\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 11
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Fredag 28. og mandag 31. mars

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 4. april


\vspace{1.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.7cm}
\noindent
En spenningskilde $V = 1.5$ V er koblet til en motstand med
resistans $R = 20 \; \Omega$ ved hjelp av to 60 cm lange
kobberledninger med tverrsnitt 2 mm$^2$.

%%FIGURE
\vspace{0.8cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov10_fig1.eps}}
\vspace{0.8cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Hvor stort blir spenningsfallet over henholdsvis Cu--tr{\aa}dene
og motstanden? [Svar: 0.75 mV og 1.5 V]

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Bestem str{\o}mstyrken og utviklet effekt i motstanden.
[Svar: ca 0.075 A og 0.11 W]

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Hva blir de frie elektronenes midlere driftshastighet gjennom
Cu--tr{\aa}dene? Anta her ett fritt elektron fra hvert Cu--atom.
Sammenlign med midlere termiske hastighet for et elektron ved
romtemperatur. (Midlere kinetisk energi pr elektron ved temperatur $T$
er $3 k_B T / 2$, der $k_B$ er Boltzmanns konstant.)
[Svar: 2.76 $\mu$m/s og ca $10^5$ m/s.]

\vspace{0.8cm}
\noindent
Oppgitt: Tetthet for Cu: 8960 kg/m$^3$. Molar masse for Cu: 63.54 g/mol.
Elektrisk ledningsevne for Cu ved romtemperatur: $5.8\cdot 10^7$ $\Omega^{-1}$m$^{-1}$.
Boltzmanns konstant: $k_B = 1.38 \cdot 10^{-23}$ J/K.


\newpage
%\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Figuren nedenfor viser en elektrisk krets med 5 motstander $R_j$, $j = 1,..,5$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov11_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Bestem total motstand $R$ mellom punktene A og B, dvs:
Bestem motstanden $R$ i den ekvivalente kretsen i f{\o}lgende figur:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{ov11_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ En ideell spenningskilde med elektromotorisk spenning $\cal E$ kobles
til kretsen slik at $\Delta V = V_A - V_B = {\cal E}$. Bestem hvor stor
str{\o}m $I_j$ som da passerer gjennom hver av motstandene $R_j$.

\noindent
(Med mindre noe annet er spesifisert, regner vi alltid i slike oppgaver med at
ledningene mellom de ulike motstandene er {\em perfekte ledere}, dvs med null motstand.)


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.3cm}
\noindent
En kondensator med kapasitans $C$ har ladning $\pm Q_0$. Kondensatoren kobles
ved tidspunktet $t=0$ til en motstand $R$ slik at vi f{\aa}r en lukket krets, og
det begynner {\aa} g{\aa} en str{\o}m i kretsen. Bestem kondensatorladningen
$Q(t)$ og str{\o}mmen $I(t)$ for $t \ge 0$.


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.3cm}
\noindent
For en likestr{\o}mkrets med spenningskilde $V_0$ som leverer en str{\o}m $I_0$ vil
kretsens totale resistans $R$ v{\ae}re gitt ved Ohms lov, $R = V_0/I_0$.

\noindent
For en vekselstr{\o}mkrets med spenningskilde $V_0 \, \cos\omega t$ som leverer en
str{\o}m $I_0 \, \cos(\omega t - \alpha)$ kan vi p{\aa} tilsvarende m{\aa}te definere
en ''generalisert motstand'', eller {\em impedans} $Z$, for kretsen: $Z = V_0/I_0$.
Vi holder her muligheten {\aa}pen for at str{\o}mmen kan v{\ae}re {\em faseforskj{\o}vet}
med $\alpha$ i forhold til den p{\aa}trykte spenningen. Vi skal ogs{\aa} se i eksemplene
nedenfor at str{\o}mamplituden $I_0$ kan bli avhengig av (vinkel-)frekvensen $\omega$, slik
at impedansen ogs{\aa} kan bli frekvensavhengig, dvs $Z = Z(\omega)$.

\noindent
I forelesningene regnet vi ut at med en spenningskilde $V_0 \, \cos\omega t$ koblet til
en enkel resistans $R$ blir str{\o}mmen $I_0 \, \cos\omega t$, med amplitude $I_0 = V_0/R$.
Dermed blir impedansen til en motstand $R$ simpelthen $Z_R = R$.

