\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 11
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning uke 12


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Dette systemet kan oppfattes som en seriekobling av tre motstander:
de to 60 cm lange Cu--ledningene og motstanden $R = 20 \; \Omega$.
Motstanden til Cu--ledningene blir
$$R_C = \frac{l}{\sigma A} =
\cdot \frac{1.20{\rm m}}{5.8\cdot10^7\;\Omega^{-1}{\rm m}^{-1}\cdot
2\cdot10^{-6}{\rm m}^2} = 0.01\;\Omega$$
Samme str{\o}mstyrke $I$ g{\aa}r gjennom hele systemet. Den er
$$I = \frac{V}{R+R_C} = \frac{1.5\;{\rm V}}{20.01\;\Omega} =
0.07496\;{\rm A} \simeq 0.075\;{\rm A}$$
if{\o}lge Ohms lov. Vi f{\aa}r dermed spenningsfallene
$$V_R = RI = 20\;\Omega \cdot 0.075\;{\rm A} \simeq 1.5\;{\rm V}$$
over motstanden $R$ og
$$V_C = R_C I = 0.01\;\Omega \cdot 0.075\;{\rm A} = 0.00075\;{\rm V}$$
over de to Cu--ledningene tilsammen. Konklusjon: Neglisjerbart spenningsfall
i de to Cu--ledningene.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Str{\o}mstyrken $I$ beregnet vi under punkt $a)$. Utviklet
effekt i motstanden $R$ blir
$$P = V_R I = 1.5\;{\rm V} \cdot 0.075\;{\rm A} =
0.1125\;{\rm W} \simeq 0.11\;{\rm W}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Her m{\aa} vi bestemme tettheten av frie elektroner $n$. Deretter
kan vi bruke $I = j \cdot A = n e v A$ til {\aa} beregne midlere
driftshastighet $v$.
\noindent
I Cu har vi 8960 kg pr m$^3$. Dette tilsvarer 8960/0.06354 mol =
141014 mol = 141014 $\cdot 6.02\cdot10^{23}$ atomer = $8.49\cdot10^{28}$
atomer, og da like mange frie elektroner, med antagelsen ett fritt elektron
pr atom Cu. Midlere driftshastighet blir
$$v = \frac{I}{neA} = \frac{0.075}{8.49\cdot10^{28}\cdot1.6\cdot10^{-19}
\cdot2\cdot10^{-6}} = 2.76\cdot10^{-6} \; {\rm m/s} = 2.76 \mu{\rm m/s}$$
Midlere termiske hastighet for elektronene ansl{\aa}r vi ved {\aa}
sette kinetisk energi lik termisk energi:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}mv^2 &=& \frac{3}{2}k_B T \nonumber \\
\Rightarrow v &=& \sqrt{\frac{3k_B T}{m}} \simeq 10^5 \; {\rm m/s} \nonumber
\end{eqnarray}
Her er $k_B = 1.38\cdot10^{-23}$ J/K Boltzmanns konstant. Vi ser at midlere
driftshastighet er ca 11 st{\o}rrelsesordener mindre enn midlere termiske
hastighet. Det tar alts{\aa} mange timer for et gitt elektron {\aa} komme
seg fra den ene til den andre siden av "systemet" v{\aa}rt!


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ F{\o}rst er det en fordel {\aa} innse at vi her har [en parallellkobling
av $R_1$, $R_2$ og $R_3$] i serie med [en parallellkobling av $R_4$ og $R_0 = 0$]
i serie med [$R_5$]. Motstanden $R_4$ er med andre ord ``kortsluttet'', slik at
det ikke vil g{\aa} noen str{\o}m gjennom $R_4$. 
(Sagt p{\aa} en annen m{\aa}te: Vi har samme potensial p{\aa} hver side av $R_4$,
men da kan det heller ikke g{\aa} noen str{\o}m gjennom denne motstanden.)
Total motstand blir dermed
$$R = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right)^{-1} + R_5$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Det er vel klart at den totale str{\o}mmen $I$ m{\aa} bli den samme som str{\o}mmen
$I_5$ gjennom $R_5$. Dessuten er det klart at $I$ m{\aa} fordele seg p{\aa} de 3 str{\o}mmene
gjennom $R_1$, $R_2$ og $R_3$: $I = I_1 + I_2 + I_3$. Vi har i punkt $a)$ allerede konkludert
med at det ikke vil g{\aa} noen str{\o}m gjennom $R_4$: $I_4 = 0$.

