\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2006

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 13
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning torsdag 6. april

\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Argumentasjonen her tilsvarer den vi brukte da vi skulle beregne det elektriske
feltet p{\aa} symmetriaksen til en jevnt ladet ring. Da s{\aa} vi p{\aa} bidragene
til feltet fra diametralt motsatte ladningselementer $dq$ og overbeviste oss om
at det totale elektriske feltet m{\aa}tte peke langs symmetriaksen.

\noindent
Her kan vi f.eks. se p{\aa} de to lederelementene som ligger akkurat p{\aa} positiv
og negativ $y$-akse og bestemme retningen p{\aa} bidraget til magnetfeltet p{\aa} $z$-aksen
fra disse. Vi tar for oss positive $z$ f{\o}rst. (Se figuren p{\aa} neste side.
Her angir indeks + avstand fra og feltbidrag fra str{\o}melementet som krysser positiv $z$-akse,
mens indeks - angir tilsvarende fra str{\o}melementet som krysser negativ $z$-akse.)
``Str{\o}melementet'' $I\;d\bold{l}$ som krysser positiv $y$-akse har retning langs
negativ $x$-akse. Kryssproduktet av denne vektoren med $\bold{r_+}$ fra str{\o}melementet
til den aktuelle posisjonen p{\aa} positiv $z$-akse blir en vektor som ligger i $yz$-planet,
med positiv $y$- og $z$-komponent. Det diametralt motsatte str{\o}melementet som krysser
den negative $y$-aksen har retning langs positiv $x$-akse. 
Kryssproduktet av denne vektoren med $\bold{r_-}$ fra str{\o}melementet
til den aktuelle posisjonen p{\aa} positiv $z$-akse blir en vektor som ogs{\aa} ligger
i $yz$-planet, men denne vil ha {\em negativ} $y$-komponent og positiv $z$-komponent.
Av symmetrigrunner m{\aa} disse bidragene til $\bold{B}$ v{\ae}re like store i
absoluttverdi, ha like store $z$-komponenter med samme fortegn, og ha like store
$y$-komponenter med {\em motsatt} fortegn. Summen av de to bidragene peker med andre
ord langs (positiv) $z$-akse.

\noindent
Tilsvarende argumentasjon kan vi benytte for par av diametralt motsatte str{\o}melementer
rundt hele den str{\o}mf{\o}rende ringen. De vil alle ha like stor $z$-komponent med
samme fortegn og like store $x$- og $y$-komponenter med motsatt fortegn.

\noindent
Konklusjon: $\bold{B}$ p{\aa} positiv $z$-akse har retning langs $z$-aksen.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ I forrige punkt overbeviste vi oss om at $\bold{B}(z)$ har retning langs
positiv $z$-akse n{\aa}r $z>0$. Hva hvis $z<0$?

\noindent
En figurbetraktning tilsvarende den vi gjorde under punkt $a)$ viser at
str{\o}melementet som krysser den positive $y$-aksen gir et bidrag til
$\bold{B}(z)$ p{\aa} negativ $z$-akse som ligger i $yz$-planet med positiv
$z$-komponent og negativ $y$-komponent. For str{\o}melementet som krysser den 
negative $y$-aksen finner vi et bidrag med positiv $z$-komponent og positiv
$y$-komponent. Alt i alt et magnetfelt med retning langs positiv $z$-akse.

\noindent
Konklusjon: Magnetfeltet peker langs positiv $z$-akse p{\aa} hele $z$-aksen.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Vektorene $I\;d\bold{l}$ og $\hat{r}$ st{\aa}r vinkelrett p{\aa} hverandre.
Dermed er
$$|I\;d\bold{l} \times \hat{r}| = I R\; d\phi \cdot 1$$
ettersom et kurveelement $dl$ langs en sirkel er lik radien $R$ multiplisert
med vinkelelementet $d\phi$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=1.5in \epsfbox{los12_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Retningen p{\aa} $d\bold{B}$ m{\aa} bli som vist i figuren:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{los12_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Fra figuren ser vi at
$$\frac{dB_z}{dB} = \sin\theta = \frac{R}{r} = \frac{R}{\sqrt{z^2+R^2}}$$
og det er jo nettopp $z$-komponenten av magnetfeltet vi her er ute etter.
Absoluttverdien til $d\bold{B}$ blir
$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{I R\; d\phi}{z^2+R^2}$$
slik at
$$dB_z = dB\sin\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{I R\; d\phi}{z^2+R^2}
\cdot \frac{R}{\sqrt{z^2+R^2}} = \frac{\mu_0 I R^2\; d\phi}{4\pi\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}$$
Den totale $z$-komponenten, og dermed det totale magnetfeltet, f{\aa}r vi deretter
ved {\aa} integrere opp bidragene fra alle str{\o}melementene i hele ringen, dvs ved
{\aa} integrere dette uttrykket over vinkelen $\phi$ fra 0 til $2\pi$:
$$B(z) = \int dB_z = \frac{\mu_0 I R^2}{4\pi\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}
\int_0^{2\pi}\; d\phi = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}$$
som skulle vises.

