\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=24cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU
\hfill
27. mars 2006

\noindent
FY1003/TFY4155 Elektromagnetisme


\end{bf}
\begin{large}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge MAGNETFELT OG MAGNETISME SOM 

\vspace{0.3cm}
RELATIVISTISK FENOMEN}

\vspace{0.5cm}
(orienteringsstoff; ikke pensum til eksamen)
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
Utgangspunkt: Anta at vi kjenner til Coulombs lov og elektriske krefter. Vi vet derimot {\em ingenting}
om magnetfelt og magnetisme.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Vi gj{\o}r s{\aa} et eksperiment:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{rel_mag_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
... og m{\aa}ler til v{\aa}r store overraskelse en kraft p{\aa} ladningen $q$:
$$F = k \frac{I}{a} q v$$
med retning inn mot lederen dersom $q>0$. 

\noindent
(Retning vekk fra lederen dersom $q$, $I$ eller $v$ skifter fortegn.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Lederen er {\em elektrisk n{\o}ytral} $\Rightarrow$ den elektriske kraften m{\aa} v{\ae}re {\em null} !

\vspace{0.5cm}
\noindent
\fbox{HVOR KOMMER KRAFTEN $F$ FRA??}

\vspace{0.5cm}
\noindent
L{\o}sning: Relativitetsteori!
%%FIGURE
\hfill{\epsfxsize=1.1in \epsfbox{einstein.eps}}
%%END FIGURE


%\vspace{0.5cm}
\newpage
\noindent
Lorentzkontraksjon:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.2cm}
\begin{center} 
{\em Per}: Stavens lengde er $L$.

\vspace{0.2cm}
{\em P{\aa}l}: Stavens lengde er $L/\gamma < L$.
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Her er:
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \geq 1$$
med $c =$ lyshastigheten ($= 299792458$ m/s $\simeq 3 \cdot 10^8$ m/s) og $v =$ hastigheten til staven og Per (i stavens lengderetning)
i forhold til P{\aa}l.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Eksempel: Per er i ro i forhold til staven og m{\aa}ler dens lengde til 1 m. P{\aa}l ser en stav som har en hastighet
$v = 30000$ km/s. Da er $v^2/c^2 = 10^{-2}$ og P{\aa}l vil si at stavens lengde er 0.995 m, dvs 5 mm kortere.

\vspace{1.0cm}
\noindent
Alts{\aa}:

\vspace{1.0cm}
\begin{center} 
\fbox{Objekter i bevegelse er kortere enn n{\aa}r de er i ro!} 
\end{center}

\newpage
\noindent
Konsekvenser av Lorentzkontraksjon for ladningen $q$ som er i bevegelse 

\noindent
langs den str{\o}mf{\o}rende lederen:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\begin{center} 
{\em Per}: Lederen har negativ ladning $-\lambda$ pr lengdeenhet og positiv ladning $\lambda$
pr lengdeenhet. Alt i alt er lederen {\em elektrisk n{\o}ytral}.

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=4.5in \epsfbox{hva_paal_ser.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
{\em P{\aa}l}: Lederen har negativ ladning $-\lambda_{-}$ pr lengdeenhet og positiv ladning
$\lambda_{+}$ pr lengdeenhet. De negative ladningene har {\em st{\o}rst} hastighet i forhold til meg.
P{\aa} grunn av {\em st{\o}rst} Lorentzkontraksjon ligger derfor disse {\em tettere} enn de positive
ladningene. Alts{\aa} er $\lambda_{-} > \lambda_{+}$. Alt i alt er lederen {\em ikke elektrisk n{\o}ytral};
den har en {\em netto negativ ladning} $\Delta \lambda = -\lambda_{-} + \lambda_{+} < 0$.

\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
Dermed m{\aa}ler P{\aa}l en {\em tiltrekkende elektrisk kraft} p{\aa} ladningen $q$:
$$F_{\rm Pal} = F_e = qE = q\cdot\frac{\Delta \lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$$
der vi har brukt at elektrisk felt i avstand $a$ fra en uendelig lang stav med
ladning $\Delta \lambda$ pr lengdeenhet er (se {\o}ving 3, oppgave 1d og {\o}ving 6, oppgave 2)
$E = \Delta \lambda/2\pi\varepsilon_0 a$

\newpage
%\vspace{0.5cm}
\noindent
So what? {\em Vi} er typisk i Pers situasjon, dvs p{\aa} laben, i ro i forhold til lederen, og hvem
har sagt at Per, som ser en n{\o}ytral leder, vil m{\aa}le en kraft p{\aa} $q$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
Jo, det sier Einstein, med sitt {\em relativitetsprinsipp}:

\vspace{0.5cm}
\begin{center} 
Fysikkens lover gjelder i alle {\em inertialsystemer}, dvs i alle

referansesystemer som er i ro eller i konstant hastighet.
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent
Dermed: Hvis P{\aa}l m{\aa}ler en kraft p{\aa} $q$, {\em m{\aa}} ogs{\aa}
Per m{\aa}le en kraft p{\aa} $q$!

