\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 10
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning uke 11


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Hele lederen kan deles opp i "sylinderr{\o}r" med
indre radius $r$, ytre radius $r+dr$, og dermed
tverrsnitt med areal
$$dA = 2 \pi r \; dr$$
Str{\o}mmen i et slik r{\o}r er
$$dI = j \cdot dA = j_0\, e^{-r/R} \cdot 2\pi r \; dr$$
Total str{\o}m $I$ finner vi ved {\aa} integrere $dI$ over
lederens tverrsnitt, dvs ved {\aa} la $r$ variere fra 0 til $R$:
\begin{eqnarray}
I &=& \int dI \nonumber \\
&=& \int_0^R j_0\, e^{-r/R} \cdot 2\pi r \; dr \nonumber \\
&=& 2\pi j_0 \, R^2 \int_0^1 x\,e^{-x}\,dx \nonumber \\
&=& 2\pi j_0 \, R^2 \left( 1 - \frac{2}{e} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
Her har vi substituert $x=r/R$ slik at $dr = R\, dx$ og $r = R\, x$.
Integralet er l{\o}st med delvis integrasjon.


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Her er h{\o}yre halvdel av kondensatoren en seriekobling av to kondensatorer,
begge med plateareal $A/2$, plateavstand $d/2$ og fylt med dielektrika med
permittivitet henholdsvis $\varepsilon_2$ ({\o}verst) og $\varepsilon_3$ (nederst).
H{\o}yre halvdel har dermed en kapasitans bestemt ved
$$C_h^{-1} = \left(\varepsilon_2\frac{A/2}{d/2}\right)^{-1} +
\left(\varepsilon_3\frac{A/2}{d/2}\right)^{-1}$$
dvs
$$C_h = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_3}{\varepsilon_2+\varepsilon_3}\frac{A}{d}$$
Venstre halvdel er rett og slett en kondensator med plateareal $A/2$, plateavstand
$d$ og fylt med dielektrikum med permittivitet $\varepsilon_1$. Venstre halvdel har
dermed kapasitans
$$C_v = \varepsilon_1 \frac{A/2}{d} = \frac{\varepsilon_1}{2}\frac{A}{d}$$
Hele kondensatoren er en parallellkobling av $C_v$ og $C_h$, og dermed med kapasitans
$$C = C_v + C_h = \frac{A}{d} \left( \frac{\varepsilon_1}{2} +
\frac{\varepsilon_2 \varepsilon_3}{\varepsilon_2+\varepsilon_3} \right)$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Nedre metallplate representerer ekvipotensialet $V=0$, {\o}vre metallplate
representerer ekvipotensialet $V=100$ V. Dersom hele volumet mellom platene hadde v{\ae}rt fylt
med ett og samme dielektrikum (evt vakuum), ville den elektriske feltstyrken ha v{\ae}rt
konstant i hele dette volumet, slik at de tre ekvipotensialflatene 25 V, 50 V og 75 V ville ha
blitt horisontale plan i avstand henholdsvis $d/4$, $d/2$ og $3d/4$ fra nedre metallplate.

\noindent
I venstre halvdel m{\aa} det fortsatt bli slik.

\noindent
I h{\o}yre halvdel er dette ikke lenger tilfellet: Vi har $\varepsilon_2 = 2\varepsilon_0$ og 
$\varepsilon_3 = 6\varepsilon_0$. F{\o}lgelig f{\aa}r vi sterkest polarisering i medium 3, og
dermed minst elektrisk feltstyrke her. Vi m{\aa} uansett
ha en potensialforskjell lik 100 V mellom nedre og {\o}vre plate. Det inneb{\ae}rer at
$$\int \bold{E}\cdot d\bold{l}$$
m{\aa} ha verdien 100 V uansett hvilken vei vi velger mellom de to metallplatene. Hvis vi g{\aa}r
langs stiplet linje $h$, har vi
$$E_2 \, \frac{d}{2} + E_3 \, \frac{d}{2} = \Delta V$$
Fri ladning $\pm Q$ vil ikke fordele seg likt mellom venstre og h{\o}yre halvdel. P{\aa} grunn
av polariseringen i h{\o}yre halvdel, vil mer enn halvparten av den frie ladningen p{\aa}
metallplatene ligge p{\aa} h{\o}yre halvdel i elektrostatisk likevekt. Men uansett hvor stor
denne andelen av fri ladning er, vil elektrisk forskyvning $\bold{D}$ bli konstant langs hele
linjen $h$. F{\o}lgelig blir elektrisk feltstyrke i medium 2 tre ganger st{\o}rre enn i medium 3,
ettersom vi har sammenhengen $D = \varepsilon E$. Alts{\aa}: $E_2 = 3 E_3$. I h{\o}yre
halvdel blir da ekvipotensialflaten 25 V liggende midt i, dvs i grenseflaten mellom medium 2 og medium 3,
i avstand $d/2$ fra nedre metallplate. Deretter har vi 50 V i avstand $d/6$ over midten og 75 V i avstand
$d/3$ over midten. Hvis alle disse ekvipotensialflatene skal v{\ae}re kontinuerlige, m{\aa} hele bildet
bli seende omtrent slik ut:


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{los10_2006.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Ettersom $\bold{E}$ m{\aa} st{\aa} normalt p{\aa} ekvipotensialflatene, kan $\bold{E}$ ikke
ha retning rett nedover i n{\ae}rheten av midtlinjen $ab$.


\end{document}
