\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2006

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 1
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning 12. januar

\vspace{0.5cm}
\noindent
Aller f{\o}rst et par kommentarer ang{\aa}ende notasjon: Mens vektorer p{\aa} tavla blir
angitt med en pil over symbolet, brukes typisk {\bf fete} symboler i trykte
notater, som her. Det betyr at \bold{F} angir vektoren (f.eks. en kraft), og da b{\aa}de dens
st{\o}rrelse $F$ og retning. Enhetsvektorer, dvs (dimensjonsl{\o}se) vektorer med lengde 1, angis
med en $\; \hat{ } \;$ over symbolet. Da har vi f.eks. sammenhengene $\bold{F} = |\bold{F}|\hat{F}=
F\hat{F}$. Videre vil vi skrive de ulike {\em komponentene} av en vektor med
en senket indeks, f.eks. $F_x$ for $x$-komponenten av \bold{F}. Vi skal alts{\aa} ikke
bruke notasjonen $F_x = dF/dx$, slik dere muligens kommer til {\aa} gj{\o}re i 
noen av matematikkfagene.

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Riktig svar er B:
$$A = |\bold{A}| = \sqrt{A_x^2+A_y^2} = \sqrt{7.1^2+1.3^2} = 7.2$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Riktig svar er C:

\noindent
Vektoren $\bold{A}$ har negativ $x$-komponent og negativ $y$-komponent, hvilket
betyr at den ligger i 3. kvadrant. La oss f{\o}rst bestemme vinkelen $\theta$
mellom negativ $x$-akse og $\bold{A}$. Vi har da
$$\tan\theta = \frac{|A_y|}{|A_x|} = \frac{2.3}{3.7}$$
som gir $\theta = 32$ grader. Den s{\o}kte vinkelen, n{\aa}r vi g{\aa}r mot
urviseren fra positiv $x$-akse til $\bold{A}$, m{\aa} da bli lik 180 + $\theta$ = 212 grader.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Riktig svar er A:

\noindent
La oss sette $\bold{C} = \bold{B} - \bold{A}$. Da er
$$C_x = B_x - A_x = -10.7$$
$$C_y = B_y - A_y = 3.9$$
slik at absoluttverdien til $\bold{C}$ blir
$$C = |\bold{C}| = \sqrt{C_x^2+C_y^2} = \sqrt{10.7^2+3.9^2} = 11.4$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Riktig svar er D:

$$\bold{A}\cdot\bold{B} = A_x B_x + A_y B_y = 6.1 \cdot (-9.8) + (-5.8) \cdot 4.6 = -86.5$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$e)$ Riktig svar er D:

$$\int_0^1 \left(x-x^2\right)\,dx = |_0^1 \left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right) =
\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$f)$ Riktig svar er C:

$$\frac{dr}{dx} = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{r}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$g)$ Riktig svar er B:

$$\bold{A} \times \bold{B} = \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z} = (0,0,1)$$


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Med 0.20 g pr cm og lengde 100 cm blir tr{\aa}dens masse
$$m = \mu \cdot L = 0.20 \frac{\rm g}{\rm cm} \cdot 100 \;{\rm cm} = 20 \;{\rm g}$$
Tr{\aa}dens volum er
$$V = \frac{m}{\rho} = \frac{20 \,{\rm g}}{8.92 \,{\rm g/cm}^3} = 2.24 \,{\rm cm}^3$$
slik at {\em tverrsnittet} er
$$t = \frac{V}{L} = \frac{2.24 \,{\rm cm}^3}{100 \,{\rm cm}} \simeq 0.022 \,{\rm cm}^2$$
evt. 2.2 mm$^2$.

