\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\ems}{{\cal E}}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003 Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 15
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.8cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

\vspace{0.4cm}
\noindent
Kirchhoffs spenningsregel gir, sammen med Ohms lov, for den f{\o}rste kretsen:
$$V_0 e^{i\omega t} = R I_0 e^{i\omega t}$$
og dermed
$$Z_R = V/I = R$$
For induktansen:
$$V_0 e^{i\omega t} = L \frac{dI}{dt} = i\omega L I_0 e^{i\omega t}$$
og dermed
$$Z_L = i\omega L$$
For kapasitansen:
$$V_0 e^{i\omega t} = \frac{Q}{C}$$
dvs
$$I_0 e^{i\omega t} = \frac{dQ}{dt} = i\omega C V_0 e^{i\omega t}$$
og dermed
$$Z_C = \frac{1}{i\omega C}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
Skisse:

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{enkle_kurver.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
F{\o}rste krets er en seriekobling av $R$ og $R$, som igjen er koblet i serie
med en parallellkobling av $L$ og $C$. Parallellkoblingens impedans:
$$\left( 1/i\omega L + i\omega C \right)^{-1} = \frac{i\omega L}{1-\omega^2 LC}$$
Totalt:
$$Z_1 = 2R + i\,\frac{\omega L}{1-\omega^2 LC}$$
Andre krets er en seriekobling av $L$, $R$ og $C$, som igjen er koblet i parallell
med $L$:
$$Z_2 = \left(1/i\omega L + 1/(R + i\omega L + 1/i\omega C) \right)^{-1}$$
Tredje krets er en seriekobling av $R$ og $L$, som igjen er koblet i serie med
en parallellkobling av $C$ og en $R$ og $L$ i serie:
$$Z_3 = R + i\omega L + \left(i\omega C + 1/(R+i\omega L) \right)^{-1}$$
Fjerde krets er en parallellkobling av tre stk $C$:
$$Z_4 = \left( i\omega C + i\omega C + i\omega C \right)^{-1} = \frac{1}{3i\omega C}$$


\vspace{1.1cm}
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Seriekoblingens impedans:
$$Z = R + i\omega L + 1/i\omega C = R + i \, \left(\omega L - 1/\omega C \right)$$
Absoluttverdi:
$$|Z| = \left(R^2 + \left(\omega L - 1/\omega C \right)^2 \right)^{1/2}$$
Fasevinkel:
$$\alpha = \arctan \frac{\omega L - 1/\omega C}{R}$$
Str{\o}mamplituden blir:
$$|I_0(\omega)| = \frac{V_0}{|Z|} = \frac{V_0}{\left(R^2 + \left(\omega L - 1/\omega C \right)^2 \right)^{1/2}}$$
Med oppgitte tallverdier, og med $R$ i enheten $\Omega$, har vi, i enheten A:
$$|I_0(\omega)| = \frac{330}{\left(R^2 + \left(\omega/100\pi - 100\pi/\omega \right)^2 \right)^{1/2}}$$

\newpage
\noindent
Med $R=0.01 \; \Omega$:

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{stromamp_r001.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE

\noindent
Med $R=0.1 \; \Omega$:

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{stromamp_r01.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE


\noindent
Med $R=1.0 \; \Omega$:

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{stromamp_r1.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE

\noindent
En frekvens 50 Hz tilsvarer $\omega = 100\pi$ per sekund, og dette er nettopp
resonansfrekvensen i denne kretsen. Vi ser at for alle valgte motstandsverdier blir
str{\o}mamplituden uansett for stor for en normal sikring i et hus. Med 10-amperes
sikring kan vi tillate $|I_0| \simeq 14$ A, som betyr at vi m{\aa} bruke en motstand
som er minst $330/14 \simeq 23.57 \simeq 24$ $\Omega$.

\end{document}
