\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 15
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: 

\noindent
Torsdag 28. april 10:00 - 12:00 {\em kun} i auditorium S3

\noindent
Fredag 29. april 10:00 - 12:00 i grupperom R60 og R73

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 2. mai

\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Grenseflatebetingelser for $\bold{E}$ og $\bold{B}$:

\vspace{0.2cm}
\noindent
La oss se litt p{\aa} hvordan det elektriske feltet og magnetfeltet "oppf{\o}rer seg"
n{\aa}r vi krysser en {\em grenseflate}. Med grenseflate
mener vi ikke annet enn en flate som deler rommet i omr{\aa}dene 1 ("over") og 2 ("under").
Vi ser f{\o}rst p{\aa} det elektriske feltet:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov15_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Det elektriske feltet er {\em diskontinuerlig} dersom en slik grenseflate inneholder 
elektrisk ladning $\sigma$ pr flateenhet:
$$\bold{E}_1 - \bold{E}_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \;\hat{n} \;\;\;\;\;\;\; (*)$$
Her er $\bold{E}_1$ feltet i omr{\aa}de 1 like over flaten, $\bold{E}_2$ tilsvarende
i omr{\aa}de 2 like under flaten, mens $\hat{n}$ er en flatenormal (enhetsvektor)
med retning oppover.

\noindent
Du ser at ligningen $(*)$ er en kompakt m{\aa}te {\aa} uttrykke at {\em parallellkomponenten}
av $\bold{E}$ er kontinuerlig,
$$E_1^\parallel - E_2^\parallel = 0,$$
mens {\em normalkomponenten} er diskontinuerlig,
$$E_1^\perp - E_2^\perp = \frac{\sigma}{\varepsilon_0},$$
n{\aa}r vi krysser grenseflaten.

\newpage
\noindent
Vi ser deretter p{\aa} magnetfeltet:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov15_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Her st{\aa}r alts{\aa} grenseflaten normalt p{\aa} papirplanet.
Det magnetiske feltet er {\em diskontinuerlig} dersom det i en slik grenseflate
g{\aa}r en elektrisk str{\o}m $\bold{i}$ pr lengdeenhet:
$$\Delta \bold{B} = \mu_0 \; \bold{i} \times \hat{n}$$
Dette betyr at b{\aa}de $B_n$ og $B_{t\parallel}$ er kontinuerlige
ved kryssing av planet, mens $B_{t\perp}$ er diskontinuerlig med et "sprang" $\mu_0 i$.
Her har vi dekomponert tangentialkomponenten $B_t$ av $\bold{B}$
i en komponent parallelt med str{\o}mretningen, $B_{t\parallel}$, og en
komponent normalt til str{\o}mretningen, $B_{t\perp}$. 

\vspace{0.6cm}
\noindent
$a)$ Se p{\aa} tidligere {\o}vingsoppgaver og forelesningsnotatene dine
og finn et par eksempler der du kan kontrollere at disse grenseflatebetingelsene er oppfylt.

\vspace{1.0cm}
\noindent
Dersom "systemet" v{\aa}rt inneholder dielektriske og/eller magnetiserbare medier,
kan det tenkes at vi har grenseflater hvor vi vet hva {\em fri} ladning $\sigma_f$ pr
flateenhet og {\em fri} str{\o}m $\bold{i}_f$ pr lengdeenhet er. (Men vi kan kanskje
ikke s{\aa}nn uten videre si hva {\em total} ladning $\sigma$ pr flateenhet eller
{\em total} str{\o}m $\bold{i}$ pr lengdeenhet er.) Da m{\aa} vi i tillegg benytte
oss av f{\o}lgende grenseflatebetingelser for normalkomponenten $D_n$ til den elektriske
forskyvningen,
$$D_{1n} - D_{2n} = \sigma_f,$$
samt tangentialkomponenten $\bold{H}_t$ til $H$-feltet,
$$\Delta \bold{H}_t = \bold{i}_f \times \hat{n}$$

\newpage
\noindent
$b)$ La oss pr{\o}ve oss p{\aa} et par eksempler hvor vi m{\aa} bruke de ulike
grenseflatebetingelsene for {\aa} bestemme de aktuelle feltstyrkene: 

\noindent
Anta at vi har et uniformt elektrisk felt $\bold{E}_0 = E_0 \, \hat{z}$. I dette feltet plasserer vi
ei (alt i alt elektrisk n{\o}ytral) dielektrisk skive med tiln{\ae}rmet uendelig stor utstrekning i $x$- og
$y$-retning og tykkelse $h$ i $z$-retning. Med andre ord, skiva er plassert p{\aa}
tvers i det ytre feltet. Materialet i skiva har relativ permittivitet $\varepsilon_r$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov15_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Hva blir elektrisk forskyvning $\bold{D}_1$ og elektrisk felt $\bold{E}_1$ inne i
den dielektriske skiva? Gjenta med skiva p{\aa} {\em langs} i det ytre feltet! (Dvs:
Med uendelig utstrekning i $y$- og $z$-retning og tykkelse $h$ i $x$-retning.)

