\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 4
\end{large}
\end{center}


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.7cm}
\noindent
$a)$ Vi skriver f{\o}rst $V_a$ om til en funksjon av $x$ og $z$:
$$V_a = \frac{qa\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} =
        \frac{qa \, z/r}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = 
        \frac{qaz}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{3/2}}$$
N{\aa}r vi deretter skal skrive et octave-program som plotter $V_e$ og $V_a$,
foretrekker jeg {\aa} innf{\o}re dimensjonsl{\o}se st{\o}rrelser, slik at vi ender opp
med {\aa} plotte {\em essensen} i de aktuelle funksjonene. I dette problemet inneholder
uttrykkene v{\aa}re ladningen $q$ og lengdeskalaen $a$, s{\aa} det er naturlig {\aa}
innf{\o}re det konstante potensialet
$$V_0 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}$$
og deretter dimensjonsl{\o}se st{\o}rrelser $\xi = x/a$, $\eta = z/a$,
$v_e = V_e/V_0$ og $v_a = V_a/V_0$. Da har vi
\begin{eqnarray}
v_e(\xi,\eta) &=& \frac{1}{\sqrt{\xi^2 + \left(\eta-1/2\right)^2}} - 
                   \frac{1}{\sqrt{\xi^2 + \left(\eta+1/2\right)^2}} \nonumber \\
v_a(\xi,\eta) &=& \frac{\eta}{(\xi^2 + \eta^2)^{3/2}} \nonumber
\end{eqnarray}
I det nye dimensjonsl{\o}se $(\xi,\eta)$-planet ligger alts{\aa} dipolen p{\aa}
$\eta$-aksen, i $\pm 1/2$. Et fornuftig omr{\aa}de for plotting av funksjonene $v_e$ og $v_a$
kan dermed v{\ae}re for eksempel $-2 < \xi < 2$ og $-2 < \eta < 2$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
P{\aa} neste side har vi en octave-kode som plotter $v_e$, $v_a$ og det prosentvise avviket
$$\Delta = \left| \frac{v_e-v_a}{v_e} \right| \cdot 100$$
i tre separate figurer:

\newpage
\begin{verbatim}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                Losningsforslag til oppgave 1a i oving 4                    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Velg omraadet -2 < x < 2 og -2 < z < 2 for plotting, med skrittlengde
% 2/50 langs baade x og z, dvs ca 100 x 100 punkter i alt
[x,z] = meshgrid(-2:2/50:2,-2:2/50:2);
% Ve er det eksakte potensialet fra dipolen
Ve = (1./(sqrt(x.^2+(z-1/2).^2))-1./(sqrt(x.^2+(z+1/2).^2)));
% Va er dipolpotensialet til ledende orden i a/r naar r >> a
Va = z.*(x.^2.+z.^2).^(-3/2);
% Relavvik er relativ differanse mellom Ve og Va i prosent
Relavvik = 100*abs((Ve-Va)./(Ve));
% Kommandoen figure ber om en ny figur
figure;
% Kommandoen mesh(x,y,z) tegner opp et 3D-plott av z som funksjon
% av x og y
mesh(x,z,Ve);
% Kommandoen axis([a b c d e f]) setter aksene for 3D-plot slik:
% a < x < b, c < y < d, e < z < f
axis([-2 2 -2 2 -10 10]);
% Kommandoen caxis([zmin zmax]) setter fargeskalaen slik at blaatt
% tilsvarer zmin og rodt tilsvarer zmax
caxis([-10 10]);
% Tekst paa aksene
xlabel('x/a');
ylabel('z/a');
zlabel('Ve');
% Ny figur for Va
figure;
mesh(x,z,Va);
axis([-2 2 -2 2 -10 10]);
caxis([-10 10]);
xlabel('x/a');
ylabel('z/a');
zlabel('Va');
figure;
% Ny figur for relativdifferansen
mesh(x,z,Relavvik);
% Kun positive verdier for Relavvik
axis([-2 2 -2 2 0 100]);
% Fargeskala settes for Relavvik mellom 0 og 100
caxis([0 100]);
xlabel('x/a');
ylabel('z/a');
zlabel('|(Ve - Va)/Ve|*100%');
\end{verbatim}

\newpage
\noindent
N{\aa}r dette programmet kj{\o}res i octave, resulterer det i disse figurene:

