\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 4
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Uke 5

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 5. februar

\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.1cm}
\noindent
I kartesiske koordinater er et infinitesimalt (differensielt) linjeelement (veielement)
gitt ved (vektoren)
$$d\bold{l} = dx\;\hat{x} + dy\;\hat{y} + dz\;\hat{z}$$
Et infinitesimalt volumelement er (den skalare st{\o}rrelsen)
$$dV  = dx\;dy\;dz$$
Et infinitesimalt flateelement kan vi uttrykke som en {\em vektor}: P{\aa} samme m{\aa}te
som et linjeelement m{\aa} spesifiseres ved hjelp av en {\em absoluttverdi} (dvs lengden
av elementet) og en {\em retning}, m{\aa} et flateelement spesifiseres ved hjelp av
en absoluttverdi (dvs arealet av flaten) og en {\em orientering}. Og skal vi f{\aa}
til {\aa} spesifisere flateelementets orientering, er det vel egentlig ganske naturlig
{\aa} velge den retningen i rommet som st{\aa}r normalt p{\aa} flaten; 
den s{\aa}kalte {\em flatenormalen}. Det betyr at et flateelement med areal $dA$, som er
orientert i rommet p{\aa} en slik m{\aa}te at enhetsvektoren $\hat{n}$ (dimensjonsl{\o}s 
og med lengde 1) st{\aa}r vinkelrett p{\aa} flaten, kan spesifiseres med vektoren
$$dA \; \hat{n}$$
Med andre ord: En vektor med retning vinkelrett p{\aa} flaten, med absoluttverdi lik
flatens areal $dA$, og med dimensjon lik lengde kvadrert. (Dvs, enhet m$^2$.)

\noindent
For lettvinthets skyld bruker vi gjerne notasjonen
$$d\bold{A} = dA \; \hat{n}$$
for et slik flateelement.

\noindent
I kartesiske koordinater har vi dermed f{\o}lgende tre infinitesimale flater,
med orientering slik at flatenormalen peker henholdsvis langs $x$-, $y$- og
$z$-aksen:
\begin{eqnarray}
d\bold{A}_x &=& dy\;dz\;\hat{x} \nonumber \\
d\bold{A}_y &=& dx\;dz\;\hat{y} \nonumber \\
d\bold{A}_z &=& dx\;dy\;\hat{z} \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Vis at i kulekoordinater $(r,\theta,\phi)$ er de tilsvarende st{\o}rrelser
\begin{eqnarray}
d\bold{l} &=& dr\;\hat{r} + r\;d\theta\;\hat{\theta} + r\sin\theta\;d\phi\;\hat{\phi} \nonumber \\
d\bold{A}_r &=& r^2\sin\theta\;d\theta\;d\phi\;\hat{r} \nonumber \\
d\bold{A}_\theta &=& r\;dr\sin\theta\;d\phi\;\hat{\theta} \nonumber \\
d\bold{A}_\phi &=& r\;dr\;d\theta\;\hat{\phi} \nonumber \\
dV &=& r^2\;dr\sin\theta\;d\theta\;d\phi \nonumber
\end{eqnarray}
Med andre ord: Flateelementet $d\bold{A}_r$ er orientert slik at flatenormalen peker
radielt utover, dvs langs $\hat{r}$, og tilsvarende for de to andre.

\vspace{0.2cm}
\noindent
I denne oppgaven betyr "vis at" egentlig "overbevis deg selv om at du har forst{\aa}tt at".

\vspace{0.2cm}
\noindent
Tips: Det vil v{\ae}re til stor hjelp {\aa} tegne
opp et infinitesimalt volumelement som avgrenses av flatene $r$ og $r + dr$,
$\theta$ og $\theta + d\theta$, $\phi$ og $\phi + d\phi$. Se figur i ukentlig sammendrag, uke 3.
Legg merke til at enhetsvektorene $\hat{r}$, $\hat{\theta}$ og
$\hat{\phi}$ {\em ikke} er faste vektorer i rommet (i motsetning til de 
kartesiske enhetsvektorene $\hat{x}$, $\hat{y}$ og $\hat{z}$),
de er avhengige av {\em hvor} i rommet vi er, og {\em endrer retning} ettersom
vi flytter oss rundt omkring. Eksempler: I et punkt p{\aa} $y$-aksen (med $y>0$)
er $\hat{r}=\hat{y}$ mens i et punkt p{\aa} $z$-aksen ($z>0$), derimot,
er $\hat{r}=\hat{z}$. I hele $xy$-planet er
$\hat{\theta}=-\hat{z}$, mens $\hat{\phi}=-\hat{x}$ p{\aa} positiv $y$-akse
og $\hat{\phi}=\hat{x}$ p{\aa} negativ $y$-akse.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Vis, p{\aa} grunnlag av formlene over, at ei kule med radius $R$ har volum
$4\pi R^3/3$ og overflateareal $4\pi R^2$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Kommentar: Omkretsen av en sirkel med radius $R$ er $2\pi R$. Sirkelen {\em utspenner en vinkel}
p{\aa} $2\pi$ (radianer). Disse resultatene kommer vi fram til ved {\aa} starte med
et infinitesimalt bueelement $dl = R\;d\theta$ og integrere fra 0 til $2\pi$.
Tilsvarende har en kuleflate med radius $R$ et areal $4\pi R^2$. 
Kuleflaten {\em utspenner en romvinkel} p{\aa} $4\pi$ (s{\aa}kalte steradianer). 
Legg merke til analogien mellom vinkel i planet og romvinkel i rommet!
I sistnevnte tilfelle er utgangspunktet et infinitesimalt
{\em flateelement} $dA_R = R^2\;d\Omega$, der $d\Omega=\sin\theta\;d\theta\;d\phi$ er
et infinitesimalt {\em romvinkelelement}. Integrasjon over $\theta$ (fra retning ``nord'',
dvs langs positiv $z$, dvs $\theta=0$, til retning ``s{\o}r'', dvs langs negativ $z$, dvs
$\theta = \pi$) og $\phi$ (fra retning langs positiv $x$, dvs $\phi=0$, og en hel runde rundt,
dvs til $\phi = 2\pi$) gir deretter hele 
kuleflatens totale areal $A$, evt. den totale romvinkelen $\Omega = 4\pi$. 
Vi kommer mere tilbake til dette i forelesningene, i forbindelse med {\em Gauss lov}.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Anta n{\aa} at vi har ei kule med radius $R$. Inni kula har vi elektrisk ladning
gitt ved ladningstettheten (dvs ladning pr volumenhet)
$$\rho(r,\theta) = \rho_0 \frac{r}{R} \cos^2\theta$$
Hvor har vi st{\o}rst ladningstetthet? Enn minst? Bestem kulas totale ladning $Q$.

