\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008, uke 5

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 29.01.08
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Beregning av $\bold{E}$ fra $V$} 

\noindent
[FGT 24.4; YF 23.5; TM 23.3; AF 21.10; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 1.2.2]

\vspace{0.3cm}
$$\bold{E} = - \nabla V$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gradientoperatoren $\nabla$:
\begin{eqnarray}
\nabla V &=& \frac{\partial V}{\partial x} \hat{x} +
\frac{\partial V}{\partial y} \hat{y} +
\frac{\partial V}{\partial z} \hat{z} \;\;{\rm (kartesiske}\;{\rm koordinater)} \nonumber \\
&=& \frac{\partial V}{\partial s}\hat{s} +
\frac{1}{s}\frac{\partial V}{\partial\phi}\hat{\phi} +
\frac{\partial V}{\partial z}\hat{z} \;\;{\rm (sylinderkoordinater)} \nonumber \\
&=& \frac{\partial V}{\partial r}\hat{r} +
\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}\hat{\theta} +
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial\phi}\hat{\phi} \;\;{\rm (kulekoordinater)} \nonumber
\end{eqnarray}
Det er ikke et krav at du skal g{\aa} rundt og huske p{\aa} hvordan gradientoperatoren
ser ut i sylinder- og kulekoordinater. Den vil bli oppgitt dersom det f.eks. skulle bli 
bruk for den til eksamen. P{\aa} den annen side: I hver eneste komponent gjenkjenner vi
nevneren som den aktuelle komponenten av den aktuelle forflytningsvektoren $d\bold{l}$,
med $dx$ erstattet av $\partial x$ osv. Eksempel: I sylinderkoordinater har vi
$$d\bold{l} = ds \, \hat{s} + s \, d\phi \, \hat{\phi} + dz \, \hat{z},$$
og $\phi$-komponenten av $\nabla V$ blir da
$$\frac{\partial V}{s\,\partial\phi}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Hvis vi for eksempel har kulesymmetri (dvs $\bold{E}$ og $V$ kun avhengig av $r$, ikke av vinklene $\theta$ og $\phi$):
$$\bold{E} = E(r)\hat{r} = -\frac{\partial V}{\partial r} \hat{r}$$


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Betydning av gradientoperatoren} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
Vektoren $\nabla V$ peker i den retningen som $V$ {\o}ker raskest, dvs i den retningen der den
{\em retningsderiverte} til $V$ er st{\o}rst. Ettersom $\bold{E} = - \nabla V$, betyr det at
det elektriske feltet peker i den retningen som $V$ {\em avtar} raskest.

\noindent
Eksempel: Dersom en punktladning $q$ plasseres et sted der $\nabla V = 0$, blir den ikke
utsatt for noen elektrisk kraft, for da er $\bold{F} = q\bold{E} = -q\nabla V = 0$.

\newpage
%\vspace{0.8cm}
\noindent
{\bf Ekvipotensialflater} 

\noindent
[FGT 24.3; YF 23.4; TM 23.5; AF 21.11; LHL 19.11; DJG 2.3.2]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ekvipotensialflater er flater i rommet med konstant potensial.

$$\Delta V = - \int \bold{E}\cdot d\bold{l} = 0$$
for {\em vilk{\aa}rlig} integrasjonsvei p{\aa} en ekvipotensialflate.

\noindent
Dermed:
$$\bold{E} \perp \;\; {\rm ekvipotensialflate}$$


\vspace{0.8cm}
\noindent
{\bf Oppsummering til n{\aa}, og m{\o}te med Maxwell-ligning nr 1}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to ladninger $q$ og $q'$ i innbyrdes avstand $r$):
$$\bold{F} = \frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{r}$$
Elektrisk felt fra punktladning $q$ (f{\o}lger av definisjonen ``kraft pr ladningsenhet''):
$$\bold{E} = \frac{\bold{F}}{q'} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{r}$$
Konservativ kraft:
$$\int_A^B \bold{F}\cdot d\bold{l}$$
er uavhengig av integrasjonsveien, dvs veien mellom punktene $A$ og $B$. Dermed:
$$\oint \bold{F}\cdot d\bold{l} = 0$$
(dvs n{\aa}r vi integrerer rundt en {\em lukket} kurve)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Med definisjonen av $\bold{E}$ f{\o}lger det da at det elektrostatiske feltet
ogs{\aa} er konservativt, dvs:
$$\int_A^B \bold{E}\cdot d\bold{l}$$
er uavhengig av integrasjonsveien, og dermed
$$\oint \bold{E}\cdot d\bold{l} = 0$$
Dette er en av {\em Maxwells ligninger} (vel {\aa} merke, for statiske felt,
dvs felt som ikke endrer seg med tiden).

