\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008, uke 13

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 26.03.08
\end{large}
\end{center}


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf $RC$-kretser} 

\noindent
[FGT 27.5; YF 26.4; TM 25.6; AF Note 25.1; LHL 22.4; DJG Problem 7.2]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Rommet mellom de to lederne i en kondensator er fylt med en {\em isolator}, og {\em gjennom}
en (ideell) isolator g{\aa}r det {\em null} elektrisk str{\o}m.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{uke43_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi kan imidlertid ha en {\em tidsavhengig} str{\o}m $I(t)$ inn og ut av kondensatorens
ledere ({\em platene}, hvis det er snakk om en parallellplatekondensator).

\noindent
Dermed f{\aa}r vi en tidsavhengig ladning $Q(t)$ p{\aa} kondensatorplatene.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Kan vi bruke Kirchhoffs regler til {\aa} analysere kretser med tidsavhengige $I(t), V(t), Q(t)$?

\noindent
Ja: For ``langsomt'' varierende str{\o}mstyrker, der langsomt er i forhold til hvor raskt en
endring et sted i kretsen ``merkes'' i resten av kretsen. Siden elektromagnetiske signaler
(b{\o}lger) forplanter seg med lyshastigheten $c$, er dette i praksis som regel ikke noe
problem.

\newpage
%\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempel 1: Opplading av kondensator i $RC$-krets.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.2in \epsfbox{uke43_fig6.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
(Like-)Spenningskilden $\ems$ kobles inn ved tidspunktet $t=0$. Da har vi null ladning p{\aa}
kondensatoren, $Q(0) = 0$.

\noindent
Kirchhoffs spenningsregel $\Rightarrow$
$$\ems - V_C - V_R = 0$$
Spenningsfall over $C$: 
$$V_C = Q/C$$
Spenningsfall over $R$: 
$$V_R = RI = R \frac{dQ}{dt}$$
Gir 1. ordens differensialligning for ladningen $Q$:
$$R \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{C} Q = \ems$$
som har l{\o}sning
$$Q(t) = \ems C \left( 1 - e^{-t/RC} \right)$$
Her har vi brukt {\em initialbetingelsen} $Q(0)=0$.

\noindent
Str{\o}mstyrken blir
$$I(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{\ems}{R}e^{-t/RC}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Tidskonstant} for oppladningsprosessen: $\tau = RC$

\noindent
Verdien av $\tau$ gir en {\em st{\o}rrelsesorden} for hvor lang tid det
tar {\aa} lade opp kondensatoren til sin maksimale ladning
$$Q(t\rightarrow\infty) = \ems C$$

\newpage
%\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempel 2: Utlading av kondensator i $RC$-krets. (Dette eksempelet
ble ikke tatt p{\aa} forelesning i {\aa}r, men det er gitt som oppgave 3
i {\o}ving 11. Pr{\o}v deg selv f{\o}r du evt sjekker her.)

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke43_fig7.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi antar at kondensatoren i utgangspunktet er ladet opp med en spenningskilde $\ems$ og
at den er ''full-ladet'' slik at initialbetingelsen her er $Q(t=0) = \ems C$.

\noindent
Kirchhoffs spenningsregel $\Rightarrow$
$$-V_R - V_C = 0$$
Gir igjen 1. ordens differensialligning for ladningen $Q$:
$$-R \frac{dQ}{dt} - \frac{1}{C} Q = 0$$
som har l{\o}sning
$$Q(t) = \ems C e^{-t/RC}$$
Her har vi brukt {\em initialbetingelsen} $Q(0)=\ems C$.

\noindent
Str{\o}mstyrken blir
$$I(t) = \frac{dQ}{dt} = -\frac{\ems}{R}e^{-t/RC}$$
Vi ser av figuren at vi her valgte ''feil'' retning p{\aa}
str{\o}mmen $I$: Positiv ladning vil m{\aa}tte str{\o}mme fra
den positivt ladete platen, og derfor gi positiv str{\o}m
i retning mot klokka. Dette er imidlertid ivaretatt, i og med
at den beregnede str{\o}mmen kom ut med et negativt fortegn.