\vspace{1cm}
\noindent
Kvantitativt:
$$F_{\rm Per} = \sqrt{1-v^2/c^2}\; F_{\rm Pal} = \frac{1}{\gamma}\; F_{\rm Pal}$$
$$\Delta \lambda = \frac{2\lambda v u}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{2\lambda v u}{c^2} \cdot \gamma$$
...som vi her simpelthen godtar uten bevis...

\noindent
(Se notat p{\aa} fagets hjemmeside for flere detaljer.)

\vspace{1cm}
\noindent
Dermed:
\begin{eqnarray}
F_{\rm Per} &=& \frac{1}{\gamma} \cdot q \cdot
\frac{2\lambda v u}{2\pi\varepsilon_0 a c^2} \cdot \gamma \nonumber \\
&=& q v \frac{2 \lambda u}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a} \nonumber \\
&=& q v \frac{I}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a} \nonumber
\end{eqnarray}
Som i eksperimentet v{\aa}rt, med
$$k = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0 c^2} = 2 \cdot 10^{-7} \, {\rm Vs/Am}$$
(dvs en naturkonstant)

\vspace{1cm}
\noindent
La oss skrive
$$F_{\rm Per} = F_m = qvB$$
med
$$B = \frac{I}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a}$$
St{\o}rrelsen $B$ er nettopp {\em magnetfeltet} (her: i avstand $a$ fra en lang, rett
str{\o}mf{\o}rende leder med str{\o}m $I$),
og $F_m$ er den {\em magnetiske kraften} p{\aa} ladningen $q$ med
hastighet $v$.

\vspace{1.5cm}
\noindent
Merk at vi har f{\aa}tt oppklart to viktige sp{\o}rsm{\aa}l:

\vspace{0.5cm}
\noindent
Hvor kommer magnetfeltet fra? 

\noindent
Svar: Fra ladninger i bevegelse, dvs {\em elektrisk str{\o}m}.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Hvordan virker den magnetiske kraften p{\aa} en ladning i bevegelse? 

\noindent
Svar: $F_m=qvB$

\vspace{2.0cm}
\noindent
Men hvordan uttrykke $F_m = qvB$ p{\aa} {\em vektorform}? B{\aa}de $\bold{F}_m$ og
$\bold{v}$ er jo vektorer, men ikke parallelle vektorer....

\noindent
Vi m{\aa} ty til {\em kryssprodukt}! La $\bold{B}$ v{\ae}re en vektor som peker
inn i planet:

\vspace{1.5cm}
%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{1cm}
\noindent
Da ser vi at vi kan skrive:
$$\bold{F}_m = q \bold{v} \times \bold{B}$$

\newpage
\noindent
KONKLUSJON: (og dette er selvsagt pensum!)

\vspace{1cm}
\noindent
Fra f{\o}r: Elektrisk felt $\bold{E}$ lages av ladninger (i ro eller i bevegelse) og resulterer i elektrisk kraft p{\aa}
ladninger (i ro eller i bevegelse):
$$\bold{F}_e = q \bold{E}$$

\vspace{1cm}
\noindent
N{\aa}: Magnetfelt $\bold{B}$ lages av str{\o}m (dvs ladninger i bevegelse)
og resulterer i magnetisk kraft p{\aa} ladninger i bevegelse:
$$\bold{F}_m = q \bold{v} \times \bold{B}$$

\vspace{1.5cm}
\noindent
Med b{\aa}de $\bold{E}$ og $\bold{B}$ til stede samtidig, p{\aa}virkes ladningen $q$ med hastighet $\bold{v}$
av {\em Lorentzkraften}
$$\bold{F} = \bold{F}_e + \bold{F}_m = q\bold{E} + q\bold{v} \times \bold{B}$$

\vspace{1.5cm}
%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\end{large}
\end{document}
