\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke 11

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 12.03.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Elektrisk str{\o}m.} 

\noindent
[FGT 26.1;  YF 25.1; TM 25.1; AF 24.1, 24.2; LHL 21.1; DJG 5.1.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrisk str{\o}mstyrke = (positiv) ladning som passerer gjennom tverrsnitt
av leder pr tidsenhet.

\noindent
I {\em metall} er {\em elektroner} ladningsb{\ae}rerne, med ladning $-e$.
Da g{\aa}r partikkelstr{\o}mmen og den elektriske str{\o}mmen i
motsatt retning.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med ladning $\Delta Q$ som passerer tverrsnitt $A$ p{\aa} tiden $\Delta t$:
$$I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} \stackrel{\Delta t \rightarrow 0}{\rightarrow}
\frac{dQ}{dt}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Enhet for str{\o}mstyrke: $[I] = [Q/t] =$ C/s = A (ampere)

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke42_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med $n=\Delta N/\Delta V$ ladningsb{\ae}rere pr volumenhet, med midlere
{\em driftshastighet} $\bold{v}$ og ladning $q$:
$$\Delta Q = q\Delta N = nq\Delta V = nq \Delta x A$$
$$\Rightarrow I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = nqA \frac{\Delta x}{\Delta t} = nqAv$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Str{\o}mtetthet = str{\o}m pr flateenhet:
$$j = \frac{I}{A}$$
Dermed:
$$j = nqv$$
B{\aa}de str{\o}mtetthet $j$ og driftshastighet $v$ er vektorer:
$$\bold{j} = nq\bold{v}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Dersom vi ogs{\aa} betrakter tverrsnittet $A$ som en vektor, blir $I$ en {\em skalar}
st{\o}rrelse:
$$I = \bold{j} \cdot \bold{A}$$
Str{\o}mmen $I$ har da kun retning i forhold til lederen (positiv eller negativ).

\vspace{0.2cm}
\noindent
Generalisering, dersom $\bold{j}$ ikke er konstant over lederens tverrsnitt:
$$I = \int_S \bold{j} \cdot d\bold{A}$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke42_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Ohms ``lov''} 

\noindent
[FGT 26.3;  YF 25.2,25.3; TM 25.2; AF 24.3, LHL 21.2, DJG 7.1.1]

\vspace{0.2cm}
\noindent
M{\aa} ha {\em drivende kraft} $\bold{F}$ for {\aa} f{\aa} str{\o}m gjennom lederen.
Dersom
$$I \sim \bold{F} \sim \bold{E} \sim V$$
(dvs: dersom $I$ er proporsjonal med den drivende kraften, og dermed
ogs{\aa} proporsjonal med det elektriske feltet og dermed ogs{\aa}
proporsjonal med potensialforskjellen $V$, s{\aa}...)
har vi s{\aa}kalt {\em line{\ae}r respons}:
$$I = \frac{1}{R} V$$
$$\Rightarrow V = R I$$
som er Ohms lov.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Enhet for {\em motstand (resistans)}: $[R] = [V/I] =$ V/A = $\Omega$ (ohm)

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ohmske materialer: F{\o}lger Ohms lov for store variasjoner i $I$

\noindent
Ikke-ohmske materialer: Betydelige avvik fra line{\ae}r sammenheng mellom $I$ og $V$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Kretssymbol for motstand:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke42_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 13.03.07
\end{large}
\end{center}

%\newpage
\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf Elektrisk ledningsevne (konduktivitet)} 

\noindent
[FGT 26.2,26.3;  YF 25.2,25.3; TM 25.2; AF 24.4, LHL 21.2, DJG 7.1.1]

\vspace{0.2cm}
\noindent
(Dette sammendraget er basert p{\aa} forelesningen gitt i 2005 om temaet. Et sammendrag
av P. K. Drudes modell finner du helt til slutt i dette dokumentet. Se ogs{\aa} LHL 21.4.)

