\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 13
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Uke 15

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 16. april


\vspace{0.4cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei sirkul{\ae}r str{\o}msl{\o}yfe med radius $R$ f{\o}rer en elektrisk str{\o}m
$I$. Str{\o}msl{\o}yfa ligger i $xy$-planet med sentrum i origo. Retningen p{\aa}
$I$ er mot klokka hvis vi har positiv $z$-akse ut av papirplanet. Vi skal i denne oppgaven
bestemme det resulterende magnetfeltet $\bold{B}(0,0,z) = \bold{B}(z)$ {\em p{\aa} symmetriaksen} til
str{\o}msl{\o}yfa (dvs p{\aa} $z$-aksen).

%%FIGURE
\vspace{0.4cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov12_fig3.eps}}
\vspace{0.4cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvorfor er $x$- og $y$-komponenten av $\bold{B}(z)$ lik null? (Tips: Symmetri.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ I hvilken retning peker $\bold{B}(z)$ for positive og negative verdier av $z$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bruk Biot--Savarts lov,
$$d\bold{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times\hat{r}}{r^2} \;\;(=\;\;
\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times\bold{r}}{r^3}\;\;)$$ 
til {\aa} vise at
$$B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Bestem $B(z)$ i stor avstand fra str{\o}msl{\o}yfa (dvs: til ledende orden n{\aa}r
$z \gg R$) og uttrykk svaret ved hjelp av sl{\o}yfas {\em magnetiske dipolmoment} $m = |\bold{m}|$.
Sammenlign dette uttrykket med det elektriske feltet i stor avstand fra en elektrisk dipol, uttrykt
ved det elektriske dipolmomentet $p$ (se {\o}ving 5).

\vspace{0.1cm}

$$-------------------------$$

\vspace{0.1cm}
\noindent
Magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ for ei plan, lukket str{\o}msl{\o}yfe som omslutter
et areal $A$ er pr definisjon
$$\bold{m} = I\bold{A} = I A \; \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er enhetsvektoren normalt til den plane omsluttede flaten. Magnetisk dipolmoment er
alts{\aa} en {\em vektor} (p{\aa} samme m{\aa}te som elektrisk dipolmoment $\bold{p}$).
Positiv retning p{\aa} $\bold{m}$ er definert ved hjelp av h{\o}yreh{\aa}ndsregelen: Fire fingre
i str{\o}mmens retning gir tommelen i samme retning som $\bold{m}$.


\newpage
%\vspace{1.5cm}
\noindent
Kommentarer:

\vspace{1.5cm}

\begin{itemize}
\item
Merk at ulike l{\ae}reb{\o}ker bruker litt ulik notasjon her:
Noen kaller det ``magnetisk dipolmoment'', andre bare ``magnetisk moment''.
Noen bruker symbolet $\bold{\mu}$, andre bruker $\bold{m}$. 
Uansett, det er samme fysiske st{\o}rrelse det dreier seg om! Vi velger {\aa} bruke
symbolet $\bold{m}$ og kaller det magnetisk dipolmoment, i tr{\aa}d med f.eks.
den norske boka (LHL) og Griffiths. (TM bruker $\bold{\mu}$, det samme gj{\o}r 
Young og Freedman.)
\item
I likhet med elektrisk dipolmoment har ogs{\aa} magnetisk
dipolmoment en mer {\em generell} definisjon enn den vi innf{\o}rte ovenfor.
(Verden best{\aa}r jo tross alt ikke bare av parvise punktladninger med motsatt fortegn og
plane str{\o}msl{\o}yfer...!) La oss repetere den generelle definisjonen av
elektrisk dipolmoment: Har vi en romladningstetthet $\rho(\bold{r})$, er elektrisk
dipolmoment $\bold{p}$ pr definisjon
$$\bold{p} = \int \bold{r} \rho(\bold{r})\; d^3 r$$
Og har vi en str{\o}mfordeling gitt ved str{\o}mtettheten $\bold{j}(\bold{r})$, er
magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ pr definisjon
$$\bold{m} = \frac{1}{2} \int \bold{r} \times \bold{j}(\bold{r})\; d^3 r$$
Her g{\aa}r integralet over ``hele rommet'', dvs der henholdsvis $\rho$ og $\bold{j}$
er forskjellig fra null.
For {\em spesialtilfellene} som vi (stort sett)
ser p{\aa} i dette kurset, nemlig parvise punktladninger $\pm q$
i innbyrdes avstand beskrevet ved vektoren $\bold{d}$, og plane str{\o}msl{\o}yfer med
stasjon{\ae}r str{\o}m $I$ som omslutter et areal beskrevet ved vektoren 
(noen ganger kalt ``vektorarealet'') $\bold{A} = A\;\hat{n}$,
reduserer disse generelle definisjonene seg nettopp til
$$\bold{p} = q\bold{d}$$
og 
$$\bold{m} = I\bold{A}$$
I oppgave 2 skal du bestemme $\bold{m}$ med utgangspunkt i en gitt
str{\o}mtetthet $\bold{j}$.
\end{itemize}


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.8cm}
\noindent
En str{\o}mf{\o}rende ring har ''midlere radius'' $R$ og et rektangul{\ae}rt tverrsnitt
med h{\o}yde $b$ og bredde $a$ (slik at indre og ytre radius blir 
henholdsvis $R-a/2$ og $R+a/2$). Ringen f{\o}rer
en str{\o}m $I$ som er jevnt fordelt over det rektangul{\ae}re tverrsnittet.

