\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009, uke 9

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 25.02.09 og fredag 27.02.09
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.1cm}
\noindent
{\bf Kondensator og kapasitans.} 

\noindent
[FGT 25.1, 25.5; YF 24.1, 24.4; TM 24.2, 24.5; AF 25.10; LHL 20.1; DJG 2.5.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Kondensator = to adskilte elektriske ledere med ladning $\pm Q$
(Eventuelt: En elektrisk leder med ladning $Q$, den andre tenkt flyttet uendelig langt bort.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Coulombs lov $\Rightarrow$ elektrisk felt i omr{\aa}det omkring lederne er proporsjonalt med $Q$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed f{\o}lger ogs{\aa} at {\em potensialforskjellen} $\Delta V$ mellom de to lederne er proporsjonal med $Q$:
$$C = \frac{Q}{\Delta V}$$
$C$ = kondensatorens {\em kapasitans}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Enhet for kapasitans: $[C] = [Q/\Delta V]$ = C/V $\equiv$ F (farad)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Symbol i elektriske kretser:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{uke39_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.3cm}
\noindent
Kapasitansen $C$ til en kondensator
er en {\em geometrisk faktor}, avhengig av ledernes utforming og innbyrdes avstand,
og dessuten det mellomliggende mediet.

\noindent
Kapasitans er, pr definisjon, en {\em positiv} st{\o}rrelse.

\noindent
Utregning av $C$ for et gitt system vil g{\aa} ut p{\aa} {\aa}
bestemme potensialforskjellen mellom de to lederne, $\Delta V = V_+ - V_-$, for
en gitt ladning $\pm Q$.

\vspace{0.5cm}
\noindent 
Parallellplatekondensator, luftfylt (vakuum), med plateareal $A$, plateavstand $d$:
Ladning $\pm Q$ p{\aa} de to platene gir elektrisk feltstyrke $E = \sigma/\varepsilon_0 =
Q/\varepsilon_0 A$ mellom platene, og dermed potensialforskjell $V = Ed =
Qd/\varepsilon_0 A$ mellom platene. Med definisjonen $C=Q/V$ har vi da en kapasitans
$$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent 
Parallellplatekondensator, fylt med dielektrikum med relativ permittivitet $\varepsilon_r$,
plateareal $A$, plateavstand $d$: Ladning $\pm Q$ p{\aa} de to platene gir elektrisk
forskyvning $D = Q/A$ mellom platene, og dermed elektrisk feltstyrke
$E = D/\varepsilon_r \varepsilon_0 = Q/A\varepsilon_r \varepsilon_0$ mellom platene, og
dermed potensialforskjell $V = Ed = Qd/\varepsilon_r \varepsilon_0 A$ mellom platene.
Dermed kapasitans
$$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent 
Dersom omr{\aa}det mellom kondensatorens to ledere, som i utgangspunktet
er fylt med luft ($\simeq$ vakuum), helt eller delvis fylles med et dielektrikum,
vil kondensatorens kapasitans alltid bli st{\o}rre enn den var med bare luft.
(Det samme gjelder ogs{\aa} hvis omr{\aa}det med luft/vakuum erstattes med
metall.)


\vspace{0.2cm} 
\noindent
{\bf Kobling av flere kapasitanser}

\noindent
[FGT 25.4; YF 24.2; TM 24.4; AF Ex. 25.8, LHL 20.2]:


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{kapasitanser_i_serie.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Seriekobling av $N$ kapasitanser $C_i$, $i = 1,..,N$:
$$\frac{1}{C} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{C_i}$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{kapasitanser_i_parallell.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Parallellkobling av $N$ kapasitanser $C_i$, $i = 1,..,N$:
$$C = \sum_{i=1}^{N} C_i$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
I disse uttrykkene representerer $C$ den ekvivalente
kapasitansen dersom vi erstatter alle de serie- eller
parallellkoblede kapasitansene med en enkelt kapasitans.


\newpage
\noindent
{\bf Energi assosiert med elektrisk felt} 

\noindent
[FGT 25.3; YF 24.3; TM 24.3; AF 25.11; LHL 20.4; DJG 2.4.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Vi regnet ut arbeidet $W$ som skal til for {\aa} lade opp en parallellplatekondensator
fra $q=0$ til endelig ladning $q=Q$. (Egentlig: $\pm Q$) Dette arbeidet tilsvarer potensiell
energi lagret i kondensatoren. Vi fant:
$$W = U = \int_0^Q v(q)dq = \int_0^Q \frac{q}{C} dq = \frac{Q^2}{2C}$$
Her var utgangspunktet at det trengs et arbeid $dW = v(q) dq$ for {\aa} {\o}ke
kondensatorens ladning fra $\pm q$ til $\pm (q+dq)$. $v(q)$ er potensialforskjellen
mellom platene n{\aa}r de har ladning $\pm q$. Med sammenhengen $C = Q/V$ har vi de
alternative uttrykkene
$$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2} CV^2$$
Bruker vi det siste av disse og setter inn $C = \varepsilon_0 A/d$ og $V = Ed$, finner vi
$$U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \cdot (Ad)$$
Ettersom faktoren $Ad$ er volumet der vi har et elektrisk felt, er vi framme ved et resultat
som viser seg {\aa} gjelde generelt:

\noindent
Potensiell energitetthet, dvs potensiell energi pr volumenhet, i elektrisk felt $E$ er lik 
$$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$$

\noindent
Vi hadde ogs{\aa} at potensiell energi kunne "assosieres" med den elektriske ladningen:
Dersom et "system" har elektrisk potensial (f.eks. relativt til potensialet uendelig langt borte,
som vi som regel kan sette lik null) $v(q)$ n{\aa}r det har ladning $q$, m{\aa} vi utf{\o}re
et arbeid $dW = v(q)\; dq$ for {\aa} {\o}ke ladningen fra $q$ til $q + dq$. F{\o}lgelig blir
totalt arbeid, og dermed ogs{\aa} total "lagret" potensiell energi i systemet, lik
$$W = U = \int_0^Q v(q)\; dq$$
for {\aa} lade opp systemet fra null ladning til endelig ladning $Q$.

\noindent
Alternativt kan vi alts{\aa} regne ut lagret potensiell energi ved {\aa} integrere
opp energitettheten $u$ over hele volumet $V$:
$$U = \int_V u\; dV = \int_V \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \; dV$$

\noindent
(Merk at her st{\aa}r $V$ for {\em volum} og ikke potensial. Dessuten: Ikke la deg forvirre av
notasjonen brukt ovenfor: Jeg brukte $v(q)$ for {\aa} angi potensialforskjellen mellom de to
kondensatorplatene med ladning $q$ og $-q$, dvs p{\aa} et vilk{\aa}rlig tidspunkt underveis i
oppladingen. Grunnen var at jeg {\o}nsket {\aa} reservere $V$ for potensialforskjellen mellom 
platene n{\aa}r de var ferdig oppladet, dvs med ladning $Q$ og $-Q$. Jeg fors{\o}ker {\aa} minimere
"sammenblanding" av symboler, men $V$ bruker jeg alts{\aa} for potensial {\em og} volum.)

\vspace{1.0cm}
\noindent
Og dermed har vi kommet oss gjennom det som er pensum til midtsemesterpr{\o}ven
fredag 13.\ mars.

\vspace{2.5cm}
\noindent
{\bf Elektrisk str{\o}m.} 

\noindent
[FGT 26.1;  YF 25.1; TM 25.1; AF 24.1, 24.2; LHL 21.1; DJG 5.1.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrisk str{\o}mstyrke = (positiv) ladning som passerer gjennom tverrsnitt
av leder pr tidsenhet.

\noindent
I {\em metall} er {\em elektroner} ladningsb{\ae}rerne, med ladning $-e$.
Da g{\aa}r partikkelstr{\o}mmen og den elektriske str{\o}mmen i
motsatt retning.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med ladning $\Delta Q$ som passerer tverrsnitt $A$ p{\aa} tiden $\Delta t$:
$$I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} \stackrel{\Delta t \rightarrow 0}{\rightarrow}
\frac{dQ}{dt}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Enhet for str{\o}mstyrke: $[I] = [Q/t] =$ C/s = A (ampere)

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{uke42_fig1.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
Med $n=\Delta N/\Delta V$ ladningsb{\ae}rere pr volumenhet, med midlere
{\em driftshastighet} $\bold{v}$ og ladning $q$:
$$\Delta Q = q\Delta N = nq\Delta V = nq \Delta x A$$
$$\Rightarrow I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = nqA \frac{\Delta x}{\Delta t} = nqAv$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Str{\o}mtetthet = str{\o}m pr flateenhet:
$$j = \frac{I}{A}$$
Dermed:
$$j = nqv$$
B{\aa}de str{\o}mtetthet $j$ og driftshastighet $v$ er vektorer:
$$\bold{j} = nq\bold{v}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Dersom vi ogs{\aa} betrakter tverrsnittet $A$ som en vektor, blir $I$ en {\em skalar}
st{\o}rrelse:
$$I = \bold{j} \cdot \bold{A}$$
Str{\o}mmen $I$ har da kun retning i forhold til lederen (positiv eller negativ).

\vspace{0.5cm}
\noindent
Generalisering, dersom $\bold{j}$ ikke er konstant over lederens tverrsnitt:
$$I = \int_S \bold{j} \cdot d\bold{A}$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke42_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\end{document}