\vspace{0.2cm}
\newpage
\noindent
$d)$ I stor avstand fra str{\o}msl{\o}yfa kan vi sette
$$z^2+R^2 \simeq z^2$$
Dermed blir magnetfeltet tiln{\ae}rmet lik
$$B(z) \simeq \frac{\mu_0 I R^2}{2z^3}$$
Str{\o}msl{\o}yfas magnetiske dipolmoment er
$$m = IA = I \cdot \pi R^2$$
s{\aa} vi kan skrive dette magnetfeltet p{\aa} formen
$$B(z) = \frac{\mu_0 m}{2\pi z^3}$$
Det er vel verdt {\aa} sammenligne dette resultatet med det elektriske feltet
p{\aa} aksen til en elektrisk dipol, i stor avstand $z$ fra dipolen. Dette gjorde
vi i {\o}ving 5, hvor vi fant
$$E(z) = \frac{p}{2\pi\varepsilon_0 z^3}$$
der $p$ er dipolens elektriske dipolmoment. Alts{\aa} n{\o}yaktig samme resultat,
med $m$ istedetfor $p$ og $\mu_0$ istedetfor $1/\varepsilon_0$.

\noindent
Vi skal finne flere analogier mellom elektrostatikken og magnetostatikken etterhvert!


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Sl{\o}yfas magnetiske dipolmoment:
$$\bold{m} = IA\;\hat{n} = I a^2\;\hat{n}$$
Sl{\o}yfa best{\aa}r av 4 rette ledere med lengde $a$, der to og to
har str{\o}mmen g{\aa}ende i motsatt retning. Dermed blir den
magnetiske kraften
$$\bold{F} = I \int \;d\bold{l} \times \bold{B} = I \bold{L}\times\bold{B}$$
motsatt rettet, men like stor i absoluttverdi, for slike par av rette lederbiter.
Den totale kraften p{\aa} sl{\o}yfa blir dermed null. Noen detaljer er inkludert
i figuren:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los13_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi ser av figuren at kreftene fra magnetfeltet ville ha deformert
str{\o}msl{\o}yfa dersom det hadde v{\ae}rt en mulighet. For ei makroskopisk
str{\o}msl{\o}yfe er dette som regel en neglisjerbar effekt, men dersom
str{\o}msl{\o}yfa er en klassisk modell av et elektron i bane rundt en atomkjerne, 
aner vi at {\em i tillegg} til en innretting av str{\o}msl{\o}yfa (som vi skal se p{\aa}
i resten av denne oppgaven), vil magnetfeltet p{\aa}virke selve banebevegelsen til
elektronet rundt kjernen. Med andre ord: Atomets magnetiske moment endres b{\aa}de
i {\em retning} og i {\em absoluttverdi}. F{\o}rstnevnte effekt er {\em paramagnetisme},
sistnevnte effekt er {\em diamagnetisme}. En klassisk modell av diamagnetisme ser vi
n{\ae}rmere p{\aa} i oppgave 3, her konsentrerer vi oss om orienteringen av $\bold{m}$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Av figuren over ser vi at de to str{\o}mmene som g{\aa}r parallelt med $xz$-planet
p{\aa}virkes av krefter i hhv positiv og negativ $y$-retning. Disse kreftene vil da
ikke bidra til dreiemomentet omkring $y$-aksen.

\noindent
Kreftene som virker p{\aa} str{\o}mmene som g{\aa}r parallelt med $y$-aksen gir tilsammen
et dreiemoment (se figuren nedenfor og ovenfor)

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los13_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\begin{eqnarray}
\bold{\tau} &=& \sum \bold{r}\times\bold{F} \nonumber \\
&=& - r_1 F_1 \sin\theta\;\hat{y} - r_2 F_2 \sin\theta\;\hat{y} \nonumber \\
&=& -2 \cdot \frac{a}{2} \cdot IaB \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& -Ia^2 \cdot B \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& -m \cdot B \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\
&=& \bold{m} \times \bold{B} \nonumber
\end{eqnarray}
Skiftet av fortegn i siste linje skyldes av vi hadde valgt positiv vinkel $\theta$ mellom
$z$-aksen og $\hat{n}$, alts{\aa} mellom $\bold{B}$ og $\bold{m}$. Kryssproduktet
$\bold{m} \times \bold{B}$ er, pr definisjon, $m$ ganger $B$ ganger sinus til vinkelen
mellom $\bold{m}$ og $\bold{B}$, dvs $mB\sin(-\theta) = -mB\sin\theta$.


