\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008, uke 7

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 12.02.08
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf Elektrisk polarisering. Dielektrika.}

\noindent
[FGT 25.5, 25.6; YF 24.4, 24.5; TM 24.5, 24.6; AF 25.6, 25.7; LHL 20.5; DJG 4.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Isolator: Ingen mobile (frie) ladninger (men {\em bundne} ladninger)

\noindent
Dielektrikum bruker vi simpelthen som en alternativ betegnelse for en isolator.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Plasseres et dielektrikum i et ytre elektrisk felt $\bold{E}_0$, f{\aa}r vi
innretting av (molekyl{\ae}re) elektriske dipoler langs $\bold{E}_0$, jfr {\o}ving 5,
oppgave 4. (Eventuelt: Polarisering internt i atomer og upolare molekyler som i utgangspunktet har null
elektrisk dipolmoment.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Netto (makroskopisk) effekt av det ytre feltet:

\noindent
Forskyvning av bundne ladninger

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke38_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
$\pm Q_i =$ indusert nettoladning p{\aa} isolatorens overflater


\vspace{0.3cm}
\noindent
Polarisering = dipolmoment pr volumenhet:
$$\bold{P} = \frac{\bold{p}}{V}$$
Elektrisk dipolmoment (for punktladninger $\pm q$ i innbyrdes avstand $\bold{a}$, repetisjon!):
$$\bold{p} = q\bold{a}$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{uke38_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Kommentar}: I noen materialer vil det v{\ae}re
energetisk gunstig at de atom{\ae}re (evt molekyl{\ae}re) elektriske dipolene peker i samme
retning, selv {\em uten} p{\aa}virkning fra et ytre felt. Slike {\em ferroelektriske} krystaller
vil typisk ha en {\em ordnet fase} med $P \ne 0$ s{\aa} lenge temperaturen $T$ ikke overstiger
en s{\aa}kalt {\em kritisk temperatur} $T_c$. 
%%Det forskes aktivt p{\aa} ferroelektriske
%%materialer i flere grupper p{\aa} Gl{\o}shaugen, ved Institutt for fysikk, Institutt for
%%materialteknologi og Institutt for elektronikk og telekommunikasjon.

\newpage
\noindent
Dielektrikum i ytre felt $\bold{E}_0$:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{uke38_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Volum: $V=Ad$

\noindent
Tetthet av indusert overflateladning: $\sigma_i = Q_i/A$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed:

\noindent
Totalt dipolmoment: $p = |\bold{p}| = Q_i d = \sigma_i A d = \sigma_i V$

\noindent
Polarisering: $P = |\bold{P}| = p/V = \sigma_i$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Generelt: $\bold{P}\cdot\hat{n} = P_\perp = \sigma_i$

\noindent
($\hat{n}$ = flatenormal, $P_\perp$ = komponenten av $\bold{P}$ som st{\aa}r normalt
p{\aa} overflaten)


\vspace{2.4cm}
\noindent
{\bf Elektrisk forskyvning.} 

\noindent
[FGT 25.6; YF 24.6; TM 24.6; AF 25.8; LHL 20.5; DJG 4.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bruker idealisert system som vi har sett p{\aa} f{\o}r:

\noindent
Motsatt ladede metallplater (uendelig store), n{\aa} med dielektrikum i mellom:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{uke38_fig6.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\newpage
\noindent
Fri ladning pr flateenhet p{\aa} metallplatene: $\sigma_f$

\noindent
... som genererer elektrisk felt mellom platene: $E_f = \sigma_f/\varepsilon_0$ (null felt utenfor platene)


\noindent
Indusert ladning pr flateenhet p{\aa} overflaten av dielektrikum: $\sigma_i$

\noindent
... som genererer elektrisk felt mellom platene: $E_i = \sigma_i/\varepsilon_0$

\noindent
Totalt felt mellom platene: $\bold{E} = \bold{E}_f + \bold{E}_i \;\; \Rightarrow \;\;
E = |\bold{E}| = E_f - E_i = (\sigma_f - \sigma_i)/\varepsilon_0$

\noindent
Netto ladning p{\aa} overflatene: $\pm \sigma = \pm (\sigma_f - \sigma_i)$

\noindent
... som genererer totalt felt mellom platene: $E = \sigma/\varepsilon_0 = (\sigma_f - \sigma_i)/\varepsilon_0$, OK!


