\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 15
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. april

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 2. mai

\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}


%%FIGURE
\vspace{0.8cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov14_fig5.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
En sylinderformet jernstav med relativ permeabilitet $\mu_r = 2000$ er plassert koaksialt inne i
en spole, men fyller bare delvis volumet inne i spolen. Spolen har en viklingstetthet
$n = 2000$ m$^{-1}$ og str{\o}mmen i spoletr{\aa}den er $I = 3$ A. Vi antar at b{\aa}de spolen
og jernstaven er s{\aa} lange at vi kan se bort fra randeffekter.

\noindent
Anta i f{\o}rste omgang at vi har line{\ae}r respons i jernstaven, dvs $\bold{M} = \chi_m \bold{H}$, og
bestem $\bold{H}$, $\bold{B}$ og $\bold{M}$ inne i spolen, b{\aa}de inne i (indeks j) og utenfor
(indeks 0) jernstaven. (Husk at $H$-feltet bestemmes av ``fri'' str{\o}m, mens $B$ bestemmes av total str{\o}m.)

\noindent
Diskuter den beregnede verdien p{\aa} $M_j$ inne i jernstaven i lys av {\em metningsmagnetiseringen}
i jern, dvs den maksimalt oppn{\aa}elige magnetiseringen, som du regnet ut i oppgave 1d i {\o}ving 14.
Beregn deretter korrigert (maksimal) verdi for $B_j$.


\vspace{0.3cm}
\noindent
Oppgitt:
$$\bold{B} = \mu_0 \left( \bold{H} + \bold{M} \right) = \mu_r \mu_0 \bold{H} = \mu \bold{H}$$
$$\bold{M} = \chi_m \bold{H} = (\mu_r - 1) \bold{H}$$
(Siste linje er bare gyldig n{\aa}r vi har line{\ae}r respons.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Et par tallsvar: $B_j = 15$ T (``ukorrigert''), $B_j = 2$ T (``korrigert'').


%\vspace{1.3cm}
\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Figuren viser to spoler 1 og 2 som begge er viklet opp p{\aa}
en sylinder med radius $R$. Vi antar at sylinderen
har magnetiske egenskaper som vakuum, dvs vi ser bort fra en
eventuell magnetisering i sylinderen. Spole 1 har $N_1$ viklinger,
spole 2 har $N_2$ viklinger. Begge spolene er viklet opp p{\aa}
en lengde $d$ som er (tiln{\ae}rmet uendelig) lang i forhold til
sylinderens radius. (Figuren er s{\aa}nn sett ikke kvantitativt riktig...!)
Du kan anta at begge spoler er tett
viklet, og at hver vikling i begge spoler omslutter samme magnetiske
fluks. (Spoletr{\aa}dene er belagt med et isolerende materiale, f.eks.
et lag plast, slik at en eventuell elektrisk str{\o}m er n{\o}dt til
{\aa} f{\o}lge spoletr{\aa}den. Denne antagelsen er for{\o}vrig
underforst{\aa}tt i alle slike oppgaver med spoler.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Anta at det g{\aa}r en str{\o}m $I_1$ i spole 1. Hva blir da
styrken p{\aa} magnetfeltet $B$ inne i spolen?  Hva blir videre
{\em total} magnetisk fluks $\phi_1$ som omsluttes av {\em hele} spoletr{\aa}den
i spole 1 (dvs alle de $N_1$ viklingene)? Hva blir total magnetisk fluks $\phi_2$ som omsluttes
av {\em hele} spoletr{\aa}den i spole 2 (igjen: alle de $N_2$ viklingene)?
(Merk: Det g{\aa}r alts{\aa} ingen str{\o}m i spole 2. Str{\o}mmen i spole 1
kan vi lage f.eks. ved {\aa} koble den til et batteri og en motstand.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Forholdet mellom total omsluttet magnetisk fluks $\phi_1$ og
str{\o}mstyrken $I_1$ i str{\o}msl{\o}yfa "selv" er, pr definisjon,
str{\o}msl{\o}yfas {\em selvinduktans} $L$:
$$L = \frac{\phi_1}{I_1}$$
Hva blir dermed selvinduktansen $L$ til en slik lang sylinderformet
spole med radius $R$, lengde $d$ og $N_1$ viklinger?

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Forholdet mellom total magnetisk fluks $\phi_2$ som omsluttes
av spole 2 og str{\o}mstyrken $I_1$ i spole 1 er, pr definisjon,
{\em gjensidig induktans} $M$ mellom de to str{\o}msl{\o}yfene:
$$M = \frac{\phi_2}{I_1}$$ 
Hva blir dermed den gjensidige induktansen $M$ mellom to slike lange
sylinderformede spoler, begge viklet opp p{\aa} en sylinder med
radius $R$ over en lengde $d$, og med henholdsvis $N_1$ og
$N_2$ viklinger?