\noindent
Jeg innr{\o}mmer uten forbehold at begrepet {\em tykkelse} ikke passet s{\aa} godt her,
i og med at det er en {\em endimensjonal} st{\o}rrelse. En alternativ l{\o}sning p{\aa}
dette punktet vil derfor v{\ae}re {\aa} anta sirkul{\ae}rt tverrsnitt og regne ut
tr{\aa}dens diameter:
$$d = \sqrt{\frac{4t}{\pi}} \simeq 0.17 \,{\rm cm} = 1.7 \,{\rm mm}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Med variabelt tverrsnitt $t(x)$ m{\aa} vi summere opp sm{\aa} massebiter
$dm = \rho \cdot t(x) \cdot dx$, dvs vi m{\aa} {\em integrere}:
$$m = \int dm = \int \rho \cdot t(x) \cdot dx$$
Her har jeg forel{\o}pig ikke spesifisert noen integrasjonsgrenser, men det er klart at jeg
skal integrere "over hele tr{\aa}dens utstrekning". Det siste integralet i ligningen over
skal gj{\o}res med hensyn p{\aa} posisjonen $x$, og dermed gir grensene seg selv, nemlig
$x=0$ som nedre grense og $x=L$ som {\o}vre grense:
\begin{eqnarray}
m &=& \int_0^L \rho \cdot t_0 \left( 1 - \left( \frac{x - L/2}{L}\right)^2 \right) \cdot dx \nonumber \\
&=& \rho t_0 |_0^L \left(x - \frac{1}{3L^2} \left(x-L/2\right)^3 \right) \nonumber \\
&=& \rho t_0 \left(L-\frac{1}{3L^2}\left(L^3/8+L^3/8\right)\right) \nonumber \\
&=& \frac{11}{12} \rho t_0 L \nonumber
\end{eqnarray}
Med tallverdier:
$$m=\frac{11}{12} \cdot 8.92 \cdot 0.03 \cdot 100 \simeq 24.5$$
som blir i enheten gram, ettersom vi har bare har brukt enhetene g og cm underveis.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Midlere (dvs gjennomsnittlige) masse pr kobberatom blir
$$\langle m \rangle = \frac{63\cdot69.17+65\cdot30.83}{100}\cdot1.67\cdot10^{-27} \,{\rm kg}
= 1.06 \cdot 10^{-25} \,{\rm kg}$$
De 29 elektronene i hvert kobberatom har tilsammen masse
$$29 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \,{\rm kg} = 2.6 \cdot 10^{-29} \,{\rm kg}$$
s{\aa} disse kan trygt neglisjeres.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Antall kobberatomer i tr{\aa}den blir
$$N = \frac{0.020}{1.06 \cdot 10^{-25}} \simeq 1.89 \cdot 10^{23}$$
Dette tilsvarer
$$\frac{1.89 \cdot 10^{23}}{6.02 \cdot 10^{23}} \,{\rm mol} \simeq 0.31 \,{\rm mol}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$e)$ Protonene i tr{\aa}den har tilsammen ladning
$$Q_p = N \cdot 29 \cdot 1.6\cdot10^{-19} \,{\rm C} \simeq 877 \,{\rm kC}$$
Elektronene i tr{\aa}den har like stor ladning, men med motsatt fortegn,
$$Q_e = -Q_p$$
Tr{\aa}dens totale ladning er null.

\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Uniform ladning $\sigma_0$ pr flateenhet og areal $\pi R^2$ gir total ladning
$$Q = \sigma_0 \pi R^2$$
Her kunne en kanskje tenke seg at ei slik skive vil ha to sider, og dermed en overflate
med totalt areal $2 \pi R^2$. Men is{\aa}fall ville det ha v{\ae}rt opplyst om at
skiva hadde en viss tykkelse, og at ladningen befant seg p{\aa} overflaten av skiva.
Men for all del: {\em Sp{\o}r} hvis du er i tvil om hvordan oppgaven skal tolkes!

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Med ladningstetthet som avtar line{\ae}rt med avstanden $r$ fra skivas sentrum:
\begin{eqnarray}
Q &=& \int dq = \int_0^R \sigma_0 \left( 1 - r/R \right) \cdot 2\pi r \cdot dr \nonumber \\
&=& 2 \pi \sigma_0 |_0^R \left( r^2/2 - r^3/3R \right) \nonumber \\
&=& 2 \pi \sigma_0 \left( R^2/2 - R^2/3 \right) \nonumber \\
&=& \frac{1}{3} \pi \sigma_0 R^2 \nonumber
\end{eqnarray}


\end{document}
