\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1303: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2004

\end{bf}
\begin{large}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\huge MAGNETISME SOM 

\vspace{0.3cm}
RELATIVISTISK FENOMEN}

\vspace{0.5cm}
(orienteringsstoff; ikke eksamensrelevant)
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
Er vi avhengige av b{\aa}de positive og negative ladninger med like store,
motsatt rettede hastigheter i lederen for {\aa} vise at vi f{\aa}r en
magnetisk kraft fra den str{\o}mf{\o}rende lederen?

\noindent
La oss se p{\aa} bare {\em en} type ladninger! I en kobberledning p{\aa} laben
vet vi at vi har positivt ladete kjerner som ikke beveger seg og negativt ladete
(frie) elektroner som beveger seg (og som utgj{\o}r str{\o}mmen i kobberledningen).
Her tar vi for oss et "fiktivt" system: En uendelig lang rekke av like store positive
ladninger $Q$ som alle beveger seg med samme hastighet $u$ i en gitt retning. En annen
ladning $q$ beveger seg med hastighet $v$ i samme retning. Avstanden fra $q$ til rekken
med positive ladninger er $a$:

\vspace{0.5cm}
\noindent
%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{poslad_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
Vi har alts{\aa} f{\o}lgende 3 referansesystemer i bevegelse relativt til hverandre:
\begin{itemize}
\item
$S$: Labsystemet. Der sitter vi sammen med Per og gj{\o}r v{\aa}re m{\aa}linger.
\item
$S_v$: Systemet der ladningen $q$, samt P{\aa}l, er i ro. P{\aa}l har hastighet $v$,
m{\aa}lt i system $S$, dvs av Per.
\item
$S_u$: Systemet der rekken med positive ladninger, samt Espen, er i ro. Espen har
hastighet $u$, m{\aa}lt i system $S$, dvs av Per.
\end{itemize}
La oss starte med {\aa} sp{\o}rre Espen om hvor mye ladning det er pr lengdeenhet i
$S_u$. Espen m{\aa}ler en viss avstand $d_u$ mellom ladningene (som her er i ro) og
noterer en ladning $\lambda_u = Q/d_u$ pr lengdeenhet.

\noindent
Per kan ikke si seg enig i dette. Fra hans synsvinkel er avstanden mellom ladningene kortere:
$$d = \frac{d_u}{\gamma_u} =d_u \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$$
Ettersom partiklenes ladning $Q$ er s{\aa}kalt {\em invariant} (dvs: uavhengig av om partikkelen
er i ro eller i bevegelse), m{\aa}ler Per en ladning
$$\lambda = \frac{Q}{d} = \frac{Q}{d_u \sqrt{1-u^2/c^2}}$$
pr lengdeenhet for rekken med positive ladninger.

\noindent
Hva s{\aa} med P{\aa}l, som if{\o}lge Per beveger seg med hastighet $v$, hvor stor avstand vil
han m{\aa}le mellom ladningene $Q$? Det avhenger av hvilken hastighet $w$ systemet $S_u$
beveger seg med, vel {\aa} merke sett fra P{\aa}ls synsvinkel. La oss for eksempel anta at
$v$ er st{\o}rre enn $u$ 


%\vspace{0.5cm}
\newpage
\noindent
Lorentzkontraksjon:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\begin{center} 
{\em Per}: Stavens lengde er $L$.

\vspace{0.2cm}
{\em P{\aa}l}: Stavens lengde er $L/\gamma < L$.
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Her er:
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \geq 1$$
med $c =$ lyshastigheten og $v =$ hastigheten til staven og Per (i stavens lengderetning)
i forhold til P{\aa}l.

\vspace{1.0cm}
\noindent
Alts{\aa}:

\vspace{1.0cm}
\begin{center} 
\fbox{Objekter i bevegelse er kortere enn n{\aa}r de er i ro} 
\end{center}

\newpage
\noindent
Konsekvenser av Lorentzkontraksjon for ladningen $q$ i bevegelse langs den 

\noindent
str{\o}mf{\o}rende lederen:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\begin{center} 
{\em Per}: Lederen har $\lambda$ negative ladninger pr lengdeenhet og $\lambda$ positive ladninger
pr lengdeenhet. Alt i alt er lederen elektrisk n{\o}ytral.

\vspace{0.2cm}
{\em P{\aa}l}: Lederen har $\lambda_{-}$ negative ladninger pr lengdeenhet og $\lambda_{+}$
positive ladninger pr lengdeenhet. De negative ladningene har st{\o}rst hastighet i forhold til meg.
P{\aa} grunn av st{\o}rst Lorentzkontraksjon ligger derfor disse {\em tettere} enn de positive
ladningene. Alts{\aa} er $\lambda_{-} > \lambda_{+}$. Alt i alt er lederen {\em ikke} elektrisk n{\o}ytral;
den har en netto negativ ladning $\Delta \lambda = -\lambda_{-} + \lambda_{+} < 0$.

