\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008, uke 6

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
Tirsdag 05.02.08
\end{large}
\end{center}

\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Gauss' lov} 

\noindent
[FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Fra forrige uke; Gauss' lov:
$$\oint_S \bold{E} \cdot d\bold{A} = \frac{q_{\rm in}}{\varepsilon_0}$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
I forbindelse med beviset for Gauss' lov fikk vi bruk for det vi kalte
en {\em romvinkel} $\Omega$. P{\aa} samme m{\aa}te som en liten sektor
i et plan utspenner en {\em vinkel} $d\phi$ vil en liten kjegle i rommet
utspenne en {\em romvinkel} $d\Omega$. Videre: P{\aa} samme m{\aa}te
som at buelengden $dl$ i avstand $r$ fra ``sentrum'' da blir $dl = r\;d\phi$
blir arealet $dA_r$ av flaten som st{\aa}r normalt p{\aa} $\bold{r}$ og
som avgrenses av den lille kjeglen da lik $dA_r = r^2\;d\Omega$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke37_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Lar vi sektoren i planet utspenne en hel omdreining, tilsvarer det
en vinkel
$$\oint d\phi = \int_0^{2\pi}d\phi = 2\pi$$
Tilsvarende: Lar vi kjeglen i rommet utspenne en hel kuleflate, tilsvarer
det en romvinkel
$$\oint d\Omega = \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi \sin\theta\;d\theta = 4\pi$$
(Her har vi brukt kulekoordinater, der $dA_r = r^2 \sin\theta \; d\theta \; d\phi$
(se {\o}ving 3!), slik at $d\Omega = \sin\theta \; d\theta \; d\phi$.)


\newpage
\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf N{\aa}r er Gauss' lov spesielt nyttig?} 

\noindent
[FGT 23.3; YF 22.4; TM 22.3; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.3]

\vspace{0.3cm}
\noindent
Gauss' lov kan brukes til {\aa} bestemme det
elektriske feltet fra en ladningsfordeling der vi har en eller annen form
for {\em symmetri}. Eksempler: Kulesymmetri, plansymmetri, sylindersymmetri.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Sylindersymmetri:}
Se for eksempel {\o}ving 5, uendelig lang stav med uniform ladning $\lambda$ pr lengdeenhet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Kulesymmetri:}
I forelesningen s{\aa} vi p{\aa} en jevnt ladet kuleflate og fant at det elektriske
feltet {\em inni} kula da var lik null, mens det {\em utenfor} kula var som om
hele kuleflatens ladning $Q$ var samlet i kulas sentrum, dvs
$$E(r) = Q/4\pi\varepsilon_0 r^2$$
N{\aa}r vi har en kulesymmetrisk ladningsfordeling, innser vi at det elektriske
feltet m{\aa} bli radielt rettet, og dessuten at den elektriske feltstyrken
$|\bold{E}|$ bare avhenger av avstanden $r$ fra ladningsfordelingens sentrum
(og ikke vinklene $\theta$ og $\phi$, dvs hvor vi er p{\aa} en gitt kuleflate).
Vi innser da at det er lurt {\aa} velge nettopp en kuleflate med radius $r$ 
som gaussflate for {\aa} bestemme $E(r)$, fordi "flateelementvektoren" $d\bold{A}$ 
da er parallell med $\bold{E}$ p{\aa} hele gaussflaten. Integralet i Gauss' lov
blir da lett {\aa} l{\o}se:
$$\oint \bold{E} \cdot d\bold{A} = E(r) \cdot 4 \pi r^2$$
Med kulesymmetrisk ladningsfordeling, dvs at ladningen pr volumenhet $\rho$ bare
er en funksjon av $r'$ (og ikke $\theta'$ og $\phi'$), blir det ogs{\aa} lett {\aa}
bestemme hvor mye ladning vi har innenfor gaussflaten:
\begin{eqnarray}
q_{\rm in}(r) &=& \int_{r'<r} \rho(r') dV' \nonumber \\
&=& \int_{r'=0}^{r} \int_{\theta'=0}^{\pi} \int_{\phi'=0}^{2\pi} \rho(r')
    (r')^2\;dr'\sin\theta'\;d\theta'\;d\phi' \nonumber \\
&=& 4\pi \int_{r'=0}^{r} \rho(r')\;(r')^2\;dr' \nonumber
\end{eqnarray}
Bare ladningstettheten $\rho(r')$ ikke er en altfor "slem" funksjon, klarer vi som
regel {\aa} l{\o}se det siste integralet over $r'$. Vi ser f.eks. at med konstant
$\rho$, vil $q_{\rm in}(r) \sim r^3$, og hvis $\rho(r') \sim r'$ (line{\ae}rt
voksende), vil $q_{\rm in}(r) \sim r^4$. I f{\o}rstnevnte tilfelle vil dermed
$E(r) \sim r$, i sistnevnte tilfelle vil $E(r) \sim r^2$.

