\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 12
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Torsdag 7. og fredag 8. april

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 11. april


\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Partikler med masse $m$, ladning $q$ og hastighet $\bold{v}$ kommer
inn i et omr{\aa}de med ``krysset'' elektrisk og magnetisk felt, $\bold{E}$
og $\bold{B}$, som vist i figuren. $\bold{E}$ har retning nedover, $\bold{B}$
har retning inn i papirplanet. I omr{\aa}det med utstrekning $L$ antar vi at
feltene er homogene. Utenfor dette omr{\aa}det er $\bold{E}=\bold{B}=0$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov12_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Du holder den elektriske feltstyrken $E$ konstant gjennom hele eksperimentet.
F{\o}rst setter du $B=0$ og registrerer at partiklene avb{\o}yes og treffer
detektoren i en avstand $y$ ovenfor senterlinjen (som er stiplet). Deretter gjentar
du fors{\o}ket, men n{\aa} justerer du verdien av $B$ inntil partiklene ikke b{\o}yes
av.

\noindent
Vis at forholdet mellom partiklenes ladning og masse er proporsjonal med
avb{\o}yningen (n{\aa}r $B=0$), dvs
$$\frac{q}{m} = - a y,$$
og finn st{\o}rrelsen $a$ uttrykt ved $E$, $B$, $D$ og $L$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Oppgitt: $\bold{F} = q \left(\bold{E} + \bold{v} \times \bold{B} \right)$ \hspace{0.3cm} (Lorentzkraften)

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\small P{\aa} denne m{\aa}ten analyserte J. J. Thomson i 1897 s{\aa}kalte katodestr{\aa}ler
og p{\aa}viste at disse bestod av en bestemt type partikler med negativ ladning. Dette er
nettopp elektroner som emitteres fra metallet i katoden. Thomson var alts{\aa} den f{\o}rste
som bestemte forholdet $e/m_e$. Thomson fant det samme forholdet uavhengig av hva slags metall
han brukte i katoden og kunne konkludere med at de observerte partiklene m{\aa}tte v{\ae}re
en {\em fundamental} ingrediens i naturen.}


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov12_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Figuren viser et massespektrometer. En ionekilde emitterer ladete partikler.
{\AA}pningene $S_1$ og $S_2$ s{\o}rger for at en godt samlet ({\em kollimert})
partikkelstr{\aa}le kommer inn i omr{\aa}det med magnetfelt $\bold{B}$ (som
har retning inn i papirplanet). Mellom $S_1$ og $S_2$ har vi en spenningsforskjell
$V$ som akselererer ionene. Hastigheten ved $S_2$ er mye st{\o}rre enn ved
$S_1$, slik at vi kan sette $v = 0$ ved $S_1$.
Ionene b{\o}yes i alt 180$^\circ$ av magnetfeltet og detekteres p{\aa} en
fotografisk plate $P$.

\noindent
Spektrometeret skal brukes til {\aa} separere bromisotopene $^{79}$Br og $^{81}$Br.
Kilden sender ut disse isotopene i form av ioner med ladning $-e$. 
Anta at isotopene har atommasser henholdsvis 79$m_p$ og 81$m_p$.

\noindent
P{\aa} den fotografiske platen {\o}nskes isotopenes treffpunkt adskilt med en avstand
p{\aa} minst 1.0 cm. Samtidig m{\aa} vi s{\o}rge for at begge isotopenes treffpunkt havner
{\em p{\aa}} den fotografiske platen, som har en bredde $L=250$ cm, m{\aa}lt fra
der ionene kommer inn i magnetfeltet. Med disse betingelsene, hva blir {\o}vre
og nedre grense for styrken p{\aa} magnetfeltet $B$ n{\aa}r akselerasjonsspenningen $V$ er 400 V?

\vspace{0.3cm}
\noindent

\vspace{0.3cm}
\noindent
Oppgitt: $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ C, $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ kg \hspace{1.5cm}
{\small [Ett av svarene: $B_{\rm min} = 21$ mT]}

%\newpage
\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei sirkul{\ae}r str{\o}msl{\o}yfe med radius $R$ f{\o}rer en elektrisk str{\o}m
$I$. Str{\o}msl{\o}yfa ligger i $xy$-planet med sentrum i origo. Retningen p{\aa}
$I$ er mot klokka hvis vi har positiv $z$-akse ut av papirplanet. Vi skal i denne oppgaven
bestemme det resulterende magnetfeltet $\bold{B}(0,0,z) = \bold{B}(z)$ {\em p{\aa} symmetriaksen} til
str{\o}msl{\o}yfa (dvs p{\aa} $z$-aksen).

