\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=24cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009, uke16

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 15.04.09 og fredag 17.04.09
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisk susceptibilitet og permeabilitet} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5, AF 26.7; LHL 26.1; DJG 6.4.1]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Dersom magnetiseringen er proporsjonal med det p{\aa}trykte feltet, kan vi skrive
$$\bold{M} = \chi_m \bold{H}$$
Her er $\chi_m$ magnetisk susceptibilitet. Dermed, ut fra sammenhengen
mellom $\bold{B}$, $\bold{H}$ og $\bold{M}$:
$$\bold{B} = \mu_0 (\bold{H} + \bold{M}) =
\mu_0 (1 + \chi_m) \bold{H} = \mu_0 \mu_r \bold{H} = \mu \bold{H}$$
Her er $\mu_r = 1 + \chi_m$ relativ permeabilitet mens $\mu$ er
mediets permeabilitet. (Jfr line{\ae}r respons i dielektriske medier!)

\vspace{0.2cm}
\noindent
Noen typiske tallverdier:

\noindent
Diamagneter: $\chi_m \sim - 10^{-5}$ til $-10^{-4}$

\noindent
Paramagneter: $\chi_m \sim 10^{-4}$ til $10^{-3}$

\noindent
Ferromagneter: $\chi_m \sim 10^{3}$ til $10^{4}$ (eller mer)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dette betyr at det bare er ferromagnetiske materialer (Fe, Co, Ni...)
som ''reagerer noe s{\ae}rlig'' p{\aa} et ytre magnetfelt.

\noindent
For en ''bl{\o}t'' ferromagnet (f.eks.\ st{\aa}l) vil $M(H)$ med god
tiln{\ae}rmelse v{\ae}re gitt ved en line{\ae}r funksjon i n{\ae}rheten
av $H=0$. Dermed har vi line{\ae}r respons, og en veldefinert
magnetisk susceptibilitet i dette omr{\aa}det. For {\o}kende verdier
av $|H|$ vil $M$ etter hvert flate ut og n{\ae}rme seg metningsmagnetiseringen
$M_s$ (dvs maksimal magnetisering).


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Elektromagnetisk induksjon} 

\noindent
[FGT 30.1 - 30.6; YF 29.1 - 29.5; TM 28.2 - 28.3; AF 27.1 - 27.3; LHL 24.1; DJG 7.2]

\vspace{0.2cm}
En elektromotorisk spenning (ems) $\ems$ induseres i ei ledersl{\o}yfe
dersom den magnetiske fluksen $\phi_m$ som omsluttes av ledersl{\o}yfa
varierer med tiden:
$$\ems = - \frac{d\phi_m}{dt}$$
Omsluttet magnetisk fluks er gitt ved flateintegralet av det magnetiske
feltet $\bold{B}$, der integralet tas over flaten $S$ som omsluttes av
ledersl{\o}yfa:
$$\phi_m = \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$
Dermed ser vi at $\phi_m$ kan variere med tiden p{\aa} ulike m{\aa}ter, f.eks. med
\begin{itemize}
\item tidsavhengig omsluttet areal $S$
\item tidsavhengig orientering av ledersl{\o}yfa (bestemt ved retningen p{\aa} $d\bold{A}$)
\item tidsavhengig magnetfelt $\bold{B}$ (retning og/eller absoluttverdi)
\end{itemize}
I alle tilfelle f{\aa}r vi en indusert ems i ledersl{\o}yfa.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Retningen} p{\aa} indusert ems $\ems$ bestemmes med {\em Lenz' lov}: En eventuell generert str{\o}m
$I$, drevet av $\ems$, skaper et magnetfelt $\bold{B}_I$ og dermed en magnetisk fluks
$\phi_I = \int_S \bold{B}_I \cdot d\bold{A}$ som er {\em motsatt rettet fluksendringen}
$d\phi_m$ som i utgangspunktet for{\aa}rsaket $\ems$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
En indusert ems $\ems$ i ei lukket ledersl{\o}yfe impliserer et {\em indusert elektrisk felt} $\bold{E}$:
$$\ems = \oint \bold{E} \cdot d\bold{l}$$
Faradays lov (eller for {\aa} v{\ae}re presis: Faraday - Henrys lov) 
uttrykker dermed en sammenheng mellom {\em feltene} $\bold{E}$ og $\bold{B}$:
$$\oint_c \bold{E} \cdot d\bold{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$
der $c$ er en lukket kurve som omslutter en flate $S$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Ettersom integralet av et slik ''Faraday-indusert'' elektrisk felt rundt en lukket kurve
{\em ikke} er lik null, er det (pr definisjon) heller {\em ikke} et konservativt felt.
(Mens et {\em elektrostatisk} felt {\em er} konservativt.)