\noindent
Merk at hvis $r$ er s{\aa} stor at hele ladningen $Q$ ligger innenfor gaussflaten (dvs:
$\rho(r') = 0$ for $r' > r$), vil vi alltid ha $E(r) = Q/4\pi \varepsilon_0 r^2$, dvs som om hele
ladningen var samlet i sentrum. Dette resultatet er spesielt for kulesymmetri. 


\vspace{0.3cm}
\noindent
{\em Plansymmetri:}
Et annet viktig eksempel er et jevnt ladet, uendelig stort plan. Vi viste da
at dersom planet har ladning $\sigma$ pr flateenhet, blir det elektriske feltet
$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$
dvs uavhengig av avstanden til planet. I dette tilfellet innser vi for det
f{\o}rste at $\bold{E}$ overalt m{\aa} st{\aa} vinkelrett p{\aa} det ladede planet,
og dessuten at feltstyrken $|\bold{E}|$ i hvert fall ikke kan avhenge av annet
enn avstanden til planet. Med det som utgangspunkt innser vi at en lur gaussflate
m{\aa} bli en fyrstikkeske eller sylinder som gjennomskj{\ae}res p{\aa} midten
av det ladede planet. Da har vi at flateelementvektoren $d\bold{A}$ er parallell
med $\bold{E}$ p{\aa} gaussflatens to endeflater som er parallelle med det ladede
planet, mens $d\bold{A}$ st{\aa}r vinkelrett p{\aa} $\bold{E}$ p{\aa} resten
av gaussflaten. Integralet i Gauss' lov reduserer seg dermed til $2EA$, der $A$
er arealet av gaussflatens nevnte endeflater. Ladningen innenfor en slik
gaussflate blir $\sigma \, A$, ettersom et areal $A$ av den ladede flaten n{\aa}
ligger innenfor gaussflaten. Dermed finner vi at $E$ er konstant, og alts{\aa}
heller ikke avhengig av avstanden til det ladede planet!

\vspace{0.5cm}
\noindent
Det var deretter ikke vanskelig {\aa} bestemme det elektriske feltet fra to
parallelle plan med motsatt ladning, $\pm \sigma$ (begge planene fremdeles
uendelig store). Bruk av superposisjonsprinsippet gav
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
i omr{\aa}det mellom planene, og
$$E=0$$
i omr{\aa}det p{\aa} utsiden av planene. Mellom planene er feltet rettet fra
det positive til det negative planet.

\noindent
Dette siste eksemplet er meget relevant: Det representerer en s{\aa}kalt
{\em parallellplatekondensator}, der platenes areal er stort i forhold til
avstanden mellom dem. Vi skal komme tilbake til dette eksemplet mange ganger.


\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Onsdag 06.02.08
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Materialer og elektriske egenskaper} 

\vspace{0.3cm}
\noindent
Hovedinndeling av materialer med hensyn p{\aa} deres elektriske egenskaper:
\begin{itemize}
\item Ledere:  Metaller. Atomenes ytterste elektron(er) er {\em fri} til {\aa}
bevege seg gjennom lederen. Eksempler: Cu, Al, Ag etc.
\item Isolatorer:  Alle elektroner er {\em bundet} til atomene. Eksempler: glass, plast etc.

Videre:
\item Halvledere:  Er isolator ved $T=0$ (dvs null temperatur), men enkelte elektroner
frigj{\o}res ved $T>0$. Viktige materialer i elektroniske komponenter (f.eks. dioder, transistorer).
Eksempler: Si, Ge, GaAs.

Dessuten: 
\item Superledere, Plasma, Elektrolytter etc.
\end{itemize}

\vspace{1.0cm}
\noindent
Kommentar: Metaller er {\em gode} elektriske ledere. Endel andre materialer (som f.eks. grafitt) er
{\em d{\aa}rlige} ledere. Senere i kurset, i forbindelse med elektrisk str{\o}m og elektriske
kretser, skal vi tallfeste dette ved hjelp av materialets {\em elektriske ledningsevne}. 
Isolatorer som plast, glass og tre har veldig liten elektrisk ledningsevne. Den er riktignok
ikke eksakt lik null, men mange st{\o}rrelsesordener mindre enn for metaller. Mer om dette senere.

