\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Maxwells ligninger: Fra integralform til differensialform ved hjelp av
divergensteoremet og Stokes' teorem
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Maxwells ligninger p{\aa} integralform:
$$\varepsilon_0\oint \bold{E}\cdot d\bold{A} = q$$
$$\oint \bold{E}\cdot d\bold{l} = -\frac{d}{dt}\int\bold{B}\cdot d\bold{A}$$
$$\oint\bold{B}\cdot d\bold{A}=0$$
$$\oint\bold{B}\cdot d\bold{l}=\mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0\frac{d}{dt}\int\bold{E}\cdot d\bold{A}$$

\vspace{1.0cm}
\noindent
Divergensteoremet:
$$\oint_S \bold{G} \cdot d\bold{A} = \int_V \nabla \cdot \bold{G}\;dV$$
Her er $S$ en lukket flate som omslutter volumet $V$, mens $\bold{G}$
representerer et vilk{\aa}rlig vektorfelt.

\noindent
Divergens til en vektor $\bold{G}$:
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \bold{G} &=& \left(\hat{x}\frac{\partial}{\partial x} +
\hat{y}\frac{\partial}{\partial y} +
\hat{z}\frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot
\left( G_x \hat{x} + G_y \hat{y} + G_z \hat{z} \right) \nonumber \\
&=& \frac{\partial G_x}{\partial x} +
\frac{\partial G_y}{\partial y} +
\frac{\partial G_z}{\partial z} \nonumber
\end{eqnarray}
i kartesiske koordinater. I kule- eller sylinderkoordinater ser divergensoperatoren
litt mer ''komplisert'' ut.

\noindent
Merk: Divergensen til en vektor er en {\em skalar}, i motsetning til {\em gradienten} til
en skalar, som er en {\em vektor}.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Anvender vi divergensteoremet p{\aa} det elektriske feltet, kan vi skrive:
$$\oint_S \bold{E} \cdot d\bold{A} = \int_V \nabla \cdot \bold{E}\;dV$$
Netto ladning $q$ i volumet $V$ kan uttrykkes ved (rom-)ladningstettheten
$\rho$:
$$q = \int_V \rho\;dV$$
Dermed m{\aa} vi, if{\o}lge Gauss' lov for $\bold{E}$, kunne skrive
$$\int_V \nabla \cdot \bold{E}\;dV = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0}\;dV$$
Ettersom dette skal v{\ae}re riktig for vilk{\aa}rlige lukkede flater $S$ (med
tilh{\o}rende volum $V$), m{\aa} ikke bare disse {\em integralene} v{\ae}re
like store -- {\em integrandene} m{\aa} ogs{\aa} {\em overalt} v{\ae}re like store:
$$\nabla \cdot \bold{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
Dette er Gauss' lov for det elektriske feltet p{\aa} differensialform.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Anvender vi divergensteoremet p{\aa} magnetfeltet, kan vi skrive:
$$\oint_S \bold{B} \cdot d\bold{A} = \int_V \nabla \cdot \bold{B}\;dV$$
Dermed m{\aa} vi, if{\o}lge Gauss' lov for $\bold{B}$, kunne skrive
$$\int_V \nabla \cdot \bold{B}\;dV = 0$$
Ettersom dette skal v{\ae}re riktig for vilk{\aa}rlige lukkede flater $S$ (med
tilh{\o}rende volum $V$), m{\aa} ikke bare dette {\em integralet} v{\ae}re
lik null -- {\em integranden} m{\aa} ogs{\aa} {\em overalt} v{\ae}re lik null:
$$\nabla \cdot \bold{B} = 0$$
Dette er Gauss' lov for magnetfeltet p{\aa} differensialform.



