\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 6
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning torsdag 16. februar og fredag 17. februar


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Maksimalt elektrisk felt p{\aa} 3 MV/m oppn{\aa}s med
en overflateladningstetthet
$$\sigma_{\rm max} = \varepsilon_0 E_{\rm max} = 8.85\cdot10^{-12} \cdot 3\cdot10^6 =
2.7\cdot10^{-5} {\rm C/m}^2$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Ei metallkule med radius $R$ og ladning $Q$ har en flateladningstetthet
$$\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$$
Vi ser at maksimal $\sigma$ tilsvarer minimal $R$:
$$R_{\rm min} = \sqrt{\frac{Q}{4\pi\sigma_{\rm max}}} = \sqrt{\frac{1}{4\pi\cdot 2.7\cdot10^{-5}}}
\simeq 54 {\rm m}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ P{\aa} en overflate med atomene ordnet i et regul{\ae}rt kvadratisk gitter med
en avstand p{\aa} 0.3 nm mellom n{\ae}rmeste naboer opptar hvert overflateatom
et areal $A_0 = \left(0.3\cdot10^{-9}\right)^2 = 9 \cdot 10^{-20} {\rm m}^2$.
Da m{\aa} antall overflateatomer pr m$^2$ bli $(9 \cdot 10^{-20})^{-1} = 1.1\cdot10^{19}$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{gitter.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.1cm}
\noindent
Dersom overflateatomene i stedet var ordnet i et regul{\ae}rt {\em triangul{\ae}rt}
gitter (med samme n{\ae}rmeste-nabo-avstand 0.3 nm = 3 {\AA}), ville arealet pr
overflateatom bli en regul{\ae}r {\em sekskant} med sidekanter $\sqrt{3}$ {\AA}.
Arealet av en slik sekskant er $9\sqrt{3}/2$ {\AA}$^2$ $\simeq 7.8\cdot10^{-20}$ m$^2$,
som gir ca $1.3\cdot 10^{19}$ atomer pr m$^2$. Med andre ord, litt tettere pakket enn
med kvadratisk gitter!

\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ Med en ladning pr flateenhet lik $\sigma_{\rm max} = 2.7\cdot10^{-5} {\rm C/m}^2$ og
$1.1\cdot10^{19}$ overflateatomer pr m$^2$, har vi en midlere ladning pr overflateatom
lik $2.7\cdot10^{-5} / 1.1\cdot10^{19} = 2.45\cdot10^{-24} {\rm C}$, som er
$2.45\cdot10^{-24} / 1.6\cdot10^{-19} = 1.5\cdot10^{-5}$ av ladningen til et elektron.
Dette m{\aa} da ogs{\aa} representere andelen av overflateatomer som har f{\aa}tt
ett ekstra elektron.


