\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 14
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Uke 16

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 23. april


\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I forelesningene viste vi at atomer kan oppfattes som sm{\aa} str{\o}msl{\o}yfer,
dvs som sm{\aa} magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment $\bold{m} = I \bold{A}$
der str{\o}mmen $I$ g{\aa}r i en bane som omslutter et (plant) areal $A$.
(``Vektorarealet'' er da $\bold{A} = A\;\hat{n}$, der $\hat{n}$ er en enhetsvektor normalt
til den omsluttede flaten, med positiv retning bestemt ved h{\o}yreh{\aa}ndsregelen.)

\noindent
Her skal vi bruke ei {\em kvadratisk} str{\o}msl{\o}yfe som modell for en slik atom{\ae}r
magnetisk dipol og se n{\ae}rmere p{\aa} hvordan den vil oppf{\o}re seg i et
magnetfelt $\bold{B}$. (Vi kunne ogs{\aa} ha brukt ei {\em sirkul{\ae}r} str{\o}msl{\o}yfe,
men den kvadratiske er litt enklere {\aa} regne p{\aa}.)

\noindent
Str{\o}msl{\o}yfa har sidekanter med lengde $a$ og f{\o}rer alts{\aa}
en str{\o}m $I$. Den er plassert i et {\em homogent} magnetfelt
$\bold{B} = B\;\hat{z}$ og kan rotere fritt omkring $y$-aksen, som her g{\aa}r
gjennom  str{\o}msl{\o}yfas sentrum som vist i figuren:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov13_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Orienteringen av str{\o}msl{\o}yfa er definert ved vinkelen $\theta$ mellom
$z$-aksen og flatenormalen $\hat{n}$. (Positiv $\theta$ {\em med} klokka,
som vist i figuren.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hva blir str{\o}msl{\o}yfas magnetiske dipolmoment $\bold{m}$? Hva blir den
totale kraften fra $\bold{B}$ p{\aa} str{\o}msl{\o}yfa?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Beregn dreiemomentet $\bold{\tau}$ p{\aa} sl{\o}yfa omkring $y$-aksen
og vis at det kan uttrykkes p{\aa} formen $\bold{\tau} = \bold{m} \times \bold{B}$.

\noindent
[Tips: Finn kraften p{\aa} hver av de fire rette lederstykkene og bruk at dreiemoment
= ``arm ganger kraft''.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem den potensielle energien $U(\theta)$ til en slik magnetisk dipol i feltet
$\bold{B}$. Skisser $U(\theta)$.
Hva slags orientering av dipolen i forhold til $\bold{B}$ representerer henholdsvis
en stabil og en ustabil likevekt?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ I jern har hvert atom et magnetisk dipolmoment $\bold{m}_{\rm Fe}$ som dannes av to
parallelle elektronspinn, slik at $m_{\rm Fe} = 2 \mu_B$. Her er $\mu_B = e\hbar/2m_e$
det magnetiske dipolmomentet for ett elektronspinn, det s{\aa}kalte Bohr-magnetonet, med
verdi $9.27\cdot10^{-24}$ Am$^2$.

\noindent
Hva blir da den maksimale tettheten av magnetisk dipolmoment (dvs: magnetisk dipolmoment
pr volumenhet) i jern?

\noindent
[Kommentar: Magnetisk dipolmoment pr volumenhet er, pr definisjon, st{\o}rrelsen {\em
magnetisering}. I elektrostatikken innf{\o}rte vi {\em polarisering}, som pr definisjon er
elektrisk dipolmoment pr volumenhet. Mer om magnetisme og magnetisering i forelesningene!]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Oppgitt: Molar masse, jern: 55.9 g/mol. Massetetthet, jern: 7.9 g/cm$^3$. 1 mol = $6.02\cdot10^{23}$.


\vspace{1.3cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vis, ved hjelp av Amperes lov, at
magnetfeltet $\bold{B}$ fra en uniform "overflatestr{\o}m"
$\bold{i} = i\;\hat{y}$ som "flyter"
i (hele) $xy$-planet i positiv $y$-retning er
$$\bold{B} = \left\{
\begin{array}{ll}
-(\mu_0 i/2) \; \hat{x} & {\rm for} \; z<0 \\
+(\mu_0 i/2) \; \hat{x} & {\rm for} \; z>0
\end{array} \right. $$
(Alts{\aa} uavhengig av avstanden til $xy$-planet, jfr elektrisk felt fra
uendelig stort uniformt ladet plan.)
Her er $i$ str{\o}mmen {\em pr lengdeenhet} av $x$-retningen. Med andre ord,
p{\aa} en "stripe" med bredde $\Delta x$ g{\aa}r det en str{\o}m
$\Delta I = i \cdot \Delta x$.