\noindent
Tilfeldig bevegelse (diffusjon) av ladningsb{\ae}rere gjennom leder, {\em pluss}
netto drift pga feltet $\bold{E}$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke42_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Midlere driftshastighet langs $-\bold{E}$: \hspace{0.2cm} $\bold{v}$

\noindent
Partikkelhastighet knyttet til temperaturen i lederen: $v_T \sim \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} \gg v$

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\small Kommentar: En korrekt kvantemekanisk beskrivelse av elektronene i et metall vil faktisk resultere
i en enda st{\o}rre partikkelhastighet. Det skyldes at elektronene er en type element{\ae}rpartikler
som kalles {\em fermioner} og adlyder det s{\aa}kalte {\em Pauliprinsippet}, som sier at man
ikke kan ha mer enn ett fermion i hver tillatte ``tilstand''. Dette tvinger elektronene inn i tilstander
med h{\o}yere energi enn de ville ha hatt hvis de var klassiske partikler. Mer om det i senere kurs
i kvantemekanikk og faste stoffers fysikk!}

\vspace{0.2cm}
\noindent
For ohmsk materiale: $\bold{v} \sim \bold{E}$ 

\vspace{0.2cm}
\noindent
Dette gir da line{\ae}r sammenheng mellom str{\o}mtetthet og elektrisk felt:
$$\bold{j} = \sigma \bold{E}$$
som definerer materialets {\em konduktivitet} $\sigma$. Dette er ogs{\aa} Ohms lov.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Leder med lengde $l$, (konstant) tverrsnitt $A$ og konduktivitet $\sigma$ har resistans
$$R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}$$
Bevis:
$$I = jA = \sigma E A = \sigma \frac{V}{l} A = \frac{1}{R} V \;\; \Rightarrow \;\; R = \frac{l}{\sigma A}$$
Her har vi antatt at $E$ er konstant i lederen (som er OK, se Griffiths, Example 7.3), og
dermed lik spenningsfallet over lederen $V$ dividert med lengden $l$. Det siste likhetstegnet
i ligningen over er rett og slett Ohms lov, dvs definisjonen av $R$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Kan n{\aa} innf{\o}re {\em konduktans}: 
$$G = \frac{1}{R}$$
og {\em resistivitet}: 
$$\rho = \frac{1}{\sigma}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$\sigma$ og $\rho$ er materialspesifikke st{\o}rrelser

\noindent
$R$ og $G$ avhenger i tillegg av lederens st{\o}rrelse og utforming

\vspace{0.2cm}
\noindent
Enheter:

\noindent
$[G] = \Omega^{-1}$

\noindent
$[\sigma] = [l/RA] = \Omega^{-1}$ m$^{-1}$

\noindent
$[\rho] = \Omega$ m


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Temperaturavhengigheten til $\rho$} 

\noindent
[FGT 26.3; YF 25.2; TM 25.2; LHL 21.2]

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\O}kt temperatur $T$ resulterer i sterkere gittervibrasjoner og dermed hyppigere
kollisjoner mellom elektronene og gitteret. Dette gir redusert driftshastighet $v$
og redusert konduktivitet $\sigma$, dvs {\o}kt resistivitet $\rho$.

\noindent
Empirisk gjelder over ``et visst temperaturintervall'' for metaller:
$$\rho(T) = \rho_0 [1 + \alpha (T-T_0)]$$
Her er $T_0$ en valgt referansetemperatur, f.eks. 300 K, $\rho_0 = \rho(T_0)$
m{\aa}lt resistivitet ved $T_0$, og $\alpha$ m{\aa}lt temperaturkoeffisient, dvs
helning p{\aa} $\rho(T)/\rho_0$ plottet som funksjon av $T$.


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Elektrisk effekt} 

\noindent
[FGT 26.7;  YF 25.5; TM 25.3; AF 24.5, LHL 22.2, DJG 7.1]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Endring i potensiell energi, $\Delta U$, for ladning $\Delta Q$ som g{\aa}r gjennom
et spenningsfall $V$:
$$\Delta U = \Delta Q \cdot V$$

\noindent
Energibevarelse:

\noindent
Uten kollisjoner: F{\aa}r akselerasjon av ladningsb{\ae}rerne og {\o}kt kinetisk energi.

\noindent
Med kollisjoner (noe vi faktisk har!), dvs motstand $R$: $\Delta U$ ``tapes'' som {\em varme}
i motstanden.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Effekttap = energitap pr tidsenhet:
$$P = \frac{\Delta U}{\Delta t} = V \frac{\Delta Q}{\Delta t} = V \cdot I$$
Hvis vi har ohmsk materiale ($V = RI$):
$$P = RI^2 = \frac{V^2}{R}$$
Enhet for effekt:
$$[P] = [\frac{U}{t}] = \frac{{\rm J}}{{\rm s}} = {\rm W} \;\; {\rm (watt)}$$


\newpage
\noindent
{\bf Kobling av flere motstander} 

\noindent
[FGT 26.4; YF 26.1; TM 25.4; AF 24.6, LHL 21.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Seriekobling av $N$ motstander $R_i$, $i = 1,..,N$:
$$R = \sum_{i=1}^{N} R_i$$
Parallellkobling av $N$ motstander $R_i$, $i = 1,..,N$:
$$\frac{1}{R} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{R_i}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
I disse uttrykkene representerer $R$ den ekvivalente
motstanden dersom vi erstatter alle de serie- eller
parallellkoblede motstandene med en enkelt motstand.


