\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke 7

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 12.02.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Materialer og elektriske egenskaper} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
Hovedinndeling av materialer med hensyn p{\aa} deres elektriske egenskaper:
\begin{itemize}
\item Ledere:  Metaller. Atomenes ytterste elektron(er) er {\em fri} til {\aa}
bevege seg gjennom lederen. Eksempler: Cu, Al, Ag etc.
\item Isolatorer:  Alle elektroner er {\em bundet} til atomene. Eksempler: glass, plast etc.

Videre:
\item Halvledere:  Er isolator ved $T=0$ (dvs null temperatur), men enkelte elektroner
frigj{\o}res ved $T>0$. Viktige materialer i elektroniske komponenter (f.eks. dioder, transistorer).
Eksempler: Si, Ge, GaAs.

Dessuten: 
\item Superledere, Plasma, Elektrolytter etc.
\end{itemize}

\vspace{1.0cm}
\noindent
Kommentar: Metaller er {\em gode} elektriske ledere. Endel andre materialer (som f.eks. grafitt) er
{\em d{\aa}rlige} ledere. Senere i kurset, i forbindelse med elektrisk str{\o}m og elektriske
kretser, skal vi tallfeste dette ved hjelp av materialets {\em elektriske ledningsevne}. 
Isolatorer som plast, glass og tre har veldig liten elektrisk ledningsevne. Den er riktignok
ikke eksakt lik null, men mange st{\o}rrelsesordener mindre enn for metaller. Mer om dette senere.

\vspace{0.3cm}
\noindent
I dette kurset skal vi kun ta for oss ledere og isolatorer. En isolator kalles ogs{\aa} 
for et {\em dielektrikum}. Vi ser f{\o}rst p{\aa} elektriske ledere.

\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Elektriske ledere} 

\noindent
[FGT 23.4; YF 21.2, 22.5; TM 21.2, 22.5; AF 25.5; LHL 19.2, 19.8; DJG 2.5]

\vspace{0.3cm}
\noindent
I forelesningene beviste vi f{\o}lgende 7 viktige resultater hva
ang{\aa}r elektrisk felt, potensial og fordeling av netto ladning p{\aa}
en elektrisk leder i {\em elektrostatisk likevekt}:
\begin{enumerate}
\item
Inne i lederen er $\bold{E} = 0$.
\item
Det er null netto ladning inne i lederen.
\item
All netto ladning fordeler seg p{\aa} overflaten av lederen.
\item
P{\aa} lederens overflate st{\aa}r det elektriske feltet
normalt p{\aa} overflaten.
\item
Hele lederen, b{\aa}de inni og p{\aa} overflaten, har samme
verdi av det elektriske potensialet $V$, dvs lederen er et
{\em ekvipotensial}.
\item
P{\aa} lederens overflate er det elektriske feltet $E = \sigma/\varepsilon_0$,
der $\sigma$ er ladning pr flateenhet p{\aa} lederens overflate.
\item
En leder med et (tomt!) hulrom har $E=0$ inne i hulrommet og all netto ladning p{\aa}
den ytre overflaten. (Dette gjelder selvsagt ikke dersom vi har netto ladning inne
i hulrommet, f.eks. en punktladning.)
\end{enumerate}
Kommentar: Vi brukte Gauss' lov til {\aa} bevise at all netto ladning m{\aa} fordele seg p{\aa}
lederens overflate. Vi kunne ogs{\aa} ha argumentert for dette resultatet med
utgangspunkt i {\em energien}, nemlig at netto ladning m{\aa} plassere seg slik at
systemets potensielle energi blir minimal. N{\aa} er det vel ikke intuitivt
opplagt at lavest energi oppn{\aa}s med all netto ladning p{\aa} overflaten?
Kanskje vi kunne "tjene" noe p{\aa} {\aa} fordele litt av ladningen utover
lederens {\em volum}? Vel, det er alts{\aa} {\em ikke} tilfelle. Enhver elektrisk
leder, uansett st{\o}rrelse og form, vil alltid ha lavest potensiell energi
n{\aa}r all netto ladning fordeler seg p{\aa} overflaten.


