\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 3
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning 27. og 28. januar


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$

%%FIGURE
\vspace{0.6cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{los3_fig3a.eps} \hfill
            \epsfxsize=2.5in \epsfbox{los3_fig3b.eps}}
\vspace{1.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los3_fig3d.eps} \hfill
            \epsfxsize=2.5in \epsfbox{los3_fig3c.eps}}
\vspace{0.6cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los3_fig3f.eps} \hfill
            \epsfxsize=2.5in \epsfbox{los3_fig3h.eps}}
\vspace{1.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los3_fig3e.eps} \hfill
            \epsfxsize=2.5in \epsfbox{los3_fig3g.eps}}
%%END FIGURE
\vspace{1.2cm}
\noindent
Kommentar: Disse skissene er bare {\em kvalitative}, ikke {\em kvantitative}.
Legg spesielt merke til at langt unna (dvs, de fire i h{\o}yre kolonne) ser alt
ut som en punktladning. P{\aa} n{\ae}rt hold kan en som regel benytte
symmetribetraktninger kombinert med det en vet om feltet i umiddelbar
n{\ae}rhet av eventuelle punktladninger til {\aa} tegne opp et temmelig
korrekt bilde av feltlinjene.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ $(i)$ Feltlinjer rundt to like store positive punktladninger:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los3_fig5i.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
$(ii)$ Feltlinjer rundt punktladninger $-2q$ og $q$:

\noindent
``N{\ae}rbilde'' (like mange feltlinjer ut pr positiv ladning $q$ som inn  pr negativ
ladning $-q$, s{\aa} dobbelt s{\aa} mange inn mot $-2q$ som ut fra $q$. De ``resterende''
m{\aa} komme fra uendelig):

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{los3_fig5ii.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Riktig langt unna (da ser vi essensielt en punktladning $-2q+q = -q$, dvs feltlinjene g{\aa}r
{\em inn} mot ladningen):

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{los3_fig5iii.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


%\newpage
\vspace{1.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Vi benytter oss av tipsene gitt i oppgaveteksten og tar utgangspunkt i figuren
fra "ukentlig sammendrag uke 3":


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{uke34_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm} 
%%END FIGURE

\noindent
I figuren har vi tegnet inn et veielement $d\bold{l}$, som i kulekoordinater, i sin mest
generelle form, best{\aa}r av en forflytning langs de tre ortogonale retningene spesifisert ved
de ovenfor nevnte enhetsvektorer. Vi ser at en slik forflytning, fra punktet $(r,\theta,\phi)$
til punktet $(r+dr,\theta+d\theta,\phi+d\phi)$, nettopp tilsvarer vektoren $d\bold{l}$ diagonalt
gjennom volumelementet $dV$. Vi ser av figuren at denne vektoren har komponenter $dr$ langs
$\hat{r}$, $r\;d\theta$ langs $\hat{\theta}$ og $r\sin\theta\;d\phi$ langs $\hat{\phi}$. Alts{\aa}:
$$d\bold{l} = dr\;\hat{r} + r\;d\theta\;\hat{\theta} + r\sin\theta\;d\phi\;\hat{\phi}$$
Legg merke til at mens komponentene til vektoren $d\bold{l}$ i kartesiske koordinater alltid er
de samme ($dx$, $dy$, $dz$), avhenger to av dem av ``hvor vi er'' i kulekoordinater: Komponenten
langs $\hat{\theta}$ er proporsjonal med $r$, dvs avstanden til origo, mens komponenten
langs $\hat{\phi}$ i tillegg avhenger av vinkelen $\theta$ (dvs ``breddegraden'', hvis vi tenker
oss $z$-aksen gjennom polene og ekvator i $xy$-planet). F.eks. er $dl_\phi=r\sin 0 = 0$ hvis
vi starter i $\theta=0$. Ikke urimelig: St{\aa}r vi p{\aa} en av polene, vil et lite skritt
alltid bli i retning s{\o}rover (evt nordover), aldri {\o}stover eller vestover. St{\aa}r vi
p{\aa} ekvator, derimot, dvs i $\theta = \pi/2$, blir $dl_\phi = r\sin\pi/2 \;d\phi = r\;d\phi$.
Ikke urimelig det heller: Her er {\o}st, vest, s{\o}r og nord ``likeverdige'' retninger,
s{\aa} $dl_\theta = r\;d\theta$ og $dl_\phi = r\;d\phi$ b{\o}r her v{\ae}re ``p{\aa} samme form''.


\vspace{0.2cm}
\noindent
Fra figuren finner vi videre de tre flateelementene med flatenormaler henholdsvis
langs $\hat{r}$, $\hat{\theta}$ og $\hat{\phi}$:
\begin{eqnarray}
d\bold{A}_r &=& (r\;d\theta)(r\sin\theta\;d\phi)\hat{r} \nonumber \\
&=& r^2\sin\theta\;d\theta\;d\phi\;\hat{r} \nonumber \\ 
d\bold{A}_\theta &=& (dr)(r\sin\theta\;d\phi)\hat{\theta} \nonumber \\
&=& r\;dr\sin\theta\;d\phi\;\hat{\theta} \nonumber \\
d\bold{A}_\phi &=& (dr)(r\;d\theta)\hat{\phi} \nonumber \\
&=& r\;dr\;d\theta\;\hat{\phi} \nonumber
\end{eqnarray}
Merk at disse tre er {\em vektorer}, med absoluttverdi lik arealet av
flateelementet (f.eks. $dA_r$) og retning normalt p{\aa} flaten
(f.eks. $\hat{r}$). Vi trenger b{\aa}de {\em st{\o}rrelse} og {\em orientering}
for {\aa} gi en presis beskrivelse av en flate!

