\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009, uke 14

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 01.04.09 og fredag 03.04.09
\end{large}
\end{center}

\noindent
{\bf Magnetisme} 

\noindent
[FGT 31.1 - 31.4; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.3; LHL 26.1 - 26.5; DJG 6.4]


\vspace{0.3cm}
\noindent
Atomer er sm{\aa} magnetiske dipoler. Med andre ord: Materien som vi omgir oss med best{\aa}r
av mange sm{\aa} atom{\ae}re magnetiske dipoler:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{uke44_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Systemets totale magnetiske dipolmoment $\bold{m}$ blir vektorsummen av ''byggeklossenes''
magnetiske dipolmoment:
$$\bold{m} = \sum_j \bold{m}_j$$
Ordnet fase med alle $\bold{m}_j$ i samme retning gir $\bold{m} \ne 0$, mens uordnet fase
med $\bold{m}_j$ pekende i tilfeldige retninger gir $\bold{m} \simeq 0$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Magnetisk dipol i ytre felt $\bold{B}_0$ utsettes for dreiemoment
$$\bold{\tau} = \bold{m} \times \bold{B}_0$$
og dipolens potensielle energi i et slik ytre felt er
$$U = -\bold{m} \cdot \bold{B}_0$$
Med andre ord: helt tilsvarende uttrykk som vi fant for elektrisk dipol i ytre elektrisk felt.
(Se oppgave i regne{\o}ving 13.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Magnetisering} $\bold{M}$ defineres som magnetisk dipolmoment pr volumenhet:
$$\bold{M} = \frac{\bold{m}}{V}$$
(Sammenlign elektrisk polarisering, $\bold{P} = \bold{p}/V$.)

\newpage
\noindent
Ulike typer magnetisme:

