\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008, uke18

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 29. april
\end{large}
\end{center}

\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Energi i magnetfelt} 

\noindent
[FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
La oss regne ut hvor mye energi som m{\aa} tilf{\o}res en spole med
induktans $L$ n{\aa}r vi {\o}ker str{\o}mmen gjennom spoletr{\aa}den
fra $i=0$ til en ''sluttverdi'' $i=I$.

\noindent
Tilf{\o}rt energi ved {\aa} {\o}ke str{\o}mmen fra $i$ til $i + di$:
$$dU_B = P\;dt = iv\;dt = iL \frac{di}{dt}dt = Li\;di$$
Her er $P=iv$ tilf{\o}rt effekt, og $v = L di/dt$ spenningen over spolen
idet vi endrer str{\o}mmen fra $i$ til $i + di$.

\noindent
Dermed blir total energi tilf{\o}rt for {\aa} {\o}ke str{\o}mmen fra 0 til $I$ lik
$$U_B = \int dU_B = L \int_0^I i\;di = \frac{1}{2} L I^2$$
Denne energien kan vi n{\aa} assosiere med magnetfeltet $B$ inne i spolen. Anta at
spolen er tiln{\ae}rmet uendelig lang, med $N$ viklinger p{\aa} hele lengden $l$.
Tverrsnittet av spolen har areal $A$. Da er magnetfeltet inne i spolen
$$B = \mu_0 n I = \mu_0 \frac{N}{l} I$$
(P{\aa} utsiden av spolen er magnetfeltet null.)
Total magnetisk fluks gjennom de $N$ viklingene p{\aa} spolen blir
$$\phi_m = NAB = NA\mu_0 \frac{N}{l}I$$
som ogs{\aa} kan skrives p{\aa} formen
$$\phi_m = LI$$
der $L$ er spolens (selv-)induktans. Med dette kan vi omforme uttrykket for
energien $U_B$:
$$U_B = \frac{1}{2} \frac{NAB}{I} I^2 = \frac{1}{2}NAB \cdot \frac{Bl}{\mu_0 N} = \frac{1}{2\mu_0} B^2 \cdot Al$$
Her er $Al$ lik volumet inne i spolen, s{\aa} vi ser at vi har en {\em energitetthet} (dvs energi
pr volumenhet) assosiert med magnetfeltet $B$:
$$u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2$$
Fra f{\o}r har vi funnet at vi har en energitetthet $u_E$ assosiert med et elektrisk felt $E$:
$$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$$
Dermed blir {\em total energitetthet i et elektromagnetisk felt}:
$$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Kommentar: Dette uttrykket er ''alltid riktig'', i den forstand at $u$ representerer energien ''lagret'' i
feltene $E$ og $B$. I litteraturen ''risikerer'' du {\aa} st{\o}te p{\aa} formelen
$$u = \frac{1}{2} \bold{D}\cdot\bold{E} + \frac{1}{2}\bold{B}\cdot\bold{H} =
\frac{1}{2} \varepsilon E^2 + \frac{1}{2\mu} B^2$$
for total energitetthet dersom vi har polariserbare og/eller magnetiserbare medier tilstede. (I den siste
overgangen her brukte vi at $\bold{D} = \varepsilon \bold{E}$ og $\bold{B} = \mu \bold{H}$, med
$\varepsilon =$ mediets permittivitet og $\mu =$ mediets permeabilitet.)

\noindent
Disse to uttrykkene for $u$ er ikke identiske, og kan derfor ikke representere den samme energitettheten.
Det siste uttrykket for $u$ inkluderer da ogs{\aa} et bidrag som ikke er direkte ''lagret'' i feltene,
nemlig den ''elastiske'' energien knyttet til polarisering og magnetisering, dvs innrettingen av
elektriske og magnetiske dipoler.

\noindent
I den grad noe av dette blir aktuelt til eksamen, skal vi kun bry oss om {\em feltenergien} gitt ved
$$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$$



\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Koblede systemer, selvinduktans og gjensidig induktans} 

\noindent
Anta at vi har to kretser, nr 1 og nr 2, med selvinduktans hhv $L_1$ og $L_2$ og gjensidig
induktans $M$. Anta f.eks.\ at vi i krets nr 1 har en tidsavhengig spenningskilde
$\ems_1(t)$. Den samlede resistansen i de to kretsene er hhv $R_1$ og $R_2$.