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\em Merk} at dersom vi hadde valgt motsatt retning p{\aa} $I$ i figuren,
kunne vi ikke lenger ha skrevet $I = dQ/dt$, men derimot $I = -dQ/dt$,
ettersom en positiv str{\o}m da ville tilsvare en {\em reduksjon} i
ladningen p{\aa} kondensatoren. Med andre ord: $dQ/dt$ vil da v{\ae}re
negativ for positiv $I$, og vi m{\aa} skrive $I = -dQ/dt$ for {\aa}
f{\aa} samme fortegn p{\aa} begge sider av likhetstegnet.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Min {\em anbefaling} er {\aa} velge retning p{\aa} str{\o}mmen $I$ i forhold
til ladningen $Q$ p{\aa} kondensatoren slik som det er gjort i figuren over.
Da kan vi holde oss til sammenhengen $I = dQ/dt$, dvs positiv $I$ tilsvarer
en positiv endring i ladningen $Q$. Initialbetingelsen(e) for hvert enkelt
problem s{\o}rger for at fortegnet p{\aa} $I$ blir riktig til slutt!


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Vekselstr{\o}mkretser} 

\noindent
[FGT 33.2; YF 31.1,31.2; TM 29.2,29.3; AF Note 27.2; LHL 27.3]

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{uke43_fig8.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Harmonisk varierende spenningskilde:
$$\ems(t) = V_0 \cos \omega t$$

\noindent
Perioden: $T = 2\pi/\omega$. Enhet: s. Angir hvor lang tid det tar mellom hver gang
$\ems(t)$ har, for eksempel, sin  maksimalverdi $V_0$.

\noindent
Frekvensen: $f = 1/T = \omega/2\pi$. Enhet: s$^{-1}$ = Hz. Angir hvor mange svingninger
$\ems(t)$ utf{\o}rer pr tidsenhet.

\noindent
Vinkelfrekvensen: $\omega = 2\pi f$. Enhet: s$^{-1}$ (evt. radianer pr sekund).

\noindent
Amplituden: $V_0$. Enhet: V. Angir maksimalverdien til $\ems(t)$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke43_fig9.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
N{\aa}r en vekselspenningskilde kobles til en elektrisk krets (best{\aa}ende av
resistanser, kapasitanser osv), blir de resulterende str{\o}mstyrker harmonisk
varierende vekselstr{\o}mmer. Kirchhoffs regler (str{\o}mregelen og spenningsregelen)
m{\aa} v{\ae}re oppfylt ved ethvert tidspunkt $t$ (jfr kommentar ang{\aa}ende
hvor raskt elektromagnetiske ''forstyrrelser'' forplanter seg), noe som setter oss i stand til
{\aa} beregne resulterende str{\o}mstyrker i en gitt krets.



\vspace{0.5cm}
\noindent
Et par enkle eksempler med vekselspenningskilde koblet til elektriske kretser:

\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempel 1: Vekselspenning $\ems(t) = V_0 \cos\omega t$ koblet til motstand $R$.

\noindent
Ohms lov og Kirchhoffs spenningsregel (''K2'') gir
$$\ems(t) - R I(t) = 0$$
og dermed
$$I(t) = \frac{V_0}{R} \, \cos\omega t$$
Str{\o}mmen svinger {\em i fase} med den p{\aa}trykte spenningen, med amplitude
$$I_0 = V_0/R$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempel 2: Vekselspenning $\ems(t) = V_0 \cos\omega t$ koblet til kapasitans $C$.
(Gitt som oppgave 4a i {\o}ving 11. Pr{\o}v selv f{\o}r du evt sjekker her.)