\begin{itemize}
\item
Paramagnetisme: I materiale med atom{\ae}re magnetiske dipolmoment $\bold{m} \neq 0$
rettes $\bold{m}$ inn langs det p{\aa}trykte magnetfeltet $\bold{B}_0$,
analogt en elektrisk dipol som rettes inn langs et p{\aa}trykt elektrisk
felt $\bold{E}_0$. (Eksempler p{\aa} paramagneter: Al, Pt.)
\item
Diamagnetisme: Det p{\aa}trykte feltet $\bold{B}_0$
p{\aa}virker elektronets banebevegelse slik
at vi f{\aa}r indusert en endring $\Delta \bold{m}$ i magnetisk dipolmoment med
motsatt retning av $\bold{B}_0$. Man har en slik diamagnetisk respons i alle atomer,
men da den er svak, observeres den typisk bare i materialer med null
permanent atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment.
(Eksempler p{\aa} diamagneter: Au, Ag, Cu.)
\item
Ferromagnetisme: Har n{\aa} {\em vekselvirkende} atom{\ae}re magnetiske dipolmoment
p{\aa} naboatomer, slik at det blir energetisk foretrukket med en bestemt
orientering av de ulike $\bold{m}$. Ferromagnet: Parallelle $\bold{m}$ foretrekkes.
Antiferromagnet: Antiparallelle $\bold{m}$ foretrekkes. 
(Eksempler, ferromagneter: Fe, Co, Ni; antiferromagneter: Cr, FeO, Cr$_2$O$_3$.)
Rent {\em fenomenologisk} kan vi beskrive en slik vekselvirkning ved hjelp av en potensiell
energi $U$ p{\aa} formen
$$U = -J \, \sum_i \bold{m}_i \cdot \bold{m}_{i+1}$$
der parameteren $J$ representerer styrken p{\aa} vekselvirkningen, og dessuten typen
vekselvirkning: ferromagnetisk vekselvirkning betyr $J > 0$, mens antiferromagnetisk
vekselvirkning betyr $J < 0$. Dersom temperaturen i materialet {\o}kes, kan den
ferromagnetiske innrettingen av magnetiske dipoler {\o}delegges. For en ferromagnet
av et gitt materiale skjer denne {\em faseovergangen}, fra en ordnet ferromagnetisk
fase til en uordnet paramagnetisk fase, ved en s{\aa}kalt {\em kritisk temperatur}
$T_c$. For jern er $T_c = 770 ^\circ$C.
\end{itemize}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetiske domener: Inne i et ferromagnetisk materiale kan vi ha omr{\aa}der som er sm{\aa}
i forhold til en typisk makroskopisk lengdeskala men store i forhold til atom{\ae}r
lengdeskala, og der alle atomer har magnetisk dipolmoment pekende i samme retning. Ett slik
{\em domene} vil dermed v{\ae}re en liten magnet. Men hvis v{\aa}rt makroskopiske
stykke ferromagnetisk materiale best{\aa}r av mange slike domener, der ulike domener har de magnetiske
dipolene pekende i ulike retninger, vil magnetfeltet omkring bli omtrent lik null, dvs
materialet v{\aa}rt er alt i alt {\em ikke} en magnet. En kniv av st{\aa}l er et slik
eksempel. I en stavmagnet, derimot, har vi (mer eller mindre) ett magnetisk domene der alle dipoler
peker i samme retning. Dermed f{\aa}r vi et betydelig magnetfelt i rommet omkring stavmagneten,
dvs vi har en magnet! Vi skal se, mot slutten av kurset, at energien pr volumenhet som er ''lagret''
i et magnetfelt er proporsjonal med kvadratet av den magnetiske feltstyrken, n{\ae}rmere
bestemt $u_B = B^2/2\mu_0$. En stavmagnet vil omgi seg med et betydelig magnetfelt, og da vil det
v{\ae}re en betydelig energi lagret i magnetfeltet. Rundt et stykke umagnetisk jern, best{\aa}ende
av mange magnetiske domener, er magnetfeltet ubetydelig, og dermed er ogs{\aa} den magnetiske
energien lavere. Til gjengjeld vil den potensielle energien assosiert med vekselvirkningen
mellom nabo-dipoler bli h{\o}yere i og med at det langs domenegrensene finnes dipoler som ikke
peker i samme retning. Alt i alt {\o}nsker systemet {\aa} minimere sin totale energi, og noen
ganger resulterer det i ett eller bare noen f{\aa} magnetiske domener, mens andre ganger blir
det lavest energi med mange magnetiske domener.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisk hysterese: N{\aa}r vi plasserer en ferromagnet i et ytre magnetfelt $\bold{B}_0$,
vil det v{\ae}re energetisk mest gunstig {\aa} ha de magnetiske dipolene i samme retning
som det ytre feltet. Domener med $\bold{m}$ i samme retning som $\bold{B}_0$ vil dermed
vokse p{\aa} bekostning av domener med $\bold{m}$ i andre retninger. Magnetiseringen i
ferromagneten (dvs: det magnetiske dipolmomentet pr volumenhet, se nedenfor) {\o}ker
dermed fra $M=0$ til en maksimal verdi $M=M_s=$ metningsmagnetiseringen ("s" for saturation),
der alle atom{\ae}re $\bold{m}$ peker i samme retning som $\bold{B}_0$. Denne reorienteringen
av magnetiske dipoler er ikke en fullstendig {\em reversibel} prosess, dvs den er delvis
{\em irreversibel}. Det betyr at dersom vi skrur av det ytre feltet igjen, vil ferromagneten
{\em ikke} ende opp i den samme tilstanden som den startet i (med $M=0$), men i en annen tilstand,
med en viss "restmagnetisering" $M_r$. Vi m{\aa} skru p{\aa} et ytre felt i motsatt retning
for {\aa} komme tilbake til tilstanden med $M=0$. Med et tilstrekkelig sterkt ytre felt i
motsatt retning kan vi deretter igjen f{\aa} alle dipolene til {\aa} peke i samme retning
som det ytre feltet. Da er $M=-M_s$. Og skrur vi s{\aa} av det ytre feltet, vil ikke $M$ bli
lik null, men derimot $-M_r$. Og slik kan vi fortsette. Hvis vi plotter $M$ som funksjon av det
ytre feltet $B_0$, f{\aa}r vi en slik kurve:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{hysterese.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\noindent
{\em Formen} p{\aa} hysteresekurven vil n{\aa} avgj{\o}re om det er snakk om en
s{\aa}kalt "hard magnet" (dvs en permanentmagnet) eller en "bl{\o}t magnet" (f.eks.
et stykke st{\aa}l): 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{hardsoft.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\noindent
Figur A tilsvarer st{\aa}lbiten: Vi har essensielt null magnetisering med null ytre felt.
Plasseres biten i et ytre magnetfelt, vil magnetiseringen {\o}ke line{\ae}rt med
styrken p{\aa} det ytre feltet, men selvsagt "flate ut" n{\aa}r vi n{\ae}rmer oss
metningsmagnetiseringen. Skrur vi av det ytre feltet, kommer vi tilbake til $M \simeq 0$,
og det stemmer jo med v{\aa}re erfaringer: St{\aa}lbiten forblir ikke magnetisk hvis vi
skrur av det ytre feltet.
Figur B tilsvarer en permanentmagnet: Vi har stor magnetisering selv med null ytre felt,
og selv om vi plasserer magneten i et ytre felt, vil magnetiseringen essensielt forbli
uendret. (Men: Skrur vi p{\aa} et {\em veldig} sterkt ytre felt, kan vi faktisk snu
retningen p{\aa} magnetiseringen, dvs vi kan bytte om nord- og sydpol.) 



