\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 15
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning torsdag 28. og fredag 29. april

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Eksempler:

\noindent
For et uendelig stort ladet plan med ladning $\sigma$ pr flateenhet er det elektriske feltet
motsatt rettet p{\aa} den ene og den andre siden av planet, og feltstyrken er $\sigma/2\varepsilon_0$.
Alts{\aa} en {\em diskontinuitet} p{\aa} i alt $\sigma/\varepsilon_0$ i feltets normalkomponent,
og ingen diskontinuitet i feltets tangentialkomponent.

\noindent
Inne i ei metallkule med ladning $Q$ er det elektriske feltet null. P{\aa} overflaten,
ved $r=R$, er feltstyrken $Q/4\pi\varepsilon_0 R^2$, rettet radielt utover (med $Q>0$),
dvs normalt til overflaten. Igjen, en diskontinuitet p{\aa} $\sigma/\varepsilon_0$ i
feltets normalkomponent, ettersom $\sigma=Q/4\pi R^2$ er ladning pr flateenhet p{\aa}
metallkulas overflate.

\noindent
Et uendelig stort str{\o}mf{\o}rende plan med uniform str{\o}m $i$ pr lengdeenhet resulterer
i et uniformt magnetfelt $\mu_0 i/2$, med motsatt retning p{\aa} hver sin side av planet,
se {\o}ving 13, oppgave 2. Dvs en diskontinuitet p{\aa} $\mu_0 i$, og hvis du ser p{\aa}
{\o}ving 13, ser du at det er snakk om komponenten av $\bold{B}$ som ligger {\em i} planet
til str{\o}mmen og som st{\aa}r {\em normalt p{\aa}} str{\o}mretningen.

\noindent
Inni en uendelig lang spole er magnetfeltet $\mu_0 n I$, utenfor er det null. Alts{\aa} en
diskontinuitet p{\aa} $\mu_0 n I$. Str{\o}mmen er $I$ pr vikling, mens antall viklinger pr
lengdeenhet er $n$, s{\aa} $i = nI$ blir her str{\o}mmen pr lengdeenhet. Igjen en
diskontinuitet p{\aa} $\mu_0 i$.

\noindent
Kommentar: Ingen grenseflater er uendelig store, men dersom vi g{\aa}r tilstrekkelig n{\ae}r grenseflaten, vil det
{\em se ut som den er} uendelig stor og flat. Det {\em totale} elektriske feltet p{\aa} grenseflaten
m{\aa} v{\ae}re lik summen av bidragene fra omr{\aa}det i n{\ae}rheten, dvs det som ser stort og flatt
ut, og alle ladninger i "resten av verden". Ladningene i resten av verden er alle langt unna "krysningspunktet",
dvs langt unna i forhold til ladningene som er {\em i} planet der vi krysser. "Resten av verden" m{\aa} derfor
bidra med samme felt like over og like under grenseflaten, dvs et bidrag som er {\em kontinuerlig}. Med
andre ord, hele diskontinuiteten i det elektriske feltet skyldes ladningene i planet som vi krysser.
Tilsvarende gjelder for diskontinuiteten i magnetfeltet: Totalt magnetfelt er summen av bidragene fra
str{\o}mmen {\em i} planet der vi krysser, og alle andre str{\o}mmer i verden. Bare str{\o}mmen i planet
der vi krysser bidrar til diskontinuiteten.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Dielektrisk skive p{\aa} tvers i konstant ytre elektrisk felt $\bold{E}_0$:

\noindent
Her har vi grenseflater som st{\aa}r normalt p{\aa} feltene. Vi kan ikke uten videre bruke
grenseflatebetingelsen for $\bold{E}$ for vi vet ikke hvor mye ladning vi har i grenseflatene
mellom vakuum og dielektrikum. Vi vet at det induseres bundet ladning, positiv i {\o}vre flate
og negativ i nedre flate, men ikke {\em hvor mye}. Men vi kan bruke grenseflatebetingelsen
for $\bold{D}$, for vi vet at det er null {\em fri} ladning i skiva. Dermed har vi $D_1=D_0$,
der $D_0 = \varepsilon_0 E_0$ er elektrisk forskyvning utenfor skiva. Dessuten har vi at
$D_1 = \varepsilon_1 E_1 = \varepsilon_r \varepsilon_0 E_1$. Dermed:
\begin{eqnarray}
D_1 &=& \varepsilon_0 E_0 \nonumber \\
E_1 &=& \frac{1}{\varepsilon_r} E_0 \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Dielektrisk skive p{\aa} langs i konstant ytre elektrisk felt $\bold{E}_0$:

