\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 13
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Torsdag 14. og fredag 15. april

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 18. april


\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I forelesningene viste vi at atomer kan oppfattes som sm{\aa} str{\o}msl{\o}yfer,
dvs som sm{\aa} magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment $\bold{m} = I \bold{A}$
der str{\o}mmen $I$ g{\aa}r i en bane som omslutter et (plant) areal $A$.
(``Vektorarealet'' er da $\bold{A} = A\;\hat{n}$, der $\hat{n}$ er en enhetsvektor normalt
til den omsluttede flaten, med positiv retning bestemt ved h{\o}yreh{\aa}ndsregelen.)

\noindent
Her skal vi bruke ei {\em kvadratisk} str{\o}msl{\o}yfe som modell for en slik atom{\ae}r
magnetisk dipol og se n{\ae}rmere p{\aa} hvordan den vil oppf{\o}re seg i et
magnetfelt $\bold{B}$. (Vi kunne ogs{\aa} ha brukt ei {\em sirkul{\ae}r} str{\o}msl{\o}yfe,
men den kvadratiske er litt enklere {\aa} regne p{\aa}.)

\noindent
Str{\o}msl{\o}yfa har sidekanter med lengde $a$ og f{\o}rer alts{\aa}
en str{\o}m $I$. Den er plassert i et {\em homogent} magnetfelt
$\bold{B} = B\;\hat{z}$ og kan rotere fritt omkring $y$-aksen, som her g{\aa}r
gjennom  str{\o}msl{\o}yfas sentrum som vist i figuren:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov13_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Orienteringen av str{\o}msl{\o}yfa er definert ved vinkelen $\theta$ mellom
$z$-aksen og flatenormalen $\hat{n}$. (Positiv $\theta$ {\em med} klokka,
som vist i figuren.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hva blir str{\o}msl{\o}yfas magnetiske dipolmoment $\bold{m}$? Hva blir den
totale kraften fra $\bold{B}$ p{\aa} str{\o}msl{\o}yfa?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Beregn dreiemomentet $\bold{\tau}$ p{\aa} sl{\o}yfa omkring $y$-aksen
og vis at det kan uttrykkes p{\aa} formen $\bold{\tau} = \bold{m} \times \bold{B}$.

\noindent
[Tips: Finn kraften p{\aa} hver av de fire rette lederstykkene og bruk at dreiemoment
= ``arm ganger kraft''.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem den potensielle energien $U(\theta)$ til en slik magnetisk dipol i feltet
$\bold{B}$. Skisser $U(\theta)$.
Hva slags orientering av dipolen i forhold til $\bold{B}$ representerer henholdsvis
en stabil og en ustabil likevekt?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ I jern har hvert atom et magnetisk dipolmoment $\bold{m}_{\rm Fe}$ som dannes av to
parallelle elektronspinn, slik at $m_{\rm Fe} = 2 \mu_B$. Her er $\mu_B = e\hbar/2m_e$
det magnetiske dipolmomentet for ett elektronspinn, det s{\aa}kalte Bohr-magnetonet, med
verdi $9.27\cdot10^{-24}$ Am$^2$.

\noindent
Hva blir da den maksimale tettheten av magnetisk dipolmoment (dvs: magnetisk dipolmoment
pr volumenhet) i jern?

\noindent
[Kommentar: Magnetisk dipolmoment pr volumenhet er, pr definisjon, st{\o}rrelsen {\em
magnetisering}. I elektrostatikken innf{\o}rte vi {\em polarisering}, som pr definisjon er
elektrisk dipolmoment pr volumenhet. Mer om magnetisme og magnetisering i forelesningene!]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Oppgitt: Molar masse, jern: 55.9 g/mol. Massetetthet, jern: 7.9 g/cm$^3$. 1 mol = $6.02\cdot10^{23}$.


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vis, ved hjelp av Amperes lov, at
magnetfeltet $\bold{B}$ fra en uniform ``overflatestr{\o}m'' 
$\bold{i} = i\;\hat{y}$ som ``flyter''
i (hele) $xy$-planet i positiv $y$-retning er
$$\bold{B} = \left\{
\begin{array}{ll}
-(\mu_0 i/2) \; \hat{x} & {\rm for} \; z<0 \\
+(\mu_0 i/2) \; \hat{x} & {\rm for} \; z>0
\end{array} \right. $$
(Alts{\aa} uavhengig av avstanden til $xy$-planet, jfr elektrisk felt fra
uendelig stort uniformt ladet plan.)
Her er $i$ str{\o}mmen {\em pr lengdeenhet} av $x$-retningen. Med andre ord,
p{\aa} en ``stripe'' med bredde $\Delta x$ g{\aa}r det en str{\o}m
$\Delta I = i \cdot \Delta x$.