\end{center}

\vspace{1.2cm}
\noindent
Dermed m{\aa}ler P{\aa}l en {\em elektrisk kraft} p{\aa} ladningen $q$:
$$F_{\rm Pal} = F_e = qE = q\cdot\frac{\Delta \lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$$
der vi har brukt at elektrisk felt i en avstand $a$ fra en uendelig lang stav med
ladning $\Delta \lambda$ pr lengdeenhet er (se {\o}ving 5, oppgave 3)
$$E = \frac{\Delta \lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
So what? {\em Vi} er typisk i Pers situasjon, dvs i ro i forhold til lederen, og hvem
har sagt at Per, som ser en n{\o}ytral leder, vil m{\aa}le en kraft p{\aa} $q$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
Jo, det sier Einstein, med sitt {\em relativitetsprinsipp}:

\vspace{0.5cm}
\begin{center} 
Fysikkens lover gjelder i alle {\em inertialsystemer}, dvs i alle

referansesystemer som er i ro eller i konstant hastighet.
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent
$\Rightarrow$ Hvis P{\aa}l m{\aa}ler en kraft p{\aa} $q$, {\em m{\aa}} ogs{\aa}
Per m{\aa}le en kraft p{\aa} $q$!

\vspace{1cm}
\noindent
I forelesningene tok vi her rett og slett en snarvei og konstaterte at
$$F_{\rm Per} = \sqrt{1-v^2/c^2}\; F_{\rm Pal}$$
$$\Delta \lambda = \frac{2\lambda v u}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
Den f{\o}rste av disse to ligningene skal vi ikke fors{\o}ke {\aa} utlede, men
den uttrykker alts{\aa} hvordan krefter, if{\o}lge relativitetsteorien,
{\em transformerer} mellom ulike referansesystemer som er i relativ bevegelse med
hastighet $\bold{v}$. I v{\aa}rt tilfelle er ladningen $q$ i ro i P{\aa}l sitt referansesystem, i Per sitt
referansesystem har den hastighet $\bold{v}$ (mot h{\o}yre). Hvis da P{\aa}l m{\aa}ler
en kraft
$$\bold{F}_{\rm Pal} = \bold{F}_{\rm Pal}^{\parallel} + \bold{F}_{\rm Pal}^{\perp}$$
der $\bold{F}_{\rm Pal}^{\parallel}$ er komponenten av $\bold{F}_{\rm Pal}$ parallelt
med hastighetsvektoren $\bold{v}$ og $\bold{F}_{\rm Pal}^{\perp}$ er komponenten av
$\bold{F}_{\rm Pal}$ normalt p{\aa} hastighetsvektoren $\bold{v}$, s{\aa} ``kan det vises''
at Per vil m{\aa}le en kraft
\begin{eqnarray}
\bold{F}_{\rm Per} &=& \bold{F}_{\rm Per}^{\parallel} + \bold{F}_{\rm Per}^{\perp} \nonumber \\
&=& \bold{F}_{\rm Pal}^{\parallel} + \frac{1}{\gamma}\bold{F}_{\rm Pal}^{\perp} \nonumber
\end{eqnarray}
Med andre ord, en eventuell kraftkomponent parallelt med $\bold{v}$ blir den samme i de to
referansesystemene (i v{\aa}rt tilfelle er $F^{\parallel}=0$), mens for kraftkomponenten
normalt p{\aa} $\bold{v}$ (og v{\aa}r kraft er nettopp normalt p{\aa} $\bold{v}$) har vi
$$\bold{F}_{\rm Per}^{\perp} = \frac{1}{\gamma}\bold{F}_{\rm Pal}^{\perp} = \sqrt{1-v^2/c^2}\; F_{\rm Pal}$$
som konstatert ovenfor.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Den andre av de to ligningene ovenfor kan vi utlede p{\aa} bakgrunn av {\bf Einsteins regel for
addisjon av relative hastigheter}.

