Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009, uke17

Onsdag 22.04.09 og fredag 24.04.09

Energi i magnetfelt [FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

La oss regne ut hvor mye energi som må tilføres en spole med induktans L når vi øker strømmen gjennom spoletråden fra i = 0 til en ”sluttverdi” i = I. Tilført energi ved å øke strømmen fra i til i + di:

dU_{B} = P dt = iv dt = iL\frac{di}{dt}dt = Li di

Her er P = iv tilført effekt, og v = Ldi/dt spenningen over spolen idet vi endrer strømmen fra i til i + di. Dermed blir total energi tilført for å øke strømmen fra 0 til I lik

U_{B} = ∫ dU_{B} = L ∫_{0}^{I} i di = \frac{1}{2}LI^{2}

Denne energien kan vi nå assosiere med magnetfeltet B inne i spolen. Anta at spolen er tilnærmet uendelig lang, med N viklinger på hele lengden l. Tverrsnittet av spolen har areal A. Da er magnetfeltet inne i spolen

B = μ_{0}nI = μ_{0} \frac{N}{l} I

(På utsiden av spolen er magnetfeltet null.) Total magnetisk fluks gjennom de N viklingene på spolen blir

ϕ_{m} = NAB = NAμ_{0} \frac{N}{l} I

som også kan skrives på formen

ϕ_{m} = LI

der L er spolens (selv-)induktans. Med dette kan vi omforme uttrykket for energien U_{B}:

U_{B} = \frac{1}{2} \frac{NAB}{I} I^{2} = \frac{1}{2}NAB · \frac{Bl}{μ_{0}N} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2} · Al

Her er Al lik volumet inne i spolen, så vi ser at vi har en energitetthet (dvs energi pr volumenhet) assosiert med magnetfeltet B:

u_{B} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Fra før har vi funnet at vi har en energitetthet u_{E} assosiert med et elektrisk felt E:

u_{E} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2}

Dermed blir total energitetthet i et elektromagnetisk felt:

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Kommentar: Dette uttrykket er ”alltid riktig”, i den forstand at u representerer energien ”lagret” i feltene E og B. I litteraturen ”risikerer” du å støte på formelen

u = \frac{1}{2}D · E + \frac{1}{2}B · H = \frac{1}{2}εE^{2} + \frac{1}{2μ}B^{2}

for total energitetthet dersom vi har polariserbare og/eller magnetiserbare medier tilstede. (I den siste overgangen her brukte vi at D = εE og B = μH, med ε = mediets permittivitet og μ = mediets permeabilitet.) Disse to uttrykkene for u er ikke identiske, og kan derfor ikke representere den samme energitettheten. Det siste uttrykket for u inkluderer da også et bidrag som ikke er direkte ”lagret” i feltene, nemlig den ”elastiske” energien knyttet til polarisering og magnetisering, dvs innrettingen av elektriske og magnetiske dipoler. I den grad noe av dette blir aktuelt til eksamen, skal vi kun bry oss om feltenergien gitt ved

u = u_{E} + u_{B} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Koblede systemer, selvinduktans og gjensidig induktans (ble ikke forelest våren 2009, derfor er det ikke direkte pensum, men kun orienteringsstoff) Anta at vi har to kretser, nr 1 og nr 2, med selvinduktans hhv L_{1} og L_{2} og gjensidig induktans M. Anta f.eks. at vi i krets nr 1 har en tidsavhengig spenningskilde E_{1}(t). Den samlede resistansen i de to kretsene er hhv R_{1} og R_{2}. Vi skal bestemme de resulterende strømstyrkene I_{1} og I_{2} i de to kretsene. Kirchhoffs spenningsregel gir da følgende ligninger:

E_{1} − L_{1}İ_{1} − R_{1}I_{1} − Mİ_{2} = 0
−L_{2}İ_{2} − R_{2}I_{2} − Mİ_{1} = 0

Dette er to koblede differensialligninger for de to ukjente, I_{1}(t) og I_{2}(t). Hvis E_{1} er en harmonisk vekselspenningskilde,

E_{1}(t) = E_{0} cos ωt,

med amplitude E_{0} og vinkelfrekvens ω, vil også strømmene I_{1} og I_{2} variere harmonisk med tiden, med samme vinkelfrekvens ω. Dermed kan vi generelt skrive

I_{1}(t) = A_{1} cos ωt + B_{1} sin ωt
I_{2}(t) = A_{2} cos ωt + B_{2} sin ωt

og innsetting av disse uttrykkene i de to differensialligningene gir da i alt fire ligninger, for fastleggelse av ”koeffisientene” A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}. (Fire ligninger fordi vi kan sammenligne cos ωtledd og sin ωt-ledd hver for seg, slik som i AC-eksemplet nedenfor.)

