\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2007, uke 8

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Mandag 19.02.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov for $\bold{D}$:
$$\oint_S \bold{D} \cdot d\bold{A} = Q_f$$
der $Q_f$ er netto {\em fri} ladning innenfor den lukkede flaten $S$. (Netto total ladning
innenfor $S$ er $Q_{\rm in} = Q_f - Q_i$, med $-Q_i$ = netto {\em bundet} ladning, knyttet til
polariseringen $\bold{P}$, innenfor $S$.)

\vspace{1.1cm}
\noindent
{\bf Elektrisk susceptibilitet og permittivitet; line{\ae}r respons.}

\noindent
[FGT 25.5; YF 24.4; TM 24.5, 24.6; AF 25.9; LHL 20.5; DJG 4.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Line{\ae}r respons: $\bold{P}$ proporsjonal med $\bold{E}$, dvs vi kan skrive
$$\bold{P} = \chi_e \varepsilon_0 \bold{E}$$
der vi har innf{\o}rt $\chi_e$ = elektrisk susceptibilitet.

\noindent
NB: En slik line{\ae}r sammenheng mellom $\bold{P}$ og $\bold{E}$ gjelder {\em ikke alltid},
men i dette kurset skal vi hele tiden anta at det gjelder. Merk ogs{\aa} at $\bold{E}$ er det
{\em totale} elektriske feltet, {\em ikke bare} det ytre feltet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed:
\begin{eqnarray} 
\bold{D} &=& \varepsilon_0 \bold{E} + \bold{P} \nonumber \\
&=& (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \bold{E} \nonumber \\
&=& \varepsilon_r \varepsilon_0 \bold{E} \nonumber \\
&=& \varepsilon \bold{E} \nonumber
\end{eqnarray}
Her har vi innf{\o}rt st{\o}rrelsene

\noindent
$\varepsilon_r = 1 + \chi_e$ = relativ permittivitet (``dielektrisitetskonstanten'')

\noindent
$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$ = mediets permittivitet

\vspace{0.3cm}
\noindent
Enheter:

\noindent
$[\chi_e] = [\varepsilon_r] = 1$ (dimensjonsl{\o}s)

\noindent
$[\varepsilon] = [\varepsilon_0]$ = C$^2$/Nm$^2$

\vspace{0.5cm}
\noindent
Punktladning $q$ i dielektrikum med permittivitet $\varepsilon$:

\vspace{0.3cm}
\noindent
Elektrisk felt: $\bold{E}(r) = (q/4\pi\varepsilon r^2) \hat{r}$

\noindent
Elektrisk potensial: $V(r) = q/4\pi\varepsilon r$

\noindent
Dvs: Som for punktladning i vakuum, men med $\varepsilon_0 \rightarrow \varepsilon >
\varepsilon_0$; mediet polariseres og {\em skjermer} punktladningen slik at $E$ og $V$
reduseres med en faktor $1/\varepsilon_r$.

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 20.02.07
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.1cm}
\noindent
{\bf Kondensator og kapasitans.} 

\noindent
[FGT 25.1, 25.5; YF 24.1, 24.4; TM 24.2, 24.5; AF 25.10; LHL 20.1; DJG 2.5.4]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Kondensator = to adskilte elektriske ledere med ladning $\pm Q$
(Eventuelt: En elektrisk leder med ladning $Q$, den andre tenkt flyttet uendelig langt bort.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Coulombs lov $\Rightarrow$ elektrisk felt i omr{\aa}det omkring lederne er proporsjonalt med $Q$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Dermed f{\o}lger ogs{\aa} at {\em potensialforskjellen} $\Delta V$ mellom de to lederne er proporsjonal med $Q$:
$$C = \frac{Q}{\Delta V}$$
$C$ = kondensatorens {\em kapasitans}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Enhet for kapasitans: $[C] = [Q/\Delta V]$ = C/V $\equiv$ F (farad)

\vspace{0.3cm}
\noindent
Symbol i elektriske kretser:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{uke39_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
$C$ er en {\em geometrisk faktor}, avhengig av ledernes utforming og innbyrdes avstand,
og dessuten det mellomliggende mediet.