%%FIGURE
\vspace{2.0cm}
\centerline{\epsfxsize=6.6in \epsfbox{octave_3dplott.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{1.5cm}
\noindent
P{\aa} neste side er et alternativt l{\o}sningsforslag, der vi benytter 
kommandoen linspace, samt s{\aa}kalte 
''function handles'' n{\aa}r vi definerer funksjonene som skal plottes:

\newpage
\noindent

\begin{verbatim}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%        Alternativt losningsforslag til oppgave 1a i oving 4                %
%        (uten veldig mange kommentarer)                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=linspace(-2,2,101);      % Lager en vektor med 101 elementer. 
[X, Z] = meshgrid(x);     % Lager x og z koordinater for plot med x-vektoren som basis
%
% Erklaerer funksjonene
% Ve = eksakt potensial
Ve=@(x,z) (1./(sqrt(x.^2+(z-1/2).^2))-1./(sqrt(x.^2+(z+1/2).^2)));
% Va = potensial til ledende orden i a/r
Va=@(x,z) z.*(x.^2.+z.^2).^(-3./2);
% Relavvik = relativ differanse i prosent
Relavvik=@(x,z) abs((Ve(x,z)-Va(x,z))./Ve(x,z))*100;
%
% Plotter funksjonene
%
figure;
mesh(x,x,Ve(X,Z));
axis([-2 2 -2 2 -10 10]);
caxis([-10 10]);
xlabel('x/a');
ylabel('z/a');
zlabel('eksakt V');
figure;
mesh(x,x,Va(X,Z));
axis([-2 2 -2 2 -10 10]);
caxis([-10 10]);
xlabel('x/a');
ylabel('z/a');
zlabel('approx V');
figure;
mesh(x,x,Relavvik(X,Z));
axis([-2 2 -2 2 0 100]);
caxis([0 100]);
xlabel('x/a');
ylabel('z/a');
zlabel('Rel diff i prosent');
\end{verbatim}


\newpage
\vspace{1.0cm}
\noindent
$b)$ Her har vi oppgitt $V_a(r,\theta)$ og gradientoperatoren i kulekoordinater,
s{\aa} det er bare {\aa} regne i vei (ingenting avhenger her av vinkelen $\phi$,
s{\aa} leddet som inneholder $\partial/\partial\phi$ trenger vi ikke {\aa} bry oss med):
\begin{eqnarray}
\bold{E}(r,\theta) &=& -\nabla V_a(r,\theta) \nonumber \\
&=& -\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \right)
\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \nonumber \\
&=& \hat{r} \frac{p\cos\theta}{2\pi\varepsilon_0 r^3} + \hat{\theta} \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}
\nonumber
\end{eqnarray}
Vi merker oss at feltet fra en elektrisk dipol i stor avstand $r$ fra dipolen faller av som $1/r^3$, alts{\aa}
raskere enn feltet fra en elektrisk "monopol", dvs en punktladning, som faller av som $1/r^2$.
Feltbidragene fra de to ladningene med motsatt fortegn kansellerer hverandre delvis, men ikke fullstendig,
ettersom retningen p{\aa} de to bidragene til $\bold{E}$ alltid vil v{\ae}re litt forskjellig.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Hvis $\theta = 0$, f{\aa}r vi
$$E_r = \frac{p}{2\pi\varepsilon_0 r^3}$$
og
$$E_\theta = 0$$
Dette virker rimelig: Vi er n{\aa} i et punkt langt ute p{\aa} $z$-aksen, slik at
radiell retning blir nettopp langs $z$-aksen, mens $\theta$-retningen blir langs
$x$-aksen. Og p{\aa} $z$-aksen m{\aa} vel det elektriske feltet {\aa}penbart ha
retning langs $z$-aksen.

\noindent
Hvis $\theta = \pi/2$, f{\aa}r vi
$$E_r = 0$$
og
$$E_\theta = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$
Dette virker ogs{\aa} rimelig: Vi er n{\aa} i et punkt langt ute p{\aa} $x$-aksen, slik at
radiell retning blir nettopp langs $x$-aksen, mens $\theta$-retningen blir langs negativ
$z$-akse. Og p{\aa} $x$-aksen m{\aa} vel det elektriske feltet {\aa}penbart ha
retning langs negativ $z$-akse.

