\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2006

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 12
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Torsdag 30. mars

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 3. april

\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei sirkul{\ae}r str{\o}msl{\o}yfe med radius $R$ f{\o}rer en elektrisk str{\o}m
$I$. Str{\o}msl{\o}yfa ligger i $xy$-planet med sentrum i origo. Retningen p{\aa}
$I$ er mot klokka hvis vi har positiv $z$-akse ut av papirplanet. Vi skal i denne oppgaven
bestemme det resulterende magnetfeltet $\bold{B}(0,0,z) = \bold{B}(z)$ {\em p{\aa} symmetriaksen} til
str{\o}msl{\o}yfa (dvs p{\aa} $z$-aksen).

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov12_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvorfor er $x$- og $y$-komponenten av $\bold{B}(z)$ lik null? (Tips: Symmetri.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ I hvilken retning peker $\bold{B}(z)$ for positive og negative verdier av $z$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bruk Biot--Savarts lov,
$$d\bold{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} \;\;(=\;\;
\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times\bold{r}}{r^3}\;\;)$$ 
til {\aa} vise at
$$B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Bestem $B(z)$ i stor avstand fra str{\o}msl{\o}yfa (dvs: til ledende orden n{\aa}r
$z \gg R$) og uttrykk svaret ved hjelp av sl{\o}yfas {\em magnetiske dipolmoment} $m = |\bold{m}|$.

\vspace{0.1cm}
\noindent
Magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ for ei plan, lukket str{\o}msl{\o}yfe som omslutter
et areal $A$ er pr definisjon
$$\bold{m} = I\bold{A} = I A \; \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er enhetsvektoren normalt til den plane omsluttede flaten. Magnetisk dipolmoment er
alts{\aa} en {\em vektor} (p{\aa} samme m{\aa}te som elektrisk dipolmoment $\bold{p}$).
Positiv retning p{\aa} $\bold{m}$ er definert ved hjelp av h{\o}yreh{\aa}ndsregelen: Fire fingre
i str{\o}mmens retning gir tommelen i samme retning som $\bold{m}$.


\newpage
%\vspace{1.5cm}
\noindent
Kommentarer:

\noindent
Merk at ulike l{\ae}reb{\o}ker bruker litt ulik notasjon her:
Noen kaller det ``magnetisk dipolmoment'', andre bare ``magnetisk moment''.
Noen bruker symbolet $\bold{\mu}$, andre bruker $\bold{m}$. 
Uansett, det er samme fysiske st{\o}rrelse det dreier seg om! Vi velger {\aa} bruke
symbolet $\bold{m}$ og kaller det magnetisk dipolmoment, i tr{\aa}d med f.eks.
den norske boka (LHL) og Griffiths. (TM bruker $\bold{\mu}$, det samme gj{\o}r 
Young og Freedman.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Det er kanskje ogs{\aa} p{\aa} sin plass {\aa} nevne at, i likhet med elektrisk dipolmoment,
s{\aa} har ogs{\aa} magnetisk
dipolmoment en mer {\em generell} definisjon enn den vi innf{\o}rte ovenfor.
(Verden best{\aa}r jo tross alt ikke bare av parvise punktladninger med motsatt fortegn og
plane str{\o}msl{\o}yfer...!) La oss repetere den generelle definisjonen av
elektrisk dipolmoment: Har vi en romladningstetthet $\rho(\bold{r})$, er elektrisk
dipolmoment $\bold{p}$ pr definisjon
$$\bold{p} = \int \bold{r} \rho(\bold{r})\; d^3 r$$
Og har vi en str{\o}mfordeling gitt ved str{\o}mtettheten $\bold{j}(\bold{r})$, er
magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ pr definisjon
$$\bold{m} = \frac{1}{2} \int \bold{r} \times \bold{j}(\bold{r})\; d^3 r$$
Her g{\aa}r integralet over ``hele rommet'', dvs der henholdsvis $\rho$ og $\bold{j}$
er forskjellig fra null.
For {\em spesialtilfellene} som vi (stort sett)
ser p{\aa} i dette kurset, nemlig parvise punktladninger $\pm q$
i innbyrdes avstand beskrevet ved vektoren $\bold{d}$, og plane str{\o}msl{\o}yfer med
stasjon{\ae}r str{\o}m $I$ som omslutter et areal beskrevet ved vektoren 
(noen ganger kalt ``vektorarealet'') $\bold{A} = A\;\hat{n}$,
reduserer disse generelle definisjonene seg nettopp til
$$\bold{p} = q\bold{d}$$
og 
$$\bold{m} = I\bold{A}$$



\end{document}