\noindent
N{\aa} har vi grenseflater parallelt med feltretningen. Da kan vi bruke at parallellkomponenten
til $\bold{E}$ er kontinuerlig, dvs $E_1 = E_0$. Sammenhengen $D_1 = \varepsilon_r \varepsilon_0 E_1$
gjelder selvsagt fortsatt, s{\aa}
\begin{eqnarray}
D_1 &=& \varepsilon_r \varepsilon_0 E_0 \nonumber \\
E_1 &=& E_0 \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetiserbar skive p{\aa} tvers i konstant ytre magnetfelt $\bold{B}_0$:

\noindent
Her har vi igjen grenseflater som st{\aa}r normalt p{\aa} feltene. Vi kan da benytte oss
av at $B_n$ er kontinuerlig, dvs $B_1 = B_0$. Dessuten har vi at $B_1 = \mu_1 H_1 =
\mu_r \mu_0 H_1$. Dermed:
\begin{eqnarray}
H_1 &=& \frac{1}{\mu_r \mu_0} B_0 \nonumber \\
B_1 &=& B_0 \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetiserbar skive p{\aa} langs i konstant ytre magnetfelt $\bold{B}_0$:

\noindent
Grenseflatene er parallelt med feltene. Vi vet at det induseres magnetiseringsstr{\o}m
i skivas overflate men ikke hvor mye. Men vi kan bruke grenseflatebetingelsen for $\bold{H}$,
for vi vet at det er null fri str{\o}m i skiva. Dermed har vi $H_1=H_0$, der
$H_0 = B_0/\mu_0$ er $H$-feltet utenfor skiva (vakuum). Dessuten har vi $B_1 =
\mu_r \mu_0 H_1$. Dermed:
\begin{eqnarray}
H_1 &=& \frac{1}{\mu_0} B_0 \nonumber \\
B_1 &=& \mu_r B_0 \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Forklaring p{\aa} ulik $E_1$ og $B_1$ i de to tilfellene:

\noindent
Dielektrisk skive p{\aa} tvers gir polarisering, og tilh{\o}rende indusert ladning i overflaten.
Den induserte ladningen gir bidrag til feltet motsatt rettet det ytre feltet, slik at $E_1$ blir
mindre enn $E_0$. Med skiva p{\aa} langs blir den induserte overflateladningen lokalisert uendelig
langt unna "der vi er". Dermed bidrar den ikke til feltet der vi er, og $E_1 = E_0$.

\noindent
Magnetiserbar skive p{\aa} langs gir magnetisering, og tilh{\o}rende indusert str{\o}m i
overflaten. Den induserte str{\o}mmen gir bidrag til feltet i samme retning som det ytre feltet,
slik at $B_1$ blir st{\o}rre enn $B_0$. Med skiva p{\aa} tvers blir den induserte
overflatestr{\o}mmen lokalisert uendelig langt unna "der vi er". Dermed bidrar den ikke til feltet
der vi er, og $B_1 = B_0$.


\vspace{0.8cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Den {\em p{\aa}trykte} str{\o}mmen $I$ genererer et $H$-felt $H = nI$ p{\aa}
langs overalt inne i spolen (pga Amperes lov for $H$). Dermed er det bare {\aa}
benytte at
$$\bold{B} = \mu_0 \left( \bold{H} + \bold{M} \right) =
\mu_r \mu_0 \bold{H}$$
for {\aa} bestemme de ulike st{\o}rrelsene:

\vspace{0.3cm}
\noindent
Inne i jernstaven:
$$H_j = nI = 2000 \;{\rm m}^{-1} \cdot 3\;{\rm A} = 6000 \;{\rm A/m}$$
$$B_j = \mu_r \mu_0 H_j = 2000 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \;{\rm (Vs/Am)} \cdot
6000 \;{\rm A/m}\;= 15 \;{\rm T}$$
$$M_j = (\mu_r - 1)H_j = 1.2 \cdot 10^7 \;{\rm A/m}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
I den luftfylte delen inne i spolen:
$$H_0=H_j=6000 \;{\rm A/m}$$
$$B_0=\mu_0 H_0=7.5\;{\rm mT}$$
$$M_0=0$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Den beregnede magnetiseringen inne i jernstaven, $M_j =1.2 \cdot 10^7 \;{\rm A/m}$,
er st{\o}rre enn metningsmagnetiseringen $M_s = 1.6 \cdot 10^6 \;{\rm A/m}$, og derfor
ikke fysisk mulig. {\AA}rsaken er at vi har brukt den line{\ae}re sammenhengen
$B = \mu_r \mu_0 H$ mellom magnetfeltet $B$ og feltet $H$ fra den p{\aa}trykte
str{\o}mmen. Her har vi imidlertid et s{\aa} sterkt ``ytre'' felt $H$ at en slik
line{\ae}r sammenheng ikke lenger er gyldig. Samtlige magnetiske dipolmoment er
rettet inn langs det p{\aa}trykte feltet allerede ved $H \simeq M_s/\mu_r = 800$ A/m.
Ytterligere {\o}kning i $H$ gir ingen {\o}kning i $M$.

\noindent
Korrigert, maksimal verdi for $B_j$ blir
$$B_j^{\rm korr} = \mu_0 \left( H_j + M_s \right) =
4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \left(6000 + 1.6 \cdot 10^6 \right) = 2\;{\rm T}$$


\vspace{0.8cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Arealet som str{\o}msl{\o}yfa omslutter er $L \cdot x$, og dette {\o}ker
line{\ae}rt med tiden, $dA/dt = L dx/dt = L v$. Omsluttet magnetisk fluks er
$\phi = B \cdot A = BLx$, slik at indusert ems i str{\o}msl{\o}yfa blir
$\ems = d\phi/dt = BL dx/dt = BLv$. Sl{\o}yfa har resistans $R$, s{\aa}
if{\o}lge Ohms lov blir str{\o}mmen i kretsen
$$I = \ems/R = BLv/R$$
Str{\o}mmen g{\aa}r mot klokka. Det innser vi fordi kraften p{\aa} en positiv
ladning $q$ i metallstanga, $q \bold{v} \times \bold{B}$, er rettet oppover.
Alternativt, med Lenz' lov: {\O}kende areal gir {\o}kende omsluttet magnetisk fluks
inn i planet. Str{\o}mmen m{\aa} da g{\aa} i en slik retning av fluksen p{\aa}
grunn av $I$ peker ut av planet n{\aa}r vi er p{\aa} innsiden av sl{\o}yfa.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Str{\o}mmen $I$ g{\aa}r oppover i metallstanga, magnetfeltet peker inn i planet,
s{\aa} magnetsk kraft p{\aa} str{\o}mmen $I$ blir rettet mot venstre og er
$$F = I L B = B^2 L^2 v/R$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Fra forrige punkt har vi alts{\aa} at vi m{\aa} trekke metallstanga bortover
mot h{\o}yre med en kraft $F$ for {\aa} opprettholde konstant hastighet. Slipper
vi stanga, blir den eneste krafta som virker den (bremsende) magnetiske krafta mot
venstre. Newtons 2. lov gir oss da f{\o}lgende bevegelsesligning:
$$m \frac{dv}{dt} = - \frac{B^2 L^2 v}{R}$$
Dette er en 1. ordens differensialligning for $v(t)$. L{\o}sning:
\begin{eqnarray}
\frac{dv}{v} &=& - \frac{B^2 L^2}{mR} dt \nonumber \\
\Rightarrow \ln v &=& - \frac{B^2 L^2}{mR} t + \ln k \nonumber \\
\Rightarrow v(t) &=& k\, e^{-B^2 L^2 t/mR} \nonumber \\
\Rightarrow v(t) &=& v_0\, e^{-B^2 L^2 t/mR} \nonumber
\end{eqnarray}
der vi brukte initialbetingelsen $v(0) = v_0$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ Vi m{\aa} regne ut hvor mye energi som tapes som varme i motstanden. Effekttapet
er lik $VI$, der $V$ er spenningsfallet over motstanden, dvs $V=RI$. Da effekttap er
energitap pr tidsenhet, kan vi skrive
$$dW = P \, dt = VI \, dt = RI^2 \, dt$$
for energien $dW$ tapt p{\aa} et tidsrom $dt$. Vi har i $a$ funnet $I$ uttrykt ved
metallstangas hastighet $v$, s{\aa} det er bare {\aa} sette inn. Totalt energitap m{\aa}
bli integralet av $dW$, dvs fra $t=0$ til $t=\infty$:
\begin{eqnarray}
W &=& \int dW \nonumber \\
&=& \int_0^\infty RI^2 \, dt \nonumber \\
&=& \int_0^\infty R \left(\frac{BLv}{R}\right)^2 \, dt \nonumber \\
&=& \frac{B^2 L^2 v_0^2}{R} \int_0^\infty e^{-2B^2 L^2 t/mR} \,dt \nonumber \\
&=& \left. \frac{B^2 L^2 v_0^2}{R} \right|_0^\infty \left(-\frac{mR}{2B^2 L^2} \right)
e^{-2B^2 L^2 t/mR} \nonumber \\
&=& m v_0^2/2 \nonumber
\end{eqnarray}
som var det vi skulle vise.


