\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 11
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Mandag 23. mars og fredag 27. mars

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 27. mars


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Innledning} (dvs vi rekapitulerer fra forelesningen 11.\ mars):

\noindent
For en likestr{\o}mkrets med spenningskilde $V_0$ som leverer en str{\o}m $I_0$ vil
kretsens totale resistans $R$ v{\ae}re gitt ved Ohms lov, $R = V_0/I_0$.

\noindent
For en vekselstr{\o}mkrets med spenningskilde $V_0 \, \cos\omega t$ som leverer en
str{\o}m $I_0 \, \cos(\omega t - \alpha)$ kan vi p{\aa} tilsvarende m{\aa}te definere
en ''generalisert motstand'', eller {\em impedans} $Z$, for kretsen: $Z = V_0/I_0$.
Vi holder her muligheten {\aa}pen for at str{\o}mmen kan v{\ae}re {\em faseforskj{\o}vet}
med $\alpha$ i forhold til den p{\aa}trykte spenningen. Vi skal ogs{\aa} se i eksemplene
nedenfor at str{\o}mamplituden $I_0$ kan bli avhengig av (vinkel-)frekvensen $\omega$, slik
at impedansen ogs{\aa} kan bli frekvensavhengig, dvs $Z = Z(\omega)$.

\noindent
I forelesningene regnet vi ut at med en spenningskilde $V_0 \, \cos\omega t$ koblet til
en enkel resistans $R$ blir str{\o}mmen $I_0 \, \cos\omega t$, med amplitude $I_0 = V_0/R$.
Dermed blir impedansen til en motstand $R$ simpelthen $Z_R = R$, og det er ingen
faseforskjell mellom p{\aa}trykt spenning og resulterende str{\o}m, dvs $\alpha_R = 0$.

\noindent
I neste omgang koblet vi spenningskilden $\ems(t) = V_0 \, \cos\omega t$ til en kapasitans
$C$ og fant, med utgangspunkt i at $C = Q/V_C$ (der $\pm Q$ er ladningen p{\aa}
kondensatoren og $V_C$ er spenningsfallet over kondensatoren), at str{\o}mmen i kretsen blir
$$I(t) = I_0 \, \cos(\omega t - \alpha_C)$$
med amplitude $I_0 = I_0(\omega) = V_0 \omega C$ og $\alpha_C = -\pi/2$.
Dermed blir impedansen til en kondensator $C$ $Z_C = 1/\omega C$, med
faseforskyvning $\alpha_C = -\pi/2$.

\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em I denne oppgaven} skal vi studere en vekselspenningskilde 
$\ems(t) = V_0 \, \cos\omega t$ som er koblet til en
parallellkobling av en kapasitans $C$ og en motstand $R$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.4in \epsfbox{ov12_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bruk Kirchhoffs regler til {\aa} bestemme str{\o}mstyrkene $I(t)$, $I_C(t)$ og $I_R(t)$.
Vis at den totale str{\o}mmen som leveres av spenningskilden kan skrives p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \, \cos(\omega t - \alpha)$$
med amplitude
$$I_0 = \frac{V_0}{R} \, \sqrt{1 + (\omega RC)^2}$$
og fasevinkel
$$\alpha = -\arctan(\omega RC)$$
Tips: Benytt $\cos(a \pm b) = \cos a \, \cos b \mp \sin a \, \sin b$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Anta at spenningskilden har amplitude $V_0 = 1.0$ V og frekvens
$f = 1.0$ MHz, og at $R = 10 \, \Omega$ og $C = 16$ nF.
Bestem tallverdier for $I_0$ og $\alpha$. Skisser $\ems(t)$, $I(t)$,
$I_R(t)$ og $I_C(t)$ for $t$ mellom 0 og $T = 1/f$.
(Svar: $I_0 = 0.14$ A, $\alpha = -45^\circ$)

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med de gitte tallverdiene for $V_0$, $R$ og $C$, skisser funksjonene $I_0(\omega)$,
$\alpha(\omega)$ og kretsens impedans $Z(\omega) = V_0/I_0(\omega)$
for vinkelfrekvenser mellom $10^5$ og $10^9$ s$^{-1}$.

\noindent
Tips: Bruk {\em logaritmisk} skala langs $\omega$-aksen, dvs skisser $I_0$ og
$\alpha$ for vinkelfrekvenser slik at $\log\omega$ varierer mellom verdiene 5 og 9.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Bruk gjerne octave eller matlab til {\aa} plotte funksjonene i denne oppgaven. (Eller et annet egnet
plotteprogram, for eksempel gnuplot.)



