette $v = 0$ ved $S_1$.
Ionene b{\o}yes i alt 180$^\circ$ av magnetfeltet og detekteres p{\aa} en
fotografisk plate $P$.

\noindent
Spektrometeret skal brukes til {\aa} separere bromisotopene $^{79}$Br og $^{81}$Br.
Kilden sender ut disse isotopene i form av ioner med ladning $-e$. 
Anta at isotopene har atommasser henholdsvis 79$m_p$ og 81$m_p$.

\noindent
P{\aa} den fotografiske platen {\o}nskes isotopenes treffpunkt adskilt med en avstand
p{\aa} minst 1.0 cm. Samtidig m{\aa} vi s{\o}rge for at begge isotopenes treffpunkt havner
{\em p{\aa}} den fotografiske platen, som har en bredde $L=250$ cm, m{\aa}lt fra
der ionene kommer inn i magnetfeltet. Med disse betingelsene, hva blir {\o}vre
og nedre grense for styrken p{\aa} magnetfeltet $B$ n{\aa}r akselerasjonsspenningen $V$ er 400 V?

\vspace{0.3cm}
\noindent

\vspace{0.3cm}
\noindent
Oppgitt: $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ C, $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ kg \hspace{1.5cm}
{\small [Ett av svarene: $B_{\rm min} = 21$ mT]}

\end{document}