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Gjensidig induktans}

\noindent
[FGT 32.1; YF 30.1; AF 27.12; LHL 25.4; DJG 7.2.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
En str{\o}m $I_1$ i ei str{\o}msl{\o}yfe (1) resulterer i et magnetfelt $\bold{B}_1$
i omr{\aa}det omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp
av Biot-Savarts lov:
$$\bold{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{4\pi}\oint_{(1)}\frac{d\bold{l}_1\times\hat{r}}{r^2}$$
Dersom ei {\em anna} str{\o}msl{\o}yfe (2) er plassert i dette
omr{\aa}det, vil magnetfeltet  fra sl{\o}yfe (1) resultere i en magnetisk fluks gjennom
sl{\o}yfe (2):
$$\phi_2 = \int_{S_2} \bold{B}_1 \cdot d\bold{A}_2 =
\int_{S_2} \left\{ \frac{\mu_0 I_1}{4\pi}\oint_{(1)}\frac{d\bold{l}_1\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}_2$$
Uansett hva dette gufne integralet m{\aa}tte v{\ae}re, kan vi uttrykke det p{\aa} formen
$$\phi_2 = M_{21} I_1$$
forutsatt at $I_1$ er konstant i sl{\o}yfe (1), dvs den samme alle steder i sl{\o}yfa. (Og det
m{\aa} den jo v{\ae}re hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

\noindent
Faktoren $M_{21}$ er den {\em gjensidige induktansen} mellom de to sl{\o}yfene (1) og (2) og
uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ''gjennom'' (dvs omsluttet av) sl{\o}yfe (2)
n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfe (1):
$$M_{21} = \frac{\phi_2}{I_1}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Omvendt m{\aa} vi ogs{\aa} f{\aa} en magnetisk fluks gjennom sl{\o}yfe (1) hvis det g{\aa}r
en str{\o}m i sl{\o}yfe (2):
$$\phi_1 = \int_{S_1} \bold{B}_2 \cdot d\bold{A}_1 =
\int_{S_1} \left\{ \frac{\mu_0 I_2}{4\pi}\oint_{(2)}\frac{d\bold{l}_2\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}_1$$
dvs: Str{\o}mmen $I_2$ i sl{\o}yfe (2) skaper magnetfeltet $\bold{B}_2$, og dermed fluksen
$\phi_1$ gjennom sl{\o}yfe (1).

\noindent
Og uansett hva {\em dette} integralet m{\aa}tte bli, kan vi alltids skrive
$$\phi_1 = M_{12} I_2$$
der faktoren $M_{12}$ uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ''gjennom'' (dvs: gjennom arealet omsluttet av)
sl{\o}yfe (1) n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfe (2):
$$M_{12} = \frac{\phi_1}{I_2}$$
B{\aa}de $M_{21}$ og $M_{12}$ er rett og slett geometriske faktorer som avhenger av form, st{\o}rrelse
og relativ plassering til de to str{\o}msl{\o}yfene.

\noindent
En kan vise at (se f.eks. Griffiths)
$$M_{21} = M_{12}$$
alltid gjelder. En kan dermed {\em velge} mellom to alternative framgangsm{\aa}ter for {\aa}
bestemme gjensidig induktans mellom to str{\o}msl{\o}yfer: Enten beregne magnetisk fluks gjennom
(1) pga str{\o}m i (2), eller omvendt. Noen ganger er det ene mye enklere enn det andre!

\vspace{1.0cm}
\noindent
Enhet for induktans: $[M] = [\phi_m/I] = [B \cdot A/I] =$ T$\cdot$m$^2$/A $\equiv$ H (henry)

\vspace{1.0cm}
\noindent
Gjensidig induksjon:

\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I_1(t)$ i sl{\o}yfe (1) gir tidsavhengig fluks $\phi_2(t)$ gjennom
sl{\o}yfe (2), og dermed indusert ems i sl{\o}yfe (2):
$$\ems_2 = -\frac{d\phi_2}{dt} = -M_{21}\frac{dI_1}{dt}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I_2(t)$ i sl{\o}yfe (2) gir tidsavhengig fluks $\phi_1(t)$ gjennom
sl{\o}yfe (1), og dermed indusert ems i sl{\o}yfe (1):
$$\ems_1 = -\frac{d\phi_1}{dt} = -M_{12}\frac{dI_2}{dt}$$


\newpage
\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Selvinduktans}

\noindent
[FGT 32.1; YF 30.2; TM 28.6; AF 27.8; LHL 25.1; DJG 7.2.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
En str{\o}m $I$ i ei str{\o}msl{\o}yfe resulterer i et magnetfelt $\bold{B}$
i omr{\aa}det omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp
av Biot-Savarts lov:
$$\bold{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2}$$
Magnetfeltet  fra sl{\o}yfa resulterer i en magnetisk fluks gjennom sl{\o}yfa  selv:
$$\phi = \int_{S} \bold{B} \cdot d\bold{A} =
\int_{S} \left\{ \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}$$
Uansett hva dette gufne integralet m{\aa}tte v{\ae}re, kan vi uttrykke det p{\aa} formen
$$\phi = L I$$
forutsatt at $I$ er konstant i sl{\o}yfa, dvs den samme alle steder i sl{\o}yfa. (Og det
m{\aa} den jo v{\ae}re hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

\noindent
Faktoren $L$ er {\em selvinduktansen} til sl{\o}yfa og
uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ''gjennom'' (dvs: gjennom arealet omsluttet av) sl{\o}yfa
n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfa:
$$L = \frac{\phi}{I}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Enhet for selvinduktans: $[L] = [\phi_m/I] = [B \cdot A/I] =$ T$\cdot$m$^2$/A $\equiv$ H (henry)

\vspace{1.0cm}
\noindent
Selvinduksjon:

\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I(t)$ i sl{\o}yfe gir tidsavhengig fluks $\phi(t)$ gjennom
sl{\o}yfa, og dermed indusert ems i sl{\o}yfa:
$$\ems = -\frac{d\phi}{dt} = -L\frac{dI}{dt}$$
Induktans som ''element'' i en elektrisk krets har f{\o}lgelig denne sammenhengen
mellom spenning $\Delta V$ og str{\o}m $I$:
$$\Delta V = -L\, dI/dt$$

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{induktans.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\end{document}
