\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=24cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2006, uke16

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Fredag 21. april
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Magnetfelt fra uendelig lang spole med tette viklinger:

\noindent
Inne i spolen:
$$B = \mu_0 n I$$
med $I$ = str{\o}mmen i spoletr{\aa}den og $n$ = antall viklinger
av spoletr{\aa}den pr lengdeenhet. Dvs: Uniformt magnetfelt.

\noindent
Utenfor spolen er $B=0$.


\vspace{2.0cm}
\noindent
Kommentar til eksemplet med uendelig lang spole: Etter forelesningene p{\aa} fredag fikk jeg et h{\o}yst
relevant sp{\o}rsm{\aa}l, nemlig hvorfor jeg kunne v{\ae}re s{\aa} sikker p{\aa} at $B=0$ n{\aa}r jeg fjerner
meg uendelig langt vekk fra spolen. (Dette var en n{\o}dvendig antagelse for {\aa} bevise at $B=0$ overalt utenfor
spolen.) {\AA}rsaken til bekymringen var blant annet at det elektriske feltet fra et uendelig stort uniformt
ladet plan {\em ikke} g{\aa}r mot null selv om vi g{\aa}r uendelig langt unna. S{\aa} derfor: Med {\em uendelig}
lang spole kan det vel tenkes at ogs{\aa} $B$ ikke g{\aa}r mot null uendelig langt borte?

\noindent
Svaret er ja, det kan tenkes, men nei, det er ikke tilfelle! Hvorfor? Vel, her kan det argumenteres p{\aa}
flere m{\aa}ter. For det f{\o}rste kan vi ta utgangspunkt i Biot-Savarts lov og rett og slett regne ut 
magnetfeltet p{\aa} utsiden av en uendelig lang spole. Dette er litt kronglete, men det lar seg gj{\o}re,
og du vil finne at $B=0$ uansett avstand til spolen.

\noindent
Et litt mer "l{\o}saktig" argument er som f{\o}lger: Hver vikling p{\aa} spolen er en magnetisk {\em dipol},
slik at bidraget (i absoluttverdi) fra hver vikling faller av som $1/r^3$ for store avstander $r$ mellom
viklingen og "observasjonspunktet". Sammenligner vi med det uendelig store ladete planet, har vi i det
tilfellet bidrag til det elektriske feltet fra elektriske {\em monopoler} (dvs ladningsbiter $dq$) som 
"bare" faller av som $1/r^2$, der $r$ er avstanden fra ladningselementet $dq$ til observasjonspunktet.
I tillegg kommer det med retningen p{\aa} de ulike bidragene inn: Det elektriske feltet fra et uendelig
stort ladet plan er sammensatt av sm{\aa} bidrag som alle har normalkomponent
enten bort fra eller inn mot planet (avhengig
av om planet er positivt eller negativt ladet). Men slik er det ikke med magnetfeltbidragene fra de ulike
viklingene p{\aa} spolen: Viklingen "rett under" observasjonspunktet bidrar med magnetfelt rettet fullstendig
i spolens lengderetning. Viklinger i n{\ae}rheten av rett under observasjonspunktet bidrar med samme
fortegn p{\aa} "langsmedkomponenten", mens viklinger langt unna rett under observasjonspunktet bidrar med
motsatt fortegn. (Se {\o}ving 14 oppgave 2!) Alt i alt: All grunn til {\aa} kunne anta at $B=0$ langt borte fra spolen.

\noindent
Og sammenhold gjerne med oppgave 1 i {\o}ving 14, det uendelig store str{\o}mf{\o}rende planet: Her g{\aa}r
{\em ikke} magnetfeltet mot null selv om vi g{\aa}r uendelig langt unna! Men her g{\aa}r da ogs{\aa}
alle str{\o}mbidrag i samme retning, slik at bidragene til det totale magnetfeltet legger seg sammen til
noe som er {\em endelig}, og ikke null.



\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisk fluks og Gauss' lov for $\bold{B}$} 

\noindent
[FGT 29.2; YF 27.3; TM 28.1, 27.3; AF 26.3; LHL 23.7; DJG 5.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Magnetisk fluks $\phi_B$ gjennom flate $S$:
$$\phi_B = \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetfeltstyrken $B$ er proporsjonal med antall magnetiske feltlinjer
pr flateenhet. Dermed blir den magnetiske fluksen $\phi_B$ proporsjonal
med antall feltlinjer gjennom flaten. (Sammenlign med elektrisk fluks!)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Siden magnetiske feltlinjer alltid er {\em lukkede}, f{\aa}r vi Gauss' lov for magnetfeltet:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{A} = 0$$
for lukket flate. Uttrykker at det ikke finnes magnetiske monopoler.