\noindent
Kapasitans er, pr definisjon, en {\em positiv} st{\o}rrelse.

\noindent
Utregning av $C$ for et gitt system vil g{\aa} ut p{\aa} {\aa}
bestemme potensialforskjellen mellom de to lederne, $\Delta V = V_+ - V_-$, for
en gitt ladning $\pm Q$.

\vspace{0.5cm}
\noindent 
Parallellplatekondensator, luftfylt (vakuum), med plateareal $A$, plateavstand $d$:
$$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent 
Parallellplatekondensator, fylt med dielektrikum med relativ permittivitet $\varepsilon_r$,
plateareal $A$, plateavstand $d$:
$$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$$

\vspace{0.5cm}
\noindent 
Dersom omr{\aa}det mellom kondensatorens to ledere, som i utgangspunktet
er fylt med luft ($\simeq$ vakuum), helt eller delvis fylles med et dielektrikum,
vil kondensatorens kapasitans alltid bli st{\o}rre enn den var med bare luft.
(Det samme gjelder ogs{\aa} hvis omr{\aa}det med luft/vakuum erstattes med
metall.)


\vspace{0.2cm} 
\noindent
{\bf Kobling av flere kapasitanser}

\noindent
[FGT 25.4; YF 24.2; TM 24.4; AF Ex. 25.8, LHL 20.2]:


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{kapasitanser_i_serie.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Seriekobling av $N$ kapasitanser $C_i$, $i = 1,..,N$:
$$\frac{1}{C} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{C_i}$$

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{kapasitanser_i_parallell.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
Parallellkobling av $N$ kapasitanser $C_i$, $i = 1,..,N$:
$$C = \sum_{i=1}^{N} C_i$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
I disse uttrykkene representerer $C$ den ekvivalente
kapasitansen dersom vi erstatter alle de serie- eller
parallellkoblede kapasitansene med en enkelt kapasitans.



\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Energi assosiert med elektrisk felt} 

\noindent
[FGT 25.3; YF 24.3; TM 24.3; AF 25.11; LHL 20.4; DJG 2.4.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Potensiell energitetthet, dvs potensiell energi pr volumenhet, er med elektrisk felt $E$ lik 
$$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
Vi hadde ogs{\aa} at potensiell energi kunne "assosieres" med den elektriske ladningen:
Dersom et "system" har elektrisk potensial (f.eks. relativt til potensialet uendelig langt borte,
som vi som regel kan sette lik null) $v(q)$ n{\aa}r det har ladning $q$, m{\aa} vi utf{\o}re
et arbeid $dW = v(q)\; dq$ for {\aa} {\o}ke ladningen fra $q$ til $q + dq$. F{\o}lgelig blir
totalt arbeid, og dermed ogs{\aa} total "lagret" potensiell energi i systemet, lik
$$W = U = \int_0^Q v(q)\; dq$$
for {\aa} lade opp systemet fra null ladning til endelig ladning $Q$.

\vspace{0.2cm}
\noindent
Alternativt kan vi alts{\aa} regne ut lagret potensiell energi ved {\aa} integrere
opp energitettheten $u$ over hele volumet $V$:
$$U = \int_V u\; dV = \int_V \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \; dV$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
(Merk at her st{\aa}r $V$ for {\em volum} og ikke potensial. Dessuten: Ikke la deg forvirre av
notasjonen brukt ovenfor: Jeg brukte $v(q)$ for {\aa} angi potensialforskjellen mellom de to
kondensatorplatene med ladning $q$ og $-q$, dvs p{\aa} et vilk{\aa}rlig tidspunkt underveis i
oppladingen. Grunnen var at jeg {\o}nsket {\aa} reservere $V$ for potensialforskjellen mellom 
platene n{\aa}r de var ferdig oppladet, dvs med ladning $Q$ og $-Q$. Jeg fors{\o}ker {\aa} minimere
"sammenblanding" av symboler, men $V$ bruker jeg alts{\aa} for potensial {\em og} volum.)



\end{document}