\vspace{0.4cm}
\noindent
Endelig ser vi at volumelementet m{\aa} bli 
$$dV = (dr)(r\;d\theta)(r\sin\theta\;d\phi) = r^2\;dr\sin\theta\;d\theta\;d\phi$$

\vspace{0.6cm}
\noindent
$b)$ Volumet av ei kule med radius $R$ finner vi ved {\aa} integrere volumelementet
$dV$ over alle verdier av $\theta$ og $\phi$ og $r$ fra 0 til $R$:
\begin{eqnarray}
V(R) &=& \int_{r<R} dV = \int_0^R r^2\;dr \int_0^\pi \sin\theta\;d\theta \int_0^{2\pi}d\phi \nonumber \\
&=&\frac{1}{3}R^3 \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}R^3 \nonumber
\end{eqnarray}
Merk at n{\aa}r vi integrerer over $\phi$ fra 0 til $2\pi$, m{\aa} vi integrere over $\theta$
fra 0 til $\pi$, og ikke $2\pi$, for {\aa} dekke alle romvinkler (``retninger'') {\em en} gang, og ikke to.


\vspace{0.4cm}
\noindent
Arealet av ei kuleflate med radius $R$ finner vi ved {\aa} integrere flateelementet
$dA_r$ (alts{\aa} absoluttverdien av $d\bold{A}_r$) over alle verdier av $\theta$ og $\phi$ med $r=R$:
$$A(R) = \int_{r=R} dA_r = R^2 \int_0^\pi \sin\theta\;d\theta \int_0^{2\pi} d\phi =
R^2 \cdot 2 \cdot 2\pi = 4\pi R^2$$

\newpage
%\vspace{0.4cm}
\noindent
$c)$ Den oppgitte ladningstettheten er positiv (eller null) overalt inne i kula. Den vokser line{\ae}rt
med avstanden fra kulas sentrum. Videre f{\o}rer leddet $\cos^2\theta$ til st{\o}rst ladningstetthet
p{\aa} de to ``polene'' (dvs $\theta=0$ eller $\theta = \pi$) og minst ladningstetthet (null) i
ekvatorplanet (dvs $\theta = \pi/2$).

\noindent
Et lite volumelement $dV$ av kula inneholder en ladning
$$dq = \rho \; dV$$
Kulas totale ladning f{\aa}r vi ved {\aa} integrere $dq$ over kulas volum. Vi bruker uttrykket for $dV$
fra punkt $a)$ og f{\aa}r:

\begin{eqnarray}
Q &=& \int dq \nonumber \\
&=& \int_{r=0}^{R} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2\pi} \rho_0 \frac{r}{R} \cos^2\theta
    r^2\;dr\sin\theta\;d\theta\;d\phi \nonumber \\
&=& \rho_0 \left( \int_{r=0}^{R} \frac{r^3}{R}\;dr \right) 
           \left( \int_{\theta=0}^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta\;d\theta \right)
           \left( \int_{\phi=0}^{2\pi} d\phi \right) \nonumber \\
&=& \rho_0 \;\; |_{0}^{R}\;\frac{r^4}{4R} \;\; |_{0}^{\pi}\;\left(-\frac{1}{3}\cos^3\theta\right) \;\;
    |_{0}^{2\pi}\;\phi \nonumber \\
&=& \rho_0 \frac{R^3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\pi \nonumber \\
&=& \frac{\rho_0 \pi R^3}{3} \nonumber 
\end{eqnarray}

\noindent
Har vi regnet riktig? Vel, vi har i hvert fall riktig dimensjon: Ladning pr volumenhet $\rho_0$
ganget med en faktor $R^3$, som har dimensjon som et volum.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Med andre ord: Intet ``mystisk'' med slike flerdimensjonale integraler: Det er bare {\aa} integrere over hver
integrasjonsvariabel for seg. Her var integranden hele tiden uavhengig av vinkelen $\phi$, s{\aa} integralet over
den gav bare en faktor $2\pi$. Videre var selvsagt $\theta$-avhengigheten i $\rho$ 
i den siste oppgaven valgt med omhu, slik
at vi fikk et enkelt l{\o}sbart integral over variabelen $\theta$. 


\vspace{0.5cm}
\noindent
Legg videre merke til at vi som regel ikke ``gidder'' {\aa} skrive $\int \int \int dV$,
men simpelthen $\int dV$, selv om det alts{\aa} er tre integrasjoner involvert. Det vil
alltid g{\aa} fram av sammenhengen om det er en linje, en flate eller et volum vi skal
integrere over.
\end{document}