\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Partikler med masse $m$, ladning $q$ og hastighet $\bold{v}$ kommer
inn i et omr{\aa}de med ''krysset'' elektrisk og magnetisk felt, $\bold{E}$
og $\bold{B}$, som vist i figuren. $\bold{E}$ har retning nedover, $\bold{B}$
har retning inn i papirplanet. I omr{\aa}det med utstrekning $L$ antar vi at
feltene er homogene. Utenfor dette omr{\aa}det er $\bold{E}=\bold{B}=0$.

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov12_fig1.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Du holder den elektriske feltstyrken $E$ konstant gjennom hele eksperimentet.
I det f{\o}rste eksperimentet setter du $B=0$ og registrerer at partiklene avb{\o}yes og treffer
detektoren i en avstand $y$ ovenfor senterlinjen (som er stiplet). Deretter gjentar
du fors{\o}ket, men denne gangen justerer du verdien av $B$ inntil partiklene ikke b{\o}yes av.

\noindent
Vis at forholdet mellom partiklenes ladning og masse er proporsjonal med
avb{\o}yningen (n{\aa}r $B=0$), dvs
$$\frac{q}{m} = - a y,$$
og finn st{\o}rrelsen $a$ uttrykt ved $E$, $B$, $D$ og $L$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Oppgitt: $\bold{F} = q \left(\bold{E} + \bold{v} \times \bold{B} \right)$ \hspace{0.3cm} (Lorentzkraften)

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\small P{\aa} denne m{\aa}ten analyserte J. J. Thomson i 1897 s{\aa}kalte katodestr{\aa}ler
og p{\aa}viste at disse bestod av en bestemt type partikler med negativ ladning. Dette er
nettopp elektroner som emitteres fra metallet i katoden. Thomson var alts{\aa} den f{\o}rste
som bestemte forholdet $e/m_e$. Thomson fant det samme forholdet uavhengig av hva slags metall
han brukte i katoden og kunne konkludere med at de observerte partiklene m{\aa}tte v{\ae}re
en {\em fundamental} ingrediens i naturen.}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\small Fasit: $a = E/\left(B^2 \left(DL + L^2/2 \right)\right)$}


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}


%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.2in \epsfbox{ov12_fig2.eps}}
\vspace{0.8cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Figuren viser et massespektrometer. En ionekilde emitterer ladete partikler.
{\AA}pningene $S_1$ og $S_2$ s{\o}rger for at en godt samlet ({\em kollimert})
partikkelstr{\aa}le kommer inn i omr{\aa}det med magnetfelt $\bold{B}$ (som
har retning inn i papirplanet). Mellom $S_1$ og $S_2$ har vi en spenningsforskjell
$V$ som akselererer ionene. Hastigheten ved $S_2$ er mye st{\o}rre enn ved
$S_1$, slik at vi kan sette $v = 0$ ved $S_1$.
Ionene b{\o}yes i alt 180$^\circ$ av magnetfeltet og detekteres p{\aa} en
fotografisk plate $P$.

\noindent
Spektrometeret skal brukes til {\aa} separere bromisotopene $^{79}$Br og $^{81}$Br.
Kilden sender ut disse isotopene i form av ioner med ladning $-e$. 
Anta at isotopene har atommasser henholdsvis 79$m_p$ og 81$m_p$.

\noindent
P{\aa} den fotografiske platen {\o}nskes isotopenes treffpunkt adskilt med en avstand
p{\aa} minst 1.0 cm. Samtidig m{\aa} vi s{\o}rge for at begge isotopenes treffpunkt havner
{\em p{\aa}} den fotografiske platen, som har en bredde $L=250$ cm, m{\aa}lt fra
der ionene kommer inn i magnetfeltet. Med disse betingelsene, hva blir {\o}vre
og nedre grense for styrken p{\aa} magnetfeltet $B$ n{\aa}r akselerasjonsspenningen $V$ er 400 V?

\vspace{0.3cm}
\noindent

\vspace{0.3cm}
\noindent
Oppgitt: $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ C, $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ kg \hspace{1.5cm}
{\small [Ett av svarene: $B_{\rm min} = 21$ mT]}



\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei sirkul{\ae}r str{\o}msl{\o}yfe med radius $R$ f{\o}rer en elektrisk str{\o}m
$I$. Str{\o}msl{\o}yfa ligger i $xy$-planet med sentrum i origo. Retningen p{\aa}
$I$ er mot klokka hvis vi har positiv $z$-akse ut av papirplanet. Vi skal i denne oppgaven
bestemme det resulterende magnetfeltet $\bold{B}(0,0,z) = \bold{B}(z)$ {\em p{\aa} symmetriaksen} til
str{\o}msl{\o}yfa (dvs p{\aa} $z$-aksen).

