\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 4
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Torsdag 3. februar og fredag 4. februar

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 7. februar


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vi har et uniformt elektrisk felt $\bold{E} = E_0 \; \hat{x}$. Bestem
potensialforskjellen mellom origo og f{\o}lgende punkter $(x,y)$
i $xy$-planet:

\noindent
$(i)$ $(a,0)$ \hspace{2cm} $(ii)$ $(0,a)$ \hspace{2cm} $(iii)$ $(a,a)$


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
En {\em elektrisk dipol} er plassert langs $z$-aksen med sentrum i origo,
som vist i figuren. Det elektriske {\em dipolmomentet} er definert som 
$\bold{p} = q\bold{a}$, der $\bold{a} = a\;\hat{z}$ er vektoren fra $-q$ til $q$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov3_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Siden vi her opplagt m{\aa} ha {\em symmetri} med hensyn til rotasjon omkring $z$-aksen, er det
tilstrekkelig {\aa} se p{\aa} forholdene i et plan som inneholder $z$-aksen. Vi har
valgt $xz$-planet.

\noindent
Vi kan videre velge mellom kartesiske koordinater $(x,z)$ eller polarkoordinater $(r,\theta)$
for {\aa} angi en vilk{\aa}rlig posisjon i dette planet. Vi skal se p{\aa} begge deler i denne
oppgaven. Vinkelen $\theta$ kan vi selvsagt velge i forhold til hvilken kartesiske akse
vi vil; vi lar $\theta$ v{\ae}re vinkelen som $\bold{r}$ danner i forhold til $z$-aksen
(se figuren).

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Bestem f{\o}rst sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene og polarkoordinatene,
dvs $x(r,\theta)$, $z(r,\theta)$ og $r(x,z)$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Vis at potensialet fra en slik dipol i kartesiske koordinater blir
$$V(x,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z-a/2\right)^2}} -
\frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z+a/2\right)^2}} \right)$$
Hva blir potensialet p{\aa} $x$-aksen, $V(x,0)$? Enn p{\aa} $z$-aksen, $V(0,z)$?
(P{\aa} {\em hele} $z$-aksen; pass p{\aa} fortegnene...!) Skisser funksjonen $V(0,z)$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Vis at i stor avstand fra dipolen (dvs $r\gg a$) er potensialet med god
tiln{\ae}rmelse gitt i polarkoordinater ved
$$V(r,\theta) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{\bold{p}\cdot\bold{r}}
{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$
Tips: Ta utgangspunkt i at
$$\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$$
og bruk figuren til {\aa} finne et tiln{\ae}rmet uttrykk for dette n{\aa}r $r \gg a$.

\noindent
Mens potensialet fra en enkelt punktladning avtar som $1/r$, avtar alts{\aa}
potensialet fra en dipol {\em raskere}, nemlig som $1/r^2$. Er dette rimelig?

\vspace{0.2cm}
\begin{small}
\noindent
Kommentar: For den som insisterer p{\aa} en mer rigid matematisk tiln{\ae}rming til
denslags, er det her snakk om {\aa} bestemme $V(r,\theta)$ ``til ledende orden''
i den ``lille parameteren'' $a/r$. Med andre ord, det oppgitte uttrykket for
$V(r,\theta)$ er {\em eksakt} for en s{\aa}kalt {\em ideell dipol} med ``null
utstrekning'' (dvs $a \rightarrow 0$). Ekstran{\o}tt, hvis du syntes dette
ble for lett: Hva blir ``dominerende korreksjon'' til den oppgitte $V(r,\theta)$?
Dvs: Hva blir neste ledd i rekkeutviklingen (Maclaurinrekken) til $V(r,\theta)$
for sm{\aa} verdier av $a/r$, dvs $a/r  \ll 1$?
\end{small}



\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 3 (fra tidligere midtsemesterpr{\o}ver)}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Figuren viser feltlinjer for et uniformt elektrisk felt. Et
elektron som plasseres i dette feltet vil

\noindent
\parbox{11cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & bevege seg med konstant hastighet mot venstre. \\
B & bevege seg med konstant hastighet mot h{\o}yre. \\
C & akselereres mot venstre. \\
D & akselereres mot h{\o}yre.
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid1_fig1.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.4cm}
\noindent
$b)$ Figuren viser et uniformt elektrisk felt $\bold{E}$ (heltrukne
linjer). Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  1 \\
B &  2 \\
C &  3 \\
D &  4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid1_fig8.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.4cm}
\noindent
$c)$ En partikkel med negativ ladning plasseres med null starthastighet
i et elektrostatisk felt $\bold{E}$. Partikkelens bevegelse blir

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & i retning lavere potensial. \\
B & i retning lavere potensiell energi. \\
C & i samme retning som $\bold{E}$. \\
D & i retning normalt p{\aa} $\bold{E}$.
\end{tabular}


\newpage
%\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ Fire punktladninger, to positive og to negative
($q = 9 \; \mu$C), er plassert i hj{\o}rnene p{\aa} et kvadrat med sidekanter
5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  19 J \\
B &  Null \\
C &  -7 J \\
D &  -38 J
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{mid3_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.4cm}
\noindent
$e)$ To punktladninger $Q_1 = 69$ nC og $Q_2 = -98$ nC er plassert i $xy$-planet,
som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor
endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi?
("Systemet" = de to punktladningene og elektronet.)
(1 eV = $1.6 \cdot 10^{-19}$ J)

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  -1 keV \\
B &  -1 eV \\
C &  1 eV  \\
D &  1 keV
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid3_fig6.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.7cm}
\noindent
$f)$ Den potensielle energien til to elektroner i innbyrdes avstand
1 {\AA} (= $10^{-10}$ m) er [1 eV = $1.6\cdot10^{-19}$ J]

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & 14.4 meV \\
B & 14.4 eV \\
C & 14.4 keV \\
D & 14.4 MeV
\end{tabular}

\vspace{0.7cm}
\noindent
$g)$ En berylliumkjerne med ladning $4e$ og masse $9m_p$ og en $\alpha$-partikkel
(dvs en heliumkjerne) med ladning $2e$ og masse $4m_p$ er i ro. De to
partiklene kan gis like stor hastighet ved {\aa}

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & akselerere dem gjennom en like stor potensialforskjell. \\
B & akselerere $\alpha$-partikkelen gjennom $V$ volt og berylliumkjernen
gjennom $V/2$ volt. \\
C & akselerere $\alpha$-partikkelen gjennom $V$ volt og berylliumkjernen
gjennom $8V/9$ volt.\\
D & akselerere $\alpha$-partikkelen gjennom $V$ volt og berylliumkjernen
gjennom $9V/8$ volt.
\end{tabular}



\end{document}
