\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke19

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 7. mai
\end{large}
\end{center}


\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Elektromagnetisk induksjon (fortsatt)} 

\noindent
[FGT 30.1 - 30.6; YF 29.1 - 29.5; TM 28.2 - 28.3; AF 27.1 - 27.3; LHL 24.1; DJG 7.2]

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Retningen} p{\aa} indusert ems $\ems$ bestemmes med {\em Lenz' lov}: En eventuell generert str{\o}m
$I$, drevet av $\ems$, skaper et magnetfelt $\bold{B}_I$ og dermed en magnetisk fluks
$\phi_I = \int_S \bold{B}_I \cdot d\bold{A}$ som er {\em motsatt rettet fluksendringen}
$d\phi_m$ som i utgangspunktet for{\aa}rsaket $\ems$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
En indusert ems $\ems$ i ei lukket ledersl{\o}yfe impliserer et {\em indusert elektrisk
felt} $\bold{E}$:
$$\ems = \oint \bold{E} \cdot d\bold{l}$$
Faradays lov (eller for {\aa} v{\ae}re presis: Faraday - Henrys lov) 
uttrykker dermed en sammenheng mellom {\em feltene} $\bold{E}$ og $\bold{B}$:
$$\oint_c \bold{E} \cdot d\bold{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$
der $c$ er en lukket kurve som omslutter en flate $S$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Ettersom integralet av et slik ``Faraday-indusert'' elektrisk felt rundt en lukket kurve
{\em ikke} er lik null, er det (pr definisjon) heller {\em ikke} et konservativt felt.
(Mens et {\em elektrostatisk} felt {\em er} konservativt.)



\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Gjensidig induktans}

\noindent
[FGT 32.1; YF 30.1; AF 27.12; LHL 25.4; DJG 7.2.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
En str{\o}m $I_1$ i ei str{\o}msl{\o}yfe (1) resulterer i et magnetfelt $\bold{B}_1$
i omr{\aa}det omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp
av Biot-Savarts lov:
$$\bold{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{4\pi}\oint_{(1)}\frac{d\bold{l}_1\times\hat{r}}{r^2}$$
(se f.eks. uke13.pdf). Dersom ei {\em anna} str{\o}msl{\o}yfe (2) er plassert i dette
omr{\aa}det, vil magnetfeltet  fra sl{\o}yfe (1) resultere i en magnetisk fluks gjennom
sl{\o}yfe (2):
$$\phi_2 = \int_{S_2} \bold{B}_1 \cdot d\bold{A}_2 =
\int_{S_2} \left\{ \frac{\mu_0 I_1}{4\pi}\oint_{(1)}\frac{d\bold{l}_1\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}_2$$
Uansett hva dette gufne integralet m{\aa}tte v{\ae}re, kan vi uttrykke det p{\aa} formen
$$\phi_2 = M_{21} I_1$$
forutsatt at $I_1$ er konstant i sl{\o}yfe (1), dvs den samme alle steder i sl{\o}yfa. (Og det
m{\aa} den jo v{\ae}re hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

\noindent
Faktoren $M_{21}$ er den {\em gjensidige induktansen} mellom de to sl{\o}yfene (1) og (2) og
uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ``gjennom'' (dvs omsluttet av) sl{\o}yfe (2)
n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfe (1):
$$M_{21} = \frac{\phi_2}{I_1}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Omvendt m{\aa} vi ogs{\aa} f{\aa} en magnetisk fluks gjennom sl{\o}yfe (1) hvis det g{\aa}r
en str{\o}m i sl{\o}yfe (2):
$$\phi_1 = \int_{S_1} \bold{B}_2 \cdot d\bold{A}_1 =
\int_{S_1} \left\{ \frac{\mu_0 I_2}{4\pi}\oint_{(2)}\frac{d\bold{l}_2\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}_1$$
dvs: Str{\o}mmen $I_2$ i sl{\o}yfe (2) skaper magnetfeltet $\bold{B}_2$, og dermed fluksen
$\phi_1$ gjennom sl{\o}yfe (1).

\noindent
Og uansett hva {\em dette} integralet m{\aa}tte bli, kan vi alltids skrive
$$\phi_1 = M_{12} I_2$$
der faktoren $M_{12}$ uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ``gjennom'' (dvs: gjennom arealet omsluttet av)
sl{\o}yfe (1) n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfe (2):
$$M_{12} = \frac{\phi_1}{I_2}$$
B{\aa}de $M_{21}$ og $M_{12}$ er rett og slett geometriske faktorer som avhenger av form, st{\o}rrelse
og relativ plassering til de to str{\o}msl{\o}yfene.

