Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 12

Onsdag 18.03.09 og fredag 20.03.09

Magnetisk vekselvirkning [FGT 28, 29; YF 27, 28; TM 26, 27; AF 22, 24B; LHL 23; DJG 5]

Ladet partikkel i uniformt magnetfelt [FGT 28.3; YF 27.4; TM 26.2; AF 22.3; LHL 23.1, 23.4; DJG 5.1.2]

Kraft på ladning q med hastighet v i magnetfelt B:

F = qv × B

Med vinkel θ mellom v og B:

F = qvB sin θ

Dersom v ⊥ B:

F = qvB

Har alltid F ⊥ v og F ⊥ B. Når F ⊥ v blir partikkelens bane en sirkel med konstant v = |v|:

F ⊥ v ⇒ F ⊥ \frac{dl}{dt}

⇒ dW = F · dl = 0

dvs: F = qv × B utfører null arbeid

⇒ v = konstant og T = \frac{1}{2}mv^{2} = konstant

Sentripetalakselerasjon:

a = \frac{v^{2}}{r}
⇒ F = ma = m\frac{v^{2}}{r} = qvB
⇒ r = \frac{mv}{qB}

der r er sirkelbanens radius.

Sirkelbevegelsens vinkelfrekvens:

ω = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m} ≡ ω_{c} (syklotronfrekvensen)

Vinkelfrekvens = “omløpt” vinkel pr tidsenhet

Frekvensen = antall omløp pr tidsenhet:

f = \frac{ω}{2π}

Perioden = omløpstida:

T = \frac{1}{f} = \frac{2π}{ω}

Med både elektrisk felt E og magnetfelt B til stede påvirkes ladningen av Lorentzkraften:

F = qE + qv × B

Vi ser at enheten for magnetfelt må være

[B] = \frac{[F]}{[qv]} = \frac{N}{Cm/s}

I SI-systemet har dette fått en egen betegnelse:

[B] = T

eller tesla. En alternativ enhet for magnetfeltet er gauss (G). 1 tesla er det samme som 10000 gauss. Jordmagnetfeltet er ca 0.5 G, så et magnetfelt på 1 T er ganske mye.

Magnetfelt fra elektrisk strøm [FGT 29.4; YF 28.2; TM 27.2; AF 24.11; LHL 23.5; DJG 5.2]

Biot–Savarts lov (empirisk, dvs eksperimentelt funnet):

Bidraget dB til magnetfeltet i punktet som ligger i en avstand fra lederbiten dl gitt ved vektoren r, når lederen fører en stasjonær (dvs tidsuavhengig) elektrisk strøm I er

dB = \frac{μ_{0}}{4π} \frac{I dl × r̂}{r^{2}} = \frac{μ_{0}}{4π} \frac{I dl × r}{r^{3}}

Superposisjonsprinsippet gjelder for magnetfeltet, så magnetfeltet fra hele den lukkede strømsløyfa blir

B = ∮ dB = \frac{μ_{0}I}{4π} ∮ \frac{dl × r̂}{r^{2}}

Ettersom ladning ikke oppstår eller forsvinner av seg selv, må det ei lukket sløyfe til for å opprettholde en konstant elektrisk strøm I.

I prinsipp kan Biot–Savarts lov brukes til å bestemme magnetfeltet i en vilkårlig posisjon i forhold til ei vilkårlig utformet strømsløyfe. I praksis klarer vi bare å løse integralet i Biot–Savarts lov analytisk for enkelte spesialtilfeller, f.eks. rett leder, på symmetriaksen til sirkulær eller kvadratisk strømsløyfe osv. (Problemer som ikke kan løses analytisk kan løses med numeriske metoder.)

Magnetiske feltlinjer [FGT 29.2; YF 27.3; TM 26.1; LHL 23.1]

Innføres for å visualisere magnetfeltet i et område. Defineres på tilsvarende vis som vi gjorde med elektriske feltlinjer:

• Retningen: B parallell med feltlinjene overalt.

• Styrken: |B| proporsjonal med tettheten av feltlinjer (dvs antall feltlinjer pr flateenhet)

MERK at vi alltid har lukkede feltlinjer for B. Det er fordi det ikke eksisterer magnetiske monopoler i naturen. (Mens elektriske monopoler, dvs positive og negative ladninger, finnes!)

Magnetisk kraft på elektrisk strøm [FGT 28.4; YF 27.6; TM 26.1; AF 24.9; LHL 23.2; DJG 5.1.3]

Rett leder, lengde L, strøm I:

F = IL × B

Generalisering: Leder med lengde L, strøm I, vilkårlig “form”:

F = ∫_{L} dF = I ∫_{L} dl × B

Magnetisk kraft mellom parallelle strømførende ledere [FGT 29.1; YF 28.4; TM 27.2; AF 24.14; LHL 23.5]

Kraft pr lengdeenhet mellom parallelle ledere med strøm hhv I_{1} og I_{2}:

f = \frac{μ_{0}I_{1}I_{2}}{2πr}

der r er avstanden mellom lederne. Samme retning på strømmene ⇒ tiltrekning Motsatt retning på strømmene ⇒ frastøtning

Magnetiske dipoler [FGT 28.5, 29.4; YF 27.7; TM 26.3; AF 22.7; LHL 23.3, 26.2; DJG 5.4.3]

Elektrisk strømsløyfe = Magnetisk dipol:

Magnetisk dipolmoment (for plan strømsløyfe):

m = IA = IAn̂

Enhet: [m] = [IA] = Am^{2}

I likhet med elektrisk dipolmoment har også magnetisk dipolmoment en mer generell definisjon enn den vi innførte ovenfor. Har vi en strømfordeling gitt ved strømtettheten j(r), er magnetisk dipolmoment m pr definisjon

m = \frac{1}{2} ∫ r × j(r) d^{3}r

Her går integralet over ”hele rommet”, dvs der henholdsvis ρ og j er forskjellig fra null. For spesialtilfellet som vi stort sett ser på i dette kurset, dvs plan strømsløyfe med stasjonær strøm I som omslutter et areal beskrevet ved vektoren (noen ganger kalt ”vektorarealet”) A = A n̂, reduserer denne generelle definisjonen seg nettopp til

m = IA