\newpage
\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 13.02.06
\end{large}
\end{center}
%\vspace{1cm}
\noindent
{\bf Leder i ytre felt}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Et ytre felt $\bold{E}_0$ p{\aa}virker fri ("mobile") ladninger i lederen med elektrisk
kraft. Endel av disse ladningene beveger seg til lederens overflate slik at {\em indusert
felt} $\bold{E}_1$ akkurat kansellerer ytre ("p{\aa}trykt") felt:
$\bold{E}_1 = -\bold{E}_0$. Dermed blir totalt elektrisk felt
$\bold{E} = \bold{E}_0 + \bold{E}_1 = 0$ inne i lederen, slik vi har bevist at det m{\aa}
v{\ae}re.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke38_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf Leder med hulrom i ytre felt}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Elektrostatisk felt inne i hulrom i leder plassert i ytre felt $\bold{E}_0$
er lik null:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke38_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Dvs: Inne i hulrommet har vi elektrostatisk {\em skjerming} mot det
ytre feltet.

\noindent
For {\aa} v{\ae}re sikker p{\aa} perfekt skjerming, m{\aa} vi ha et
"ekte" hulrom, dvs et avgrenset volum, som f.eks. inne i en fotball.
I praksis f{\aa}r vi veldig god skjerming selv med {\aa}pninger inn
til hulrommet, jfr faradayburet som dere bruker p{\aa} laben. Andre
eksempler er bil og fly.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Merk at den elektriske lederen skjermer et {\em ytre} felt slik at $E=0$
inne i (det tomme) hulrommet, mens det omvendte ikke er tilfelle: Lederen
skjermer ikke feltet fra en eventuell ladning inne i hulrommet. Da blir
$E \ne 0$ b{\aa}de inne i hulrommet og utenfor lederen, men selvsagt $E=0$
inne i lederen. (Se {\o}ving 7.)

\vspace{1.4cm}
\noindent
{\bf Elektrisk polarisering. Dielektrika.}

\noindent
[FGT 25.5, 25.6; YF 24.4, 24.5; TM 24.5, 24.6; AF 25.6, 25.7; LHL 20.5; DJG 4.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Isolator: Ingen mobile (frie) ladninger (men {\em bundne} ladninger)

\noindent
Dielektrikum: Polariserbar isolator

\vspace{0.3cm}
\noindent
Plasseres et dielektrikum i et ytre elektrisk felt $\bold{E}_0$, f{\aa}r vi
innretting av (molekyl{\ae}re) elektriske dipoler langs $\bold{E}_0$, jfr {\o}ving 6,
oppgave 4. (Eventuelt: Polarisering internt i atomer og upolare molekyler som i utgangspunktet har null
elektrisk dipolmoment.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Netto (makroskopisk) effekt av det ytre feltet:

\noindent
Forskyvning av bundne ladninger

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke38_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
$\pm Q_i =$ indusert nettoladning p{\aa} isolatorens overflater


\vspace{0.3cm}
\noindent
Polarisering = dipolmoment pr volumenhet:
$$\bold{P} = \frac{\bold{p}}{V}$$
Elektrisk dipolmoment (repetisjon!):
$$\bold{p} = q\bold{a}$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{uke38_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Kommentar (ikke pensum)}: I noen materialer vil det v{\ae}re
energetisk gunstig at de atom{\ae}re (evt molekyl{\ae}re) elektriske dipolene peker i samme
retning, selv {\em uten} p{\aa}virkning fra et ytre felt. Slike {\em ferroelektriske} krystaller
vil typisk ha en {\em ordnet fase} med $P \ne 0$ s{\aa} lenge temperaturen $T$ ikke overstiger
en s{\aa}kalt {\em kritisk temperatur} $T_c$. Det forskes aktivt p{\aa} ferroelektriske
materialer i flere grupper p{\aa} Gl{\o}shaugen, ved Institutt for fysikk, Institutt for
materialteknologi og Institutt for elektronikk og telekommunikasjon.