\vspace{0.8cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Magnetfelt fra lang, rett str{\o}mf{\o}rende leder er $B(x) = \mu_0 I / 2 \pi x$,
der $x$ er avstanden fra lederen. P{\aa} planet som her er omsluttet av den kvadratiske
sl{\o}yfa peker magnetfeltet rett ut av papirplanet. $x$-aksen er valgt oppover. Magnetfeltet
og "flateelementvektoren" $d\bold{A}$ er parallelle, s{\aa} vi har rett og slett
$d\phi = B \cdot dA$ for fluks gjennom flateelement $dA$. Her velger vi horisontal stripe
med bredde $a$ og h{\o}yde $dx$ som flateelement. Total fluks omsluttet av den kvadratiske
sl{\o}yfa f{\aa}r vi ved {\aa} "summmere" opp slike striper, dvs ved {\aa} integrere fra
$x=d$ til $x=d+a$. (Vi har valgt $x=0$ der den rette lederen ligger.)
\begin{eqnarray}
\phi &=& \int d\phi \nonumber \\
&=& \int_d^{d+a} \frac{\mu_0 I}{2 \pi x} a \, dx \nonumber \\
&=& \left. \frac{\mu_0 I a}{2 \pi} \right|_d^{d+a} \ln x \nonumber \\
&=& \frac{\mu_0 I a}{2 \pi} \, \ln \frac{d+a}{d} \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Indusert ems er lik den tidsderiverte av omsluttet magnetisk fluks:
\begin{eqnarray}
\ems &=& -\frac{d\phi}{dt} \nonumber \\
&=& -\frac{\mu_0 I a}{2 \pi} \frac{d}{dt} \left( \ln (d+a) - \ln d \right) \nonumber \\
&=& -\frac{\mu_0 I a}{2 \pi} \left( \frac{1}{d+a} \, \frac{dd}{dt} -
\frac{1}{d} \, \frac{dd}{dt} \right) \nonumber \\
&=& \frac{\mu_0 I a v}{2 \pi} \frac{a}{(d+a)d} \nonumber
\end{eqnarray}
Her har vi brukt at $v = dd/dt$, og n{\aa} er ikke $d$ en konstant avstand, men en avstand
som {\o}ker line{\ae}rt med tiden, f.eks. $d(t) = d_0 + vt$.

\noindent
Fluksen opp av planet avtar med tiden. Da m{\aa} indusert ems og tilh{\o}rende str{\o}m
bli {\em mot} klokka for {\aa} motvirke dette.


\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Hvis sl{\o}yfa trekkes mot h{\o}yre, endres ikke fluksen innenfor sl{\o}yfa. Dermed
blir indusert ems lik null.



\end{document}