\noindent
La oss ta for oss 3 objekter $A$, $B$ og $C$.
Dersom $v_{AB}$ er hastigheten til $A$ relativt $B$ og $v_{BC}$ er hastigheten til
$B$ relativt $C$, da ville en nok intuitivt tenke som Galilei og si at
$$v_{AC} = v_{AB} + v_{BC}$$
m{\aa} bli hastigheten til $A$ relativt $C$. Tro det eller ei, men dette er faktisk ikke
riktig! Og problemet oppst{\aa}r i forbindelse med Einsteins 2. postulat (det 1. postulatet
var relativitetsprinsippet, se ovenfor):

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
Lyshastigheten $c$ i vakuum er konstant, uavhengig av 

kildens eller observat{\o}rens relative hastighet.
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent
N{\aa} ser du problemet med Galileis addisjonsformel: Dersom $v_{AB}=c$ (dvs $A$ er et lyssignal
som beveger seg med hastighet $c$ i forhold til $B$), blir $v_{AC} \neq c$ (dvs $C$ vil p{\aa}st{\aa}
at hastigheten til lyssignalet $A$ ikke er lik $c$)!!

\vspace{0.3cm}
\noindent
L{\o}sningen har vi med Einsteins addisjonsregel:
$$v_{AC} = \frac{v_{AB} + v_{BC}}{1 + v_{AB}\cdot v_{BC}/c^2}$$
Setter du n{\aa} $v_{AB}=c$, vil du ogs{\aa} finne at $v_{AC} = c$, i samsvar med postulatet ovenfor.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Utstyrt med denne formelen kan vi n{\aa} regne ut hvor stor Lorentzkontraksjon ladningen $q$ ser
for henholdsvis de positive og de negative ladningsb{\ae}rerne i den str{\o}mf{\o}rende lederen.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Lederladningenes hastighet m{\aa}lt av P{\aa}l:
$$u_{\pm} = \frac{\pm u + (-v)}{1 + (\pm u)\cdot(-v)/c^2} = \pm \frac{u \mp v}{1 \mp uv/c^2}$$
Her er lederladningene objekt $A$ ({\o}vre fortegn for de positive), P{\aa}l og ladningen $q$
er objekt $C$, mens Per tilsvarer objekt $B$. Dermed er $v_{AC} = u_{\pm}$ = lederladningenes
hastighet relativt P{\aa}l og $q$, $v_{AB} = \pm u$ = lederladningenes hastighet relativt
Per (dvs laboratoriet, der lederen ligger i ro), mens $v_{BC} = -v$ = Pers (og laboratoriets)
hastighet relativt P{\aa}l (og ladningen $q$).

\vspace{0.3cm}
\noindent
Da kan vi regne ut ``Lorentzkontraksjonsfaktorene'' $\gamma_{\pm}$ for de positive ({\o}vre fortegn)
og de negative (nedre fortegn) lederladningene, sett fra P{\aa}l og $q$ sitt referansesystem:
\begin{eqnarray}
\gamma_{\pm} &=& \frac{1}{\sqrt{1 - u_{\pm}^2/c^2}} \nonumber \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\left(u \mp v\right)^2}{\left(1 \mp uv/c^2\right)^2 c^2 }}} \nonumber \\
&=& \frac{1 \mp uv/c^2}{\sqrt{\left(1 \mp uv/c^2\right)^2 - \left(u \mp v\right)^2/c^2}} \nonumber \\
&=& \frac{1 \mp uv/c^2}{\sqrt{1 \mp 2uv/c^2 + u^2 v^2/c^4 - u^2/c^2 - v^2/c^2 \pm 2uv/c^2}} \nonumber \\
&=& \frac{1 \mp uv/c^2}{\sqrt{\left(1 - u^2/c^2\right) \cdot \left(1 - v^2/c^2\right)}} \nonumber 
\end{eqnarray}
Dette gj{\o}r oss i stand til {\aa} regne ut tettheten av lederladninger, observert fra P{\aa}l og $q$
sitt referansesystem:
$$\lambda_{\pm} = \gamma_{\pm} \lambda_0$$
der (NB!) $\lambda_0$ er (antalls-)tettheten av lederladninger {\em m{\aa}lt av lederladningene selv}.
Per, i ro i laboratoriet, m{\aa}ler antallstettheten $\lambda$ for lederladningene. Ettersom disse
har hastigheten $u$ relativt Per, blir sammenhengen mellom $\lambda$ og $\lambda_0$
$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \lambda_0 \;\;\;( > \lambda_0)$$
Dvs like stor Lorentzkontraksjon for positive og negative lederladninger, sett fra Pers st{\aa}sted.
(Sagt p{\aa} en annen m{\aa}te: Fordi Per m{\aa}ler like stor antallstetthet for positive og negative
lederladninger, og dermed en elektrisk n{\o}ytral leder, og samtidig like stor hastighet ($\pm$) $u$,
betyr det at lederladningene selv ogs{\aa} m{\aa} m{\aa}le en like stor antallstetthet $\lambda_0$,
enten de n{\aa} er av det positive eller negative slaget.)