\noindent
Setter vi inn $r=0$ i uttrykkene for $E_r$ og $E_\theta$, ser vi at begge to g{\aa}r
mot uendelig. Det er imidlertid ikke et reelt problem fordi vi n{\aa} fors{\o}ker {\aa}
bruke uttrykket for $E$ utenfor gyldighetsomr{\aa}det $r \gg a$. Feltet i origo er
langt fra uendelig, og heller ikke vanskelig {\aa} regne ut. Det klarer du helt
sikkert selv!
                                                                                                                     
\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Av figuren nedenfor skulle det g{\aa} relativt klart fram hvordan den elektriske
feltvektoren $\bold{E}$ enten kan dekomponeres i $E_r$ og $E_\theta$ eller i
$E_x$ og $E_z$.
                                                                                                                     
%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{los4_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE
                                                                                                                     
\noindent
B{\aa}de $E_r$ og $E_\theta$ har komponenter i $x$-retning, og den totale $x$-komponenten av feltet
m{\aa} bli summen av disse to. Figurbetraktning gir:
\begin{eqnarray}
E_x &=& E_r \sin\theta + E_\theta \cos\theta \nonumber \\
&=& \frac{p\cos\theta}{2\pi\varepsilon_0 r^3}\cdot\sin\theta +
    \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\cdot\cos\theta \nonumber \\
&=& \frac{3p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\sin\theta\cos\theta \nonumber \\
&=& \frac{3pxz}{4\pi\varepsilon_0 r^5} \nonumber \\
&=& \frac{3pxz}{4\pi\varepsilon_0 \left(x^2+z^2\right)^{5/2}} \nonumber
\end{eqnarray}
Her har vi brukt $\sin\theta = x/r$, $\cos\theta = z/r$ og $r = (x^2+z^2)^{1/2}$.
                                                                                                                     
\noindent
Helt tilsvarende finner vi $z$-komponenten:
\begin{eqnarray}
E_z &=& E_r \cos\theta - E_\theta \sin\theta \nonumber \\
&=& \frac{p\cos\theta}{2\pi\varepsilon_0 r^3}\cdot\cos\theta -
    \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\cdot\sin\theta \nonumber \\
&=& \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left(2\cos^2\theta-\sin^2\theta\right) \nonumber \\
&=& \frac{\left(2z^2-x^2\right)p}{4\pi\varepsilon_0 \left(x^2+z^2\right)^{5/2}} \nonumber
\end{eqnarray}
                                                                                                                     
\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ La oss starte med en figur som viser sammenhengen mellom de ulike vektorkomponentene:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{vector_components.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE
                                                                                                                     
\noindent
Da har vi:
\begin{eqnarray}
\bold{p} &=& p_x \, \hat{x} + p_z \, \hat{z} \nonumber \\
p_x &=& 0 \nonumber \\
p_z &=& p \nonumber \\
\bold{p} &=& p_r \, \hat{r} + p_\theta \, \hat{\theta} \nonumber \\
\bold{p} \cdot \hat{r} &=& p_r = p \cos\theta \nonumber \\
\bold{p} \cdot \hat{\theta} &=& p_\theta = -p \sin\theta \nonumber \\
\hat{r} &=& \hat{r}_x \, \hat{x} + \hat{r}_z \, \hat{z} \nonumber \\
\hat{r}_x &=& \sin\theta = x/r = x/\sqrt{x^2+z^2} \nonumber \\
\hat{r}_z &=& \cos\theta = z/r = z/\sqrt{x^2+z^2} \nonumber
\end{eqnarray}
Vi har n{\aa} det vi trenger for {\aa} skrive ned $E_r$ osv, fra det gitte uttrykket p{\aa}
koordinatfri form:
\begin{eqnarray}
E_r &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3\bold{p}\cdot\hat{r} - p_r\right] \nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3p_r - p_r\right] \nonumber \\
&=& \frac{p\cos\theta}{2\pi\varepsilon_0 r^3} \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
E_\theta &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[0-p_\theta\right] \nonumber \\
&=& \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
E_x &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3(p\hat{z}\cdot\hat{r})\hat{r}_x - p_x\right] \nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3p(z/r)(x/r) - 0\right] \nonumber \\
&=& \frac{3pxz}{4\pi\varepsilon_0 r^5} \nonumber \\
&=& \frac{3pxz}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}} \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
E_z &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3(p\hat{z}\cdot\hat{r})\hat{r}_z - p_z\right] \nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3p(z/r)(z/r) - p\right] \nonumber \\
&=& \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3z^2/r^2 - 1\right] \nonumber \\
&=& \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3z^2/(x^2+z^2) - (x^2+z^2)/(x^2+z^2)\right] \nonumber \\
&=& \frac{(2z^2-z^2)p}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}} \nonumber
\end{eqnarray}
Alle fire i samsvar med det vi fant i $b)$ og $c)$.