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov13_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Tips:
\begin{itemize}
\item Det er alts{\aa} oppgitt at b{\aa}de $y$- og $z$-komponenten av $\bold{B}$
er lik null. Bruk gjerne likevel litt tid p{\aa} {\aa} overbevise deg om at 
s{\aa}nn {\em m{\aa}} det v{\ae}re. En slik ``kartlegging'' av symmetrien i problemet er helt
{\em essensiell} for {\aa} kunne dra nytte av Amperes lov. Som regel m{\aa} en
da et lite {\o}yeblikk tilbake til Biot-Savarts lov og vurdere konsekvensene
av at ``str{\o}melementer'' $I\;d\bold{l}$ gir bidrag $d\bold{B} \sim I\;d\bold{l}\times\hat{r}$ 
til det totale magnetfeltet.
\item Hvis du etterhvert greier {\aa} overbevise deg om at en rektangul{\ae}r
Amperekurve med flatenormal i str{\o}mmens retning er et fornuftig valg, ja da
er du antagelig p{\aa} rett spor!
\end{itemize}


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I denne oppgaven skal vi med utgangspunkt i en klassisk atommodell se n{\ae}rmere p{\aa}
hvordan et ytre magnetfelt $\bold{B}$ vil p{\aa}virke elektronets banebevegelse rundt
atomkjernen. En slik {\em diamagnetisk respons} f{\aa}r vi i alle atomer. (Mer om
ulike typer magnetisme i forelesningene etterhvert!) Her kan vi for
enkelhets skyld ha et hydrogenatom i tankene, med ett elektron med ladning $-e$ 
i sirkul{\ae}r bane (i $xy$-planet) med radius $R$ rundt en kjerne med ladning $+e$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Uten et ytre magnetfelt tilstede er elektronets hastighet $v_0$. Vis at uniform
sirkelbevegelse i Coulombfeltet fra atomkjernen da resulterer i en baneradius
$$R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}$$
Hva blir elektronets banedreieimpuls $\bold{L}_0$ og magnetiske dipolmoment $\bold{m}_0$?
(Vi ser her bort fra elektronets indre dreieimpuls, dets {\em spinn}.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Vi skrur n{\aa} p{\aa} et magnetfelt $\bold{B}$, for enkelhets skyld rettet normalt
p{\aa} elektronets sirkul{\ae}re bane. 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov14_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Elektronet p{\aa}virkes da, i tillegg til Coulombkraften fra kjernen, av en magnetisk
kraft $\bold{F}_m = -e \bold{v} \times \bold{B}$ slik at bevegelsesligningen endres. Resultatet blir
en endret sammenheng mellom elektronets hastighet $v$ og banens radius $R$. 
Anta at magnetfeltet kun endrer hastigheten, og ikke banens radius $R$, 
og bestem hastigheten $v$.
Bestem ogs{\aa} det magnetiske dipolmomentet $\bold{m}$ og vis at {\em endringen}
$$\Delta \bold{m} = \bold{m} - \bold{m}_0$$
alltid vil v{\ae}re {\em motsatt rettet} $\bold{B}$, uansett om $\bold{B}$ peker ``opp'' eller
``ned'' i forhold til retningen p{\aa} elektronets opprinnelige magnetiske dipolmoment
$\bold{m}_0$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Kommentarer:
\begin{enumerate}
\item
Vi har tidligere konkludert med at et statisk magnetfelt aldri utf{\o}rer noe arbeid p{\aa}
en ladning i bevegelse ettersom $\bold{F}_m \perp \bold{v}$. Et statisk magnetfelt kan alts{\aa}
ikke endre ladningens hastighet (i absoluttverdi), tilsynelatende i konflikt med det vi har funnet
ovenfor. Poenget er imidlertid at vi starter med $B=0$ og {\em skrur p{\aa}} et magnetfelt. Dermed
har vi ikke hele tiden et statisk magnetfelt, men et felt som i l{\o}pet av en viss tid m{\aa}
endre seg fra null til sin endelige verdi. Som vi skal se i forelesningene, vil et
tidsavhengig magnetfelt skape ("indusere") et elektrisk felt (Faradays induksjonslov), 
og et elektrisk felt kan som kjent endre hastigheten til et elektron.
\item
Fortegnet p{\aa} den diamagnetiske responsen er et uttrykk for {\em Lenz' lov},
som kanskje noen har h{\o}rt om tidligere, og som vi skal komme tilbake til
i forelesningene:
Systemets "respons" er slik at den p{\aa}trykte endringen {\em motvirkes}. 
\item
Strengt tatt er det n{\o}dvendig med en {\em kvantemekanisk} beskrivelse for {\aa} forklare
diamagnetisme ``skikkelig''. Faktisk er det et {\em teorem} i statistisk fysikk som sier at
for et system av klassiske ladete partikler i termisk likevekt i et ytre magnetfelt er det induserte
magnetiske dipolmomentet {\em eksakt lik null} (Bohr - van Leeuwens teorem). Med andre ord:
Diamagnetisme er en ren kvantemekanisk effekt! Likevel gir den enkle klassiske modellen med ett
atom et brukbart kvalitativt bilde av effekten.
\end{enumerate}



\end{document}