\newpage
\vspace{0.2cm}
\noindent
Tilbake til P{\aa}l og $q$, som n{\aa} alts{\aa} ikke observerer en elektrisk n{\o}ytral leder,
men derimot en ladet leder med ladning pr lengdeenhet
\begin{eqnarray}
\Delta \lambda &=& \lambda_{+} - \lambda_{-} \nonumber \\
&=& \gamma_{+} \lambda_0 - \gamma_{-} \lambda_0 \nonumber \\
&=& \left(\gamma_{+} - \gamma_{-} \right) \cdot \sqrt{1 - u^2/c^2}\; \lambda \nonumber \\
&=& \frac{\sqrt{1 - u^2/c^2}\; \lambda}{\sqrt{\left(1 - u^2/c^2\right) \cdot \left(1 - v^2/c^2\right)}} 
\cdot \left[1 - \frac{uv}{c^2} - \left(1 + \frac{uv}{c^2} \right)\right] \nonumber \\
&=& - \frac{2 \lambda v u}{c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2}} \nonumber
\end{eqnarray}
Det negative fortegnet inneb{\ae}rer at P{\aa}l ser en {\em negativt} ladet leder, noe vi allerede
fant ut p{\aa} side 3. N{\aa} har vi i tillegg alts{\aa} regnet ut {\em hvor mye} negativ ladning
P{\aa}l ser p{\aa} lederen.

\vspace{1cm}
\noindent
Dermed kjenner vi elektrisk kraft m{\aa}lt av P{\aa}l (side 3), hvoretter vi kan regne
ut magnetisk kraft m{\aa}lt av Per, dvs i laboratoriet:
\begin{eqnarray}
F_{\rm Per} = F_m &=& \sqrt{1-v^2/c^2} \cdot q \cdot
\frac{2\lambda v u}{2\pi\varepsilon_0 a c^2 \sqrt{1-v^2/c^2}} \nonumber \\
&=& q v \frac{2 \lambda u}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a} \nonumber \\
&=& q v \frac{I}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a} \nonumber
\end{eqnarray}
= {\em magnetisk kraft} fra str{\o}mf{\o}rende leder p{\aa} ladning $q$
i avstand $a$ og med hastighet $v$ langs lederen.

\vspace{1cm}
\noindent
Dvs: Som v{\aa}rt eksperiment, med
$$k = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0 c^2}$$

\vspace{1cm}
\noindent
Vi kan i neste omgang f{\aa} den magnetiske kraften $F_m$ p{\aa} en ``velkjent form'',
og dessuten oppn{\aa} en ``feltbeskrivelse'' av den nye effekten, ved {\aa}
innf{\o}re {\em magnetfeltet} $B$ i avstand $a$ fra en lang, rett
leder med str{\o}m $I$:
$$B = \frac{I}{2\pi\varepsilon_0 c^2 a}$$

\vspace{1.5cm}
\noindent
Dermed har vi:
$$F_m = q v B$$

\vspace{1.0cm}
\noindent
P{\aa} vektorform kan dette skrives
$$\bold{F}_m = q \bold{v} \times \bold{B}$$
dersom vi lar $\bold{B}$ peke inn i planet:

\vspace{1.5cm}
%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{1cm}
\noindent
Dersom vi ``omd{\o}per'' konstanten $1/\varepsilon_0 c^2$,
$$\mu_0 \equiv \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} = 4\pi \cdot 10^{-7} \frac{{\rm Vs}}{{\rm Am}},$$
(= {\em permeabiliteten} til vakuum), har vi $B = \mu_0 I/2\pi a$. Vi skal se at vi f{\aa}r
n{\o}yaktig samme resultat med utgangspunkt i Biot-Savarts lov, som gir oppskriften p{\aa}
beregning av $\bold{B}$ n{\aa}r vi kjenner fordelingen av elektrisk str{\o}m $I$. Med andre ord,
Biot-Savarts lov, som er empirisk bestemt (og som kom f{\o}r relativitetsteorien), er konsistent
med Coulombs lov og Einsteins (spesielle) relativitetsteori.

\newpage
\noindent
KONKLUSJON:

\noindent
Mens $\bold{E}$ skapes av ladninger (i ro eller i bevegelse) og resulterer i elektrisk kraft p{\aa}
ladninger (i ro eller i bevegelse), skapes $\bold{B}$ av str{\o}m (dvs ladninger i bevegelse)
og resulterer i magnetisk kraft p{\aa} ladninger i bevegelse.

\vspace{1.5cm}
\noindent
Med b{\aa}de $\bold{E}$ og $\bold{B}$ til stede p{\aa}virkes ladning $q$ med hastighet $\bold{v}$
av {\em Lorentzkraften}
$$\bold{F} = q\bold{E} + q\bold{v} \times \bold{B}$$

\vspace{1.5cm}
%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{rel_mag_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\end{large}
\end{document}
