\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Sammendrag, uke 13 (30. mars)
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Likestr{\o}mkretser} 

\noindent
[FGT 27; YF 26; TM 25; AF 24.7; LHL 22]

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke43_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Spenningskilde (f.eks. kjemisk batteri, solcelle etc.): 

\noindent
``Leverer'' {\em elektromotorisk spenning} (ems) $\ems$, dvs: s{\o}rger for
{\aa} holde konstant potensialforskjell $\ems$ mellom de to ``polene'' + og -.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Spenningsforhold i kretsen over ($\Delta V$ er endring i elektrisk potensial):

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke43_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a\rightarrow b: \Delta V \simeq 0$ (metall-ledning, god leder, $R_m \simeq 0$, $\bold{E} \simeq 0$)

\noindent
$b\rightarrow c: \Delta V = -RI$ (motstand, d{\aa}rlig leder, $R \gg R_m$, potensiell energi g{\aa}r tapt
som varme pga kollisjoner, $\bold{E} \neq 0$)

\noindent
$c\rightarrow d: \Delta V \simeq 0$ (som $a\rightarrow b$)

\noindent
$d\rightarrow a: \Delta V = \ems = RI$ ({\em mottar} ladningsb{\ae}rere med lav potensiell energi,
{\em leverer} ladningsb{\ae}rere med h{\o}y potensiell energi.)

\newpage
\noindent
En {\em reell} kilde har alltid en (som regel liten) indre motstand $R_i$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke43_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
N{\aa}r en reell spenningskilde kobles til en elektrisk krets, kommer den indre motstanden $R_i$
som et tillegg til kretsens resistans $R$. Vi f{\aa}r da f.eks. effekttap b{\aa}de i kilden
($P_i = R_i I^2$) og i resten av kretsen ($P_R = R I^2$).

\vspace{0.2cm}
\noindent
En {\em ideell} kilde har $R_i=0$.


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Kirchhoffs regler} 

\noindent
[FGT 27.2, 27.3; YF 26.2; TM 25.5; AF 24.8; LHL 22.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Beregninger p{\aa} elektriske kretser gj{\o}res ved hjelp av Kirchhoffs regler.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Regel 1 (Knutepunktsregelen): P{\aa} grunn av {\em ladningsbevarelse} er
$$\sum_j I_j = 0$$
i alle knutepunkt i en krets.

\noindent
I motsatt fall ville vi f{\aa} opphopning av ladning i knutepunktet.

\noindent
Fortegnskonvensjon: {\em Positiv} $I$ n{\aa}r den g{\aa}r {\em ut av} knutepunktet.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Regel 2 (Sl{\o}yferegelen): P{\aa} grunn av {\em energibevarelse} er
$$\sum ({\rm spenningsendringer}) = 0$$
for alle lukkede sl{\o}yfer i en krets.

\noindent
I motsatt fall ville vi ikke ha en entydig potensiell energi for ladningsb{\ae}rere
p{\aa} et gitt sted i kretsen.

\noindent
Fortegnskonvensjon: {\em Positivt} bidrag betyr {\em spennings{\o}kning}.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke43_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\newpage
\noindent
Kirchhoffs regler gir et tilstrekkelig antall uavhengige ligninger til {\aa} bestemme
de ukjente st{\o}rrelsene, f.eks. str{\o}mstyrkene $I_j$ i kretsens ulike ``grener''.

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf $RC$-kretser} 

\noindent
[FGT 27.5; YF 26.4; TM 25.6; AF Note 25.1; LHL 22.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Rommet mellom de to lederne i en kondensator er fylt med en {\em isolator}, og gjennom
en (ideell) isolator g{\aa}r det {\em null} elektrisk str{\o}m.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{uke43_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi kan imidlertid ha en {\em tidsavhengig} str{\o}m $I(t)$ inn og ut av kondensatorens
ledere ({\em platene}, hvis det er snakk om en parallellplatekondensator).

\noindent
Dermed f{\aa}r vi en tidsavhengig ladning $Q(t)$ p{\aa} kondensatorplatene.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Kan vi bruke Kirchhoffs regler til {\aa} analysere kretser med tidsavhengige $I(t), V(t), Q(t)$?

\noindent
Ja: For ``langsomt'' varierende str{\o}mstyrker, der langsomt er i forhold til hvor raskt en
endring et sted i kretsen ``merkes'' i resten av kretsen. Siden elektromagnetiske signaler
(b{\o}lger) forplanter seg med lyshastigheten $c$, er dette i praksis som regel ikke noe
problem.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempel 1: Opplading av kondensator i $RC$-krets.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke43_fig6.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Spenningskilden $\ems$ kobles inn ved tidspunktet $t=0$. Da har vi null ladning p{\aa}
kondensatoren, $Q(0) = 0$.