\vspace{1cm}
\noindent
$a)$ En vekselspenningskilde $\ems(t) = V_0 \, \cos\omega t$ er koblet til en kapasitans $C$:

%%FIGURE
\vspace{0.8cm}
\centerline{\epsfxsize=2.4in \epsfbox{EC-krets.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bestem ladningen $Q(t)$ p{\aa} kondensatoren og str{\o}mmen $I(t)$ i kretsen.
Tegn opp $\ems(t)$ og $I(t)$ mellom $t=0$ og $t=T=2\pi/\omega$.

\noindent
Vis at str{\o}mmen kan skrives p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \, \cos(\omega t - \alpha)$$
og bestem (den frekvensavhengige) str{\o}mamplituden $I_0$ og fasevinkelen $\alpha$.
Hva blir da impedansen $Z_C(\omega)$ til en kapasitans $C$?


\vspace{0.4cm}
\noindent
$b)$ En vekselspenningskilde $\ems(t) = V_0 \, \cos\omega t$ er koblet til en
parallellkobling av en kapasitans $C$ og en motstand $R$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{ov12_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bruk Kirchhoffs regler til {\aa} bestemme str{\o}mstyrkene $I(t)$, $I_C(t)$ og $I_R(t)$.
Vis at den totale str{\o}mmen som leveres av spenningskilden kan skrives p{\aa} formen
$$I(t) = I_0 \, \cos(\omega t - \alpha)$$
med amplitude
$$I_0 = \frac{V_0}{R} \, \sqrt{1 + (\omega RC)^2}$$
og fasevinkel
$$\alpha = -\arctan(\omega RC)$$
Tips: Benytt $\cos(a \pm b) = \cos a \, \cos b \mp \sin a \, \sin b$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Anta at spenningskilden har amplitude $V_0 = 1.0$ V og frekvens
$f = 1.0$ MHz, og at $R = 10 \, \Omega$ og $C = 16$ nF.
Bestem tallverdier for $I_0$ og $\alpha$. Skisser $\ems(t)$, $I(t)$,
$I_R(t)$ og $I_C(t)$ for $t$ mellom 0 og $T = 1/f$.
(Svar: $I_0 = 0.14$ A, $\alpha = -45^\circ$)

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med de gitte tallverdiene for $V_0$, $R$ og $C$, skisser funksjonene $I_0(\omega)$,
$\alpha(\omega)$ og kretsens impedans $Z(\omega) = V_0/I_0(\omega)$
for vinkelfrekvenser mellom $10^5$ og $10^9$ s$^{-1}$.
Tips: Bruk {\em logaritmisk} skala langs $\omega$-aksen, dvs skisser $I_0$ og
$\alpha$ for vinkelfrekvenser slik at $\log\omega$ varierer mellom verdiene 5 og 9.



\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 5}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Figuren viser to kuleformede ledere med radius hhv $a$ (innerst) og $b$ (ytterst).
Omr{\aa}det i mellom disse er fylt med et materiale med resistivitet $\rho$.

\noindent
(NB: Merk at symbolet $\rho$ her st{\aa}r for resistivitet, eller invers
konduktivitet, ettersom $\rho = 1/\sigma$. Her betyr alts{\aa} ikke $\rho$
ladning pr volumenhet...!)

\noindent
En tynn, isolert tilf{\o}rselsledning g{\aa}r gjennom et lite hull i den ytterste
lederen og inn til innerste leder. En stasjon{\ae}r (dvs tidsuavhengig) elektrisk str{\o}m g{\aa}r
``gjennom systemet'' som vist i figuren, og da er potensialforskjellen mellom
indre og ytre leder $\Delta V = V_a - V_b$, med st{\o}rst potensial innerst.
Anta at tilf{\o}rselsledningene har neglisjerbar motstand i forhold til
materialet mellom indre og ytre leder og vis at systemets resistans er
$R = \rho (a^{-1} - b^{-1})/4\pi$.
Du kan gj{\o}re dette p{\aa} en av to m{\aa}ter (eller begge!):

\begin{enumerate}
\item Med utgangspunkt i at motstanden til et kuleskall med radius $r$ og tykkelse
$dr$ er $dR = \rho dr/4\pi r^2$.
\item Ved {\aa} anta at den innerste kula har ladning $Q$ og bestemme b{\aa}de
$\Delta V$ og str{\o}mstyrken $I = \int \bold{j} \cdot d\bold{A} =
\rho^{-1} \int \bold{E} \cdot d\bold{A}$.
\end{enumerate}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov10_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE




\end{document}