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ring_rectangular.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi velger koordinatsystem som vist i figuren, dvs med ringens symmetriakse langs
$z$-aksen, og med ringens sentrum i origo.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Bruk den generelle definisjonen av magnetisk dipolmoment gitt i kommentarene
p{\aa} forrige side og vis at
$$\bold{m} =\frac{I \pi R^3}{3a} \left[ \left(1+\frac{a}{2R}\right)^3 -
\left(1-\frac{a}{2R}\right)^3 \right] \, \hat{z}$$
Tips: Bruk sylinderkoordinater $(s,\phi,z)$ med $s=\sqrt{x^2+y^2}$ og
$\phi$ lik vinkelen mellom $\hat{x}$ og $\hat{s}$ (se figuren).
Volumelement i sylinderkoordinater: $dV = dz \cdot s\,d\phi \cdot ds$

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Vis at $\bold{m} = IA \,\hat{z}$ dersom ringen er tynn, dvs
$a \ll R$. Her er $A$ arealet som omsluttes av str{\o}mmen $I$.

\noindent
[Legg merke til at $\bold{m}$ ikke avhenger av h{\o}yden $b$, slik at vi
f{\aa}r $\bold{m} = IA \,\hat{z}$ ogs{\aa} med en str{\o}mf{\o}rende
sylinder, dvs med $b$ av samme st{\o}rrelsesorden som $R$, ja, til og med
med $b$ mye st{\o}rre enn $R$.]



%\vspace{1.0cm}
\newpage
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I denne oppgaven skal vi med utgangspunkt i en klassisk atommodell se n{\ae}rmere p{\aa}
hvordan et ytre magnetfelt $\bold{B}$ vil p{\aa}virke elektronets banebevegelse rundt
atomkjernen. En slik {\em diamagnetisk respons} f{\aa}r vi i alle atomer. (Mer om
ulike typer magnetisme i forelesningene etterhvert!) Her kan vi for
enkelhets skyld ha et hydrogenatom i tankene, med ett elektron med ladning $-e$ 
i sirkul{\ae}r bane (i $xy$-planet) med radius $R$ rundt en kjerne med ladning $+e$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Uten et ytre magnetfelt tilstede er elektronets hastighet $v_0$. Vis at uniform
sirkelbevegelse i Coulombfeltet fra atomkjernen da resulterer i en baneradius
$$R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}$$
Hva blir elektronets banedreieimpuls $\bold{L}_0$ og magnetiske dipolmoment $\bold{m}_0$?
(Vi ser her bort fra elektronets indre dreieimpuls, dets {\em spinn}.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Vi skrur n{\aa} p{\aa} et magnetfelt $\bold{B}$, for enkelhets skyld rettet normalt
p{\aa} elektronets sirkul{\ae}re bane. 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{ov14_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Elektronet p{\aa}virkes da, i tillegg til Coulombkraften fra kjernen, av en magnetisk
kraft $\bold{F}_m = -e \bold{v} \times \bold{B}$ slik at bevegelsesligningen endres. Resultatet blir
en endret sammenheng mellom elektronets hastighet $v$ og banens radius $R$. 
Anta at magnetfeltet kun endrer hastigheten, og ikke banens radius $R$, 
og bestem hastigheten $v$.
Bestem ogs{\aa} det magnetiske dipolmomentet $\bold{m}$ og vis at {\em endringen}
$$\Delta \bold{m} = \bold{m} - \bold{m}_0$$
alltid vil v{\ae}re {\em motsatt rettet} $\bold{B}$, uansett om $\bold{B}$ peker ``opp'' eller
``ned'' i forhold til retningen p{\aa} elektronets opprinnelige magnetiske dipolmoment
$\bold{m}_0$.

\newpage
%\vspace{0.2cm}
\noindent
Kommentarer:
\begin{itemize}
\item
Vi har tidligere konkludert med at et statisk magnetfelt aldri utf{\o}rer noe arbeid p{\aa}
en ladning i bevegelse ettersom $\bold{F}_m \perp \bold{v}$. Et statisk magnetfelt kan alts{\aa}
ikke endre ladningens hastighet (i absoluttverdi), tilsynelatende i konflikt med det vi har funnet
ovenfor. Poenget er imidlertid at vi starter med $B=0$ og {\em skrur p{\aa}} et magnetfelt. Dermed
har vi ikke hele tiden et statisk magnetfelt, men et felt som i l{\o}pet av en viss tid m{\aa}
endre seg fra null til sin endelige verdi. Som vi skal se i forelesningene, vil et
tidsavhengig magnetfelt skape ("indusere") et elektrisk felt (Faradays induksjonslov), 
og et elektrisk felt kan som kjent endre hastigheten til et elektron.
\item
Fortegnet p{\aa} den diamagnetiske responsen er et uttrykk for {\em Lenz' lov},
som kanskje noen har h{\o}rt om tidligere, og som vi skal komme tilbake til
i forelesningene:
Systemets "respons" er slik at den p{\aa}trykte endringen {\em motvirkes}. 
\item
Strengt tatt er det n{\o}dvendig med en {\em kvantemekanisk} beskrivelse for {\aa} forklare
diamagnetisme ``skikkelig''. Faktisk er det et {\em teorem} i statistisk fysikk som sier at
for et system av klassiske ladete partikler i termisk likevekt i et ytre magnetfelt er det induserte
magnetiske dipolmomentet {\em eksakt lik null} (Bohr - van Leeuwens teorem). Med andre ord:
Diamagnetisme er en ren kvantemekanisk effekt! Likevel gir den enkle klassiske modellen med ett
atom et brukbart kvalitativt bilde av effekten.
\end{itemize}


\end{document}