\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ I oppgave 4c i {\o}ving 6 utledet vi en {\em generell} sammenheng mellom dreiemoment $\tau$
og tilh{\o}rende potensiell energi $U$, nemlig at en rotasjon gjennom en vinkel $d\alpha$ under
p{\aa}virkning av et dreiemoment $\tau$ resulterer i en endring $dU$ i potensiell energi gitt
ved 
$$dU = - \tau\;d\alpha$$
Utledningen av denne sammenhengen var ikke avhengig av hvilken {\em type} krefter og dreiemoment
det handler om, og m{\aa} derfor gjelde like bra for v{\aa}r magnetiske dipol i et magnetfelt
som for den elektriske dipolen i et elektrisk felt i {\o}ving 6. F{\o}lgelig:
\begin{eqnarray}
U(\theta) &=& \int_{\theta_0}^{\theta} dU \nonumber \\
&=& -\int_{\theta_0}^{\theta} \tau(\alpha)\;d\alpha \nonumber \\
&=& m B \int_{\theta_0}^{\theta} \sin\alpha\;d\alpha \nonumber \\
&=& m B \left( \cos\theta_0 - \cos\theta \right) \nonumber \\
&=& - m B \cos\theta \nonumber \\
&=& - \bold{m} \cdot \bold{B} \nonumber
\end{eqnarray}
Her valgte jeg {\aa} sette $U(0) = - m B$, dvs $\theta_0 = \pi/2$.

\noindent
Skisse:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los13_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi har minimal $U$, og f{\o}lgelig stabil likevekt for $\theta = 0$, dvs
for dipolen orientert slik at $\bold{m}$ er parallell med $\bold{B}$.
Vi har maksimal $U$, og f{\o}lgelig ustabil likevekt for $\theta = \pm \pi$,
dvs for dipolen orientert slik at $\bold{m}$ er parallell med $-\bold{B}$.

\noindent
Dette er magnetismens analogi til polarisering av dielektriske medier i et ytre elektrisk felt:
Magnetiske dipoler retter seg inn langs det p{\aa}trykte magnetfeltet. Som nevnt lenger opp,
dette er hva vi kaller {\em paramagnetisme}. Vi har snakket om ulike typer
magnetisme i forelesningene -- la dette v{\ae}re en liten oppsummering av det:

\noindent
Medier som best{\aa}r av atomer som har et atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment som {\em ikke} er
lik null, og der dipolmomentene p{\aa} atomer i n{\ae}rheten av hverandre {\em ikke} vekselvirker med
hverandre, er {\em paramagneter}. {\em Uten} et ytre magnetfelt vil de atom{\ae}re magnetiske dipolmomentene
peke i tilfeldige retninger, slik at den midlere {\em magnetiseringen}, dvs midlere magnetiske
dipolmoment pr volumenhet (se punkt $d)$), blir lik null overalt i mediet. Slik var det ogs{\aa} med
midlere polarisering i et dielektrikum n{\aa}r vi ikke hadde noe ytre elektrisk felt. {\em Med} et
ytre magnetfelt f{\aa}r vi en tendens til innretting av magnetiske dipolmoment langs det ytre feltet,
og dermed en midlere magnetisering forskjellig fra null. Eksempler p{\aa} paramagnetiske materialer
er aluminium (Al) og magnesium (Mg).

\noindent
Medier som best{\aa}r av atomer med atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment {\em lik null} har ingenting
{\aa} rette inn i et p{\aa}trykt magnetfelt. Men, og som nevnt lenger opp, {\em banebevegelsen}
til elektronene rundt atomkjernen vil p{\aa}virkes av et ytre magnetfelt, slik at vi f{\aa}r
{\em indusert} et atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment i hvert eneste atom. Slike medier er {\em diamagneter}.
Vi skal se kvalitativt p{\aa} denne effekten i oppgave 3 nedenfor og finne at det induserte
magnetiske dipolmomentet vil bli {\em motsatt rettet det ytre feltet}. Diamagnetisme er en mye
svakere effekt enn paramagnetisme. Ogs{\aa} i paramagneter, der vi {\em har} permanente atom{\ae}re
magnetiske dipolmoment, f{\aa}r vi en slik diamagnetisk ``respons'' i et ytre magnetfelt. Den 
diamagnetiske responsen vil
imidlertid v{\ae}re tiln{\ae}rmet neglisjerbar i en paramagnet. For {\aa} kunne m{\aa}le diamagnetisme,
trenger vi derfor medier med null atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment i utgangspunktet (dvs f{\o}r vi
skrur p{\aa} det ytre magnetfeltet). Eksempler p{\aa} diamagneter er gull (Au), s{\o}lv (Ag), kobber (Cu).