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.2in \epsfbox{ov13_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Tips:
\begin{itemize}
\item Det er alts{\aa} oppgitt at b{\aa}de $y$- og $z$-komponenten av $\bold{B}$
er lik null. Bruk gjerne likevel litt tid p{\aa} {\aa} overbevise deg om at
s{\aa}nn {\em m{\aa}} det v{\ae}re. En slik "kartlegging" av symmetrien i problemet er helt
{\em essensiell} for {\aa} kunne dra nytte av Amperes lov. Som regel m{\aa} en
da et lite {\o}yeblikk tilbake til Biot-Savarts lov og vurdere konsekvensene
av at "str{\o}melementer" $I\;d\bold{l}$ gir bidrag $d\bold{B} \sim I\;d\bold{l}\times\hat{r}$
til det totale magnetfeltet.
\item Hvis du etterhvert greier {\aa} overbevise deg om at en rektangul{\ae}r
Amperekurve med flatenormal i str{\o}mmens retning er et fornuftig valg, ja da
er du antagelig p{\aa} rett spor!
\end{itemize}


\vspace{0.6cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Med sentrum p{\aa} $x$-aksen har vi plassert uendelig mange sm{\aa} str{\o}mf{\o}rende ringer tett i tett, 
slik at str{\o}mmen $I$ g{\aa}r i sm{\aa} sirkul{\ae}re baner rundt $x$-aksen (samme str{\o}m $I$ i hver eneste ring).

%%FIGURE
\vspace{0.4cm}
\centerline{\epsfxsize=4.4in \epsfbox{ov14_fig6.eps}}
\vspace{0.4cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.1cm}
\noindent
Hver lille ring kan oppfattes som en {\em ideell} magnetisk dipol $\bold{m} = m \, \hat{x}$.
Da kan det vises at magnetfeltet i avstand $\bold{r}$ fra en slik ring kan skrives p{\aa} formen
$$\bold{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi r^3} \left[ 3 \left(\bold{m} \cdot \hat{r} \right) \hat{r}
- \bold{m} \right]$$
Dette uttrykket er gyldig s{\aa} lenge vi betrakter avstander $r$ fra ringen som er store i forhold til
ringens radius, med andre ord $r \gg \sqrt{A}$. (NB: Jeg har ikke utledet dette uttrykket 
for magnetfeltet fra en ideell dipol i forelesningene - vi godtar her rett og slett at slik er det!) 
I figuren ovenfor er det vist hvordan en dermed kan bestemme magnetfeltet fra en bestemt ring.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Noen av de sm{\aa} str{\o}mf{\o}rende ringene bidrar med negativ 
$x$-komponent til $\bold{B}$ mens andre bidrar med positiv $x$-komponent til $\bold{B}$.
Oppgaven g{\aa}r ut p{\aa} {\aa} finne ut {\em hvor mange} ringer som bidrar med
{\em negativ} $x$-komponent til $\bold{B}$. (Et eksempel er vist i figuren.)

\vspace{0.2cm}
\noindent
La oss konkretisere oppgaven med noen tallverdier. Vi betrakter en posisjon som ligger i avstand
$y = 50$ cm fra $x$-aksen, og vi antar at det er 1000 str{\o}mf{\o}rende ringer pr meter (langs $x$-aksen).
Vis at ca 707 ringer da vil bidra med negativ $x$-komponent til magnetfeltet $\bold{B}$ i den valgte avstanden 50 cm
fra $x$-aksen. (Resten av ringene, dvs uendelig mange, vil bidra med positiv $x$-komponent til $\bold{B}$.) 

\vspace{0.2cm}
\noindent
Alternativt, og mer generelt: Finn et uttrykk for lengden $2x_0$ av intervallet $(-x_0,x_0)$
som inneholder ringene som bidrar med negativ $x$-komponent til $\bold{B}$ i avstand $y$ fra $x$-aksen. 
Med $n$ ringer pr lengdeenhet skulle antall slike ringer da bli $2nx_0$. (Du m{\aa} med andre ord
finne ut hvordan $x_0$ avhenger av $y$.)

\end{document}
