\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008, uke 3

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 15.01.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Elektrisk felt} 

\noindent
[FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.5; LHL 19.4; DJG 2.1.3]
$$\bold{E} = \frac{\bold{F}}{q}$$
= kraft pr ladningsenhet

\vspace{0.3cm}
\noindent
SI-enhet for elektrisk felt: [$E$] = N/C


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Elektrisk felt fra punktladning} 

\noindent
[FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.6; LHL 19.5; DJG 2.1.3]
$$\bold{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{r}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Superposisjonsprinsipp for elektrisk felt:
$$\bold{E} = \sum_{j=1}^{n}\bold{E}_{j} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\sum_{j=1}^{n}\frac{q_j}{r_j^2}\hat{r}_j$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke34_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Kontinuerlige ladningsfordelinger} 

\noindent
[FGT 21.4, 22.3; YF 21.5; TM 22.1; AF eks. 21.6; LHL 19.5; DJG 2.1.4]

\vspace{0.2cm}
\noindent
P{\aa} en lengdeskala som er stor i forhold til avstanden mellom enkeltladninger ser man
en tiln{\ae}rmet {\em kontinuerlig} ladningsfordeling. (P{\aa} samme m{\aa}te som at
makroskopiske objekter har en tiln{\ae}rmet kontinuerlig massefordeling, selv om de
egentlig best{\aa}r av ``enkeltmasser'' (atomer).)

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Sum} over enkeltladninger erstattes da av {\em integral} over en ladningsfordeling:
$$\sum_i \Delta q_i \stackrel{\Delta q_i \rightarrow 0}{\rightarrow} \int dq$$

\vspace{0.4cm}
\noindent
$3D$ (= 3 dimensjoner): romladning
\begin{eqnarray}
dq &=& \rho\;dV \nonumber \\
\rho &=& \rho(x,y,z) = \; {\rm ladning\;pr\;volumenhet}\;=\;{\rm romladningstetthet} \nonumber \\
{[\rho]} &=& [q/V] = {\rm C/m^3} \nonumber\\
%\end{eqnarray}
%\begin{eqnarray}
{\rm Volumelement:}\; dV &=& dx\;dy\;dz \;\; ({\rm kartesiske\;koordinater}) \nonumber\\
&=& r^2 \sin\theta\;d\theta\;d\phi\;dr \;\; ({\rm kulekoordinater)} \nonumber\\
&=& \rho\;d\rho\;d\phi\;dz \;\; ({\rm sylinderkoordinater)} \nonumber
\end{eqnarray}
(Merk: Brukte symbolet $s$ i stedet for $\rho$ i forelesningene, for ikke {\aa}
blande sammen med ladning pr volumenhet $\rho$.)


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{uke34_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.4cm}
\noindent
$2D$: flateladning
\begin{eqnarray}
dq &=& \sigma\;dA \nonumber \\
\sigma &=& \sigma(x,y) = \; {\rm ladning\;pr\;flateenhet}\;=\;{\rm flateladningstetthet} \nonumber \\
{[\sigma]} &=& [q/A] = {\rm C/m^2} \nonumber\\
{\rm Flateelement:}\;dA &=& dx\;dy \;\; ({\rm kartesiske\;koordinater}) \nonumber\\
&=& r\;d\phi\;dr \;\; ({\rm polarkoordinater)} \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.4cm}
\noindent
$1D$: linjeladning
\begin{eqnarray}
dq &=& \lambda\;dl \nonumber \\
\lambda &=& \lambda(x) = \; {\rm ladning\;pr\;lengdeenhet}\;=\;{\rm linjeladningstetthet} \nonumber \\
{[\lambda]} &=& [q/L] = {\rm C/m} \nonumber\\
{\rm Linjeelement:}\;dl &=& dx \;\; ({\rm rett\;linje}) \nonumber\\
&=& R\; d\phi \;\; ({\rm for \; sirkel \; med \; radius\;} R) \nonumber
\end{eqnarray}

