\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=24cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke17

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 23. april
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Magnetisk fluks og Gauss' lov for $\bold{B}$} 

\noindent
[FGT 29.2; YF 27.3; TM 28.1, 27.3; AF 26.3; LHL 23.7; DJG 5.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Magnetisk fluks $\phi_B$ gjennom flate $S$:
$$\phi_B = \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetfeltstyrken $B$ er proporsjonal med antall magnetiske feltlinjer
pr flateenhet. Dermed blir den magnetiske fluksen $\phi_B$ proporsjonal
med antall feltlinjer gjennom flaten. (Sammenlign med elektrisk fluks!)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Siden magnetiske feltlinjer alltid er {\em lukkede}, f{\aa}r vi Gauss' lov for magnetfeltet:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{A} = 0$$
for lukket flate. Uttrykker at det ikke finnes magnetiske monopoler.

\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Oppsummering, elektrostatikk og magnetostatikk: Maxwells ligninger}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov for elektrostatisk felt:
$$\oint \bold{E} \cdot d\bold{A} = q_{\rm in}/\varepsilon_0$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrostatisk felt er konservativt:
$$\oint \bold{E} \cdot d\bold{l} = 0$$

%\newpage
\noindent
Gauss' lov for magnetfelt:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{A} = 0$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Amperes lov:
$$\oint \bold{B} \cdot d\bold{l} = \mu_0 I_{\rm in}$$

\vspace{0.8cm}
\noindent
Med gitte ``kilder'', dvs statiske ladninger og stasjon{\ae}re
str{\o}mmer, 
gir dette oppskriften p{\aa} beregning av $\bold{E}$ og $\bold{B}$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Lorentzkraften,
$$\bold{F} = q\bold{E} + q\bold{v}\times\bold{B}$$
bestemmer deretter hvordan en ladning $q$ med hastighet $\bold{v}$ vil bevege seg
i feltene $\bold{E}$ og $\bold{B}$


\newpage
%\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisme} 

\noindent
[FGT 31.1 - 31.4; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.3; LHL 26.1 - 26.5; DJG 6.4]

\vspace{0.2cm}
\noindent
(Ferromagnetisme forelest tirsdag 24.04.07)

\begin{itemize}
\item
Paramagnetisme: I materiale med atom{\ae}re magnetiske dipolmoment $\bold{m} \neq 0$
rettes $\bold{m}$ inn langs det p{\aa}trykte magnetfeltet $\bold{B}$,
analogt en elektrisk dipol som rettes inn langs et p{\aa}trykt elektrisk
felt $\bold{E}$.
\item
Diamagnetisme: Det p{\aa}trykte feltet $\bold{B}$
p{\aa}virker elektronets banebevegelse slik
at vi f{\aa}r indusert en endring $\Delta \bold{m}$ i magnetisk dipolmoment med
motsatt retning av $\bold{B}$. Har en slik diamagnetisk respons i alle atomer,
men da den er svak, observeres den typisk bare i materialer med null
permanent atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment.
\item
Ferromagnetisme: Har {\em vekselvirkende} atom{\ae}re magnetiske dipolmoment
p{\aa} naboatomer, slik at det blir energetisk foretrukket med en bestemt
orientering av de ulike $\bold{m}$. Ferromagnet: Parallelle $\bold{m}$ foretrekkes.
Antiferromagnet: Antiparallelle $\bold{m}$ foretrekkes. 
\end{itemize}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetiske domener: Inne i et ferromagnetisk materiale kan vi ha omr{\aa}der som er sm{\aa}
i forhold til en typisk makroskopisk lengdeskala men store i forhold til atom{\ae}r
lengdeskala, og der alle atomer har magnetisk dipolmoment pekende i samme retning. Ett slik
{\em domene} vil dermed v{\ae}re en liten magnet. Men hvis v{\aa}rt makroskopiske
stykke ferromagnetisk materiale best{\aa}r av mange slike domener, der ulike domener har de magnetiske
dipolene pekende i ulike retninger, vil magnetfeltet omkring bli omtrent lik null, dvs
materialet v{\aa}rt er alt i alt {\em ikke} en magnet. En kniv av st{\aa}l er et slik
eksempel. I en stavmagnet, derimot, har vi (essensielt) ett magnetisk domene der alle dipoler
peker i samme retning. Dermed f{\aa}r vi et betydelig magnetfelt i rommet omkring stavmagneten,
dvs vi har en magnet!