\noindent
Fra definisjonen av kapasitans, $C = Q/V$, f{\o}lger det at spenningsfallet over
kapasitansen er $V = Q/C$. K2 gir da
$$\ems(t) - \frac{Q(t)}{C} = 0$$
og dermed
$$Q(t) = V_0 C \cos\omega t$$
Str{\o}mmen er $I = dQ/dt$, dvs
$$I(t) = - V_0 \omega C \sin\omega t = V_0 \omega C \cos(\omega t + \pi/2)$$
Str{\o}mmen svinger 90$^\circ$ ute av fase i forhold til den p{\aa}trykte spenningen, med
amplitude
$$I_0 = I_0(\omega) = V_0 \omega C$$
Vi ser at str{\o}mamplituden n{\aa} blir avhengig av frekvensen til den p{\aa}trykte
spenningen. Tar vi grensen $\omega \rightarrow 0$, har vi $I_0 \rightarrow 0$, som stemmer
bra: Ingen likestr{\o}m gjennom en (ideell) kondensator!

\vspace{1.0cm}
\noindent
''Generalisert motstand'', eller {\em impedans}: I henhold til Ohms lov er ''ordin{\ae}r motstand''
definert som forholdet mellom spenning $V$ og str{\o}m $I$, $R = V/I$, og hvis $V$ og $I$ svinger
med samme fase (dvs: $V(t) = V_0 \cos\omega t$ og $I(t) = I_0 \cos\omega t$), vil vi ogs{\aa}
kunne skrive $R = V_0/I_0$, dvs forholdet mellom {\em amplitudene} til spenning og str{\o}m.
Vi generaliserer denne definisjonen av motstand og lar den gjelde selv om spenning og str{\o}m
ikke svinger med samme fase: Med $V(t) = V_0 \cos\omega t$ og $I(t) = I_0 \cos(\omega t - \alpha)$
har kretsen en {\em impedans}
$$Z = V_0/I_0$$
og en {\em fasevinkel} $\alpha$ som angir faseforskjellen mellom spenningen $V(t)$ og str{\o}mmen $I(t)$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Vi ser dermed at en motstand $R$ er et kretselement med impedans og fasevinkel
$$Z_R = R \;\;\;\; , \;\;\;\; \alpha_R = 0$$
En kapasitans $C$ er et kretselement med impedans og fasevinkel
$$Z_C = \frac{1}{\omega C} \;\;\;\; , \;\;\;\; \alpha_C = -\pi/2$$


\newpage
\noindent
Neste uke:

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisk vekselvirkning! I ekstratimen p{\aa} onsdag
har jeg tenkt {\aa} vise, eller i hvert fall sannsynliggj{\o}re, 
at magnetfeltet og magnetiske krefter er en direkte konsekvens av
elektrostatikken (dvs at ladninger i ro p{\aa}virker hverandre med Coulombkrefter)
{\em og} Einsteins spesielle relativitetsteori. Vi kan med andre ord sl{\aa} fast at
{\em magnetisme er en relativistisk effekt}.

\vspace{0.3cm}
\noindent
I de ordin{\ae}re forelesningene starter vi med {\aa} se p{\aa} bevegelse av ladet partikkel i magnetfelt, og
vi skal etter hvert introdusere {\em Biot--Savarts lov}, som gir oppskriften p{\aa}
hvordan magnetfeltet $\bold{B}$ beregnes med utgangspunkt i hva som m{\aa}tte
v{\ae}re ''til stede'' av elektriske {\em str{\o}mmer} $I$. Biot--Savarts lov
er magnetostatikkens svar p{\aa} Coulombs lov i elektrostatikken, som gir
oppskriften p{\aa} hvordan det elektriske feltet $\bold{E}$ beregnes med
utgangspunkt i hva som m{\aa}tte v{\ae}re 'til stede'' av elektriske {\em ladninger}.
Og kjenner vi feltene $\bold{E}$ og $\bold{B}$ i et omr{\aa}de, kan vi ogs{\aa} bestemme
kraften p{\aa} en ladning $q$ med hastighet $\bold{v}$:
$$\bold{F} = q \bold{E} + q \bold{v} \times \bold{B}$$
som er den ber{\o}mte {\em Lorentzkraften}.



\end{document}
