\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 13
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Fredag 11. og mandag 14. april

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 18. april


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vis, ved hjelp av Amperes lov, at
magnetfeltet $\bold{B}$ fra en uniform "overflatestr{\o}m"
$\bold{i} = i\;\hat{y}$ som "flyter"
i (hele) $xy$-planet i positiv $y$-retning er
$$\bold{B} = \left\{
\begin{array}{ll}
-(\mu_0 i/2) \; \hat{x} & {\rm for} \; z<0 \\
+(\mu_0 i/2) \; \hat{x} & {\rm for} \; z>0
\end{array} \right. $$
(Alts{\aa} uavhengig av avstanden til $xy$-planet, jfr elektrisk felt fra
uendelig stort uniformt ladet plan.)
Her er $i$ str{\o}mmen {\em pr lengdeenhet} av $x$-retningen. Med andre ord,
p{\aa} en "stripe" med bredde $\Delta x$ g{\aa}r det en str{\o}m
$\Delta I = i \cdot \Delta x$.


%%FIGURE
\vspace{0.8cm}
\centerline{\epsfxsize=4.2in \epsfbox{ov13_fig2.eps}}
\vspace{0.8cm}
%%END FIGURE

\noindent
Tips:
\begin{itemize}
\item Det er alts{\aa} oppgitt at b{\aa}de $y$- og $z$-komponenten av $\bold{B}$
er lik null. Bruk gjerne likevel litt tid p{\aa} {\aa} overbevise deg om at
s{\aa}nn {\em m{\aa}} det v{\ae}re. En slik "kartlegging" av symmetrien i problemet er helt
{\em essensiell} for {\aa} kunne dra nytte av Amperes lov. Som regel m{\aa} en
da et lite {\o}yeblikk tilbake til Biot-Savarts lov og vurdere konsekvensene
av at "str{\o}melementer" $I\;d\bold{l}$ gir bidrag $d\bold{B} \sim I\;d\bold{l}\times\hat{r}$
til det totale magnetfeltet.
\item Hvis du etterhvert greier {\aa} overbevise deg om at en rektangul{\ae}r
Amperekurve med flatenormal i str{\o}mmens retning er et fornuftig valg, ja da
er du antagelig p{\aa} rett spor!
\end{itemize}


%\vspace{1.0cm}
\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I denne oppgaven skal vi, med utgangspunkt i en klassisk atommodell, se n{\ae}rmere p{\aa}
hvordan et ytre magnetfelt $\bold{B}$ vil p{\aa}virke elektronets banebevegelse rundt
atomkjernen. En slik {\em diamagnetisk respons} f{\aa}r vi i alle atomer. (Mer om
ulike typer magnetisme i forelesningene etterhvert!) Her kan vi for
enkelhets skyld ha et hydrogenatom i tankene, med ett elektron med ladning $-e$ 
i sirkul{\ae}r bane (i $xy$-planet) med radius $R$ rundt en kjerne med ladning $+e$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{ov14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Uten et ytre magnetfelt tilstede er elektronets hastighet $v_0$. Vis at uniform
sirkelbevegelse i Coulombfeltet fra atomkjernen da resulterer i en baneradius
$$R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}$$
Hva blir elektronets banedreieimpuls $\bold{L}_0$ og magnetiske dipolmoment $\bold{m}_0$?
(Vi ser her bort fra elektronets indre dreieimpuls, dets {\em spinn}.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Vi skrur n{\aa} p{\aa} et magnetfelt $\bold{B}$, for enkelhets skyld rettet normalt
p{\aa} elektronets sirkul{\ae}re bane. 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{ov14_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Elektronet p{\aa}virkes da, i tillegg til Coulombkraften fra kjernen, av en magnetisk
kraft $\bold{F}_m = -e \bold{v} \times \bold{B}$ slik at bevegelsesligningen endres. Resultatet blir
en endret sammenheng mellom elektronets hastighet $v$ og banens radius $R$. 
Anta at magnetfeltet kun endrer hastigheten, og ikke banens radius $R$, 
og bestem hastigheten $v$.
Bestem ogs{\aa} det magnetiske dipolmomentet $\bold{m}$ og vis at {\em endringen}
$$\Delta \bold{m} = \bold{m} - \bold{m}_0$$
alltid vil v{\ae}re {\em motsatt rettet} $\bold{B}$, uansett om $\bold{B}$ peker ``opp'' eller
``ned'' i forhold til retningen p{\aa} elektronets opprinnelige magnetiske dipolmoment
$\bold{m}_0$.