\vspace{0.5cm}
\noindent
$d)$ Bestem tallverdier for $L$ og $M$ (i SI-enheter) dersom $R=1$ cm,
$d=60$ cm, $N_1 = 1200$ og $N_2 = 600$. 

\noindent
(Svar: $L = 9.5 \cdot 10^{-4}$, $M = 4.7 \cdot 10^{-4}$)

\vspace{0.5cm}
\noindent
%%Kommentar: Vi skal komme tilbake til gjensidig induktans og selvinduktans
%%i de siste forelesningene og se hvorfor dette er "nyttige" st{\o}rrelser
%%i endel sammenhenger.


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Fra tidligere {\o}vinger (7 og 14) har vi disse grenseflatebetingelsene:
$$\Delta \bold{E}^\parallel = 0$$
$$\Delta D^\perp = \sigma_f$$
$$\Delta B^\perp = 0$$
$$\Delta \bold{H}^\parallel = \bold{i}_f \times \hat{n}$$
Anta at vi har et uniformt elektrisk felt $\bold{E}_0 = E_0 \, \hat{z}$. I dette feltet plasserer vi
ei (alt i alt elektrisk n{\o}ytral) dielektrisk skive med tiln{\ae}rmet uendelig stor utstrekning i $x$- og
$y$-retning og tykkelse $h$ i $z$-retning. Med andre ord, skiva er plassert p{\aa}
tvers i det ytre feltet. Materialet i skiva har relativ permittivitet $\varepsilon_r$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov15_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Hva blir elektrisk forskyvning $\bold{D}_1$ og elektrisk felt $\bold{E}_1$ inne i
den dielektriske skiva? Gjenta med skiva p{\aa} {\em langs} i det ytre feltet! (Dvs:
Med uendelig utstrekning i $y$- og $z$-retning og tykkelse $h$ i $x$-retning.)

\noindent
Gj{\o}r deretter tilsvarende for ei uendelig stor {\em magnetiserbar} skive med
tykkelse $h$ og relativ permeabilitet $\mu_r$, henholdsvis p{\aa} tvers og p{\aa}
langs i et uniformt ytre magnetfelt $\bold{B}_0 = B_0 \, \hat{z}$. Dvs: Bestem
$\bold{H}_1$ og $\bold{B}_1$ inne i skiva.

\noindent
Synes du resultatet ble uventet i noen av tilfellene? Hvordan vil du forklare at du
f{\aa}r ulik elektrisk feltstyrke inne i den dielektriske skiva med skiva p{\aa} tvers
og p{\aa} langs i det ytre feltet? Og tilsvarende: Hvordan vil du forklare at du f{\aa}r
ulik magnetisk feltstyrke inne i den magnetiserbare skiva i de to tilfellene?


%\vspace{1.2cm}
\newpage
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei metallstang med masse $m$ glir uten friksjon p{\aa} to parallelle ledere i
innbyrdes avstand $L$ som vist i figuren. De to parallelle lederne er koblet
sammen via en motstand $R$ slik at vi f{\aa}r en lukket krets. Hele systemet
befinner seg i et uniformt magnetfelt $\bold{B}$ som peker inn i planet.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{ov15_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvor stor blir str{\o}mmen $I$ i kretsen dersom stanga har hastighet $v$
mot h{\o}yre? I hvilken retning g{\aa}r str{\o}mmen?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Hva er den magnetiske krafta $F$ p{\aa} stanga? (St{\o}rrelse og retning.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Hvis stanga starter med hastighet $v_0$ ved tidspunktet $t=0$, og deretter
overlates til seg selv, hva er da hastigheten $v$ ved et senere tidspunkt $t$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Vis at stangas kinetiske energi $m v_0^2/2$ er presis lik den energien som
tapes i motstanden $R$.

\vspace{1.1cm}
\noindent
{\em Oppgave 5}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei kvadratisk str{\o}msl{\o}yfe med sidekanter $a$ ligger i avstand $d$ fra en
lang rett leder som f{\o}rer en str{\o}m $I$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov15_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye magnetisk fluks omsluttes av str{\o}msl{\o}yfa?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Str{\o}msl{\o}yfa trekkes n{\aa} med hastighet $v$ bort fra den rette lederen.
Hvor stor elektromotorisk spenning induseres i sl{\o}yfa, og i hvilken retning
vil den resulterende str{\o}mmen g{\aa}? (Med eller mot klokka?)

\vspace{0.4cm}
\noindent
$c)$ Hvis str{\o}msl{\o}yfa trekkes mot h{\o}yre, dvs parallelt med den rette lederen,
hva blir da den induserte emsen i sl{\o}yfa?



\end{document}