\newpage
\noindent
Dielektrikum i ytre felt $\bold{E}_0$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{uke38_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Volum: $V=Ad$

\noindent
Tetthet av indusert overflateladning: $\sigma_i = Q_i/A$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed:

\noindent
Totalt dipolmoment: $p = |\bold{p}| = Q_i d = \sigma_i A d = \sigma_i V$

\noindent
Polarisering: $P = |\bold{P}| = p/V = \sigma_i$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Generelt: $\bold{P}\cdot\hat{n} = P_\perp = \sigma_i$

\noindent
($\hat{n}$ = flatenormal, $P_\perp$ = komponenten av $\bold{P}$ som st{\aa}r normalt
p{\aa} overflaten)


\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf Elektrisk forskyvning.} 

\noindent
[FGT 25.6; YF 24.6; TM 24.6; AF 25.8; LHL 20.5; DJG 4.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bruker idealisert system som vi har sett p{\aa} f{\o}r:

\noindent
Motsatt ladede metallplater (uendelig store), n{\aa} med dielektrikum i mellom:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{uke38_fig6.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Fri ladning pr flateenhet p{\aa} metallplatene: $\sigma_f$

\noindent
... som genererer elektrisk felt mellom platene: $E_f = \sigma_f/\varepsilon_0$ (null felt utenfor platene)


\noindent
Indusert ladning pr flateenhet p{\aa} overflaten av dielektrikum: $\sigma_i$

\noindent
... som genererer elektrisk felt mellom platene: $E_i = \sigma_i/\varepsilon_0$

\noindent
Totalt felt mellom platene: $\bold{E} = \bold{E}_f + \bold{E}_i \;\; \Rightarrow \;\;
E = |\bold{E}| = E_f - E_i = (\sigma_f - \sigma_i)/\varepsilon_0$

\noindent
Netto ladning p{\aa} overflatene: $\pm \sigma = \pm (\sigma_f - \sigma_i)$

\noindent
... som genererer totalt felt mellom platene: $E = \sigma/\varepsilon_0 = (\sigma_f - \sigma_i)/\varepsilon_0$, OK!


\vspace{0.3cm}
\noindent
Vi har: $\sigma_i = P$ = polariseringen i dielektrikumet ( = dipolmoment pr volumenhet)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed:
$$\sigma_f = \sigma + \sigma_i = \varepsilon_0 E + P$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Vi ser alts{\aa} at tettheten av {\em fri} ladning $\sigma_f$ er knyttet til
kombinasjonen $\varepsilon_0 E + P$. I endel tilfeller, f.eks. i endel
eksperimenter, er det nettopp den frie ladningen vi har kontroll over.
Med dielektrikum til stede er det derfor ofte {\em hensiktsmessig}
{\aa} "referere til" vektorfeltet
$$\bold{D} \equiv \varepsilon_0 \bold{E} + \bold{P}$$
$\bold{D}$ kalles {\em elektrisk forskyvning}.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Her:
$$D = |\bold{D}| = \sigma_f$$
Generelt (som vi ogs{\aa} fant for $\bold{P}$):
$$\sigma_f = \bold{D} \cdot \hat{n} = D_\perp$$
der $D_\perp$ er normalkomponenten av den elektriske forskyvningen.

\vspace{0.4cm}
\noindent
Vi skal i neste uke se at vi har en Gauss' lov ogs{\aa} for den elektriske
forskyvningen $\bold{D}$. Denne kan vi benytte oss av i problemer der vi kjenner
den frie ladningen, men ikke den induserte ladningen knyttet til polariseringen
av dielektriske medier som er til stede.

\end{document}