\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 24. april
\end{large}
\end{center}


\vspace{1cm}
%\newpage
\noindent
{\bf Magnetisering og overflatestr{\o}m} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.5; LHL 26.1; DJG 6.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisering $\bold{M}$ er, pr definisjon, magnetisk dipolmoment pr volumenhet:
$$\bold{M} = \frac{\Delta \bold{m}}{\Delta V}$$
dersom vi har et netto magnetisk dipolmoment $\Delta\bold{m}$ i volumet
$\Delta V$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisering tilsvarer atom{\ae}re str{\o}msl{\o}yfer med str{\o}mmen i samme
retning. Alle indre str{\o}mmer vil dermed kansellere, slik at nettoeffekten av
magnetisering i et objekt er en {\em overflatestr{\o}m}. Sammenlign med polarisering i dielektriske
medier, der nettoeffekten av elektrisk polarisering er en {\em overflateladning}.

\noindent
I tallverdi er
$$M = i_m$$
der $i_m$ er overflatestr{\o}mmen pr lengdeenhet (dvs: der ``lengden'' er i 
retning langs $\bold{M}$).

\noindent
P{\aa} vektorform kan dette skrives
$$\bold{i}_m = \bold{M} \times \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er en enhetsvektor som st{\aa}r normalt p{\aa} overflaten
der $i_m$ g{\aa}r (samt normalt p{\aa} $\bold{M}$).


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf $\bold{H}$-feltet} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.6; LHL 26.1; DJG 6.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Definisjon:
$$\bold{H} = \frac{1}{\mu_0}\bold{B} - \bold{M}$$
Dvs:
$$\bold{B} = \mu_0 \bold{H} + \mu_0 \bold{M}$$
For uendelig lang spole fylt med magnetiserbart materiale viste vi da
at
$$H = n I_f$$
der $n$ er viklingstettheten p{\aa} spolen og $I_f$ er ``fri'', p{\aa}trykt
str{\o}m, dvs str{\o}mmen i spoletr{\aa}den.

\noindent
Med andre ord: Slik $H$-feltet er definert, er det direkte gitt ved den
p{\aa}trykte str{\o}mmen $I_f$.

\noindent
Det {\em totale} magnetfeltet $\bold{B}$, derimot, er bestemt av {\em total}
str{\o}m, dvs summen av fri str{\o}m $I_f$ og bundet magnetiseringsstr{\o}m
$I_m$ (pr vikling, slik at magnetiseringsstr{\o}m pr lengdeenhet blir
$n I_m$).

\vspace{0.5cm}
\noindent
P{\aa} samme m{\aa}te som vi hadde Gauss' lov for den elektriske
forskyvningen $\bold{D}$, uttrykt ved {\em fri ladning}, har vi
Amperes lov for $\bold{H}$ uttrykt ved {\em fri str{\o}m}:
$$\oint \bold{H} \cdot d\bold{l} = I^{\rm in}_{\rm fri}$$
Alts{\aa}: Kurveintegralet av $\bold{H}$ rundt en lukket kurve er
lik netto {\em fri} stasjon{\ae}r str{\o}m (dvs str{\o}m som ikke er for{\aa}rsaket
av magnetisering) $I^{\rm in}_{\rm fri}$ som er omsluttet av den
lukkede kurven.


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisk susceptibilitet og permeabilitet} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5, AF 26.7; LHL 26.1; DJG 6.4.1]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Dersom magnetiseringen er proporsjonal med det p{\aa}trykte feltet, kan
vi skrive
$$\bold{M} = \chi_m \bold{H}$$
Her er $\chi_m$ magnetisk susceptibilitet. Dermed, ut fra sammenhengen
mellom $\bold{B}$, $\bold{H}$ og $\bold{M}$:
$$\bold{B} = \mu_0 (\bold{H} + \bold{M}) =
\mu_0 (1 + \chi_m) \bold{H} = \mu_0 \mu_r \bold{H} = \mu \bold{H}$$
Her er $\mu_r = 1 + \chi_m$ relativ permeabilitet mens $\mu$ er
mediets permeabilitet. (Jfr line{\ae}r respons i dielektriske medier!)

\vspace{0.2cm}
\noindent
Noen typiske tallverdier:

\noindent
Diamagneter: $\chi_m \sim - 10^{-5}$ til $-10^{-4}$

\noindent
Paramagneter: $\chi_m \sim 10^{-4}$ til $10^{-3}$

\noindent
Ferromagneter: $\chi_m \sim 10^{3}$ til $10^{4}$ (eller mer)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dette betyr at det bare er ferromagnetiske materialer (Fe, Co, Ni...)
som ``reagerer noe s{\ae}rlig'' p{\aa} et ytre magnetfelt.


\end{document}