\noindent
Vi skal bestemme de resulterende str{\o}mstyrkene $I_1$ og $I_2$ i de to kretsene.
Kirchhoffs spenningsregel gir da f{\o}lgende ligninger:
\begin{eqnarray}
\ems_1 - L_1 \dot{I}_1 - R_1 I_1 - M \dot{I}_2 &=& 0 \nonumber \\
- L_2 \dot{I}_2 - R_2 I_2 - M \dot{I}_1 &=& 0 \nonumber
\end{eqnarray}
Dette er to koblede differensialligninger for de to ukjente,
$I_1(t)$ og $I_2(t)$. Hvis $\ems_1$ er en harmonisk vekselspenningskilde,
$$\ems_1(t) = \ems_0 \cos \omega t,$$
med amplitude $\ems_0$ og vinkelfrekvens $\omega$, vil ogs{\aa} str{\o}mmene
$I_1$ og $I_2$ variere harmonisk med tiden, med samme vinkelfrekvens $\omega$.
Dermed kan vi generelt skrive
\begin{eqnarray}
I_1(t) &=& A_1 \cos\omega t + B_1 \sin\omega t \nonumber \\
I_2(t) &=& A_2 \cos\omega t + B_2 \sin\omega t \nonumber
\end{eqnarray}
og innsetting av disse uttrykkene i de to differensialligningene gir da i alt
fire ligninger, for fastleggelse av ''koeffisientene'' $A_1, A_2, B_1, B_2$.
(Fire ligninger fordi vi kan sammenligne $\cos\omega t$-ledd og $\sin\omega t$-ledd
hver for seg, slik som i AC-eksemplet nedenfor.)



\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf $RL$-krets med likespenningskilde $V_0$} 

\noindent
[FGT 32.4; YF 30.4; TM 28.8; AF Ex 27.5; LHL 25.2; DJG Ex 7.12]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ser p{\aa} seriekobling av {\em induktans} $L$ (f.eks. en spole) og {\em resistans} $R$.
Et batteri med likespenning $V_0$ kobles til kretsen ved tidspunktet $t=0$.


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke48_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Total ems i kretsen er da
$$V_0 - L \frac{dI}{dt}$$
der det siste leddet er indusert ''motspenning'' over induktansen n{\aa}r vi pr{\o}ver
{\aa} {\em endre} str{\o}mstyrken gjennom den.

\noindent
If{\o}lge Kirchhoffs spenningsregel (evt ''sl{\o}yferegel'') m{\aa} denne totale emsen
i sl{\o}yfa tilsvare spenningsfallet over motstanden $R$, med andre ord
$$V_0 - L \frac{dI}{dt} = RI$$
eller
$$L \frac{dI}{dt} + RI = V_0$$
Dette er n{\o}yaktig samme type 1. ordens differensialligning for str{\o}mmen $I$
som det vi hadde for kondensatorladningen $Q$ da vi studerte opplading av kondensator
i en $RC$-krets. L{\o}sningen blir
$$I(t) = \frac{V_0}{R} \left(1 - e^{-Rt/L} \right)$$
der vi har brukt initialbetingelsen $I(0) = 0$. (F{\o}r innkobling av batteriet er
{\aa}penbart $I=0$. I tidspunktet $t=0$ kan {\em ikke} str{\o}mmen i kretsen ''hoppe''
opp til en endelig verdi forskjellig fra null. Det m{\aa}tte i s{\aa}fall inneb{\ae}re
at $dI/dt \rightarrow \infty$ i $t=0$, hvilket igjen ville inneb{\ae}re en uendelig
stor motspenning over induktansen. Det er rett og slett ikke fysisk mulig! Alts{\aa}
m{\aa} $I$ v{\ae}re kontinuerlig i $t=0$, og vi kan sette $I(0)=0$.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Tidskonstant} for endring av str{\o}mmen:
$$\tau = \frac{L}{R}$$
Verdien av $\tau$ gir en {\em st{\o}rrelsesorden} for hvor lang tid det tar {\aa}
{\o}ke str{\o}mmen i en slik $RL$-krets fra 0 til maksimal verdi $V_0/R$:
$$I(t\rightarrow \infty) = \frac{V_0}{R}$$


\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf $RL$-krets med vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$} 