\noindent
En kan vise at (se f.eks. Griffiths)
$$M_{21} = M_{12}$$
alltid gjelder. En kan dermed {\em velge} mellom to alternative framgangsm{\aa}ter for {\aa}
bestemme gjensidig induktans mellom to str{\o}msl{\o}yfer: Enten beregne magnetisk fluks gjennom
(1) pga str{\o}m i (2), eller omvendt. Noen ganger er det ene mye enklere enn det andre!

\vspace{1.0cm}
\noindent
Enhet for induktans: $[M] = [\phi_m/I] = [B \cdot A/I] =$ T$\cdot$m$^2$/A $\equiv$ H (henry)

\vspace{1.0cm}
\noindent
Gjensidig induksjon:

\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I_1(t)$ i sl{\o}yfe (1) gir tidsavhengig fluks $\phi_2(t)$ gjennom
sl{\o}yfe (2), og dermed indusert ems i sl{\o}yfe (2):
$$\ems_2 = -\frac{d\phi_2}{dt} = -M_{21}\frac{dI_1}{dt}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I_2(t)$ i sl{\o}yfe (2) gir tidsavhengig fluks $\phi_1(t)$ gjennom
sl{\o}yfe (1), og dermed indusert ems i sl{\o}yfe (1):
$$\ems_1 = -\frac{d\phi_1}{dt} = -M_{12}\frac{dI_2}{dt}$$


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Selvinduktans}

\noindent
[FGT 32.1; YF 30.2; TM 28.6; AF 27.8; LHL 25.1; DJG 7.2.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
En str{\o}m $I$ i ei str{\o}msl{\o}yfe resulterer i et magnetfelt $\bold{B}$
i omr{\aa}det omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp
av Biot-Savarts lov:
$$\bold{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2}$$
(se f.eks. uke14.pdf). Magnetfeltet  fra sl{\o}yfa resulterer i en magnetisk fluks gjennom
sl{\o}yfa  selv:
$$\phi = \int_{S} \bold{B} \cdot d\bold{A} =
\int_{S} \left\{ \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}$$
Uansett hva dette gufne integralet m{\aa}tte v{\ae}re, kan vi uttrykke det p{\aa} formen
$$\phi = L I$$
forutsatt at $I$ er konstant i sl{\o}yfa, dvs den samme alle steder i sl{\o}yfa. (Og det
m{\aa} den jo v{\ae}re hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

\noindent
Faktoren $L$ er {\em selvinduktansen} til sl{\o}yfa og
uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ``gjennom'' (dvs: gjennom arealet omsluttet av) sl{\o}yfa
n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfa:
$$L = \frac{\phi}{I}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Enhet for selvinduktans: $[L] = [\phi_m/I] = [B \cdot A/I] =$ T$\cdot$m$^2$/A $\equiv$ H (henry)

\vspace{1.0cm}
\noindent
Selvinduksjon:

\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I(t)$ i sl{\o}yfe gir tidsavhengig fluks $\phi(t)$ gjennom
sl{\o}yfa, og dermed indusert ems i sl{\o}yfa:
$$\ems = -\frac{d\phi}{dt} = -L\frac{dI}{dt}$$



\newpage
%\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 8. mai
\end{large}
\end{center}


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf $RL$-krets (med likespenningskilde $V_0$)} 

\noindent
[FGT 32.4; YF 30.4; TM 28.8; AF Ex 27.5; LHL 25.2; DJG Ex 7.12]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ser p{\aa} seriekobling av {\em induktans} $L$ (f.eks. en spole) og {\em resistans} $R$.
Et batteri med likespenning $V_0$ kobles til kretsen ved tidspunktet $t=0$.


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke48_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Total ems i kretsen er da
$$V_0 - L \frac{dI}{dt}$$
der det siste leddet er indusert ``motspenning'' over induktansen n{\aa}r vi pr{\o}ver
{\aa} {\em endre} str{\o}mstyrken gjennom den.

\noindent
If{\o}lge Kirchhoffs spenningsregel (evt ``sl{\o}yferegel'') m{\aa} denne totale emsen
i sl{\o}yfa tilsvare spenningsfallet over motstanden $R$, med andre ord
$$V_0 - L \frac{dI}{dt} = RI$$
eller
$$L \frac{dI}{dt} + RI = V_0$$
Dette er n{\o}yaktig samme type 1. ordens differensialligning for str{\o}mmen $I$
som det vi hadde for kondensatorladningen $Q$ da vi studerte opplading av kondensator
i en $RC$-krets (se uke13.pdf, side 4). L{\o}sningen blir
$$I(t) = \frac{V_0}{R} \left(1 - e^{-Rt/L} \right)$$
der vi har brukt initialbetingelsen $I(0) = 0$. (F{\o}r innkobling av batteriet er
{\aa}penbart $I=0$. I tidspunktet $t=0$ kan {\em ikke} str{\o}mmen i kretsen ``hoppe''
opp til en endelig verdi forskjellig fra null. Det m{\aa}tte i s{\aa}fall inneb{\ae}re
at $dI/dt \rightarrow \infty$ i $t=0$, hvilket igjen ville inneb{\ae}re en uendelig
stor motspenning over induktansen. Det er rett og slett ikke fysisk mulig! Alts{\aa}
m{\aa} $I$ v{\ae}re kontinuerlig i $t=0$, og vi kan sette $I(0)=0$.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Tidskonstant} for endring av str{\o}mmen:
$$\tau = \frac{L}{R}$$
Verdien av $\tau$ gir en {\em st{\o}rrelsesorden} for hvor lang tid det tar {\aa}
{\o}ke str{\o}mmen i en slik $RL$-krets fra 0 til maksimal verdi $V_0/R$:
$$I(t\rightarrow \infty) = \frac{V_0}{R}$$