\vspace{2cm}
\noindent
Et par kommentarer!
\begin{itemize}
\item
Har ikke vi blitt enige om at inne i en elektrisk leder er det elektriske
feltet lik null? Jo, men bare dersom vi har {\em elektrostatisk likevekt}!
N{\aa}r det g{\aa}r en elektrisk str{\o}m gjennom lederen, har vi ikke lenger
elektrostatisk likevekt! Og har vi ikke elektrostatisk likevekt, beh{\o}ver
ikke lenger det elektriske feltet {\aa} v{\ae}re lik null.
\item
I forelesningene slo jeg simpelthen fast, fullstendig uten bevis, at dersom
vi har en (rett) leder med samme tverrsnitt langs hele lederen, og 
som f{\o}rer en {\em stasjon{\ae}r} (dvs tidsuavhengig)
elektrisk str{\o}m $I$, s{\aa} er det elektriske feltet $\bold{E}$
{\em uniformt} overalt inne i lederen. Jeg har ikke tenkt {\aa} bevise dette
resultatet her heller. (Men se eksempel 7.3 i Griffiths, hvis du er interessert.)
Imidlertid er det bryet verdt {\aa} se litt p{\aa} {\em konsekvensene} av at
det elektriske feltet er uniformt inne i en slik leder. Det betyr for eksempel
at det ikke er noe netto ladning noen steder inne i lederen, p{\aa} samme m{\aa}te
som vi har funnet tidligere inne i en leder i elektrostatisk likevekt. Uniformt
elektrisk felt betyr at uansett hva slags volumelement, stort eller lite, inne i
lederen vi ser p{\aa}, m{\aa} all elektrisk fluks inn i volumelementet ogs{\aa}
g{\aa} ut av volumelementet igjen. Men da er jo netto ladning inne i volumelementet
lik null, if{\o}lge Gauss' lov! Konklusjon: Potensialforskjellen over lederen,
og det (uniforme) elektriske feltet inne i lederen, er "skapt" av ladninger som
m{\aa} befinne seg p{\aa} lederens overflate. (N{\o}yaktig {\em hvordan}
ladningsfordelingen p{\aa} lederens overflate blir er som regel ikke s{\aa} lett
{\aa} beregne...!)
\item
Ulike materialer har sv{\ae}rt ulike verdier for resistivitet. Eksempler:
S{\o}lv har $\rho = 1.59 \cdot 10^{-8}$ mens diamant har $\rho = 2.7$ (begge
i enheten $\Omega$m og ved romtemperatur). Ulike typer glass har typisk
resistiviteter i omr{\aa}det $10^{10} - 10^{14}$. Vent litt, var vi ikke
enige om at glass var en isolator, dvs uten mobile ladninger, og dermed
null ledningsevne, eller uendelig resistivitet? Vel, som s{\aa} mye annet her
i verden er dette bare "nesten sant". Det {\em er} sant ved null temperatur.
I praksis, ved "normale" temperaturer, har vi alltids et og annet elektron
som er l{\o}srevet fra sitt "opprinnelige" atom. I tillegg har vi alltid
{\em urenheter} i st{\o}rre eller mindre grad, og slike "fremmedatomer" kan
ogs{\aa} bidra med frie ladninger og derved gi en viss elektrisk ledningsevne.
Men: Legg merke til de enorme forskjellene i tallverdier: Forholdet mellom
resistiviteten til glass og s{\o}lv kan bli opptil $10^{22}$. En motstand
i en elektrisk krets er typisk laget av et materiale med betydelig st{\o}rre
resistivitet enn metallet i tilf{\o}rselsledningene. Vi kan derfor med god
tiln{\ae}rmelse betrakte de metalliske tilf{\o}rselsledningene som
ekvipotensialer, dvs med null spenningsfall over dem, og dermed ogs{\aa}
null elektrisk felt inne i dem. Ettersom vi har sammenhengen
$\bold{j} = \sigma \bold{E}$, ser vi at null felt samtidig med en
str{\o}mtetthet som {\em ikke} er null m{\aa} bety $\sigma \rightarrow \infty$.
Da snakker vi om at vi har en {\em perfekt} leder. Og i dette kurset betyr
"isolator" et materiale med uendelig resistivitet, eller $\sigma = 0$. Da
ser vi at $j=0$ {\em alltid}, selvom $E \ne 0$.
\end{itemize}