\newpage
\noindent
Elektrisk felt i avstand $\bold{r}$ fra infinitesimal ladning $dq$:
$$d\bold{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\hat{r}$$
Elektrisk felt fra kontinuerlig ladningsfordeling:
$$\bold{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\hat{r}\;dq}{r^2}
\;\stackrel{3D}{=}\; \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\hat{r}\rho\;dV}{r^2}$$
Mer presist: Det elektriske feltet $\bold{E}(\bold{r})$ i et punkt $\bold{r}=(x,y,z)$
p{\aa} grunn av en fordeling av elektrisk ladning beskrevet ved ladningstettheten
$\rho(\bold{r}')=\rho(x',y',z')$ er gitt ved
$$\bold{E}(\bold{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{(\bold{r}-\bold{r}')\rho(\bold{r}')\;dV'}
{|\bold{r}-\bold{r}'|^3}$$
der $dV' = dx'\;dy'\;dz'$ (i kartesiske koordinater) er et volumelement i posisjon $\bold{r}'$.

\noindent
Legg merke til at $\bold{r}$ ikke har samme betydning i de to siste ligningene. I den f{\o}rste angir
$\bold{r}$ vektoren fra $dq$ til punktet der $\bold{E}$ skal bestemmes. Dermed vil $\bold{r}$ v{\ae}re
forskjellig for de ulike ladningselementene $dq$ i systemet vi ser p{\aa}.
I den andre ligningen angir $\bold{r}$ posisjonen der $\bold{E}$ skal bestemmes, mens $\bold{r}'$
er posisjonsvariabelen til ladningstettheten $\rho$. Her hadde vi valget mellom {\aa} innf{\o}re
en ny vektor $\bold{\cal R}\equiv\bold{r}-\bold{r}'$ og skrive $\hat{\bold{\cal R}}/{\cal R}^2$,
eller (som vi valgte) {\aa} skrive om enhetsvektoren. P{\aa} sin plass med en figur, kanskje:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke34_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi ser at den ``aktuelle'' enhetsvektoren skal peke fra volumelementet $dV'$ i posisjon $\bold{r}'$
til posisjonen $\bold{r}$. Vi kan dermed skrive $(\bold{r}-\bold{r}')/|\bold{r}-\bold{r}'|^3$
i uttrykket for $\bold{E}(\bold{r})$.

\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 16.01.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Elektriske feltlinjer} 

\noindent
[FGT 22.2; YF 21.6; TM 21.5; AF 21.6; LHL 19.6; DJG 2.2.1]
\begin{itemize}
\item gir en visuell framstilling av $\bold{E}$ i et omr{\aa}de
\item $\bold{E}$ ligger tangentielt til feltlinjene overalt
\item styrken p{\aa} $\bold{E}$ (dvs $|\bold{E}|$) er proporsjonal med tettheten av feltlinjer,
dvs antall feltlinjer pr flateenhet
\end{itemize}
Konsekvenser av dette er bl.a. at
\begin{itemize}
\item feltlinjene g{\aa}r radielt {\em ut fra} positive (punkt-)ladninger og radielt {\em inn mot}
negative ladninger
\item like mange feltlinjer g{\aa}r ut fra ladning $+Q$ som inn mot $-Q$
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempler:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{feltlinjer.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\newpage
\noindent
{\bf Elektrisk dipol og elektrisk dipolmoment} 

\noindent
[FGT 22.1; YF 21.7; TM 21.4; AF 21.11; LHL 19.10; DJG 2.2.1, 3.4.2]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dersom vi har to ladninger $q$ og $-q$ i en viss innbyrdes avstand,
har vi en elektrisk dipol. Avstandsvektoren $\bold{d}$ fra den negative
ladningen $-q$ til den positive ladningen $q$ beskriver hvordan de to
er lokalisert i forhold til hverandre.

\noindent
Dipolens elektriske {\em dipolmoment} $\bold{p}$ er da:
$$\bold{p} = q \bold{d}$$
Dipolmomentet er alts{\aa} en {\em vektor} som peker fra den negative mot
den positive ladningen, med st{\o}rrelse lik produktet av ladningen $q$
og avstanden $d$.

\noindent
SI-enhet for elektrisk dipolmoment: $[p] = [qd] =$ Cm.