\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf $RL$-krets (med vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$)} 

\noindent
[FGT 33.2; YF 31.2; TM 29.2, 29.3; AF Note 27.2; LHL 27.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Med en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ koblet til en induktans $L$
har vi med bruk av Kirchhoffs spenningsregel:
\begin{eqnarray}
V_0 \cos \omega t + V_L &=& 0 \nonumber \\
V_0 \cos \omega t &=& L \frac{dI}{dt} \nonumber \\
I(t) &=& \frac{V_0}{\omega L} \sin \omega t = \frac{V_0}{\omega L} \cos (\omega t - \frac{\pi}{2} ) \nonumber
\end{eqnarray}
Vi kan skrive str{\o}mmen $I(t)$ p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \cos (\omega t - \alpha)$$
(jfr uke12, og tilsvarende for kapasitans $C$ og $RC$-kretser), og ser at str{\o}mamplituden er
$$I_0 = \frac{V_0}{\omega L}$$
mens fasevinkelen er
$$\alpha = \frac{\pi}{2}$$
Dvs, str{\o}m $I$ og p{\aa}trykt spenning $V = V_0 \cos \omega t$ er faseforskj{\o}vet med en kvart periode
i forhold til hverandre. I forbindelse med $RC$-kretser og vekselspenningskilde innf{\o}rte vi 
st{\o}rrelsen {\em impedans} $Z$, definert ved
$$Z = \frac{V_0}{I_0}$$
Med andre ord, en slags generalisert motstand, jfr Ohms lov $R = V/I$. Vi ser da at impedansen til
en induktans $L$ blir
$$Z_L = \omega L$$
med fasevinkel
$$\alpha_L = \pi/2$$

\newpage
\noindent
Et eksempel til: Vekselspenningskilde $V_0 \cos\omega t$ koblet til en parallellkobling av
en motstand $R$ og en induktans $L$.

\noindent
Da m{\aa} den totale str{\o}mmen $I$ som ''leveres'' av spenningskilden fordele seg p{\aa}
en str{\o}m $I_R$ gjennom motstanden og en str{\o}m $I_L$ gjennom induktansen:
$$I = I_R + I_L$$
(Dvs: Kirchhoffs str{\o}mregel.) Videre m{\aa} vi gjenfinne den p{\aa}trykte spenningen som
et tilsvarende spenningsfall, b{\aa}de over motstanden og over induktansen. Med andre ord:
\begin{eqnarray}
V_0 \cos\omega t &=& R I_R \nonumber \\
V_0 \cos\omega t &=& L \frac{dI_L}{dt} \nonumber
\end{eqnarray}
(Dvs: Kirchhoffs spenningsregel.) Disse ligningene l{\o}ses greit, og vi finner
\begin{eqnarray}
I_R &=& \frac{V_0}{R} \cos\omega t \nonumber \\
I_L &=& \frac{V_0}{\omega L} \sin\omega t \nonumber
\end{eqnarray}
Total str{\o}m levert av spenningskilden blir dermed
$$I(t) = I_R(t) + I_L(t) = \frac{V_0}{R} \cos\omega t + \frac{V_0}{\omega L} \sin\omega t$$
Vi kan skrive denne summen av to ledd p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \cos (\omega t - \alpha)$$
ved {\aa} bruke den trigonometriske relasjonen
$$\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$
Dermed:
$$\cos (\omega t - \alpha) = \cos \omega t \cos\alpha + \sin \omega t \sin\alpha$$
Sammenligning med uttrykket for $I(t) = I_R + I_L$ gir oss f{\o}lgende to ligninger
for de to ukjente st{\o}rrelsene $I_0$ og $\alpha$:
\begin{eqnarray}
\frac{V_0}{R} &=& I_0 \cos\alpha \nonumber \\
\frac{V_0}{\omega L} &=& I_0 \sin\alpha \nonumber
\end{eqnarray}
Dette ligningssettet har l{\o}sning
$$\tan\alpha = \frac{R}{\omega L} \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
\alpha = \arctan \frac{R}{\omega L}$$
og
$$I_0 = V_0 \left( \frac{1}{R^2} + \frac{1}{\omega^2 L^2} \right)^{1/2}$$
Fra definisjonen av impedans, $Z = V_0/I_0$, ser vi at impedansen til en
parallellkobling er
$$Z = \left( \frac{1}{R^2} + \frac{1}{\omega^2 L^2} \right)^{-1/2}$$
Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er liten, dvs $\omega \ll R/L$,
vil leddet $1/\omega^2 L^2$ dominere i forhold til $1/R^2$, slik at
$$Z \simeq \omega L$$
Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er stor, dvs $\omega \gg R/L$,
vil leddet $1/R^2$ dominere i forhold til $1/\omega^2 L^2$, slik at
$$Z \simeq R$$