\vspace{0.8cm}
{\bf Elektrisk ledningsevne: Klassisk forenklet mikroskopisk modell
a la P. K. Drude anno 1900 (LHL 21.4)}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I et metall vil frie elektroner, med ladning $-e$ og masse $m_e$, kollidere med
ionegitteret p{\aa} sin vei gjennom krystallen. (Ioner, med positiv ladning, fordi
hvert atom har gitt fra seg ett (eller flere) elektron(er) til en "gass" av frie
elektroner.)

\noindent
Midlere avstand mellom kollisjonssentra blir av samme st{\o}rrelsesorden som
gitteravstanden:
$$a \sim 10^{-9} \; {\rm m}$$
Midlere partikkelhastighet $v_T$ ved temperatur $T$ er gitt ved at
$$\frac{1}{2} m_e v_T^2 = \frac{3}{2} k_B T$$
der $k_B$ er Boltzmanns konstant. Dermed:
$$v_T = \sqrt{\frac{3k_B T}{m_e}}= \sqrt{\frac{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23}
\cdot 300}{9 \cdot 10^{-31}}} \simeq 10^5 \; {\rm m/s}$$
Dermed blir midlere tid mellom to kollisjoner:
$$\tau \simeq \frac{a}{v_T} \simeq 10^{-14} \; {\rm s}$$
La oss anta at en kollisjon mellom et elektron og et ion i gitteret f{\o}rer til
at elektronet f{\aa}r en fullstendig tilfeldig retning p{\aa} hastigheten
umiddelbart etter kollisjonen, dvs
$$\langle v_x \rangle \simeq 0$$
Vi velger her (negativ) $x$-akse som retning for det elektriske feltet som s{\o}rger for
en foretrukken retning for transport av elektroner gjennom metallet:
$$\bold{E} = E_x \hat{x}$$
dvs med $E_x < 0$. Newtons 2. lov bestemmer n{\aa} elektronets bevegelse i tiden mellom
to kollisjoner:
$$F_x = m_e \frac{dv_x}{dt} = -e E_x$$
som gir en midlere hastighet i $x$-retningen rett f{\o}r ny kollisjon
$$\langle v_x \rangle = -\frac{e}{m_e} \tau E_x$$
Og dette m{\aa} da ogs{\aa} bli omtrent riktig uttrykk for midlere
driftshastighet for de frie elektronene i metallet:
$$\bold{v}_d = -\frac{e \tau}{m_e} \bold{E}$$
Fra f{\o}r har vi sammenhengen
$$\bold{j} = nq\bold{v}_d = -ne\bold{v}_d$$
mellom str{\o}mtettheten $\bold{j}$ og driftshastigheten $\bold{v}_d$.
$n$ er antall frie elektroner pr volumenhet.

\noindent
Men da kan vi skrive ned sammenhengen mellom $\bold{j}$ og $\bold{E}$:
$$\bold{j} = \sigma \bold{E}$$
der
$$\sigma = \frac{ne^2 \tau}{m_e}$$ 
er {\em konduktiviteten} til metallet. Som vi har sett tidligere i dette
sammendraget, er dette nettopp Ohms lov!

\noindent
Drudes modell er overforenklet p{\aa} flere m{\aa}ter, uten at vi skal g{\aa}
n{\ae}rmere inn p{\aa} det i denne omgang. Men la oss til slutt sette inn
noen mer eller mindre rimelige tallverdier og se hva vi f{\aa}r for f.eks.
konduktiviteten til kobber:
\begin{eqnarray}
n &\sim& 10^{29} \nonumber \\
\tau &\sim& 10^{-14} \nonumber \\
e &\sim& 10^{-19} \nonumber \\
m_e &\sim& 10^{-30} \nonumber
\end{eqnarray}
Her er alle st{\o}rrelser angitt med SI-enheter, og disse tallene gir
$$\sigma({\rm Cu}) \sim 10^7$$
Eksperimentelt har vi, ved romtemperatur,
$$\sigma({\rm Cu}) = 5.8 \cdot 10^7$$
som egentlig er overraskende n{\ae}rt.

\end{document}
