\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 3
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Uke 4

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 29. januar

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.3cm}
\noindent
En tynn stav med lengde $L$ har uniform ladning $\lambda$ pr lengdeenhet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en liten lengde $dx$ av staven? Hva er
stavens totale ladning $Q$?

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.2in \epsfbox{ov2_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Vi legger staven p{\aa} $x$-aksen, slik at punktet $P$ har koordinater $(x,y)=(0,R)$.
Vis at det elektriske feltet i $P$, dvs i avstand $R$ fra staven, er gitt ved
$\bold{E}=E_x\hat{x}+E_y\hat{y}$, med
$$ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2) \;\;\;\;\;\;\;\;
E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\sin\theta_1 - \sin\theta_2) $$
Her er $\theta_1$ og $\theta_2$ vinklene som dannes mellom linjene fra $P$ til
stavens endepunkter og normalen til staven gjennom $P$ (dvs $y$-aksen), som vist i figuren. (Fortegnet
til vinklene er som indikert i figuren, dvs $\theta$ er negativ n{\aa}r $x < 0$).

\vspace{0.3cm}
\noindent
[Tips: Feltet $d\bold{E}$ fra en liten bit $dx$ av staven (i posisjon $x$) er
$d\bold{E} = (\lambda\,dx/4\pi\varepsilon_0 r^2) \hat{r}$, der $\bold{r}$ er
avstandsvektoren fra biten $dx$ til punktet $P$. Pr{\o}v deretter {\aa} ende opp med
$\theta$ som integrasjonsvariabel ved {\aa} finne en sammenheng mellom $x$ og $\theta$.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem feltet n{\aa}r $P$ er like langt fra stavens to ender.
Hva blir \bold{E} n{\aa}r $P$ er langt unna staven (dvs $R \gg L$).
NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret $\bold{E}\simeq 0$ for 
$R \rightarrow \infty$, men derimot hvordan \bold{E} avhenger av $R$ ``til ledende orden'' 
for $R \gg L$. Er svaret som forventet?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Hva blir det elektriske feltet i avstand $R$ fra en uendelig lang uniformt ladet stav?
(Dvs: $L \rightarrow \infty$)


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ei tynn, sirkelforma skive med radius $R_0$ har uniform ladning $\sigma$
pr flateenhet.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{ov2_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en tynn ring av skiva, med radius $R$
og bredde $dR$? Hva er skivas totale ladning $Q$?

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Finn den elektriske feltstyrken \bold{E} i et punkt $P$ p{\aa} symmetriaksen i
en avstand $a$ fra skiva. (Tips: Finn f{\o}rst feltet $d\bold{E}$ i $P$ fra en tynn
ring med radius $R$ og bredde $dR$, og integrer deretter fra $R=0$ til $R=R_0$.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Hva blir \bold{E} (igjen: til ledende orden, jfr Oppg 1c) i de to tilfellene
$a \gg R_0$ og $a \ll R_0$, dvs henholdsvis langt unna
og n{\ae}rt inntil skiva? (Du drar kanskje kjensel p{\aa} svaret i tilfellet $a \gg R_0$?
Tenk dessuten litt p{\aa} hva det andre tilfellet, $R_0 \gg a$, inneb{\ae}rer.)

\vspace{0.7cm}
\noindent
Oppgitt: $(1+\alpha)^{\pm 1/2} \simeq 1 \pm \alpha/2$ dersom $\alpha \ll 1$.

\noindent
(Dette er ikke noe mystisk, men rett og slett de to f{\o}rste leddene i Taylorutviklingen
av funksjonene $f(\alpha) = (1+\alpha)^{\pm 1/2}$ om punktet $\alpha=0$.)

\vspace{1.5cm}
\noindent
Fasitsvar: 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Oppgave 2b}: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^2+R_0^2}}\right)$


%\vspace{1cm}
\newpage
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ For staven og skiva i oppgave 1 og 2, pr{\o}v {\aa} skissere elektriske feltlinjer,
b{\aa}de i et plan som inneholder staven (skiva) og i et plan normalt p{\aa}
staven gjennom dens midtpunkt (normalt p{\aa} skiva gjennom dens sentrum). Vis skissene
i stor og liten m{\aa}lestokk i hvert av de fire tilfellene, slik at de gir et kvalitativt
bilde av feltet, b{\aa}de n{\ae}rt og langt unna staven (skiva).

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Skisser elektriske feltlinjer for disse to systemene av punktladninger:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov3_pointcharges.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE
                                                                                
\vspace{1.0cm}
\noindent
Tips: I denne oppgaven vil det kanskje v{\ae}re til hjelp {\aa} g{\aa} inn p{\aa} 
http://www.falstad.com/vector3de, som er en Java applet
for {\aa} visualisere (blant annet) elektriske feltlinjer ("Display: Field Lines") fra
diverse ladningsfordelinger (punktladninger og kontinuerlige fordelinger). 
"finite line" representerer 
nettopp den ladete staven. Det n{\ae}rmeste vi kommer den sirkul{\ae}re skiva er 
"charged plate", som har endelig utstrekning i $x$-retning. Stavlengden og 
platest{\o}rrelsen kan varieres med det nederste rullefeltet.

\end{document}