%\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
Kommentarer:
\begin{itemize}
\item
Vi har tidligere konkludert med at et statisk magnetfelt aldri utf{\o}rer noe arbeid p{\aa}
en ladning i bevegelse ettersom $\bold{F}_m \perp \bold{v}$. Et statisk magnetfelt kan alts{\aa}
ikke endre ladningens hastighet (i absoluttverdi), tilsynelatende i konflikt med det vi har funnet
ovenfor. Poenget er imidlertid at vi starter med $B=0$ og {\em skrur p{\aa}} et magnetfelt. Dermed
har vi ikke hele tiden et statisk magnetfelt, men et felt som i l{\o}pet av en viss tid m{\aa}
endre seg fra null til sin endelige verdi. Som vi skal se i forelesningene, vil et
tidsavhengig magnetfelt skape ("indusere") et elektrisk felt (Faradays induksjonslov), 
og et elektrisk felt kan som kjent endre hastigheten til et elektron.
\item
Fortegnet p{\aa} den diamagnetiske responsen er et uttrykk for {\em Lenz' lov},
som kanskje noen har h{\o}rt om tidligere, og som vi skal komme tilbake til
i forelesningene:
Systemets "respons" er slik at den p{\aa}trykte endringen {\em motvirkes}. 
\item
Strengt tatt er det n{\o}dvendig med en {\em kvantemekanisk} beskrivelse for {\aa} forklare
diamagnetisme ''skikkelig''. Faktisk er det et {\em teorem} i statistisk fysikk som sier at
for et system av klassiske ladete partikler i termisk likevekt i et ytre magnetfelt er det induserte
magnetiske dipolmomentet {\em eksakt lik null} (Bohr - van Leeuwens teorem). Med andre ord:
Diamagnetisme er en ren kvantemekanisk effekt! Likevel gir den enkle klassiske modellen med ett
atom et brukbart kvalitativt bilde av effekten.
\end{itemize}

\vspace{3cm}
\noindent
P{\aa} neste side finner du et par ekstraoppgaver. Disse trenger du ikke {\aa} gj{\o}re n{\aa}, for
{\aa} f{\aa} {\o}vingen godkjent. Kos deg med dem n{\aa}r du har god tid.

\newpage
%\vspace{0.6cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.4cm}
\noindent
Bruk Amperes lov til {\aa} bestemme magnetfeltet inni og utenfor
en tettviklet smultringformet spole med $N$ viklinger og str{\o}m $I$ i
spoletr{\aa}den. Det oppgis at magnetfeltet overalt er rettet tangentielt til
en sirkel som er ko-planar med spolen, og som har sentrum p{\aa} spolens akse.
(Kanskje du greier {\aa} vise dette selv?) La $s$ angi avstanden fra spolens akse.

\vspace{0.4cm}
\noindent
Svar: $B=\mu_0 N I / 2 \pi s$ inni spolen, $B=0$ utenfor spolen.


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.4cm}
\noindent
En (tynn) kvadratisk leder har sidekanter $2L$, f{\o}rer en str{\o}m $I$ og
ligger i $xy$-planet med sentrum i origo. Bestem magnetfeltet $\bold{B}$ i
et punkt p{\aa} $x$-aksen og i et punkt p{\aa} $z$-aksen. Kontroller at svarene
dine, for hhv store $x$ og store $z$, er konsistente med uttrykket for magnetfeltet
fra en ideell magnetisk dipol $\bold{B}_{\rm dipol}(\bold{r})$, gitt nedenfor.

\vspace{0.4cm}
\noindent
En {\em ideell magnetisk dipol} tilsvarer (formelt) at vi lar omsluttet areal $A$
g{\aa} mot null, uten at dipolmomentet $m = IA$ forsvinner. Det inneb{\ae}rer at vi
m{\aa} la $I \rightarrow \infty$ og $A \rightarrow 0$ samtidig, og p{\aa} en slik
m{\aa}te at produktet $m = IA$ blir endelig (dvs verken null eller uendelig).
I {\em praksis} tilsvarer dette at vi befinner oss i stor avstand $r$ fra dipolen.

\noindent
Magnetfeltet fra en slik ideell magnetisk dipol kan skrives p{\aa} s{\aa}kalt {\em koordinatfri form}:
$$\bold{B}_{\rm dipol}(\bold{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi r^3} \left[ 3 \left(\bold{m} \cdot \hat{r} \right) \hat{r}
- \bold{m} \right]$$
(Sammenlign med det tilsvarende uttrykket for elektrisk felt fra en ideell elektrisk dipol, {\o}ving 4.) 

\end{document}