\noindent
Gj{\o}r deretter tilsvarende for ei uendelig stor {\em magnetiserbar} skive med
tykkelse $h$ og relativ permeabilitet $\mu_r$, henholdsvis p{\aa} tvers og p{\aa}
langs i et uniformt ytre magnetfelt $\bold{B}_0 = B_0 \, \hat{z}$. Dvs: Bestem
$\bold{H}_1$ og $\bold{B}_1$ inne i skiva.

\noindent
Synes du resultatet ble uventet i noen av tilfellene? Hvordan vil du forklare at du
f{\aa}r ulik elektrisk feltstyrke inne i den dielektriske skiva med skiva p{\aa} tvers
og p{\aa} langs i det ytre feltet? Og tilsvarende: Hvordan vil du forklare at du f{\aa}r
ulik magnetisk feltstyrke inne i den magnetiserbare skiva i de to tilfellene?


\newpage
%\vspace{0.8cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}


%%FIGURE
\vspace{2.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov14_fig5.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
En sylinderformet jernstav med relativ permeabilitet $\mu_r = 2000$ er plassert koaksialt inne i
en spole, men fyller bare delvis volumet inne i spolen. Spolen har en viklingstetthet
$n = 2000$ m$^{-1}$ og str{\o}mmen i spoletr{\aa}den er $I = 3$ A. Vi antar at b{\aa}de spolen
og jernstaven er s{\aa} lange at vi kan se bort fra randeffekter.

\noindent
Anta i f{\o}rste omgang at vi har line{\ae}r respons i jernstaven, dvs $\bold{M} = \chi_m \bold{H}$, og
bestem $\bold{H}$, $\bold{B}$ og $\bold{M}$ inne i spolen, b{\aa}de inne i (indeks j) og utenfor
(indeks 0) jernstaven. (Husk at $H$-feltet bestemmes av ``fri'' str{\o}m, mens $B$ bestemmes av total str{\o}m.)

\noindent
Diskuter den beregnede verdien p{\aa} $M_j$ inne i jernstaven i lys av {\em metningsmagnetiseringen}
i jern, dvs den maksimalt oppn{\aa}elige magnetiseringen, som du regnet ut i oppgave 1d i {\o}ving 13.
Beregn deretter korrigert (maksimal) verdi for $B_j$.


\vspace{0.5cm}
\noindent
Oppgitt:
$$\bold{B} = \mu_0 \left( \bold{H} + \bold{M} \right) = \mu_r \mu_0 \bold{H} = \mu \bold{H}$$
$$\bold{M} = \chi_m \bold{H} = (\mu_r - 1) \bold{H}$$
(Siste linje er bare gyldig n{\aa}r vi har line{\ae}r respons.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Et par tallsvar: $B_j = 15$ T (``ukorrigert''), $B_j = 2$ T (``korrigert'').




\newpage
%\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei metallstang med masse $m$ glir uten friksjon p{\aa} to parallelle ledere i
innbyrdes avstand $L$ som vist i figuren. De to parallelle lederne er koblet
sammen via en motstand $R$ slik at vi f{\aa}r en lukket krets. Hele systemet
befinner seg i et uniformt magnetfelt $\bold{B}$ som peker inn i planet.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov15_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvor stor blir str{\o}mmen $I$ i kretsen dersom stanga har hastighet $v$
mot h{\o}yre? I hvilken retning g{\aa}r str{\o}mmen?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Hva er den magnetiske krafta $F$ p{\aa} stanga? (St{\o}rrelse og retning.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Hvis stanga starter med hastighet $v_0$ ved tidspunktet $t=0$, og deretter
overlates til seg selv, hva er da hastigheten $v$ ved et senere tidspunkt $t$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Vis at stangas kinetiske energi $m v_0^2/2$ er presis lik den energien som
tapes i motstanden $R$.

\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei kvadratisk str{\o}msl{\o}yfe med sidekanter $a$ ligger i avstand $d$ fra en
lang rett leder som f{\o}rer en str{\o}m $I$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{ov15_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye magnetisk fluks omsluttes av str{\o}msl{\o}yfa?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Str{\o}msl{\o}yfa trekkes n{\aa} med hastighet $v$ bort fra den rette lederen.
Hvor stor elektromotorisk spenning induseres i sl{\o}yfa, og i hvilken retning
vil den resulterende str{\o}mmen g{\aa}? (Med eller mot klokka?)

\vspace{0.4cm}
\noindent
$c)$ Hvis str{\o}msl{\o}yfa trekkes mot h{\o}yre, dvs parallelt med den rette lederen,
hva blir da den induserte emsen i sl{\o}yfa?




\end{document}
