\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Elektromagnetiske b{\o}lger: Utledning av b{\o}lgeligning for elektrisk felt og
magnetfelt med utgangspunkt i Maxwells ligninger.
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Maxwells ligninger p{\aa} integralform:
$$\varepsilon_0\oint \bold{E}\cdot d\bold{A} = q$$
$$\oint \bold{E}\cdot d\bold{l} = -\frac{d}{dt}\int\bold{B}\cdot d\bold{A}$$
$$\oint\bold{B}\cdot d\bold{A}=0$$
$$\oint\bold{B}\cdot d\bold{l}=\mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0\frac{d}{dt}\int\bold{E}\cdot d\bold{A}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Maxwells ligninger p{\aa} differensialform:
$$\varepsilon_0\nabla\cdot\bold{E}=\rho$$
$$\nabla \times \bold{E} = - \frac{\partial\bold{B}}{\partial t}$$
$$\nabla \cdot \bold{B} = 0$$
$$\nabla \times \bold{B} = \mu_0 \bold{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \bold{E}}{\partial t}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
I fritt rom, dvs der $\rho=0$ og $\bold{j}=0$:
$$\nabla\cdot\bold{E}=0$$
$$\nabla \times \bold{E} = - \frac{\partial\bold{B}}{\partial t}$$
$$\nabla \cdot \bold{B} = 0$$
$$\nabla \times \bold{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \bold{E}}{\partial t}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Matematisk identitet:
$$\nabla \times \nabla \times \bold{G} =
\nabla (\nabla \cdot \bold{G}) - \nabla^2 \bold{G}$$
for vilk{\aa}rlig vektor $\bold{G}$. Her er f{\o}rste ledd p{\aa} h{\o}yre
side "grad div $\bold{G}$",
\begin{eqnarray}
\nabla (\nabla \cdot \bold{G}) &=&
\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial G_x}{\partial x} +
\frac{\partial G_y}{\partial y} +
\frac{\partial G_z}{\partial z} \right)\;\hat{x} \\ \nonumber
&+& 
\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial G_x}{\partial x} +
\frac{\partial G_y}{\partial y} +
\frac{\partial G_z}{\partial z} \right)\;\hat{y} \\ \nonumber
&+& 
\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial G_x}{\partial x} +
\frac{\partial G_y}{\partial y} +
\frac{\partial G_z}{\partial z} \right)\;\hat{z}  \nonumber
\end{eqnarray}
mens andre ledd er
$$\nabla^2 \bold{G} = \frac{\partial^2 \bold{G}}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 \bold{G}}{\partial y^2}  +
\frac{\partial^2 \bold{G}}{\partial z^2}$$
I fritt rom er b{\aa}de $\nabla \cdot \bold{E}=0$ og
$\nabla \cdot \bold{B}=0$, slik at
$$\nabla \times \nabla \times \bold{E} = - \nabla^2 \bold{E}$$
og
$$\nabla \times \nabla \times \bold{B} = - \nabla^2 \bold{B}$$
Ta curl p{\aa} begge sider av Faradays lov. Det gir:
$$\nabla \times \nabla \times \bold{E} = - \nabla^2 \bold{E} = 
-\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \bold{B})$$
Dernest bruker vi Ampere-Maxwells lov:
$$\nabla \times \bold{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \bold{E}}{\partial t}$$
Kombinerer vi de to siste ligningene, f{\aa}r vi:
$$\nabla^2 \bold{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \bold{E}}{\partial t^2}$$
En {\em generell} b{\o}lgeligning for en st{\o}rrelse $f$ som forplanter seg med
hastighet $v$, f.eks. i $x$-retning, ser slik ut:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$$
F{\o}lgelig kan vi konkludere med at Maxwells ligninger beskriver et elektrisk felt
som forplanter seg i fritt rom med hastighet
$$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \simeq 3\cdot10^8 \; {\rm m/s}\; = c$$
dvs lyshastigheten i vakuum.

\vspace{0.3cm}
\noindent
P{\aa} tilsvarende vis kan vi utlede en b{\o}lgeligning for magnetfeltet: Start med
{\aa} ta curl p{\aa} begge sider av Ampere-Maxwells lov. Det gir:
$$\nabla \times \nabla \times \bold{B} = - \nabla^2 \bold{B} =
\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \bold{E})$$
Dernest bruker vi Faradays lov:
$$\nabla \times \bold{E} = - \frac{\partial \bold{B}}{\partial t}$$
Kombinerer vi de to siste ligningene, f{\aa}r vi:
$$\nabla^2 \bold{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \bold{B}}{\partial t^2}$$
Dvs samme b{\o}lgeligning som for $\bold{E}$!

\vspace{0.3cm}
\noindent
Konklusjon: Maxwells ligninger beskriver  {\em elektromagnetiske b{\o}lger} som
forplanter seg i fritt rom med lyshastigheten $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$.

\end{document}
