Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektromagnetisme Vår 2009

Løsningsforslag til øving 15

Oppgave 1

Kirchhoffs spenningsregel gir, sammen med Ohms lov, for den første kretsen:

V_{0}e^{iωt} = RI_{0}e^{iωt}

og dermed

Z_{R} = V/I = R

For induktansen:

V_{0}e^{iωt} = L\frac{dI}{dt} = iωLI_{0}e^{iωt}

og dermed

Z_{L} = iωL

For kapasitansen:

V_{0}e^{iωt} = \frac{Q}{C}

dvs

I_{0}e^{iωt} = \frac{dQ}{dt} = iωCV_{0}e^{iωt}

og dermed

Z_{C} = \frac{1}{iωC}

Skisse:

Oppgave 2 Første krets er en seriekobling av R og R, som igjen er koblet i serie med en parallellkobling av L og C. Parallellkoblingens impedans:

(1/iωL + iωC)^{−1} = \frac{iωL}{1 − ω^{2}LC}

Totalt:

Z_{1} = 2R + i \frac{ωL}{1 − ω^{2}LC}

Andre krets er en seriekobling av L, R og C, som igjen er koblet i parallell med L:

Z_{2} = (1/iωL + 1/(R + iωL + 1/iωC))^{−1}

Tredje krets er en seriekobling av R og L, som igjen er koblet i serie med en parallellkobling av C og en R og L i serie:

Z_{3} = R + iωL + (iωC + 1/(R + iωL))^{−1}

Fjerde krets er en parallellkobling av tre stk C:

Z_{4} = (iωC + iωC + iωC)^{−1} = \frac{1}{3iωC}

Oppgave 3 Seriekoblingens impedans:

Z = R + iωL + 1/iωC = R + i (ωL − 1/ωC)

Absoluttverdi:

|Z| = (R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2})^{1/2}

Fasevinkel:

α = arctan \frac{ωL − 1/ωC}{R}

Strømamplituden blir:

|I_{0}(ω)| = \frac{V_{0}}{|Z|} = \frac{V_{0}}{(R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2})^{1/2}}

Med oppgitte tallverdier, og med R i enheten Ω, har vi, i enheten A:

|I_{0}(ω)| = \frac{330}{(R^{2} + (ω/100π − 100π/ω)^{2})^{1/2}}

Med R = 0.01 Ω:

Med R = 0.1 Ω:

Med R = 1.0 Ω:

En frekvens 50 Hz tilsvarer ω = 100π per sekund, og dette er nettopp resonansfrekvensen i denne kretsen. Vi ser at for alle valgte motstandsverdier blir strømamplituden uansett for stor for en normal sikring i et hus. Med 10-amperes sikring kan vi tillate |I_{0}| ≃ 14 A, som betyr at vi må bruke en motstand som er minst 330/14 ≃ 23.57 ≃ 24 Ω.