\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Oppsummering, elektrostatikk og magnetostatikk: Maxwells ligninger}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov for elektrostatisk felt:
$$\oint \bold{E} \cdot d\bold{A} = q_{\rm in}/\varepsilon_0$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrostatisk felt er konservativt:
$$\oint \bold{E} \cdot d\bold{l} = 0$$

%\newpage
\noindent
Gauss' lov for magnetfelt:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{A} = 0$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Amperes lov:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{l} = \mu_0 I_{\rm in}$$

\vspace{0.8cm}
\noindent
Med gitte ``kilder'', dvs statiske ladninger og stasjon{\ae}re
str{\o}mmer, 
gir dette oppskriften p{\aa} beregning av $\bold{E}$ og $\bold{B}$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Lorentzkraften,
$$\bold{F} = q\bold{E} + q\bold{v}\times\bold{B}$$
bestemmer deretter hvordan en ladning $q$ med hastighet $\bold{v}$ vil bevege seg
i feltene $\bold{E}$ og $\bold{B}$


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisme} 

\noindent
[FGT 31.1 - 31.4; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.3; LHL 26.1 - 26.5; DJG 6.4]

\vspace{0.2cm}

\begin{itemize}
\item
Paramagnetisme: I materiale med atom{\ae}re magnetiske dipolmoment $\bold{m} \neq 0$
rettes $\bold{m}$ inn langs det p{\aa}trykte magnetfeltet $\bold{B}$,
analogt en elektrisk dipol som rettes inn langs et p{\aa}trykt elektrisk
felt $\bold{E}$.
\item
Diamagnetisme: Det p{\aa}trykte feltet $\bold{B}$
p{\aa}virker elektronets banebevegelse slik
at vi f{\aa}r indusert en endring $\Delta \bold{m}$ i magnetisk dipolmoment med
motsatt retning av $\bold{B}$. Har en slik diamagnetisk respons i alle atomer,
men da den er svak, observeres den typisk bare i materialer med null
permanent atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment.
\item
Ferromagnetisme: Har {\em vekselvirkende} atom{\ae}re magnetiske dipolmoment
p{\aa} naboatomer, slik at det blir energetisk foretrukket med en bestemt
orientering av de ulike $\bold{m}$. Ferromagnet: Parallelle $\bold{m}$ foretrekkes.
Antiferromagnet: Antiparallelle $\bold{m}$ foretrekkes. 
\end{itemize}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetiske domener: Inne i et ferromagnetisk materiale kan vi ha omr{\aa}der som er sm{\aa}
i forhold til en typisk makroskopisk lengdeskala men store i forhold til atom{\ae}r
lengdeskala, og der alle atomer har magnetisk dipolmoment pekende i samme retning. Ett slik
{\em domene} vil dermed v{\ae}re en liten magnet. Men hvis v{\aa}rt makroskopiske
stykke ferromagnetisk materiale best{\aa}r av mange slike domener, der ulike domener har de magnetiske
dipolene pekende i ulike retninger, vil magnetfeltet omkring bli omtrent lik null, dvs
materialet v{\aa}rt er alt i alt {\em ikke} en magnet. En kniv av st{\aa}l er et slik
eksempel. I en stavmagnet, derimot, har vi (essensielt) ett magnetisk domene der alle dipoler
peker i samme retning. Dermed f{\aa}r vi et betydelig magnetfelt i rommet omkring stavmagneten,
dvs vi har en magnet!

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisk hysterese: N{\aa}r vi plasserer en ferromagnet i et ytre magnetfelt $\bold{B}_0$,
vil det v{\ae}re energetisk mest gunstig {\aa} ha de magnetiske dipolene i samme retning
som det ytre feltet. Domener med $\bold{m}$ i samme retning som $\bold{B}_0$ vil dermed
vokse p{\aa} bekostning av domener med $\bold{m}$ i andre retninger. Magnetiseringen i
ferromagneten (dvs: det magnetiske dipolmomentet pr volumenhet, se nedenfor) {\o}ker
dermed fra $M=0$ til en maksimal verdi $M=M_s=$ metningsmagnetiseringen ("s" for saturation),
der alle atom{\ae}re $\bold{m}$ peker i samme retning som $\bold{B}_0$. Denne reorienteringen
av magnetiske dipoler er ikke en fullstendig {\em reversibel} prosess, dvs den er delvis
{\em irreversibel}. Det betyr at dersom vi skrur av det ytre feltet igjen, vil ferromagneten
{\em ikke} ende opp i den samme tilstanden som den startet i (med $M=0$), men i en annen tilstand,
med en viss "restmagnetisering" $M_r$. Vi m{\aa} skru p{\aa} et ytre felt i motsatt retning
for {\aa} komme tilbake til tilstanden med $M=0$. Med et tilstrekkelig sterkt ytre felt i
motsatt retning kan vi deretter igjen f{\aa} alle dipolene til {\aa} peke i samme retning
som det ytre feltet. Da er $M=-M_s$. Og skrur vi s{\aa} av det ytre feltet, vil ikke $M$ bli
lik null, men derimot $-M_r$. Og slik kan vi fortsette. Hvis vi plotter $M$ som funksjon av det
ytre feltet $B_0$, f{\aa}r vi en slik kurve:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{hysterese.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\noindent
{\em Formen} p{\aa} hysteresekurven vil n{\aa} avgj{\o}re om det er snakk om en
s{\aa}kalt "hard magnet" (dvs en permanentmagnet) eller en "bl{\o}t magnet" (f.eks.
et stykke st{\aa}l): 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{hardsoft.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\noindent
Figur A tilsvarer st{\aa}lbiten: Vi har essensielt null magnetisering med null ytre felt.
Plasseres biten i et ytre magnetfelt, vil magnetiseringen {\o}ke line{\ae}rt med
styrken p{\aa} det ytre feltet, men selvsagt "flate ut" n{\aa}r vi n{\ae}rmer oss
metningsmagnetiseringen. Skrur vi av det ytre feltet, kommer vi tilbake til $M \simeq 0$,
og det stemmer jo med v{\aa}re erfaringer: St{\aa}lbiten forblir ikke magnetisk hvis vi
skrur av det ytre feltet.
Figur B tilsvarer en permanentmagnet: Vi har stor magnetisering selv med null ytre felt,
og selv om vi plasserer magneten i et ytre felt, vil magnetiseringen essensielt forbli
uendret. (Men: Skrur vi p{\aa} et {\em veldig} sterkt ytre felt, kan vi faktisk snu
retningen p{\aa} magnetiseringen, dvs vi kan bytte om nord- og sydpol.) 



