\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 7
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Fredag 22.\ og mandag 25.\ februar.

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 29. februar kl 1200.


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{fylte_kond.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
I denne oppgaven skal vi se p{\aa} parallellplatekondensatorer satt sammen av
to metallplater i innbyrdes avstand $d$ og med plateareal $A = L^2$. 
Du kan anta at $L \gg d$, slik at vi kan se bort fra randeffekter og anvende
resultater utledet for uendelig store plater. I hvert tilfelle er metallplatene koblet
til en spenningskilde slik at potensialforskjellen mellom platene holdes fast p{\aa}
$V_0$, med h{\o}yest potensial p{\aa} den {\o}verste platen.
Rommet mellom platene er fylt med to ulike dielektrika, som vist i figuren over.
Disse har relative permittiviteter hhv $\varepsilon_{r1}$ og $\varepsilon_{r2} = 4\varepsilon_{r1}$.

\noindent
For hver av de to kondensatorene (a) og (b) skal du bestemme $\bold{E}$, $\bold{P}$ og $\bold{D}$
i rommet mellom metallplatene. Skisser feltlinjer for de tre vektorfeltene.
Bestem videre ladning pr flateenhet p{\aa} de ulike overflatene.
(Dvs: {\em fri} ladning $\sigma_f$ pr flateenhet p{\aa} metallplatene og {\em indusert} (bundet)
ladning $\sigma_i$ pr flateenhet p{\aa} overflaten av de ulike dielektriske lagene.)

\noindent
Finn kapasitansene $C_a$ og $C_b$ til hhv kondensator (a) og (b), uttrykt ved
$A$, $d$ og $\varepsilon_{r1}$. Bruk formelen for parallellkobling av kapasitanser
og vis at $C_a$ tilsvarer en parallellkobling av to kondensatorer med plateavstand $d$ og
plateareal $A/2$, fylt med dielektrika med relativ permittivitet hhv
$\varepsilon_{r1}$ og $\varepsilon_{r2} = 4\varepsilon_{r1}$. Tilsvarende, bruk formelen
for seriekobling av kapasitanser og vis at $C_b$ tilsvarer en seriekobling av to kondensatorer
med plateavstand $d/2$ og plateareal $A$, fylt med dielektrika med relativ permittivitet hhv
$\varepsilon_{r1}$ og $\varepsilon_{r2} = 4\varepsilon_{r1}$.

\noindent
Til slutt:
Anta at $d = 1$ mm, $A = 10$ cm$^2$, $V_0 = 100$ V og $\varepsilon_{r1} = 2$, og
regn ut tallverdier for de ulike st{\o}rrelsene som er involvert ($\sigma_f$, $\sigma_i$, $E$, $P$, $D$, $C$).

\vspace{0.3cm}
\noindent
Noen tallsvar: $E_a = 10^5$ V/m, $D_b = \sigma_{fb} \simeq 2.8 \; \mu$C/m$^2$,
$C_a \simeq 44$ pF, $C_b \simeq 28$ pF



\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2: Grenseflatebetingelser for} $\bold{E}$ {\em (og} $\bold{D}${\em )}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Vi skal her se n{\ae}rmere p{\aa} hvordan det elektriske feltet ''oppf{\o}rer seg''
n{\aa}r vi krysser en {\em grenseflate} med ladning $\sigma$ pr flateenhet. Med grenseflate
mener vi ikke annet enn en flate som deler rommet i omr{\aa}dene 1 (''over'') og 2 (''under''):

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.5in \epsfbox{ov6_fig2.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Oppgaven g{\aa}r i korthet ut p{\aa} {\aa} vise at det elektriske feltet
er {\em diskontinuerlig} n{\aa}r vi krysser en slik grenseflate med elektrisk ladning:
$$\bold{E}_1 - \bold{E}_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{n} \;\;\;\;\;\;\; (*)$$
Her er $\bold{E}_1$ feltet i omr{\aa}de 1 like over flaten, $\bold{E}_2$ tilsvarende
i omr{\aa}de 2 like under flaten, mens $\hat{n}$ er en flatenormal (enhetsvektor)
med retning oppover.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Kommentarer og tips:

\noindent
Dette kan v{\ae}re et flatt plan, men det kan f.eks. ogs{\aa} v{\ae}re en liten bit av
en kuleflate: Er vi tilstrekkelig n{\ae}r en kuleflate, ser ogs{\aa} den flat ut.

\noindent
Vi tenker oss dessuten at det ikke er noe netto ladning ''like over'' eller ''like under''
den angitte flaten. (Men ''andre steder'' kan det godt v{\ae}re netto ladning.)
Det betyr at vi ser en {\em diskontinuitet} i elektrisk ladning n{\aa}r vi
''spaserer'' fra omr{\aa}de 2 gjennom flaten og inn i omr{\aa}de 1. (Men {\em i flaten}
har vi en kontinuerlig flateladning $\sigma$.)

\noindent
Du ser at ligningen $(*)$ er en kompakt m{\aa}te {\aa} uttrykke at {\em tangentialkomponenten}
av $\bold{E}$ er kontinuerlig,
$$E_1^\parallel - E_2^\parallel = 0,$$
mens {\em normalkomponenten} er diskontinuerlig,
$$E_1^\perp - E_2^\perp = \frac{\sigma}{\varepsilon_0},$$
n{\aa}r vi krysser grenseflaten. Bruk de to Maxwell-ligningene,
$\oint \bold{E} \cdot d\bold{l} = 0$ og $\oint \bold{E} \cdot d\bold{A} = q_{\rm in}/
\varepsilon_0$, for det elektrostatiske feltet til {\aa} utlede de oppgitte
grenseflatebetingelsene for henholdsvis $E^\parallel$ og $E^\perp$. Fornuftig valg av
lukket integrasjonskurve og -flate (''gaussboks'') vil v{\ae}re som angitt i figuren
nedenfor, henholdsvis en rektangul{\ae}r kurve med sidekanter $h$ og $L$ og en
''pilleeske'' med sidekanter $h$, $L$ og $L$. Begge ''omslutter'' en bit av grenseflaten.
Du lar s{\aa} $L$ v{\ae}re ''liten'' men endelig (dvs s{\aa} liten at feltstyrken
kan antas {\aa} v{\ae}re konstant over hele lengden $L$, eventuelt over hele flaten $L\times L$),
mens du lar h{\o}yden $h\rightarrow 0$.

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{ov6_fig3.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
Sluttkommentar: 

\noindent
Du har n{\aa} brukt Gauss' lov for $\bold{E}$ til {\aa} utlede grenseflatebetingelsen
for normalkomponenten av det elektriske feltet, dvs $E^\perp$. Da er det selvsagt ingen
som kan hindre deg i {\aa} bruke Gauss' lov for den elektriske forskyvningsvektoren
$\bold{D}$ til {\aa} utlede en tilsvarende grenseflatebetingelse for normalkomponenten $D^\perp$:
$$D_1^\perp - D_2^\perp = \sigma_f$$
Her er $\sigma_f$ netto {\em fri} ladning pr flateenhet i grenseflaten mellom omr{\aa}de 1 og 2.


\end{document}
