\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 1
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Fredag 11. og mandag 14. januar

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 18. januar kl 12.00

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Komponentene av en vektor $\bold{A}$ er $A_x = -7.1$ og $A_y = -1.3$.
Lengden $A = |\bold{A}|$ av denne vektoren er da

\noindent
A) 6.0 \hspace{0.8cm}
B) 7.2 \hspace{0.8cm}
C) 8.4 \hspace{0.8cm}
D) 9.6

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Vinkelen mellom $x$-aksen og vektoren $\bold{A} = - 3.7 \, \hat{x} - 2.3 \, \hat{y}$
er (m{\aa}lt i grader mot urviseren; en hatt over $x$ og $y$ symboliserer enhetsvektor
i den aktuelle retningen) 

\noindent
A) 38 \hspace{0.8cm}
B) 148 \hspace{0.8cm}
C) 212 \hspace{0.8cm}
D) 238

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Komponentene av to vektorer $\bold{A}$ og $\bold{B}$ er henholdsvis
$A_x = 4.1$, $A_y = -7$ og $B_x = -6.6$, $B_y = -3.1$. Lengden av
vektoren $\bold{B} - \bold{A}$ er da

\noindent
A) 11.4 \hspace{0.8cm}
B) 14.6 \hspace{0.8cm}
C) 19.5 \hspace{0.8cm}
D) 23.3

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Komponentene av to vektorer $\bold{A}$ og $\bold{B}$ er henholdsvis
$A_x = 6.1$, $A_y = -5.8$ og $B_x = -9.8$, $B_y = 4.6$. Skalarproduktet
("Prikkproduktet") $\bold{A}\cdot\bold{B}$ er da

\noindent
A) 9.7 \hspace{0.8cm}
B) 0 \hspace{0.8cm}
C) -33.1 \hspace{0.8cm}
D) -86.5

\vspace{0.3cm}
\noindent
$e)$ Integralet av funksjonen $x + x^2$ fra $x=0$ til $x=1$ er

\noindent
A) 2/3 \hspace{0.8cm}
B) 3/4 \hspace{0.8cm}
C) 4/5 \hspace{0.8cm}
D) 5/6

\vspace{0.3cm}
\noindent
$f)$ Hvis $r = \sqrt{x^2+1}$ s{\aa} er $dr/dx$ lik

\noindent
A) $x$ \hspace{0.8cm}
B) $r/x$ \hspace{0.8cm}
C) $x/r$ \hspace{0.8cm}
D) $r$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$g)$ Hvis $\bold{A} = (1,0,0)$ og $\bold{B} = (0,1,0)$, er 
"kryssproduktet" $\bold{A}\times\bold{B}$ lik

\noindent
A) $(1,1,0)$ \hspace{0.8cm}
B) $(0,0,1)$ \hspace{0.8cm}
C) $(0,0,0)$ \hspace{0.8cm}
D) $(1,1,1)$


\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ En tynn kobbertr{\aa}d med sirkul{\ae}rt tverrsnitt har lengde 1.0 m. Tr{\aa}den har konstant masse pr lengdeenhet,
$\mu = 0.20$ g/cm. Hva er tr{\aa}dens masse? Hva er tr{\aa}dens diameter?

\noindent
Oppgitt: Massetetthet for kobber: $\rho = 8.92$ g/cm$^3$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ En annen kobbertr{\aa}d, ogs{\aa} denne 1.0 m lang, har variabelt tverrsnitt
$$t(x) = t_0 \left( 1 - \left( \frac{x - L/2}{L}\right)^2 \right)$$
der $x=0$ og $x=L=1.0$ m representerer tr{\aa}dens to ender og $t_0 = 3.0$ mm$^2$.
Hvor er tr{\aa}den tynnest, og hvor er den tykkest? Hva er tr{\aa}dens minimale og
maksimale tykkelse? Regn ut tr{\aa}dens masse.

\noindent
Tips: En liten (infinitesimal) bit av tr{\aa}den
med lengde $dx$, lokalisert mellom $x$ og $x+dx$, har masse $dm = \rho \cdot
t(x) \cdot dx$. For {\aa} finne massen til hele tr{\aa}den m{\aa} vi {\em summere}
slike sm{\aa} biter. Hvis hver bit er "uendelig liten", best{\aa}r
tr{\aa}den av uendelig mange biter, og summen utf{\o}rer vi da ved {\aa} {\em integrere}.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ I naturlig forekommende kobber har vi atomer som best{\aa}r av 29 elektroner 
og en kjerne med 29 protoner og enten 34 eller 36 n{\o}ytroner. 
Vi har med andre ord to ulike {\em isotoper} av kobber, og naturlig kobber
inneholder 69.17 $\%$ av den lette isotopen og 30.83 $\%$ av den tunge isotopen. Hva blir da midlere
masse pr kobberatom? Er det her n{\o}dvendig {\aa} ta hensyn til elektronene?