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=5.5in \epsfbox{ov12_fig3.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvorfor er $x$- og $y$-komponenten av $\bold{B}(z)$ lik null? (Tips: Symmetri.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ I hvilken retning peker $\bold{B}(z)$ for positive og negative verdier av $z$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bruk Biot--Savarts lov,
$$d\bold{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} \;\;(=\;\;
\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times\bold{r}}{r^3}\;\;)$$ 
til {\aa} vise at
$$B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Bestem $B(z)$ i stor avstand fra str{\o}msl{\o}yfa (dvs: til ledende orden n{\aa}r
$z \gg R$) og uttrykk svaret ved hjelp av sl{\o}yfas {\em magnetiske dipolmoment} $m = |\bold{m}|$.
Sammenlign dette uttrykket med det elektriske feltet i stor avstand fra en elektrisk dipol, uttrykt
ved det elektriske dipolmomentet $p$ (se {\o}ving 4).


\newpage
\noindent
{\em Litt om magnetisk dipolmoment (forelest 18.03.09):}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ for ei plan, lukket str{\o}msl{\o}yfe som omslutter
et areal $A$ er pr definisjon
$$\bold{m} = I\bold{A} = I A \; \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er enhetsvektoren normalt til den plane omsluttede flaten. Magnetisk dipolmoment er
alts{\aa} en {\em vektor} (p{\aa} samme m{\aa}te som elektrisk dipolmoment $\bold{p}$).
Positiv retning p{\aa} $\bold{m}$ er definert ved hjelp av h{\o}yreh{\aa}ndsregelen: Fire fingre
i str{\o}mmens retning gir tommelen i samme retning som $\bold{m}$.


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Noen kommentarer:}


\begin{itemize}
\item
Merk at ulike l{\ae}reb{\o}ker bruker litt ulik notasjon her:
Noen kaller det ''magnetisk dipolmoment'', andre bare ''magnetisk moment''.
Noen bruker symbolet $\bold{\mu}$, andre bruker $\bold{m}$. 
Uansett, det er samme fysiske st{\o}rrelse det dreier seg om! Vi velger {\aa} bruke
symbolet $\bold{m}$ og kaller det magnetisk dipolmoment, i tr{\aa}d med f.eks.
den norske boka (LHL) og Griffiths. (TM bruker $\bold{\mu}$, det samme gj{\o}r 
Young og Freedman.)
\item
I likhet med elektrisk dipolmoment har ogs{\aa} magnetisk
dipolmoment en mer {\em generell} definisjon enn den vi innf{\o}rte ovenfor.
(Verden best{\aa}r jo tross alt ikke bare av parvise punktladninger med motsatt fortegn og
plane str{\o}msl{\o}yfer...!) La oss repetere den generelle definisjonen av
elektrisk dipolmoment: Har vi en romladningstetthet $\rho(\bold{r})$, er elektrisk
dipolmoment $\bold{p}$ pr definisjon
$$\bold{p} = \int \bold{r} \rho(\bold{r})\; d^3 r$$
Og har vi en str{\o}mfordeling gitt ved str{\o}mtettheten $\bold{j}(\bold{r})$, er
magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ pr definisjon
$$\bold{m} = \frac{1}{2} \int \bold{r} \times \bold{j}(\bold{r})\; d^3 r$$
Her g{\aa}r integralet over ''hele rommet'', dvs der henholdsvis $\rho$ og $\bold{j}$
er forskjellig fra null.
For {\em spesialtilfellene} som vi stort sett
ser p{\aa} i dette kurset, nemlig parvise punktladninger $\pm q$
i innbyrdes avstand beskrevet ved vektoren $\bold{d}$, og plane str{\o}msl{\o}yfer med
stasjon{\ae}r str{\o}m $I$ som omslutter et areal beskrevet ved vektoren 
(noen ganger kalt ''vektorarealet'') $\bold{A} = A\;\hat{n}$,
reduserer disse generelle definisjonene seg nettopp til
$$\bold{p} = q\bold{d}$$
og 
$$\bold{m} = I\bold{A}$$
\end{itemize}


\end{document}