\noindent
[FGT 33.2; YF 31.2; TM 29.2, 29.3; AF Note 27.2; LHL 27.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Med en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ koblet til en induktans $L$
har vi med bruk av Kirchhoffs spenningsregel:
\begin{eqnarray}
V_0 \cos \omega t + V_L &=& 0 \nonumber \\
V_0 \cos \omega t &=& L \frac{dI}{dt} \nonumber \\
I(t) &=& \frac{V_0}{\omega L} \sin \omega t = \frac{V_0}{\omega L} \cos (\omega t - \frac{\pi}{2} ) \nonumber
\end{eqnarray}
Vi kan skrive str{\o}mmen $I(t)$ p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \cos (\omega t - \alpha)$$
(jfr tidligere i kurset, og tilsvarende for kapasitans $C$ og $RC$-kretser), og ser at str{\o}mamplituden er
$$I_0 = \frac{V_0}{\omega L}$$
mens fasevinkelen er
$$\alpha = \frac{\pi}{2}$$
Dvs, str{\o}m $I$ og p{\aa}trykt spenning $V = V_0 \cos \omega t$ er faseforskj{\o}vet med en kvart periode
i forhold til hverandre. I forbindelse med $RC$-kretser og vekselspenningskilde innf{\o}rte vi 
st{\o}rrelsen {\em impedans} $Z$, definert ved
$$Z = \frac{V_0}{I_0}$$
Med andre ord, en slags generalisert motstand, jfr Ohms lov $R = V/I$. Vi ser da at impedansen til
en induktans $L$ blir
$$Z_L = \omega L$$
med fasevinkel
$$\alpha_L = \pi/2$$

\vspace{0.8cm}
%%\newpage
\noindent
Et eksempel til: Vekselspenningskilde $V_0 \cos\omega t$ koblet til en parallellkobling av
en motstand $R$ og en induktans $L$.

\noindent
Da m{\aa} den totale str{\o}mmen $I$ som ''leveres'' av spenningskilden fordele seg p{\aa}
en str{\o}m $I_R$ gjennom motstanden og en str{\o}m $I_L$ gjennom induktansen:
$$I = I_R + I_L$$
(Dvs: Kirchhoffs str{\o}mregel.) Videre m{\aa} vi gjenfinne den p{\aa}trykte spenningen som
et tilsvarende spenningsfall, b{\aa}de over motstanden og over induktansen. Med andre ord:
\begin{eqnarray}
V_0 \cos\omega t &=& R I_R \nonumber \\
V_0 \cos\omega t &=& L \frac{dI_L}{dt} \nonumber
\end{eqnarray}
(Dvs: Kirchhoffs spenningsregel.) Disse ligningene l{\o}ses greit, og vi finner
\begin{eqnarray}
I_R &=& \frac{V_0}{R} \cos\omega t \nonumber \\
I_L &=& \frac{V_0}{\omega L} \sin\omega t \nonumber
\end{eqnarray}
Total str{\o}m levert av spenningskilden blir dermed
$$I(t) = I_R(t) + I_L(t) = \frac{V_0}{R} \cos\omega t + \frac{V_0}{\omega L} \sin\omega t$$
Vi kan skrive denne summen av to ledd p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \cos (\omega t - \alpha)$$
ved {\aa} bruke den trigonometriske relasjonen
$$\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$
Dermed:
$$\cos (\omega t - \alpha) = \cos \omega t \cos\alpha + \sin \omega t \sin\alpha$$
Sammenligning med uttrykket for $I(t) = I_R + I_L$ gir oss f{\o}lgende to ligninger
for de to ukjente st{\o}rrelsene $I_0$ og $\alpha$:
\begin{eqnarray}
\frac{V_0}{R} &=& I_0 \cos\alpha \nonumber \\
\frac{V_0}{\omega L} &=& I_0 \sin\alpha \nonumber
\end{eqnarray}
Dette ligningssettet har l{\o}sning
$$\tan\alpha = \frac{R}{\omega L} \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
\alpha = \arctan \frac{R}{\omega L}$$
og
$$I_0 = V_0 \left( \frac{1}{R^2} + \frac{1}{\omega^2 L^2} \right)^{1/2}$$
Fra definisjonen av impedans, $Z = V_0/I_0$, ser vi at impedansen til en
parallellkobling er
$$Z = \left( \frac{1}{R^2} + \frac{1}{\omega^2 L^2} \right)^{-1/2}$$
Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er liten, dvs $\omega \ll R/L$,
vil leddet $1/\omega^2 L^2$ dominere i forhold til $1/R^2$, slik at
$$Z \simeq \omega L$$
Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er stor, dvs $\omega \gg R/L$,
vil leddet $1/R^2$ dominere i forhold til $1/\omega^2 L^2$, slik at
$$Z \simeq R$$



\end{document}
