\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2006, uke17

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 24. april
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisme (fortsatt fra uke 16)} 

\noindent
[FGT 31.1 - 31.4; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.3; LHL 26.1 - 26.5; DJG 6.4]

\vspace{0.2cm}

\begin{itemize}
\item
Ferromagnetisme: Har {\em vekselvirkende} atom{\ae}re magnetiske dipolmoment
p{\aa} naboatomer, slik at det blir energetisk foretrukket med en bestemt
orientering av de ulike $\bold{m}$. Ferromagnet: Parallelle $\bold{m}$ foretrekkes.
Antiferromagnet: Antiparallelle $\bold{m}$ foretrekkes. 
\end{itemize}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetiske domener: Inne i et ferromagnetisk materiale kan vi ha omr{\aa}der som er sm{\aa}
i forhold til en typisk makroskopisk lengdeskala men store i forhold til atom{\ae}r
lengdeskala, og der alle atomer har magnetisk dipolmoment pekende i samme retning. Ett slik
{\em domene} vil dermed v{\ae}re en liten magnet. Men hvis v{\aa}rt makroskopiske
stykke ferromagnetisk materiale best{\aa}r av mange slike domener, der ulike domener har de magnetiske
dipolene pekende i ulike retninger, vil magnetfeltet omkring bli omtrent lik null, dvs
materialet v{\aa}rt er alt i alt {\em ikke} en magnet. En kniv av st{\aa}l er et slik
eksempel. I en stavmagnet, derimot, har vi (essensielt) ett magnetisk domene der alle dipoler
peker i samme retning. Dermed f{\aa}r vi et betydelig magnetfelt i rommet omkring stavmagneten,
dvs vi har en magnet!


\vspace{1cm}
%\newpage
\noindent
{\bf Magnetisering og overflatestr{\o}m} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.5; LHL 26.1; DJG 6.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisering $\bold{M}$ er, pr definisjon, magnetisk dipolmoment pr volumenhet:
$$\bold{M} = \frac{\Delta \bold{m}}{\Delta V}$$
dersom vi har et netto magnetisk dipolmoment $\Delta\bold{m}$ i volumet
$\Delta V$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisering tilsvarer atom{\ae}re str{\o}msl{\o}yfer med str{\o}mmen i samme
retning. Alle indre str{\o}mmer vil dermed kansellere, slik at nettoeffekten av
magnetisering i et objekt er en {\em overflatestr{\o}m}. Sammenlign med polarisering i dielektriske
medier, der nettoeffekten av elektrisk polarisering er en {\em overflateladning}.

\noindent
I tallverdi er
$$M = i_m$$
der $i_m$ er overflatestr{\o}mmen pr lengdeenhet (dvs: der ``lengden'' er i 
retning langs $\bold{M}$).

\noindent
P{\aa} vektorform kan dette skrives
$$\bold{i}_m = \bold{M} \times \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er en enhetsvektor som st{\aa}r normalt p{\aa} overflaten
der $i_m$ g{\aa}r (samt normalt p{\aa} $\bold{M}$).


\begin{center}
\begin{large}
Fredag 28. april
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf $H$-feltet} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.6; LHL 26.1; DJG 6.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Definisjon:
$$\bold{H} = \frac{1}{\mu_0}\bold{B} - \bold{M}$$
Dvs:
$$\bold{B} = \mu_0 \bold{H} + \mu_0 \bold{M}$$
For uendelig lang spole fylt med magnetiserbart materiale viste vi da
at
$$H = n I_f$$
der $n$ er viklingstettheten p{\aa} spolen og $I_f$ er ``fri'', p{\aa}trykt
str{\o}m, dvs str{\o}mmen i spoletr{\aa}den.

\noindent
Med andre ord: Slik $H$-feltet er definert, er det direkte gitt ved den
p{\aa}trykte str{\o}mmen $I_f$.

\noindent
Det {\em totale} magnetfeltet $\bold{B}$, derimot, er bestemt av {\em total}
str{\o}m, dvs summen av fri str{\o}m $I_f$ og bundet magnetiseringsstr{\o}m
$I_m$ (pr vikling, slik at magnetiseringsstr{\o}m pr lengdeenhet blir
$n I_m$).

\vspace{0.5cm}
\noindent
P{\aa} samme m{\aa}te som vi hadde Gauss' lov for den elektriske
forskyvningen $\bold{D}$, uttrykt ved {\em fri ladning}, har vi
Amperes lov for $\bold{H}$ uttrykt ved {\em fri str{\o}m}:
$$\oint \bold{H} \cdot d\bold{l} = I^{\rm in}_{\rm fri}$$
Alts{\aa}: Kurveintegralet av $\bold{H}$ rundt en lukket kurve er
lik netto {\em fri} str{\o}m (dvs str{\o}m som ikke er for{\aa}rsaket
av magnetisering) $I^{\rm in}_{\rm fri}$ som er omsluttet av den
lukkede kurven.