\noindent
Et konservativt vektorfelt kan alltid avledes fra et skalart {\em potensial}:
$$\bold{E} = - \nabla V$$
Potensialforskjellen mellom to punkter $A$ og $B$ kan beregnes dersom vi kjenner det elektriske
feltet i omr{\aa}det mellom $A$ og $B$:
$$\Delta V = V_B - V_A = - \int_A^B \bold{E}\cdot d\bold{l}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Superposisjonsprinsippet} gjelder for elektrisk kraft $\bold{F}$ (eksperimentelt resultat):
$$\bold{F}_i = \sum_{j=1}^{n}\bold{F}_{ij}$$
= kraft p{\aa} ladning $q_i$ fra ladninger $q_j$ ($j=1,2,\dots n$)

\noindent
Da f{\o}lger det at superposisjonsprinsippet ogs{\aa} gjelder for elektrisk felt $\bold{E}$,
$$\bold{E} = \sum_{j=1}^{n}\bold{E}_j$$
og for elektrisk potensial $V$,
$$V = \sum_{j=1}^{n} V_j$$
Her er $\bold{E}_j$ og $V_j$ bidrag til henholdsvis felt og potensial fra ladning nummer $j$.


\newpage

\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 30.01.08
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Elektrisk fluks} 

\noindent
[FGT 23.1; YF 22.1, 22.2; TM 22.2; AF 25.3; LHL 19.7; DJG 2.2.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$$\phi = \int_S \bold{E} \cdot d\bold{A}$$
Noen ganger skriver vi $\phi_E$ for {\aa} presisere at det er snakk om {\em elektrisk} fluks.
Vi har tidligere definert elektriske feltlinjer slik at den elektriske feltstyrken $E = |\bold{E}|$
skulle v{\ae}re proporsjonal med tettheten av feltlinjer, eller antall feltlinjer
pr flateenhet. Av ovenst{\aa}ende definisjon av elektrisk fluks $\phi$ kan vi da slutte at
$\phi$ representerer antall feltlinjer som krysser flaten $S$.

\noindent
F{\o}lgende figur illustrerer hva dette g{\aa}r ut p{\aa}: 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm} 
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke36_fig1.eps}} 
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Flaten $S$ er en vilk{\aa}rlig ``tenkt'' eller ``valgt'' flate i rommet. Det elektriske feltet
``eksisterer'' i omr{\aa}det der flaten $S$ er ``plassert''. ($\bold{E}$ kan v{\ae}re null
eller forskjellig fra null.) Flaten $S$ tenkes s{\aa} delt inn i sm{\aa} flateelementer $d\bold{A} =
\hat{n}dA$, med areal $dA$ og orientering i rommet spesifisert ved {\em flatenormalen} $\hat{n}$.
Fluksen $d\phi$ gjennom flaten $dA$ er da lik $\bold{E}\cdot d\bold{A}$. Den totale fluksen gjennom
hele flaten $S$ f{\aa}r vi ved {\aa} integrere opp bidragene $d\phi$, alts{\aa} ligningen over.

\vspace{0.1cm}
\noindent
Merk at fluksen er en {\em skalar} st{\o}rrelse. Den kan imidlertid v{\ae}re positiv eller
negativ, avhengig av om vinkelen mellom vektorene $\bold{E}$ og $d\bold{A}$ er mindre eller
st{\o}rre enn 90 grader.