\noindent
Mye brukt alternativ enhet for elektrisk dipolmoment: 1 D (debye) $\simeq 3.336 \cdot 10^{-30}$ Cm.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Mer generelt kan vi definere det elektriske dipolmomentet for en vilk{\aa}rlig (kontinuerlig)
ladningsfordeling innenfor et romlig omr{\aa}de $\Omega$:
$$\bold{p} = \int_\Omega \bold{r} \, dq$$
Her kan $\Omega$ v{\ae}re et omr{\aa}de i 1, 2 eller 3 dimensjoner.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{dipolgenerell.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
I 1D ("linjeladning"):
\begin{eqnarray}
dq &=& \lambda(x) \, dx \nonumber \\
\bold{r} &=& x \, \hat{x} \nonumber
\end{eqnarray}

I 2D ("flateladning"):
\begin{eqnarray}
dq &=& \sigma \, dA \nonumber \\
   &=& \sigma(x,y) \,dx\,dy \;\; {\rm (kartesisk)} \nonumber \\
   & & \sigma(r,\phi) \,r\,dr\,d\phi \;\; {\rm (polarkoord)} \nonumber \\
\bold{r} &=& x \, \hat{x} + y \, \hat{y} \;\; {\rm (kartesisk)} \nonumber \\
         & & r \, \hat{r} \;\; {\rm (polarkoord)} \nonumber
\end{eqnarray}

I 3D ("romladning"):
\begin{eqnarray}
dq &=& \rho \, dV \nonumber \\
   &=& \rho(x,y,z) \,dx\,dy\,dz \;\; {\rm (kartesisk)} \nonumber \\
   & & \rho(r,\theta,\phi) \,r^2\,dr\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi \;\; {\rm (kulekoord)} \nonumber \\
\bold{r} &=& x \, \hat{x} + y \, \hat{y} + z \, \hat{z} \;\; {\rm (kartesisk)} \nonumber \\
         & & r \, \hat{r} \;\; {\rm (kulekoord)} \nonumber
\end{eqnarray}

\noindent
Dersom systemet best{\aa}r av $n$ punktladninger $q_1, q_2, \dots , q_n$ i posisjoner
$\bold{r}_1, \bold{r}_2, \dots , \bold{r}_n$, blir systemets elektriske dipolmoment
$$\bold{p} = \sum_{i=1}^n \bold{r}_i \, q_i$$
Det elektriske dipolmomentet $\bold{p}$ er bare entydig definert dersom systemet har
null netto ladning, dvs
$$Q = \int_\Omega \, dq = 0$$
Da spiller det for eksempel ingen rolle hvor vi velger origo.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dersom systemets nettoladning $Q$ er forskjellig fra null, vil $\bold{p}$ avhenge av
hvor vi plasserer origo (dvs $\bold{r}=0$). Vi vil kun snakke om elektrisk dipol og
dipolmoment i forbindelse med systemer med null nettoladning.

\vspace{2.5cm}
\noindent
{\em Ekstratimen} onsdag 16.01. ble brukt til {\aa} p{\aa}vise frast{\o}tning mellom to
legemer (ballonger) med samme type elektrisk ladning, tiltrekning mellom en ladet ballong
og en ladet trepinne (alts{\aa} motsatt type ladning), frast{\o}tning mellom en ladet
ballong og en ladet slikkepott i plast (samme type ladning), og endelig tiltrekning mellom
en ladet ballong og en elektrisk n{\o}ytral {\o}lboks. Boksen har frie elektroner som kan
flytte p{\aa} seg n{\aa}r de utsettes for elektrisk kraft fra ladningen p{\aa} ballongen.
Siden av boksen n{\ae}rmest ballongen f{\aa}r motsatt type ladning i forhold til ballongen,
siden lengst fra ballongen f{\aa}r samme type ladning som ballongen. Nettokraften fra
ballongen p{\aa} {\o}lboksen blir {\em tiltrekkende} fordi ladningen av motsatt type
er n{\ae}rmest ballongen.

\noindent
Deretter ble det regnet et par eksempler p{\aa} beregning av elektrisk felt fra
kontinuerlig ladningsfordeling: Uniformt ladet stav, og stav med motsatt type ladning
p{\aa} hver halvdel. I begge tilfeller ble feltet beregnet p{\aa} stavens akse.

\end{document}