\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Energi i magnetfelt} 

\noindent
[FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
La oss regne ut hvor mye energi som m{\aa} tilf{\o}res en spole med
induktans $L$ n{\aa}r vi {\o}ker str{\o}mmen gjennom spoletr{\aa}den
fra $i=0$ til en ``sluttverdi'' $i=I$.

\noindent
Tilf{\o}rt energi ved {\aa} {\o}ke str{\o}mmen fra $i$ til $i + di$:
$$dU_B = P\;dt = iv\;dt = iL \frac{di}{dt}dt = Li\;di$$
Her er $P=iv$ tilf{\o}rt effekt, og $v = L di/dt$ spenningen over spolen
idet vi endrer str{\o}mmen fra $i$ til $i + di$.

\noindent
Dermed blir total energi tilf{\o}rt for {\aa} {\o}ke str{\o}mmen fra 0 til $I$ lik
$$U_B = \int dU_B = L \int_0^I i\;di = \frac{1}{2} L I^2$$
Denne energien kan vi n{\aa} assosiere med magnetfeltet $B$ inne i spolen. Anta at
spolen er tiln{\ae}rmet uendelig lang, med $N$ viklinger p{\aa} hele lengden $l$.
Tverrsnittet av spolen har areal $A$. Da er magnetfeltet inne i spolen
$$B = \mu_0 n I = \mu_0 \frac{N}{l} I$$
(P{\aa} utsiden av spolen er magnetfeltet null.)
Total magnetisk fluks gjennom de $N$ viklingene p{\aa} spolen blir
$$\phi_m = NAB = NA\mu_0 \frac{N}{l}I$$
som ogs{\aa} kan skrives p{\aa} formen
$$\phi_m = LI$$
der $L$ er spolens (selv-)induktans. Med dette kan vi omforme uttrykket for
energien $U_B$:
$$U_B = \frac{1}{2} \frac{NAB}{I} I^2 = \frac{1}{2}NAB \cdot \frac{Bl}{\mu_0 N} = \frac{1}{2\mu_0} B^2 \cdot Al$$
Her er $Al$ lik volumet inne i spolen, s{\aa} vi ser at vi har en {\em energitetthet} (dvs energi
pr volumenhet) assosiert med magnetfeltet $B$:
$$u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2$$
Fra f{\o}r har vi funnet at vi har en energitetthet $u_E$ assosiert med et elektrisk felt $E$:
$$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$$
Dermed blir {\em total energitetthet i et elektromagnetisk felt}:
$$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Kommentar: Dette uttrykket er ``alltid riktig'', i den forstand at $u$ representerer energien ``lagret'' i
feltene $E$ og $B$. I litteraturen ``risikerer'' du {\aa} st{\o}te p{\aa} formelen
$$u = \frac{1}{2} \bold{D}\cdot\bold{E} + \frac{1}{2}\bold{B}\cdot\bold{H} =
\frac{1}{2} \varepsilon E^2 + \frac{1}{2\mu} B^2$$
for total energitetthet dersom vi har polariserbare og/eller magnetiserbare medier tilstede. (I den siste
overgangen her brukte vi at $\bold{D} = \varepsilon \bold{E}$ og $\bold{B} = \mu \bold{H}$, med
$\varepsilon =$ mediets permittivitet og $\mu =$ mediets permeabilitet.)

\noindent
Disse to uttrykkene for $u$ er ikke identiske, og kan derfor ikke representere den samme energitettheten.
Det siste uttrykket for $u$ inkluderer da ogs{\aa} et bidrag som ikke er direkte ``lagret'' i feltene,
nemlig den ``elastiske'' energien knyttet til polarisering og magnetisering, dvs innrettingen av
elektriske og magnetiske dipoler.

\noindent
I den grad noe av dette blir aktuelt til eksamen, skal vi kun bry oss om {\em feltenergien} gitt ved
$$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$



\end{document}