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vi har et uniformt elektrisk felt $\bold{E} = E_0 \; \hat{x}$. Bestem
potensialforskjellen mellom origo og f{\o}lgende punkter $(x,y)$
i $xy$-planet:

\noindent
$(i)$ $(a,0)$ \hspace{2cm} $(ii)$ $(0,a)$ \hspace{2cm} $(iii)$ $(a,a)$


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
En {\em elektrisk dipol} er plassert langs $z$-aksen med sentrum i origo,
som vist i figuren. Det elektriske {\em dipolmomentet} er da
$\bold{p} = q\bold{a}$, der $\bold{a} = a\;\hat{z}$ er vektoren fra $-q$ til $q$.

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=2.4in \epsfbox{ov3_fig5.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

\noindent
Siden vi her opplagt m{\aa} ha {\em symmetri} med hensyn til rotasjon omkring $z$-aksen, er det
tilstrekkelig {\aa} se p{\aa} forholdene i et halvplan som inneholder $z$-aksen, f.eks.
$xz$-planet, med $x>0$.

\noindent
Vi kan videre velge mellom kartesiske koordinater $(x,z)$ eller polarkoordinater $(r,\theta)$
for {\aa} angi en vilk{\aa}rlig posisjon i dette planet. Vi skal se p{\aa} begge deler i denne
oppgaven. Vinkelen $\theta$ kan vi selvsagt velge i forhold til hvilken kartesiske akse
vi vil; her lar vi $\theta$ v{\ae}re vinkelen som $\bold{r}$ danner i forhold til $z$-aksen
(se figuren).

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Bestem f{\o}rst sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene og polarkoordinatene,
dvs $x(r,\theta)$, $z(r,\theta)$ og $r(x,z)$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Vis at potensialet fra en slik dipol i kartesiske koordinater blir
$$V(x,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z-a/2\right)^2}} -
\frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z+a/2\right)^2}} \right)$$
Hva blir potensialet p{\aa} $x$-aksen, $V(x,0)$? Enn p{\aa} $z$-aksen, $V(0,z)$?
(P{\aa} {\em hele} $z$-aksen; pass p{\aa} fortegnene...!) Skisser funksjonen $V(0,z)$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Vis at i stor avstand fra dipolen (dvs $r\gg a$) er potensialet med god
tiln{\ae}rmelse gitt i polarkoordinater ved
$$V(r,\theta) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{\bold{p}\cdot\bold{r}}
{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$
Tips: Ta utgangspunkt i at
$$\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$$
og bruk figuren til {\aa} finne et tiln{\ae}rmet uttrykk for dette n{\aa}r $r \gg a$.

\noindent
Mens potensialet fra en enkelt punktladning avtar som $1/r$, avtar alts{\aa}
potensialet fra en dipol {\em raskere}, nemlig som $1/r^2$. Er dette rimelig?

\vspace{0.2cm}
\begin{small}
\noindent
Kommentar: For den som insisterer p{\aa} en mer rigid matematisk tiln{\ae}rming til
denslags, er det her snakk om {\aa} bestemme $V(r,\theta)$ "til ledende orden"
i den "lille parameteren" $a/r$. Med andre ord, det oppgitte uttrykket for
$V(r,\theta)$ er {\em eksakt} for en s{\aa}kalt {\em ideell dipol} med "null
utstrekning" (dvs $a \rightarrow 0$). Ekstran{\o}tt, hvis du syntes dette
ble for lett: Hva blir "dominerende korreksjon" til den oppgitte $V(r,\theta)$?
Dvs: Hva blir neste ledd i rekkeutviklingen (Maclaurinrekken) til $V(r,\theta)$
for sm{\aa} verdier av $a/r$, dvs $a/r  \ll 1$?
\end{small}

\end{document}