\vspace{1.0cm}
\noindent
Stokes' teorem:
$$\int_S \left(\nabla\times\bold{G}\right)\cdot d\bold{A} = \oint_c \bold{G}\cdot d\bold{l}$$
som uttrykt med ord sier at {\em veiintegralet} av en vektor $\bold{G}$ rundt en lukket kurve $c$
er lik {\rm flateintegralet} av {\em curl} til vektoren $\bold{G}$ over en flate $S$ som
''omsluttes'' av kurven $c$. F{\o}lgende figur illustrerer de ulike st{\o}rrelsene som er
involvert:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke35_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Curl til en vektor $\bold{G}$:
$$\nabla\times\bold{G} =
\hat{x} \left(\frac{\partial G_z}{\partial y}-\frac{\partial G_y}{\partial z}\right) +
\hat{y} \left(\frac{\partial G_x}{\partial z}-\frac{\partial G_z}{\partial x}\right) +
\hat{z} \left(\frac{\partial G_y}{\partial x}-\frac{\partial G_x}{\partial y}\right)$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Anvender vi Stokes' teorem p{\aa} $\bold{E}$, kan vi skrive:
$$\oint_c \bold{E}\cdot d\bold{l} = \int_S \left(\nabla\times\bold{E}\right)\cdot d\bold{A}$$
If{\o}lge Faradays lov har vi da
$$\int_S \left(\nabla\times\bold{E}\right)\cdot d\bold{A} =
-\frac{d}{dt}\int_S\bold{B}\cdot d\bold{A}$$
La oss holde flaten $S$ fast, slik at det bare er $\bold{B}$ som kan variere
med tiden p{\aa} h{\o}yre side. Da kan vi ta tidsderivasjonen inn i integralet og
bruke partiell derivert:
$$\int_S \left(\nabla\times\bold{E}\right)\cdot d\bold{A} =
- \int_S \frac{\partial\bold{B}}{\partial t}\cdot d\bold{A}$$
Ettersom dette skal v{\ae}re riktig for en vilk{\aa}rlig (her: {\aa}pen, ikke
lukket!) flate $S$, m{\aa} ikke bare disse {\em integralene} v{\ae}re
like store -- {\em integrandene} m{\aa} ogs{\aa} {\em overalt} v{\ae}re like store:
$$\nabla \times \bold{E} = - \frac{\partial\bold{B}}{\partial t}$$


\vspace{0.3cm}
\noindent
Anvender vi Stokes' teorem p{\aa} $\bold{B}$, kan vi skrive:
$$\oint_c \bold{B}\cdot d\bold{l} = \int_S \left(\nabla\times\bold{B}\right)\cdot d\bold{A}$$
If{\o}lge Ampere--Maxwells lov har vi da
$$\int_S \left(\nabla\times\bold{B}\right)\cdot d\bold{A} =
\int_S \mu_0 \bold{j} \cdot d\bold{A}
+\mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt}\int_S\bold{E}\cdot d\bold{A}$$
Her er $\bold{j}$ str{\o}mtettheten (dvs str{\o}m pr flateenhet) p{\aa} flaten $S$,
slik at total str{\o}m gjennom $S$ er
$$I = \int_S \bold{j} \cdot d\bold{A}$$
La oss igjen holde flaten $S$ fast, slik at det bare er $\bold{E}$ som kan variere
med tiden p{\aa} h{\o}yre side i ligningen over. Da kan vi ta tidsderivasjonen inn i integralet og
bruke partiell derivert:
$$\int_S \left(\nabla\times\bold{B}\right)\cdot d\bold{A} =
\int_S \left(\mu_0 \bold{j} +
\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\bold{E}}{\partial t}\right) \cdot d\bold{A}$$
Ettersom dette skal v{\ae}re riktig for en vilk{\aa}rlig (her: {\aa}pen, ikke
lukket!) flate $S$, m{\aa} ikke bare disse {\em integralene} v{\ae}re
like store -- {\em integrandene} m{\aa} ogs{\aa} {\em overalt} v{\ae}re like store:
$$\nabla \times \bold{B} = \mu_0 \bold{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\bold{E}}{\partial t}$$


\vspace{0.3cm}
\noindent
Oppsummert:
Maxwells ligninger p{\aa} differensialform:
$$\varepsilon_0\nabla\cdot\bold{E}=\rho$$
$$\nabla \times \bold{E} = - \frac{\partial\bold{B}}{\partial t}$$
$$\nabla \cdot \bold{B} = 0$$
$$\nabla \times \bold{B} = \mu_0 \bold{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \bold{E}}{\partial t}$$


\end{document}