\vspace{0.3cm}
\noindent
I dette kurset skal vi kun ta for oss ledere og isolatorer. En isolator kalles ogs{\aa} 
for et {\em dielektrikum}. Vi ser f{\o}rst p{\aa} elektriske ledere.

\vspace{1.5cm}
\noindent
{\bf Elektriske ledere} 

\noindent
[FGT 23.4; YF 21.2, 22.5; TM 21.2, 22.5; AF 25.5; LHL 19.2, 19.8; DJG 2.5]

\vspace{0.3cm}
\noindent
I forelesningene beviste vi f{\o}lgende 7 viktige resultater hva
ang{\aa}r elektrisk felt, potensial og fordeling av netto ladning p{\aa}
en elektrisk leder i {\em elektrostatisk likevekt}:
\begin{enumerate}
\item
Inne i lederen er $\bold{E} = 0$.
\item
Det er null netto ladning inne i lederen.
\item
All netto ladning fordeler seg p{\aa} overflaten av lederen.
\item
P{\aa} lederens overflate st{\aa}r det elektriske feltet
normalt p{\aa} overflaten.
\item
Hele lederen, b{\aa}de inni og p{\aa} overflaten, har samme
verdi av det elektriske potensialet $V$, dvs lederen er et
{\em ekvipotensial}.
\item
P{\aa} lederens overflate er det elektriske feltet $E = \sigma/\varepsilon_0$,
der $\sigma$ er ladning pr flateenhet p{\aa} lederens overflate.
\item
En leder med et (tomt!) hulrom har $E=0$ inne i hulrommet og all netto ladning p{\aa}
den ytre overflaten. (Dette gjelder selvsagt ikke dersom vi har netto ladning inne
i hulrommet, f.eks. en punktladning.)
\end{enumerate}
Kommentar: Vi brukte Gauss' lov til {\aa} bevise at all netto ladning m{\aa} fordele seg p{\aa}
lederens overflate. Vi kunne ogs{\aa} ha argumentert for dette resultatet med
utgangspunkt i {\em energien}, nemlig at netto ladning m{\aa} plassere seg slik at
systemets potensielle energi blir minimal. N{\aa} er det vel ikke intuitivt
opplagt at lavest energi oppn{\aa}s med all netto ladning p{\aa} overflaten?
Kanskje vi kunne "tjene" noe p{\aa} {\aa} fordele litt av ladningen utover
lederens {\em volum}? Vel, det er alts{\aa} {\em ikke} tilfelle. Enhver elektrisk
leder, uansett st{\o}rrelse og form, vil alltid ha lavest potensiell energi
n{\aa}r all netto ladning fordeler seg p{\aa} overflaten.


\vspace{1cm}
\noindent
{\bf Leder i ytre felt}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Et ytre felt $\bold{E}_0$ p{\aa}virker fri ("mobile") ladninger i lederen med elektrisk
kraft. Endel av disse ladningene beveger seg til lederens overflate slik at {\em indusert
felt} $\bold{E}_1$ akkurat kansellerer ytre ("p{\aa}trykt") felt:
$\bold{E}_1 = -\bold{E}_0$. Dermed blir totalt elektrisk felt
$\bold{E} = \bold{E}_0 + \bold{E}_1 = 0$ inne i lederen, slik vi har bevist at det m{\aa}
v{\ae}re.

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke38_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\newpage
\vspace{0.4cm}
\noindent
{\bf Leder med hulrom i ytre felt}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Elektrostatisk felt inne i hulrom i leder plassert i ytre felt $\bold{E}_0$
er lik null:

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{uke38_fig2.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Dvs: Inne i hulrommet har vi elektrostatisk {\em skjerming} mot det
ytre feltet.

\noindent
For {\aa} v{\ae}re sikker p{\aa} perfekt skjerming, m{\aa} vi ha et
"ekte" hulrom, dvs et avgrenset volum, som f.eks. inne i en fotball.
I praksis f{\aa}r vi veldig god skjerming selv med {\aa}pninger inn
til hulrommet, jfr faradayburet som dere bruker p{\aa} laben. Andre
eksempler er bil og fly.

\vspace{0.3cm}
\noindent
Merk at den elektriske lederen skjermer et {\em ytre} felt slik at $E=0$
inne i (det tomme) hulrommet, mens det omvendte ikke er tilfelle: Lederen
skjermer ikke feltet fra en eventuell ladning inne i hulrommet. Da blir
$E \ne 0$ b{\aa}de inne i hulrommet og utenfor lederen, men selvsagt $E=0$
inne i lederen.


\end{document}