\vspace{0.3cm}
\noindent
Vi har: $\sigma_i = P$ = polariseringen i dielektrikumet ( = dipolmoment pr volumenhet)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed:
$$\sigma_f = \sigma + \sigma_i = \varepsilon_0 E + P$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Vi ser alts{\aa} at tettheten av {\em fri} ladning $\sigma_f$ er knyttet til
kombinasjonen $\varepsilon_0 E + P$. I endel tilfeller, f.eks. i endel
eksperimenter, er det nettopp den frie ladningen vi har kontroll over.
Med dielektrikum til stede er det derfor ofte {\em hensiktsmessig}
{\aa} "referere til" vektorfeltet
$$\bold{D} \equiv \varepsilon_0 \bold{E} + \bold{P}$$
$\bold{D}$ kalles {\em elektrisk forskyvning}.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Her:
$$D = |\bold{D}| = \sigma_f$$
Generelt (som vi ogs{\aa} fant for $\bold{P}$):
$$\sigma_f = \bold{D} \cdot \hat{n} = D_\perp$$
der $D_\perp$ er normalkomponenten av den elektriske forskyvningen.

\vspace{0.4cm}
\noindent
Vi har en Gauss' lov for den elektriske
forskyvningen $\bold{D}$. Denne kan vi benytte oss av i problemer der vi kjenner
den frie ladningen, men ikke den induserte ladningen knyttet til polariseringen
av dielektriske medier som er til stede.


\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov for $\bold{D}$:
$$\oint_S \bold{D} \cdot d\bold{A} = Q_f$$
der $Q_f$ er netto {\em fri} ladning innenfor den lukkede flaten $S$. (Netto total ladning
innenfor $S$ er $Q_{\rm in} = Q_f - Q_i$, med $-Q_i$ = netto {\em bundet} ladning, knyttet til
polariseringen $\bold{P}$, innenfor $S$.)


\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 13.02.08
\end{large}
\end{center}

\vspace{2.1cm}
\noindent
{\bf Elektrisk susceptibilitet og permittivitet; line{\ae}r respons.}

\noindent
[FGT 25.5; YF 24.4; TM 24.5, 24.6; AF 25.9; LHL 20.5; DJG 4.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Line{\ae}r respons: $\bold{P}$ proporsjonal med $\bold{E}$, dvs vi kan skrive
$$\bold{P} = \chi_e \varepsilon_0 \bold{E}$$
der vi har innf{\o}rt $\chi_e$ = elektrisk susceptibilitet.

\noindent
NB: En slik line{\ae}r sammenheng mellom $\bold{P}$ og $\bold{E}$ gjelder {\em ikke alltid},
men i dette kurset skal vi hele tiden anta at det gjelder. Merk ogs{\aa} at $\bold{E}$ er det
{\em totale} elektriske feltet, {\em ikke bare} det ytre feltet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed:
\begin{eqnarray} 
\bold{D} &=& \varepsilon_0 \bold{E} + \bold{P} \nonumber \\
&=& (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \bold{E} \nonumber \\
&=& \varepsilon_r \varepsilon_0 \bold{E} \nonumber \\
&=& \varepsilon \bold{E} \nonumber
\end{eqnarray}
Her har vi innf{\o}rt st{\o}rrelsene

\noindent
$\varepsilon_r = 1 + \chi_e$ = relativ permittivitet (``dielektrisitetskonstanten'')

\noindent
$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$ = mediets permittivitet

\vspace{0.3cm}
\noindent
Enheter:

\noindent
$[\chi_e] = [\varepsilon_r] = 1$ (dimensjonsl{\o}s)

\noindent
$[\varepsilon] = [\varepsilon_0]$ = C$^2$/Nm$^2$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Punktladning $q$ i dielektrikum med permittivitet $\varepsilon$:

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrisk felt: $\bold{E}(r) = (q/4\pi\varepsilon r^2) \hat{r}$

\noindent
Elektrisk potensial: $V(r) = q/4\pi\varepsilon r$

\noindent
Dvs: Som for punktladning i vakuum, men med $\varepsilon_0 \rightarrow \varepsilon >
\varepsilon_0$; mediet polariseres og {\em skjermer} punktladningen slik at $E$ og $V$
reduseres med en faktor $1/\varepsilon_r$.


\newpage
\vspace{1.1cm}
\noindent
{\bf Kondensator og kapasitans.} 

\noindent
[FGT 25.1, 25.5; YF 24.1, 24.4; TM 24.2, 24.5; AF 25.10; LHL 20.1; DJG 2.5.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Kondensator = to adskilte elektriske ledere med ladning $\pm Q$
(Eventuelt: En elektrisk leder med ladning $Q$, den andre tenkt flyttet uendelig langt bort.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Coulombs lov $\Rightarrow$ elektrisk felt i omr{\aa}det omkring lederne er proporsjonalt med $Q$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed f{\o}lger ogs{\aa} at {\em potensialforskjellen} $\Delta V$ mellom de to lederne er proporsjonal med $Q$:
$$C = \frac{Q}{\Delta V}$$
$C$ = kondensatorens {\em kapasitans}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Enhet for kapasitans: $[C] = [Q/\Delta V]$ = C/V $\equiv$ F (farad)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Symbol i elektriske kretser:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{uke39_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE



\end{document}