\newpage
\noindent
{\bf Magnetisering og overflatestr{\o}m} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.5; LHL 26.1; DJG 6.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisering $\bold{M}$ er, pr definisjon, magnetisk dipolmoment pr volumenhet:
$$\bold{M} = \frac{\Delta \bold{m}}{\Delta V}$$
dersom vi har et netto magnetisk dipolmoment $\Delta\bold{m}$ i volumet
$\Delta V$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisering tilsvarer atom{\ae}re str{\o}msl{\o}yfer med str{\o}mmen i samme
retning. Alle indre str{\o}mmer vil dermed kansellere, slik at nettoeffekten av
magnetisering i et objekt er en {\em overflatestr{\o}m}. Sammenlign med polarisering i dielektriske
medier, der nettoeffekten av elektrisk polarisering er en {\em overflateladning}.

\noindent
I tallverdi er
$$M = i_m$$
der $i_m$ er overflatestr{\o}mmen pr lengdeenhet (dvs: der ``lengden'' er i 
retning langs $\bold{M}$).

\noindent
P{\aa} vektorform kan dette skrives
$$\bold{i}_m = \bold{M} \times \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er en enhetsvektor som st{\aa}r normalt p{\aa} overflaten
der $i_m$ g{\aa}r (samt normalt p{\aa} $\bold{M}$).

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf $H$-feltet} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.6; LHL 26.1; DJG 6.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Definisjon:
$$\bold{H} = \frac{1}{\mu_0}\bold{B} - \bold{M}$$
Dvs:
$$\bold{B} = \mu_0 \bold{H} + \mu_0 \bold{M}$$
For uendelig lang spole fylt med magnetiserbart materiale viste vi da
at
$$H = n I_f$$
der $n$ er viklingstettheten p{\aa} spolen og $I_f$ er ``fri'', p{\aa}trykt
str{\o}m, dvs str{\o}mmen i spoletr{\aa}den.

\noindent
Med andre ord: Slik $H$-feltet er definert, er det direkte gitt ved den
p{\aa}trykte str{\o}mmen $I_f$.

\noindent
Det {\em totale} magnetfeltet $\bold{B}$, derimot, er bestemt av {\em total}
str{\o}m, dvs summen av fri str{\o}m $I_f$ og bundet magnetiseringsstr{\o}m
$I_m$ (pr vikling, slik at magnetiseringsstr{\o}m pr lengdeenhet blir
$n I_m$).

\vspace{0.5cm}
\noindent
P{\aa} samme m{\aa}te som vi hadde Gauss' lov for den elektriske
forskyvningen $\bold{D}$, uttrykt ved {\em fri ladning}, har vi
Amperes lov for $\bold{H}$ uttrykt ved {\em fri str{\o}m}:
$$\oint \bold{H} \cdot d\bold{l} = I^{\rm in}_{\rm fri}$$
Alts{\aa}: Kurveintegralet av $\bold{H}$ rundt en lukket kurve er
lik netto {\em fri} str{\o}m (dvs str{\o}m som ikke er for{\aa}rsaket
av magnetisering) $I^{\rm in}_{\rm fri}$ som er omsluttet av den
lukkede kurven.

\vspace{1.5cm}
\noindent
Neste uke: Magnetisk susceptibilitet og permeabilitet.
Elektrodynamikk: Faradays induksjonslov. Lenz' lov.
Indusert elektrisk felt.

\end{document}