\vspace{0.3cm}
\noindent
En {\em lukket flate} $S$ er en flate som omslutter et veldefinert volum $V$, f.eks. et kuleskall,
et pean{\o}ttskall e.l. Den elektriske fluksen gjennom en lukket flate skriver vi slik
(jfr. notasjonen for veiintegral rundt lukket kurve):
$$\phi_c = \oint_S \bold{E} \cdot d\bold{A}$$
Indeksen $c$ st{\aa}r for ``closed''. Den er fors{\aa}vidt un{\o}dvendig s{\aa} lenge vi skriver
ned integralet. Ringen p{\aa} integrasjonssymbolet er tilstrekkelig for {\aa} understreke at det
er snakk om en lukket flate.

\noindent
Med en lukket flate kan vi gj{\o}re unna ``fortegnsproblemet'' en gang for alle: Vi velger
{\em positiv} retning p{\aa} $d\bold{A}$ {\em ut av} flaten.

\noindent
Dermed kan vi konkludere med at
\begin{eqnarray}
\bold{E} \cdot d\bold{A} > 0 \;\;\Rightarrow \;\;{\rm fluks}\;{\rm ut}\;{\rm gjennom}\;{\rm flaten} \nonumber \\
\bold{E} \cdot d\bold{A} < 0 \;\;\Rightarrow \;\;{\rm fluks}\;{\rm inn}\;{\rm gjennom}\;{\rm flaten} \nonumber
\end{eqnarray}
Dessuten:
\begin{eqnarray}
\phi_c > 0 \;\;\Rightarrow \;\;{\rm netto}\;{\rm fluks}\;{\rm ut}\;{\rm gjennom}\;{\rm flaten} \nonumber \\
\phi_c < 0 \;\;\Rightarrow \;\;{\rm netto}\;{\rm fluks}\;{\rm inn}\;{\rm gjennom}\;{\rm flaten} \nonumber
\end{eqnarray}
For en {\em ikke lukket} flate $S$ har vi ingen tilsvarende mulighet for {\aa} velge positiv retning
p{\aa} $d\bold{A}$. Flaten har to sider, og ingen av disse kan sies {\aa} v{\ae}re mer ``inne'' eller
``ute'' i forhold til den andre. I enkelte tilfeller velger vi
imidlertid en positiv retning p{\aa} (den lukkede!) kurven (linjen) som g{\aa}r rundt kanten av $S$.
Da definerer vi positiv retning p{\aa} $d\bold{A}$ ved hjelp av {\em h{\o}yreh{\aa}ndsregelen}:
La h{\o}yreh{\aa}ndas fire {\o}vrige fingre peke i positiv retning for flatens omsluttende kurve. Da
peker tommelen i positiv retning for $d\bold{A}$.


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Gauss' lov} 

\noindent
[FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov (p{\aa} s{\aa}kalt integralform; senere i kurset, hvis vi f{\aa}r tid,
skal vi se at vi ogs{\aa} har en versjon av Gauss' lov p{\aa} s{\aa}kalt
differensialform):
$$\oint_S \bold{E} \cdot d\bold{A} = \frac{q_{\rm in}}{\varepsilon_0}$$
Her er integralet p{\aa} venstre side av ligningen et {\em flateintegral}
over en {\em lukket} flate $S$, mens $q_{\rm in}$ er total (netto) ladning
innenfor den lukkede flaten (``gaussflaten'').

\noindent
Gauss' lov er en av {\em Maxwells ligninger}. (Vi konsentrerer oss fremdeles
om {\em elektrostatikk} en god stund framover, men faktisk er det slik at
Gauss' lov ogs{\aa} gjelder selv om $\bold{E}$ skulle finne p{\aa} {\aa}
variere med tiden.)

\noindent
Innholdet i ligningen kan formuleres slik: Netto antall feltlinjer ut
av et volum, dvs ut gjennom den lukkede flaten som avgrenser dette
volumet, er bestemt av, og direkte proporsjonal med netto ladning inne
i volumet, dvs innenfor den lukkede flaten.

\noindent
Gauss' lov f{\o}lger direkte av Coulombs lov (og representerer dermed
egentlig ingen ny fysikk).

\vspace{2cm}
\noindent
I neste uke skal vi bevise Gauss' lov og se p{\aa} et par eksempler p{\aa}
hva vi kan bruke Gauss' lov til. Deretter skal vi se litt p{\aa} ulike
materialers elektriske egenskaper.


\end{document}