\vspace{0.6cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ P{\aa} den positive ladningen virker en kraft $\bold{F}_+ =
q\bold{E}$ og p{\aa} den negative ladningen virker en kraft
$\bold{F}_- = - q\bold{E}$. Total kraft blir summen av disse:
$$\bold{F} = \bold{F}_+ + \bold{F}_- = q\bold{E} - q\bold{E} = 0$$
Kommentar: Hvis det elektriske feltet ikke er uniformt, vil det virke
en netto kraft p{\aa} dipolen:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.7in \epsfbox{los6_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Den ene enden av dipolen (her: den nederste, dvs den negative enden) vil v{\ae}re
i et omr{\aa}de med st{\o}rre elektrisk feltstyrke enn det er ved den andre enden
av dipolen. Dermed vil dipolen trekkes i retning av {\o}kende elektrisk feltstyrke.
Det er denne effekten som gj{\o}r seg gjeldende n{\aa}r en gnidd ballong sitter fast p{\aa}
veggen. Ballongen har netto ladning og omgir seg med et ikke-uniformt elektrisk felt. 
Elektriske dipoler i veggen tiltrekkes av ballongen, eller omvendt, ballongen trekkes mot veggen.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ 
$$\bold{\tau} = \bold{r}_+ \times \bold{F}_+ + \bold{r}_- \times \bold{F}_- = 
\frac{\bold{a}}{2} \times \left(q\bold{E}\right) + 
\left(-\frac{\bold{a}}{2}\right) \times
\left(-q\bold{E}\right) = q\bold{a}\times\bold{E} = \bold{p}\times\bold{E}$$
Bruker vi h{\o}yreh{\aa}ndsregelen, ser vi at vektoren $\bold{p}\times\bold{E}$
peker inn i papirplanet, dvs i negativ $z$-retning. Dermed:
$$\bold{\tau} = \bold{p}\times\bold{E} = - \bold{E}\times\bold{p} =
- p E \sin\theta\; \hat{z}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Her har vi alts{\aa}
$dU = -\tau\; d\alpha$. Det betyr at en liten dreining av dipolen 
en vinkel $d\alpha$ under p{\aa}virkning av dreiemomentet $\tau$
resulterer i en endring $dU$ i potensiell energi gitt ved
$-\tau\;d\alpha$. Potensiell energi for en gitt verdi av vinkelen
$\theta$ mellom $\bold{E}$ og $\bold{p}$, {\em i forhold til} en
valgt referanse $U(\theta_0)$, blir da
\begin{eqnarray}
U(\theta) &=& \int_{\theta_0}^{\theta} dU \nonumber \\ 
&=& -\int_{\theta_0}^{\theta} \tau(\alpha)\;d\alpha \nonumber \\
&=& p E \int_{\theta_0}^{\theta} \sin\alpha\;d\alpha \nonumber \\
&=& p E \left( \cos\theta_0 - \cos\theta \right) \nonumber \\
&=& - p E \cos\theta \nonumber
\end{eqnarray}
Her valgte jeg {\aa} sette $U(0) = - p E$, dvs $\theta_0 = \pi/2$. Det spiller {\em ingen} rolle
hvor jeg velger nullpunkt for $U$. Et like "naturlig" valg ville ha v{\ae}rt $\theta_0 = 0$,
som hadde gitt $U(0)=0$ og $U(\pm \pi)=2pE$.

\noindent
Skisse:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{los6_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi har minimal $U$, og f{\o}lgelig stabil likevekt for $\theta = 0$, dvs
for dipolen orientert slik at $\bold{p}$ er parallell med $\bold{E}$.

\noindent
Konklusjon: Elektriske dipoler, f.eks. polare molekyler i et dielektrikum, 
retter seg inn langs det ytre (``p{\aa}trykte'') elektriske feltet.



\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vi har at $E=0$ overalt inne i metallet i elektrostatisk likevekt. (Se forelesningene.)
Det betyr, if{\o}lge Gauss' lov, at en gaussflate $S$ (lukket flate) som omslutter hulrommet, og som i sin helhet
ligger inne i lederen, omslutter null netto ladning ($q_{\rm in}$):
$$E=0 \;\; \Rightarrow \;\; q_{\rm in} = \varepsilon_0 \oint_S \bold{E}\cdot d\bold{A} = 0$$
Denne gaussflaten kan legges vilk{\aa}rlig n{\ae}rt inntil hulrommets overflate, s{\aa}
konklusjonen m{\aa} bli at det totalt er indusert en fri ladning $-q$
p{\aa} hulrommets overflate. Da blir nemlig total ladning innenfor gaussflaten lik $q-q=0$.

\noindent
Denne induserte ladningen vil fordele seg p{\aa} hulrommets overflate p{\aa} en slik m{\aa}te
at det elektriske feltet forsvinner overalt inne i lederen. Med andre ord, bidraget til feltet
inne i lederen fra punktladningen $q$ m{\aa} presis kanselleres av bidraget fra den induserte ladningen
$-q$. Da er det vel mer eller mindre opplagt (?) at vi m{\aa} f{\aa} st{\o}rst indusert ladning
nederst, der punktladningen ligger n{\ae}rt overflaten, og minst indusert ladning {\o}verst, der
punktladningen ligger lenger unna overflaten.