\vspace{1.2cm}
\noindent
{\bf Magnetisering og overflatestr{\o}m (bundet str{\o}m)} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.5; LHL 26.1; DJG 6.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Som nevnt tidligere: Magnetisering $\bold{M}$ er, pr definisjon, magnetisk dipolmoment pr volumenhet:
$$\bold{M} = \frac{\Delta \bold{m}}{\Delta V}$$
dersom vi har et netto magnetisk dipolmoment $\Delta\bold{m}$ i volumet $\Delta V$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Magnetisering tilsvarer atom{\ae}re str{\o}msl{\o}yfer med str{\o}mmen i samme
retning. Alle indre str{\o}mmer vil dermed kansellere, slik at nettoeffekten av
magnetisering i et objekt er en {\em overflatestr{\o}m}. Sammenlign med polarisering i dielektriske
medier, der nettoeffekten av elektrisk polarisering er en {\em overflateladning}.

\noindent
I tallverdi er
$$M = i_m$$
der $i_m$ er overflatestr{\o}mmen pr lengdeenhet (dvs: der ''lengden'' er i 
retning langs $\bold{M}$).

\noindent
P{\aa} vektorform kan dette skrives
$$\bold{i}_m = \bold{M} \times \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er en enhetsvektor som st{\aa}r normalt p{\aa} overflaten
der $i_m$ g{\aa}r (samt normalt p{\aa} $\bold{M}$).

\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf $H$-feltet} 

\noindent
[FGT 31.1; YF 28.8; TM 27.5; AF 26.6; LHL 26.1; DJG 6.3]

\vspace{0.2cm}
\noindent
Definisjon:
$$\bold{H} = \frac{1}{\mu_0}\bold{B} - \bold{M}$$
Dvs:
$$\bold{B} = \mu_0 \bold{H} + \mu_0 \bold{M}$$
For uendelig lang spole fylt med magnetiserbart materiale viste vi da
at
$$H = n I_f$$
der $n$ er viklingstettheten p{\aa} spolen og $I_f$ er ''fri'', p{\aa}trykt
str{\o}m, dvs str{\o}mmen i spoletr{\aa}den.

\noindent
Med andre ord: Slik $H$-feltet er definert, er det direkte gitt ved den
p{\aa}trykte str{\o}mmen $I_f$.

\noindent
Det {\em totale} magnetfeltet $\bold{B}$, derimot, er bestemt av {\em total}
str{\o}m, dvs summen av fri str{\o}m $I_f$ og bundet magnetiseringsstr{\o}m
$I_m$ (pr vikling, slik at magnetiseringsstr{\o}m pr lengdeenhet blir
$n I_m$).

\vspace{0.5cm}
\noindent
P{\aa} samme m{\aa}te som vi hadde Gauss' lov for den elektriske
forskyvningen $\bold{D}$, uttrykt ved {\em fri ladning}, har vi
Amperes lov for $\bold{H}$ uttrykt ved {\em fri str{\o}m}:
$$\oint \bold{H} \cdot d\bold{l} = I^{\rm in}_{\rm fri}$$
Alts{\aa}: Kurveintegralet av $\bold{H}$ rundt en lukket kurve er
lik netto {\em fri} str{\o}m (dvs str{\o}m som ikke er for{\aa}rsaket
av magnetisering) $I^{\rm in}_{\rm fri}$ som er omsluttet av den
lukkede kurven.

\vspace{1.5cm}
\noindent
Neste uke: P{\aa}skeferie.
Etter p{\aa}ske: Magnetisk susceptibilitet og permeabilitet (dvs: line{\ae}r respons).
Deretter: Elektrodynamikk: Faradays induksjonslov. Lenz' lov etc. etc.



\end{document}