(herfra er stoffet pensum igjen)

RL-krets med likespenningskilde V_{0} [FGT 32.4; YF 30.4; TM 28.8; AF Ex 27.5; LHL 25.2; DJG Ex 7.12]

Ser på seriekobling av induktans L (f.eks. en spole) og resistans R. Et batteri med likespenning V_{0} kobles til kretsen ved tidspunktet t = 0.

Total ems i kretsen er da

V_{0} − L\frac{dI}{dt}

der det siste leddet er indusert ”motspenning” over induktansen når vi prøver å endre strømstyrken gjennom den. Ifølge Kirchhoffs spenningsregel (evt ”sløyferegel”) må denne totale emsen i sløyfa tilsvare spenningsfallet over motstanden R, med andre ord

V_{0} − L\frac{dI}{dt} = RI

eller

L\frac{dI}{dt} + RI = V_{0}

Dette er nøyaktig samme type 1. ordens differensialligning for strømmen I som det vi hadde for kondensatorladningen Q da vi studerte opplading av kondensator i en RC-krets. Løsningen blir

I(t) = \frac{V_{0}}{R} (1 − e^{−Rt/L})

der vi har brukt initialbetingelsen I(0) = 0. (Før innkobling av batteriet er åpenbart I = 0. I tidspunktet t = 0 kan ikke strømmen i kretsen ”hoppe” opp til en endelig verdi forskjellig fra null. Det måtte i såfall innebære at dI/dt → ∞ i t = 0, hvilket igjen ville innebære en uendelig stor motspenning over induktansen. Det er rett og slett ikke fysisk mulig! Altså må I være kontinuerlig i t = 0, og vi kan sette I(0) = 0.)

Tidskonstant for endring av strømmen:

τ = \frac{L}{R}

Verdien av τ gir en størrelsesorden for hvor lang tid det tar å øke strømmen i en slik RL-krets fra 0 til maksimal verdi V_{0}/R:

I(t → ∞) = \frac{V_{0}}{R}

RL-krets med vekselspenningskilde V_{0} cos ωt [FGT 33.2; YF 31.2; TM 29.2, 29.3; AF Note 27.2; LHL 27.3]

Med en vekselspenningskilde V_{0} cos ωt koblet til en induktans L har vi med bruk av Kirchhoffs spenningsregel:

V_{0} cos ωt + V_{L} = 0
V_{0} cos ωt = L\frac{dI}{dt}
I(t) = \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt = \frac{V_{0}}{ωL} cos(ωt − \frac{π}{2} )

Vi kan skrive strømmen I(t) på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

(jfr tidligere i kurset, og tilsvarende for kapasitans C og RC-kretser), og ser at strømamplituden er

I_{0} = \frac{V_{0}}{ωL}

mens fasevinkelen er

α = \frac{π}{2}

Dvs, strøm I og påtrykt spenning V = V_{0} cos ωt er faseforskjøvet med en kvart periode i forhold til hverandre. I forbindelse med RC-kretser og vekselspenningskilde innførte vi størrelsen impedans Z, definert ved

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}}

Med andre ord, en slags generalisert motstand, jfr Ohms lov R = V/I. Vi ser da at impedansen til en induktans L blir

Z_{L} = ωL

med fasevinkel

α_{L} = π/2

Et eksempel til: Vekselspenningskilde V_{0} cos ωt koblet til en parallellkobling av en motstand R og en induktans L. Da må den totale strømmen I som ”leveres” av spenningskilden fordele seg på en strøm I_{R} gjennom motstanden og en strøm I_{L} gjennom induktansen:

I = I_{R} + I_{L}

(Dvs: Kirchhoffs strømregel.) Videre må vi gjenfinne den påtrykte spenningen som et tilsvarende spenningsfall, både over motstanden og over induktansen. Med andre ord:

V_{0} cos ωt = RI_{R}
V_{0} cos ωt = L\frac{dI_{L}}{dt}

(Dvs: Kirchhoffs spenningsregel.) Disse ligningene løses greit, og vi finner

I_{R} = \frac{V_{0}}{R} cos ωt
I_{L} = \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt

Total strøm levert av spenningskilden blir dermed

I(t) = I_{R}(t) + I_{L}(t) = \frac{V_{0}}{R} cos ωt + \frac{V_{0}}{ωL} sin ωt

Vi kan skrive denne summen av to ledd på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α)

ved å bruke den trigonometriske relasjonen

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

Dermed:

cos(ωt − α) = cos ωt cos α + sin ωt sin α

Sammenligning med uttrykket for I(t) = I_{R} + I_{L} gir oss følgende to ligninger for de to ukjente størrelsene I_{0} og α:

\frac{V_{0}}{R} = I_{0} cos α
\frac{V_{0}}{ωL} = I_{0} sin α

Dette ligningssettet har løsning

tan α = \frac{R}{ωL} ⇒ α = arctan \frac{R}{ωL}

og

I_{0} = V_{0} (\frac{1}{R^{2}} + \frac{1}{ω^{2}L^{2}} )^{1/2}

Fra definisjonen av impedans, Z = V_{0}/I_{0}, ser vi at impedansen til en parallellkobling er

Z = (\frac{1}{R^{2}} + \frac{1}{ω^{2}L^{2}} )^{−1/2}

Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er liten, dvs ω ≪ R/L, vil leddet 1/ω^{2}L^{2} dominere i forhold til 1/R^{2}, slik at

Z ≃ ωL

Dersom vinkelfrekvensen til spenningskilden er stor, dvs ω ≫ R/L, vil leddet 1/R^{2} dominere i forhold til 1/ω^{2}L^{2}, slik at

Z ≃ R

Resonanskrets: RCL-krets med vekselspenningskilde V_{0} cos ωt [YF 31.3; LHL 27.5]

Figuren nedenfor viser en såkalt resonanskrets.

Kirchhoffs spenningsregel gir

V_{0} cos ωt − RI − Lİ − Q/C = 0

som med I = Q̇ gir

LQ̈ + RQ̇ + Q/C = V_{0} cos ωt

Dette er en 2. ordens inhomogen differensialligning for kondensatorladningen Q. Den generelle løsningen er en sum av en homogen løsning (dvs: løsning av ligningen med null på høyre side) og en partikulærløsning. Vi er her ikke interessert i den homogene løsningen, som kun bidrar til et ”innsvingningsforløp” rett etter at vi har koblet til spenningskilden. Det som interesserer oss her er partikulærløsningen, dvs den som beskriver ”tvungne” svingninger av Q og I, dvs svingninger med samme (vinkel-)frekvens som påtrykt spenning. Da kan vi skrive strømmen på formen

I(t) = I_{0} cos(ωt − α),

dvs

I = Q̇ = I_{0} cos α cos ωt + I_{0} sin α sin ωt.

Det gir videre

Q̈ = −ωI_{0} cos α sin ωt + ωI_{0} sin α cos ωt

og

Q = \frac{I_{0}}{ω} cos α sin ωt − \frac{I_{0}}{ω} sin α cos ωt.

Innsetting av disse uttrykkene i diffligningen for Q gir oss 2 ligninger for de 2 ubestemte størrelsene I_{0} og α, i og med at leddproporsjonale med sin ωt og cos ωt må stemme overens hver for seg. Etter litt algebra kommer vi fram til løsningen

α = arctan (\frac{ωL − 1/ωC}{R} )

for fasevinkelen og

I_{0} = \frac{V_{0}}{\sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}}

for strømamplituden. Resonanskretsens impedans er følgelig

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}} = \sqrt{R^{2} + (ωL − 1/ωC)^{2}}

Figuren nedenfor viser hvordan I_{0} varierer med ω for hhv stor, middels og liten verdi for resistansen R. Når ω = ω_{0} = 1/\sqrt{LC}, får vi maksimal amplitude på strømmen. Vi har da resonans. Frekvensen til den påtrykte spenningen ”matcher” da den elektriske kretsens ”naturlige frekvens” ω_{0}.

For riktig lave frekvenser (ω → 0) representerer kondensatoren et brudd i en tilnærmet likestrømkrets. Da er det ikke urimelig at I_{0} → 0. For riktig høye frekvenser (ω → ∞, eventuelt ω ≫ ω_{0}) blir indusert motspenning i induktansen L stor selv uten strøm av betydning. Da er det heller ikke urimelig at I_{0} → 0 i denne grensen.