\noindent
Da lederen har null netto ladning, m{\aa} vi ha f{\aa}tt indusert en ladning $q$ p{\aa}
lederens ytre overflate. (Husk: Ingen netto ladning inne i en leder i likevekt!) Denne ladningen
vil fordele seg jevnt utover den ytre overflaten fordi ``asymmetrien'' for{\aa}rsaket av
punktladningen inne i hulrommet oppheves av den induserte ladningen $-q$ p{\aa}
hulrommets overflate.

\noindent
P{\aa} utsiden av kula ``ser'' vi dermed rett og slett en kulesymmetrisk overflateladning,
slik at det elektriske feltet utenfor kula blir
$$\bold{E}(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{r}$$
der $r$ er avstanden fra sentrum av kula.

\newpage
\noindent
Elektriske feltlinjer m{\aa} bli omtrent slik:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{los6_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi har valgt {\aa} tegne 8 feltlinjer pr ladning $q$. Alle 8 feltlinjer som starter
p{\aa} punktladningen m{\aa} ende opp p{\aa} hulrommets overflate, og slik at de
st{\aa}r normalt p{\aa} overflaten. (Elektrisk felt alltid normalt p{\aa} overflaten
til en elektrisk leder!)
Inne i lederen er $E=0$, s{\aa} her har vi ingen feltlinjer. P{\aa} den ytre overflaten
har vi en ladning $q$ jevnt fordelt utover, s{\aa} her f{\aa}r vi igjen 8 feltlinjer,
radielt rettet utover.

\noindent
Kommentar: Det fulgte umiddelbart av Gauss' lov og av det faktum at $E=0$ inne i lederen
at den totale induserte ladningen blir hhv $-q$ og $q$ p{\aa} indre og ytre overflate.
Men vi har vel strengt tatt ikke f{\o}rt noe skikkelig argument for hvordan disse
induserte overflateladningene vil {\em fordele seg}. En ting er sikkert: {\em Tilsammen}
m{\aa} ladningene fordele seg slik at vi f{\aa}r $E=0$ overalt inne i lederen.
Jeg har rett og slett {\em p{\aa}st{\aa}tt} at punktladningen $q$ og ladningen $-q$
p{\aa} hulrommets overflate s{\o}rger for dette {\em alene}, uten ``hjelp'' av ladningen
$q$ p{\aa} ytre overflate. Kan vi v{\ae}re sikre p{\aa} at dette i det hele tatt er mulig?
Jo: Tenk deg en gigantisk metallkule med et lite hulrom dypt inne i kula, og med en punktladning
plassert i hulrommet slik som her. N{\aa} er all ladning p{\aa} ytre overflate s{\aa} langt
unna hulrommet at for {\aa} oppn{\aa} $E=0$ inne i lederen i n{\ae}rheten av hulrommet, m{\aa}
ladningen $-q$ p{\aa} hulrommets overflate kansellere feltet fra punktladningen alene.
Vi kan alts{\aa} fastsl{\aa} at det {\em er mulig} {\aa} oppn{\aa} $E=0$ inne i lederen uten bruk
av ladningen p{\aa} ytre overflate. Men da kan vi faktisk konkludere med at dette er den
{\em eneste} muligheten, uansett om kula er stor eller liten. Man har nemlig s{\aa}kalte
{\em entydighetsteorem} i elektrostatikken som garanterer at en {\em mulig} ladningsfordeling
ogs{\aa} er den {\em eneste} mulige. (Ikke pensum! Men se f.eks. Griffiths, kapittel 3 hvis du
er interessert.)



\end{document}