\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Magnetisk susceptibilitet og permeabilitet} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5, AF 26.7; LHL 26.1; DJG 6.4.1]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Dersom magnetiseringen er proporsjonal med det p{\aa}trykte feltet, kan
vi skrive
$$\bold{M} = \chi_m \bold{H}$$
Her er $\chi_m$ magnetisk susceptibilitet. Dermed, ut fra sammenhengen
mellom $\bold{B}$, $\bold{H}$ og $\bold{M}$:
$$\bold{B} = \mu_0 (\bold{H} + \bold{M}) =
\mu_0 (1 + \chi_m) \bold{H} = \mu_0 \mu_r \bold{H} = \mu \bold{H}$$
Her er $\mu_r = 1 + \chi_m$ relativ permeabilitet mens $\mu$ er
mediets permeabilitet. (Jfr line{\ae}r respons i dielektriske medier!)

\vspace{0.2cm}
\noindent
Noen typiske tallverdier:

\noindent
Diamagneter: $\chi_m \sim - 10^{-5}$ til $-10^{-4}$

\noindent
Paramagneter: $\chi_m \sim 10^{-4}$ til $10^{-3}$

\noindent
Ferromagneter: $\chi_m \sim 10^{3}$ til $10^{4}$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dette betyr at det bare er ferromagnetiske materialer (Fe, Co, Ni...)
som ``reagerer noe s{\ae}rlig'' p{\aa} et ytre magnetfelt.


\vspace{2.0cm}
\noindent
{\bf Elektromagnetisk induksjon} 

\noindent
[FGT 30.1 - 30.6; YF 29.1 - 29.5; TM 28.2 - 28.3; AF 27.1 - 27.3; LHL 24.1; DJG 7.2]

\vspace{0.2cm}
En elektromotorisk spenning (ems) $\ems$ induseres i ei ledersl{\o}yfe
dersom den magnetiske fluksen $\phi_m$ som omsluttes av ledersl{\o}yfa
varierer med tiden:
$$\ems = - \frac{d\phi_m}{dt}$$
Omsluttet magnetisk fluks er gitt ved flateintegralet av det magnetiske
feltet $\bold{B}$, der integralet tas over flaten $S$ som omsluttes av
ledersl{\o}yfa:
$$\phi_m = \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$
Dermed ser vi at $\phi_m$ kan variere med tiden p{\aa} ulike m{\aa}ter, f.eks. med
\begin{itemize}
\item tidsavhengig omsluttet areal $S$
\item tidsavhengig orientering av ledersl{\o}yfa (bestemt ved retningen p{\aa} $d\bold{A}$)
\item tidsavhengig magnetfelt $\bold{B}$ (retning og/eller absoluttverdi)
\end{itemize}
I alle tilfelle f{\aa}r vi en indusert ems i ledersl{\o}yfa.

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\em Retningen} p{\aa} $\ems$ bestemmes med {\em Lenz' lov}: En eventuell generert str{\o}m
$I$, drevet av $\ems$, skaper et magnetfelt $\bold{B}_I$ og dermed en magnetisk fluks
$\phi_I = \int_S \bold{B}_I \cdot d\bold{A}$ som er {\em motsatt rettet fluksendringen}
$d\phi_m$ som i utgangspunktet for{\aa}rsaket $\ems$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
En indusert ems $\ems$ i ei lukket ledersl{\o}yfe impliserer et {\em indusert elektrisk
felt} $\bold{E}$:
$$\ems = \oint \bold{E} \cdot d\bold{l}$$
Faradays lov uttrykker dermed en sammenheng mellom {\em feltene} $\bold{E}$ og $\bold{B}$:
$$\oint_c \bold{E} \cdot d\bold{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \bold{B} \cdot d\bold{A}$$
der $c$ er en lukket kurve som omslutter en flate $S$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Ettersom integralet av et slik ``Faraday-indusert'' elektrisk felt rundt en lukket kurve
{\em ikke} er lik null, er det (pr definisjon) heller {\em ikke} et konservativt felt.
(Mens et {\em elektrostatisk} felt {\em er} konservativt.)