\noindent
Kirchhoffs spenningsregel $\Rightarrow$
$$\ems - V_C - V_R = 0$$
Spenningsfall over $C$: 
$$V_C = Q/C$$
Spenningsfall over $R$: 
$$V_R = RI = R \frac{dQ}{dt}$$
Gir 1. ordens differensialligning for ladningen $Q$:
$$R \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{C} Q = \ems$$
som har l{\o}sning
$$Q(t) = \ems C \left( 1 - e^{-t/RC} \right)$$
Her har vi brukt {\em initialbetingelsen} $Q(0)=0$.

\noindent
Str{\o}mstyrken blir
$$I(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{\ems}{R}e^{-t/RC}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Tidskonstant} for oppladningsprosessen: $\tau = RC$

\noindent
Verdien av $\tau$ gir en {\em st{\o}rrelsesorden} for hvor lang tid det
tar {\aa} lade opp kondensatoren til sin maksimale ladning
$$Q(t\rightarrow\infty) = \ems C$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempel 2: Utlading av kondensator i $RC$-krets.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke43_fig7.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi antar at kondensatoren i utgangspunktet er ladet opp med en spenningskilde $\ems$ og
at den er ``full-ladet'' slik at initialbetingelsen her er $Q(t=0) = \ems C$.

\noindent
Kirchhoffs spenningsregel $\Rightarrow$
$$-V_R - V_C = 0$$
Gir igjen 1. ordens differensialligning for ladningen $Q$:
$$-R \frac{dQ}{dt} - \frac{1}{C} Q = 0$$
som har l{\o}sning
$$Q(t) = \ems C e^{-t/RC}$$
Her har vi brukt {\em initialbetingelsen} $Q(0)=\ems C$.

\noindent
Str{\o}mstyrken blir
$$I(t) = \frac{dQ}{dt} = -\frac{\ems}{R}e^{-t/RC}$$
Vi ser av figuren at vi her valgte ``feil'' retning p{\aa}
str{\o}mmen $I$: Positiv ladning vil m{\aa}tte str{\o}mme fra
den positivt ladete platen, og derfor gi positiv str{\o}m
i retning mot klokka. Dette er imidlertid ivaretatt, i og med
at den beregnede str{\o}mmen kom ut med et negativt fortegn.

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\em Merk} at dersom vi hadde valgt motsatt retning p{\aa} $I$ i figuren,
kunne vi ikke lenger ha skrevet $I = dQ/dt$, men derimot $I = -dQ/dt$,
ettersom en positiv str{\o}m da ville tilsvare en {\em reduksjon} i
ladningen p{\aa} kondensatoren. Med andre ord: $dQ/dt$ vil da v{\ae}re
negativ for positiv $I$, og vi m{\aa} skrive $I = -dQ/dt$ for {\aa}
f{\aa} samme fortegn p{\aa} begge sider av likhetstegnet.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Min anbefaling er {\aa} velge retning p{\aa} str{\o}mmen $I$ i forhold
til ladningen $Q$ p{\aa} kondensatoren slik som det er gjort i figuren over.
Da kan vi holde oss til sammenhengen $I = dQ/dt$, dvs positiv $I$ tilsvarer
en positiv endring i ladningen $Q$. Initialbetingelsen(e) for hvert enkelt
problem s{\o}rger for at fortegnet p{\aa} $I$ blir riktig til slutt!


\vspace{2.0cm}
\noindent
Neste uke:

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisk vekselvirkning! Vi innleder (i ekstratimen p{\aa} tirsdag)
med {\aa} vise, eller i hvert fall sannsynliggj{\o}re, 
at magnetfeltet og magnetiske krefter er en direkte konsekvens av
elektrostatikken (dvs at ladninger i ro p{\aa}virker hverandre med Coulombkrefter)
{\em og} Einsteins spesielle relativitetsteori. Vi kan med andre ord sl{\aa} fast at
{\em magnetisme er en relativistisk effekt}.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Deretter skal vi se p{\aa} bevegelse av ladet partikkel i magnetfelt, og
vi skal introdusere {\em Biot--Savarts lov}, som gir oppskriften p{\aa}
hvordan magnetfeltet $\bold{B}$ beregnes med utgangspunkt i hva som m{\aa}tte
v{\ae}re ``til stede'' av elektriske {\em str{\o}mmer} $I$. Biot--Savarts lov
er magnetostatikkens svar p{\aa} Coulombs lov i elektrostatikken, som gir
oppskriften p{\aa} hvordan det elektriske feltet $\bold{E}$ beregnes med
utgangspunkt i hva som m{\aa}tte v{\ae}re ``til stede'' av elektriske {\em ladninger}.
Og kjenner vi feltene $\bold{E}$ og $\bold{B}$ i et omr{\aa}de, kan vi ogs{\aa} bestemme
kraften p{\aa} en ladning $q$ med hastighet $\bold{v}$:
$$\bold{F} = q \bold{E} + q \bold{v} \times \bold{B}$$
som er den ber{\o}mte {\em Lorentzkraften}.

\noindent
F{\o}lg med, f{\o}lg med!


\end{document}