\noindent
Oppgitt: $m_p \simeq m_n \simeq 1.67 \cdot 10^{-27}$ kg, $m_e \simeq 9.11 \cdot 10^{-31}$ kg.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ Hvor mange kobberatomer er det i tr{\aa}den i punkt $a$? En mer passende antallsenhet
i slike sammenhenger er {\em mol}, der 1 mol $\simeq 6.02 \cdot 10^{23}$
(Avogadros tall, etter Amedeo Avogadro, italiensk kjemiker, 1776 - 1856). 
Hvor mange mol kobberatomer er det i tr{\aa}den i punkt $a$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$e)$ Et proton har elektrisk ladning $e$, et elektron har ladning $-e$, og et n{\o}ytron
har null elektrisk ladning. Her er $e$ den s{\aa}kalte element{\ae}rladningen,
$e \simeq 1.6 \cdot 10^{-19}$ C, hvor vi har innf{\o}rt SI-enheten for elektrisk ladning,
nemlig C (coulomb), etter den franske fysiker Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806).
Hvor stor ladning har alle protonene i tr{\aa}den i punkt $a$ tilsammen? Hva med alle
elektronene? Hva er tr{\aa}dens {\em totale} ladning?


\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Ei tynn sirkul{\ae}r skive har radius $R$ og uniform nettoladning $\sigma_0$
pr flateenhet. Hva blir skivas totale ladning?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Ei anna sirkul{\ae}r skive har radius $R$ og netto ladning
$$\sigma(r) = \sigma_0 \left( 1 - r/R \right)$$
pr flateenhet, dvs den avtar line{\ae}rt med avstanden $r$ fra skivas sentrum.
Hva blir skivas totale ladning?

\noindent
Tips: En tynn ring med indre radius $r$ og ytre radius $r+dr$ har areal
$dA = 2 \pi r \cdot dr$, og f{\o}lgelig ladning
$dq = \sigma(r) \cdot dA = \sigma(r) \cdot 2 \pi r \cdot dr$.

\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Bestem gravitasjonskraften $F_g$ som virker mellom to oksygenmolekyler (O$_2$) i innbyrdes
avstand 300 {\AA}. Er $F_g$ tiltrekkende eller frast{\o}tende?
De to oksygenmolekylene tilf{\o}res ett ekstra elektron hver. Hvor stor blir den elektriske
kraften $F_e$ mellom de to ionene (O$_2^-$)? Er $F_e$ tiltrekkende eller frast{\o}tende?
Bestem forholdet mellom $F_e$ og $F_g$. Avhenger dette forholdet av avstanden
mellom de to ionene?

\vspace{0.2cm}
\noindent
Oppgitt: Molekyl{\ae}rt oksygen har masse 32 g/mol, 1 mol = $6.02\cdot10^{23}$,
gravitasjonskonstanten er $G = 6.67 \cdot 10^{-11}$ m$^3$/kg$\cdot$s$^2$,
$e$ = element{\ae}rladningen = $1.6\cdot10^{-19}$ C, $1/4 \pi \varepsilon_0 \simeq
9 \cdot 10^9$ Nm$^2$/C$^2$ og 1 {\AA} = 1 {\aa}ngstr{\o}m = $10^{-10}$ m.


\vspace{0.6cm}
\noindent
{\em Oppgave 5}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Seks like store ladninger $q$ er plassert i hj{\o}rnene av en
regul{\ae}r sekskant. Hvor stor blir kraften p{\aa} en
"testladning" $Q$ i sentrum av sekskanten?

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ En av de seks ladningene fjernes. Hva blir n{\aa} kraften p{\aa} $Q$?
Tegn en figur og forklar hvordan du har tenkt.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Erstatt "seks" med "sju" og gjenta oppgave $a$!


\vfill
%\vspace{1.5cm}
\noindent
Fasitsvar: 

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Oppgave 2}: 

\noindent
$a)$ 20 g, 1.7 mm \hspace{1cm}
$b)$ 25 g \hspace{1cm}
$c)$ $1.06 \cdot 10^{-25}$ kg \hspace{1cm}
$d)$ $1.89 \cdot 10^{23}$ atomer, 0.31 mol \hspace{1cm}
$e)$ $\pm 877$ kC

\noindent
{\em Oppgave 3}:

\noindent
$b)$ $\pi \sigma_0 R^2/3$

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\em Oppgave 4}: $F_e/F_g \simeq  10^{33}$

\end{document}