\vspace{1.8cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}


\vspace{1.1cm}
\noindent
$a)$ {\bf D}

\noindent
Total potensiell energi for et system med punktladninger er
$$U = \sum_{i<j} \frac{q_i q_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}$$
der summen g{\aa}r over alle par av ladninger $q_i$ og $q_j$
i innbyrdes avstand $r_{ij}$. Her er alle ladninger like store
i absoluttverdi. Vi har 4 par med motsatt fortegn i innbyrdes
avstand 5 cm og 2 par (diagonalt) med likt fortegn i innbyrdes
avstand $\sqrt{50}$ cm. Dermed f{\aa}r vi:
$$U = 9\cdot10^9\cdot(9\cdot10^{-6})^2 \cdot \left[-\frac{4}{0.05}
+ \frac{2}{\sqrt{50}\cdot10^{-2}} \right] \simeq -38 \;{\rm J}$$


\vspace{1.1cm}
\noindent
$b)$ {\bf D}

\noindent
Punktladningene $Q_1$ og $Q_2$ flyttes ikke, s{\aa} innbyrdes
potensiell energi for dette paret trenger vi ikke {\aa} bry oss om
fordi den endres ikke n{\aa}r den tredje ladningen (elektronet) flyttes.
Vi m{\aa} regne ut potensiell energi som skyldes vekselvirkningen mellom
elektronet og de to fastliggende ladningene, henholdsvis f{\o}r og etter
forflytningen. Alternativt kan vi regne ut potensialet fra ladningene
$Q_1$ og $Q_2$ i punktene A og B, hhv $V_A$ og $V_B$, og deretter endringen
i potensiell energi, $\Delta U = U_B - U_A = -e V_B - (-e)V_A = -e (V_B-V_A)$.
Potensialet i avstand $r$ fra en punktladning $q$ er
$$V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$
dvs Coulombpotensialet. De aktuelle avstandene her er 0.6 m (fra $Q_1$ til A
og fra $Q_2$ til B) og $\sqrt{0.6^2+0.8^2} = 1.0$ m (fra $Q_1$ til B og fra
$Q_2$ til A). Dermed:
$$V_A = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 0.6} +
\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 1.0}$$
og
$$V_B = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 1.0} +
\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 0.6}$$
som gir
$$\Delta V = V_B-V_A = -\frac{2(Q_1-Q_2)}{3\cdot4\pi\varepsilon_0}
= -\frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot (69+98)\cdot 10^{-9} = -1002\;{\rm V}$$
og endelig
$$\Delta U = -e \cdot \Delta V \simeq + 1 \;{\rm keV}$$



\vspace{0.4cm}
\noindent
$c)$ {\bf B}. Potensialet fra en punktladning er $V(r) = q/4\pi\varepsilon_0 r$ n{\aa}r
$V(r\rightarrow\infty)$ er satt til null. Med $V=50$ V finner vi
$$r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 V} = 9\cdot10^9\cdot\frac{10^{-8}}{50} = 1.8 \; {\rm m}$$
Med SI-enheter for alle st{\o}rrelser som inng{\aa}r er vi garantert at svaret
ogs{\aa} kommer ut i SI-enhet, dvs m.
                                                                                                                     
\vspace{0.4cm}
\noindent
$d)$ {\bf D}
$$\bold{E} = -\nabla V = -\frac{dV}{dr}\hat{r} \;\; \Rightarrow \;\; {\rm graf} \; 5$$
                                                                                                                     
\vspace{0.4cm}
\noindent
$e)$ {\bf A}
$$E_x = -\frac{dV}{dx} = - 2 \frac{{\rm V}}{{\rm m}}$$
                                                                                                                     
\end{document}