Oppgave: Vis at midlere effekt som spenningskilden tilfører kretsen,

⟨P ⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} V (t)I(t)dt

blir

⟨P ⟩ = \frac{V_{0}I_{0} cos α}{2}

Hva blir ⟨P ⟩ på resonans, dvs når ω = ω_{0} = 1/\sqrt{LC}?

AC-kretser med kompleks regning. Kompleks impedans. [YF 31.3; LHL 27.6]

Utregning av strøm og impedans i AC-kretser kan forenkles betraktelig ved å utnytte at

cos ωt = Re {e^{iωt}} ,

eventuelt

sin ωt = Im {e^{iωt}} .

Dermed kan vi (midlertidig!) skrive påtrykt spenning som

V (t) = V_{0}e^{iωt}

og strømmen på formen

I(t) = I_{0}e^{iωt}.

Vi må bare huske på å ta realdelen av utregnet I(t) til slutt for å få den fysiske strømmen i kretsen. Her må vi dessuten tillate I_{0} å bli en kompleks størrelse,

I_{0} = |I_{0}|e^{−iα},

inntil videre. Da har vi nemlig at

Re {I_{0}e^{iωt}} = |I_{0}| cos(ωt − α),

og det er jo nettopp på den formen vi ønsker å skrive strømmen i en slik AC-krets! Kretsens impedans Z blir dermed også en kompleks størrelse:

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}} = \frac{V_{0}}{|I_{0}|}e^{iα} = |Z|e^{iα},

dvs med absoluttverdi

|Z| = V_{0}/|I_{0}|,

og med fasevinkel α. Med andre ord: Den komplekse impedansen har innebygd informasjon om både strømmens amplitude |I_{0}| og faseforskyvningen α mellom påtrykt spenning og resulterende strøm! Smart, ikke sant? Men tilbake til det regnetekniske: Poenget er at den deriverte av eksponentialfunksjonen er eksponentialfunksjonen selv. Dermed vil alle ledd i ligningen(e) som følger når vi anvender Kirchhoffs regler, ha samme tidsavhengige faktor exp(iωt), som dermed kan forkortes uten videre. Vi slipper å styre og herje med å skrive om trigonometriske funksjoner for å bestemme |I_{0}| og α. For RCL-kretsen hadde vi diffligningen

LQ̈ + RQ̇ + Q/C = V_{0} cos ωt

for kondensatorladningen Q. Vi erstatter høyre side med V_{0} exp(iωt) og skriver ladningen på formen

Q(t) = Q_{0}e^{iωt},

der vi som for I_{0} tillater kompleks amplitude Q_{0}. Innsetting av Q gir da

(−ω^{2}L + iωR + 1/C)Q_{0}e^{iωt} = V_{0}e^{iωt},

dvs

Q_{0} = \frac{V_{0}}{iωR − ω^{2}L + 1/C} .

Vi har da

I = Q̇ = iωQ = iωQ_{0}e^{iωt} = \frac{V_{0}}{R + iωL + 1/iωC} e^{iωt}

med kompleks amplitude

I_{0} = \frac{V_{0}}{R + iωL + 1/iωC}

Her er nevneren nettopp den komplekse impedansen,

Z = R + iωL + 1/iωC

som ganske enkelt er en sum av enkeltimpedansene Z_{R} = R (for en resistans R), Z_{L} = iωL (for en induktans L) og Z_{C} = 1/iωC (for en kapasitans C). Dvs: Samme regel for seriekobling av komplekse impedanser i AC-kretser som for seriekoblede resistanser i DC-kretser! Da er det nok ingen overraskelse å få høre at vi også har samme regel for parallellkobling av komplekse impedanser i AC-kretser som for parallellkobling av vanlige resistanser i DC-kretser. Eksempel: Total impedans i en krets med en R, L og C koblet i parallell er

Z = (1/R + 1/iωL + iωC)^{−1} .

Oppsummert: Impedans for motstand R: Z_{R} = R Impedans for induktans L: Z_{L} = iωL Impedans for kapasitans C: Z_{C} = 1/iωC

Disse uttrykkene kan du selv overbevise deg om ved å se på tre kretser hver for seg, med en spenningskilde V_{0} exp(iωt) koblet til hhv en motstand, en induktans og en kapasitans.