\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Gjensidig induktans}

\noindent
[FGT 32.1; YF 30.1; AF 27.12; LHL 25.4; DJG 7.2.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
En str{\o}m $I_1$ i ei str{\o}msl{\o}yfe (1) resulterer i et magnetfelt $\bold{B}_1$
i omr{\aa}det omkring. Dette feltet kan vi, i hvert fall i prinsipp, regne ut ved hjelp
av Biot-Savarts lov:
$$\bold{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{4\pi}\oint_{(1)}\frac{d\bold{l}_1\times\hat{r}}{r^2}$$
(se f.eks. uke13.pdf). Dersom ei {\em anna} str{\o}msl{\o}yfe (2) er plassert i dette
omr{\aa}det, vil magnetfeltet  fra sl{\o}yfe (1) resultere i en magnetisk fluks gjennom
sl{\o}yfe (2):
$$\phi_2 = \int_{S_2} \bold{B}_1 \cdot d\bold{A}_2 =
\int_{S_2} \left\{ \frac{\mu_0 I_1}{4\pi}\oint_{(1)}\frac{d\bold{l}_1\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}_2$$
Uansett hva dette gufne integralet m{\aa}tte v{\ae}re, kan vi uttrykke det p{\aa} formen
$$\phi_2 = M_{21} I_1$$
forutsatt at $I_1$ er konstant i sl{\o}yfe (1), dvs den samme alle steder i sl{\o}yfa. (Og det
m{\aa} den jo v{\ae}re hvis det ikke skal hope seg opp med ladning noe sted...!)

\noindent
Faktoren $M_{21}$ er den {\em gjensidige induktansen} mellom de to sl{\o}yfene (1) og (2) og
uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ``gjennom'' (dvs omsluttet av) sl{\o}yfe (2)
n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfe (1):
$$M_{21} = \frac{\phi_2}{I_1}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Omvendt m{\aa} vi ogs{\aa} f{\aa} en magnetisk fluks gjennom sl{\o}yfe (1) hvis det g{\aa}r
en str{\o}m i sl{\o}yfe (2):
$$\phi_1 = \int_{S_1} \bold{B}_2 \cdot d\bold{A}_1 =
\int_{S_1} \left\{ \frac{\mu_0 I_2}{4\pi}\oint_{(2)}\frac{d\bold{l}_2\times\hat{r}}{r^2} \right\}
\cdot d\bold{A}_1$$
dvs: Str{\o}mmen $I_2$ i sl{\o}yfe (2) skaper magnetfeltet $\bold{B}_2$, og dermed fluksen
$\phi_1$ gjennom sl{\o}yfe (1).

\noindent
Og uansett hva {\em dette} integralet m{\aa}tte bli, kan vi alltids skrive
$$\phi_1 = M_{12} I_2$$
der faktoren $M_{12}$ uttrykker hvor mye magnetisk fluks vi f{\aa}r ``gjennom'' (dvs omsluttet av)
sl{\o}yfe (1) n{\aa}r det g{\aa}r en str{\o}m i sl{\o}yfe (2):
$$M_{12} = \frac{\phi_1}{I_2}$$
B{\aa}de $M_{21}$ og $M_{12}$ er rett og slett geometriske faktorer som avhenger av form, st{\o}rrelse
og relativ plassering til de to str{\o}msl{\o}yfene.

\noindent
En kan vise at
$$M_{21} = M_{12}$$
alltid gjelder. En kan dermed {\em velge} mellom to alternative framgangsm{\aa}ter for {\aa}
bestemme gjensidig induktans mellom to str{\o}msl{\o}yfer: Enten beregne magnetisk fluks gjennom
(1) pga str{\o}m i (2), eller omvendt. Noen ganger er det ene mye enklere enn det andre!

\vspace{1.0cm}
\noindent
Enhet for induktans: $[M] = [\phi_m/I] = [B \cdot A/I] =$ T$\cdot$m$^2$/A $\equiv$ H (henry)

\vspace{1.0cm}
\noindent
Gjensidig induksjon:

\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I_1(t)$ i sl{\o}yfe (1) gir tidsavhengig fluks $\phi_2(t)$ gjennom
sl{\o}yfe (2), og dermed indusert ems i sl{\o}yfe (2):
$$\ems_2 = -\frac{d\phi_2}{dt} = -M_{21}\frac{dI_1}{dt}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Tidsavhengig str{\o}m $I_2(t)$ i sl{\o}yfe (2) gir tidsavhengig fluks $\phi_1(t)$ gjennom
sl{\o}yfe (1), og dermed indusert ems i sl{\o}yfe (1):
$$\ems_1 = -\frac{d\phi_1}{dt} = -M_{12}\frac{dI_2}{dt}$$

\end{document}