\noindent
I enkelte medier har vi atomer med magnetiske dipolmoment som {\em vekselvirker} med dipolmomentene
p{\aa} naboatomene. F.eks. kan vekselvirkningen v{\ae}re slik at det er energetisk foretrukket at
naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i samme retning. Da har vi en {\em ferromagnet}, og
eksempler p{\aa} ferromagneter er jern (Fe), kobolt (Co) og nikkel (Ni).

\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ Maksimal tetthet av magnetisk dipolmoment i jern blir lik antall jernatomer
pr volumenhet ganget med magnetisk dipolmoment pr jernatom:
$$\frac{m}{V}= 2\mu_B \cdot \frac{7.9\cdot10^{6}}{55.9}\cdot 6.02\cdot 10^{23} =
2 \cdot 9.27 \cdot 10^{-24} \cdot \frac{7.9\cdot10^{6}}{55.9}\cdot 6.02\cdot 10^{23} =
1.6 \cdot 10^6$$
Enheten til $m$ er Am$^2$, enheten til $V$ er m$^3$. F{\o}lgelig blir enheten til
magnetisk dipolmoment pr volumenhet, eller {\em magnetisering}, A/m.


\vspace{1.3cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Sentripetalakselerasjonen er $v_0^2/R$ mens Coulombkraften er
$e^2/4\pi\varepsilon_0 R^2$. Newtons 2. lov gir da
$$m_e \frac{v_0^2}{R} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}$$
Banedreieimpulsen til elektronet er
$$\bold{L}_0 = m_e\; \bold{r} \times \bold{v}_0 = m_e R\; v_0 \;\hat{z}$$
mens dets magnetiske dipolmoment er
$$\bold{m}_0 = I \bold{A} = - \frac{e}{2\pi R/v_0} \cdot \pi R^2 \;\hat{z} =
-\frac{1}{2}e v_0 R \;\hat{z} = - \frac{e}{2 m_e} \bold{L}_0$$


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
%\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Den valgte retningen p{\aa} $\bold{B}$ f{\o}rer til at den magnetiske kraften
$\bold{F}_m = -e\;\bold{v}\times\bold{B}$ blir rettet innover mot kjernen, dvs i
samme retning som den tiltrekkende Coulombkraften. Med uendret baneradius $R$ bestemmes
dermed hastigheten $v$ av ligningen
$$m_e \frac{v^2}{R} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2} + evB$$
Dette er en annengradsligning for $v$,
$$v^2 - \frac{eBR}{m_e}\;v - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R} = 0,$$
med l{\o}sning
$$v = \frac{eBR}{2m_e} + \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R} + \left(\frac{eBR}{2m_e}\right)^2 }$$
(L{\o}sningen med negativt fortegn foran kvadratroten er negativ og ikke aktuell.)

\noindent
La oss g{\aa} tilbake og se p{\aa} hastigheten uten magnetfelt:
$$v_0 = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R}}$$
Vi ser umiddelbart at $v>v_0$. Det betyr at det magnetiske dipolmomentet
$$\bold{m} = - \frac{1}{2}e v R \;\hat{z}$$
er st{\o}rre enn f{\o}r vi skrudde p{\aa} magnetfeltet. Med andre ord,
{\em endringen}
$$\Delta \bold{m} = \bold{m} - \bold{m}_0$$
er motsatt rettet det ytre magnetfeltet.

\noindent
Hvis magnetfeltet istedet var rettet nedover, $\bold{B} = -B\;\hat{z}$, ville den magnetiske
kraften bli rettet radielt {\em utover}, dvs i motsatt retning av Coulombkraften, slik
at tilleggsleddet $evB$ i bevegelsesligningen ville komme inn med motsatt fortegn. Dermed
ville den nye hastigheten $v$ ha blitt mindre enn $v_0$, og det magnetiske dipolmomentet ogs{\aa}
mindre enn f{\o}r vi skrudde p{\aa} magnetfeltet. Igjen: {\em Endringen} i magnetisk
dipolmoment ville fremdeles ha v{\ae}rt motsatt rettet det ytre feltet.

\noindent
Konklusjon: Et ytre magnetfelt p{\aa}virker elektronets banebevegelse i atomet p{\aa} en slik
m{\aa}te at det {\em induserte} magnetiske dipolmomentet, dvs det magnetiske dipolmomentet knyttet
til endringen i banebevegelsen, blir motsatt rettet det p{\aa}trykte feltet.
Alts{\aa} {\em diamagnetisme}.

\end{document}