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov12_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvorfor er $x$- og $y$-komponenten av $\bold{B}(z)$ lik null? (Tips: Symmetri.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ I hvilken retning peker $\bold{B}(z)$ for positive og negative verdier av $z$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bruk Biot--Savarts lov,
$$d\bold{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} \;\;(=\;\;
\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times\bold{r}}{r^3}\;\;)$$ 
til {\aa} vise at
$$B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Bestem $B(z)$ i stor avstand fra str{\o}msl{\o}yfa (dvs: til ledende orden n{\aa}r
$z \gg R$) og uttrykk svaret ved hjelp av sl{\o}yfas {\em magnetiske dipolmoment} $m = |\bold{m}|$.

\vspace{0.1cm}
\noindent
Magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ for ei plan, lukket str{\o}msl{\o}yfe som omslutter
et areal $A$ er pr definisjon
$$\bold{m} = I\bold{A} = I A \; \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er enhetsvektoren normalt til den plane omsluttede flaten. Magnetisk dipolmoment er
alts{\aa} en {\em vektor} (p{\aa} samme m{\aa}te som elektrisk dipolmoment $\bold{p}$).
Positiv retning p{\aa} $\bold{m}$ er definert ved hjelp av h{\o}yreh{\aa}ndsregelen: Fire fingre
i str{\o}mmens retning gir tommelen i samme retning som $\bold{m}$.


\vspace{1.5cm}
\noindent
{\small Kommentarer:

\noindent
Merk at ulike l{\ae}reb{\o}ker bruker litt ulik notasjon her:
Noen kaller det ``magnetisk dipolmoment'', andre bare ``magnetisk moment''.
Noen bruker symbolet $\bold{\mu}$, andre bruker $\bold{m}$. 
Uansett, det er samme fysiske st{\o}rrelse det dreier seg om! Vi velger {\aa} bruke
symbolet $\bold{m}$ og kaller det magnetisk dipolmoment, i tr{\aa}d med f.eks.
den norske boka (LHL) og Griffiths. (Fishbane bruker $\bold{\mu}$, det samme gj{\o}r 
Young og Freedman.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
Det er kanskje ogs{\aa} p{\aa} sin plass {\aa} nevne at b{\aa}de elektrisk og magnetisk
dipolmoment har en mer {\em generell} definisjon enn det vi bruker i dette kurset.
(Verden best{\aa}r jo tross alt ikke bare av parvise punktladninger med motsatt fortegn og
plane str{\o}msl{\o}yfer...!) Har vi en romladningstetthet $\rho(\bold{r})$, er elektrisk
dipolmoment $\bold{p}$ pr definisjon
$$\bold{p} = \int \bold{r} \rho(\bold{r})\; d^3 r$$
Og har vi en str{\o}mfordeling gitt ved str{\o}mtettheten $\bold{j}(\bold{r})$, er
magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ pr definisjon
$$\bold{m} = \frac{1}{2} \int \bold{r} \times \bold{j}(\bold{r})\; d^3 r$$
Her g{\aa}r integralet over ``hele rommet'', dvs der henholdsvis $\rho$ og $\bold{j}$
er forskjellig fra null.
For {\em spesialtilfellene} som vi (stort sett)
ser p{\aa} i dette kurset, nemlig parvise punktladninger $\pm q$
i innbyrdes avstand beskrevet ved vektoren $\bold{d}$, og plane str{\o}msl{\o}yfer med
stasjon{\ae}r str{\o}m $I$ som omslutter et areal beskrevet ved vektoren 
(noen ganger kalt ``vektorarealet'') $\bold{A} = A\;\hat{n}$,
reduserer disse generelle definisjonene seg nettopp til
$$\bold{p} = q\bold{d}$$
og 
$$\bold{m} = I\bold{A}$$
De generelle definisjonene av $\bold{p}$ og $\bold{m}$ er ikke pensum i dette kurset.}



\end{document}