\noindent
Spenningsfallet over de tre {\o}verste motstandene er det samme:
$$V' = R_1 I_1 = R_2 I_2 = R_3 I_3$$
Spenningsfallet over $R_5$ blir
$$V'' = R_5 I_5 = R_5 I = R_5 \frac{\cal E}{R}$$
Disse to m{\aa} tilsammen utgj{\o}re den p{\aa}trykte spenningen:
$${\cal E} = V' + V''$$
Dermed er
$$V' = {\cal E} - V'' = {\cal E} - R_5 \frac{\cal E}{R} = {\cal E} \left(1 - \frac{R_5}{R} \right)$$
Dessuten:
$$I_1 = \frac{V'}{R_1}$$
$$I_2 = \frac{V'}{R_2}$$
$$I_3 = \frac{V'}{R_3}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Med de oppgitte tallverdiene har vi
$$R = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)^{-1} + 5 = \frac{61}{11} \; \Omega$$
Dermed er
$$V' = 9 \cdot \left(1 - \frac{5}{61/11} \right) = \frac{54}{61} \; {\rm V}$$
og
$$V'' = 9 - \frac{54}{61} = \frac{495}{61} \; {\rm V}$$
De ulike st{\o}mstyrkene blir
$$I_1 = \frac{54}{61\cdot1} = \frac{54}{61} \; {\rm A} \simeq 0.885 \; {\rm A}$$
$$I_2 = \frac{54}{61\cdot2} = \frac{27}{61} \; {\rm A} \simeq 0.443 \; {\rm A}$$
$$I_3 = \frac{54}{61\cdot3} = \frac{18}{61} \; {\rm A} \simeq 0.295 \; {\rm A}$$
$$I_5 = I = \frac{9\cdot11}{61} = \frac{99}{61} \; {\rm A} \simeq 1.623 \; {\rm A}$$


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ P{\ae}re 1 vil lyse sterkest i krets B og svakest i krets A. Det skyldes at i A er spenningsfallet over
p{\ae}re 1 bare 1/3 av spenningskildens ems, i B er spenningsfallet over alle p{\ae}rene lik
spenningskildens ems. I C gir parallellkoblingen av 2 og 3 en motstand $(1/R + 1/R)^{-1} = R/2$, hvis motstanden
i ei p{\ae}re er $R$. Da blir spenningsfallet over p{\ae}re 1 lik 2/3 av kildens ems, og lysstyrken et sted
mellom A og B.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ I A f{\aa}r vi en {\aa}pen (brutt) krets, og dermed null str{\o}m, dvs p{\ae}re 1 (og 2) slukker.
I B p{\aa}virker ikke p{\ae}re 3 spenningen over p{\ae}re 1, s{\aa} lysstyrken endres ikke.
I C har vi n{\aa} to motstander $R$ i serie, s{\aa} spenningsfallet over p{\ae}re 1 m{\aa} bli lik
det halve av kildens ems, dvs mindre enn det den var med p{\ae}re 3 p{\aa} plass. Alts{\aa} blir
lysstyrken mindre i krets C.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.2cm}
\noindent
1. Hele omr{\aa}det mellom $r=a$ og $r=b$ kan oppfattes som en seriekobling
av motstander $dR$, der hver motstand er et tynt kuleskall med radius $r$ og tykkelse $dr$:
$$dR = \frac{\rho\;dr}{4\pi r^2}$$
Hele motstanden finner vi ved {\aa} legge sammen enkeltmotstandene, dvs ved
{\aa} integrere fra $r=a$ til $r=b$:
\begin{eqnarray}
R &=& \int dR \nonumber \\
&=& \int_a^b \frac{\rho\;dr}{4\pi r^2} \nonumber \\
&=& \frac{\rho}{4\pi} |_a^b \left(-\frac{1}{r}\right) \nonumber \\
&=& \frac{\rho}{4\pi}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \nonumber
\end{eqnarray}


\vspace{0.2cm}
\noindent
2. Det oppgitte uttrykket for str{\o}mstyrken $I$ viser at vi her kan
bruke Gauss' lov for det elektriske feltet til {\aa} bestemme $I$:
$$I = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
Vi m{\aa} her forutsette at ladningen som kommer inn p{\aa} den innerste
lederen umiddelbart fordeler seg jevnt over kuleflaten ved $r=a$ f{\o}r den starter
sin vandring gjennom materialet mellom $r=a$ og $r=b$.

\noindent
Potensialforskjellen mellom indre og ytre lederskall bestemmes enkelt
ettersom vi kjenner feltet $\bold{E}$:
\begin{eqnarray}
\Delta V &=& V_a - V_b \nonumber \\
&=& - \int_b^a E(r)\; dr \nonumber \\
&=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} |_b^a \frac{1}{r} \nonumber \\
&=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
Av disse uttrykkene f{\o}lger det at motstanden er
$$R = \frac{\Delta V}{I} = \frac{\rho}{4\pi}
\left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$$



\end{document}
