Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 4

Onsdag 21.01.09 og fredag 23.01.09

Elektrisk felt fra punktladning [FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.6; LHL 19.5; DJG 2.1.3]

E = \frac{q}{4πε_{0}r^{2}} r̂

Superposisjonsprinsipp for elektrisk felt:

E = ∑_{j=1}^{n} E_{j} = \frac{1}{4πε_{0}} ∑_{j=1}^{n} \frac{q_{j}}{r_{j}^{2}} r̂_{j}

Kontinuerlige ladningsfordelinger [FGT 21.4, 22.3; YF 21.5; TM 22.1; AF eks. 21.6; LHL 19.5; DJG 2.1.4]

På en lengdeskala som er stor i forhold til avstanden mellom enkeltladninger ser man en tilnærmet kontinuerlig ladningsfordeling. (På samme måte som at makroskopiske objekter har en tilnærmet kontinuerlig massefordeling, selv om de egentlig består av ”enkeltmasser” (atomer).)

Sum over enkeltladninger erstattes da av integral over en ladningsfordeling:

∑_{i} Δq_{i} →^{Δq_{i}→0} ∫ dq

3D (= 3 dimensjoner): romladning

dq = ρ dV
ρ = ρ(x, y, z) = ladning pr volumenhet = romladningstetthet
[ρ] = [q/V] = C/m^{3}
Volumelement : dV = dx dy dz (kartesiske koordinater)
= r^{2} sin θ dθ dϕ dr (kulekoordinater)
= s ds dϕ dz (sylinderkoordinater)

2D: flateladning

dq = σ dA
σ = σ(x, y) = ladning pr flateenhet = flateladningstetthet
[σ] = [q/A] = C/m^{2}
Flateelement : dA = dx dy (kartesiske koordinater)
= r dϕ dr (polarkoordinater)

1D: linjeladning

dq = λ dl
λ = λ(x) = ladning pr lengdeenhet = linjeladningstetthet
[λ] = [q/L] = C/m
Linjeelement : dl = dx (rett linje)
= R dϕ (for sirkel med radius R)

Elektrisk felt i avstand r fra infinitesimal ladning dq:

dE = \frac{1}{4πε_{0}} \frac{dq}{r^{2}} r̂

Elektrisk felt fra kontinuerlig ladningsfordeling:

E = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{r̂ dq}{r^{2}} =^{3D} \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{r̂ρ dV}{r^{2}}

Mer presist: Det elektriske feltet E(r) i et punkt r = (x, y, z) på grunn av en fordeling av elektrisk ladning beskrevet ved ladningstettheten ρ(r′) = ρ(x′, y′, z′) er gitt ved

E(r) = \frac{1}{4πε_{0}} ∫ \frac{(r − r′)ρ(r′) dV′}{|r − r′|^{3}}

der dV′ = dx′ dy′ dz′ (i kartesiske koordinater) er et volumelement i posisjon r′. Legg merke til at r ikke har samme betydning i de to siste ligningene. I den første angir r vektoren fra dq til punktet der E skal bestemmes. Dermed vil r være forskjellig for de ulike ladningselementene dq i systemet vi ser på. I den andre ligningen angir r posisjonen der E skal bestemmes, mens r′ er posisjonsvariabelen til ladningstettheten ρ. Her hadde vi valget mellom å innføre en ny vektor R ≡ r − r′ og skrive R̂/R^{2}, eller (som vi valgte) å skrive om enhetsvektoren. På sin plass med en figur, kanskje:

Vi ser at den ”aktuelle” enhetsvektoren skal peke fra volumelementet dV′ i posisjon r′ til posisjonen r. Vi kan dermed skrive (r − r′)/|r − r′|^{3} i uttrykket for E(r).

Elektriske feltlinjer [FGT 22.2; YF 21.6; TM 21.5; AF 21.6; LHL 19.6; DJG 2.2.1]

• gir en visuell framstilling av E i et område

• E ligger tangentielt til feltlinjene overalt

• styrken på E (dvs |E|) er proporsjonal med tettheten av feltlinjer, dvs antall feltlinjer pr

flateenhet Konsekvenser av dette er bl.a. at

• feltlinjene går radielt ut fra positive (punkt-)ladninger og radielt inn mot negative ladninger

• like mange feltlinjer går ut fra ladning +Q som inn mot −Q

Eksempler:

Elektrisk dipol og elektrisk dipolmoment [FGT 22.1; YF 21.7; TM 21.4; AF 21.11; LHL 19.10; DJG 2.2.1, 3.4.2]

Dersom vi har to ladninger q og −q i en viss innbyrdes avstand, har vi en elektrisk dipol. Avstandsvektoren d fra den negative ladningen −q til den positive ladningen q beskriver hvordan de to er lokalisert i forhold til hverandre. Dipolens elektriske dipolmoment p er da:

p = qd

Dipolmomentet er altså en vektor som peker fra den negative mot den positive ladningen, med størrelse lik produktet av ladningen q og avstanden d. SI-enhet for elektrisk dipolmoment: [p] = [qd] = Cm. Mye brukt alternativ enhet for elektrisk dipolmoment: 1 D (debye) ≃ 3.336 · 10^{−30} Cm.

Mer generelt kan vi definere det elektriske dipolmomentet for en vilkårlig (kontinuerlig) ladningsfordeling innenfor et romlig område Ω:

p = ∫_{Ω} r dq

Her kan Ω være et område i 1, 2 eller 3 dimensjoner.

I 1D (”linjeladning”):

dq = λ(x) dx
r = x x̂

I 2D (”flateladning”):

dq = σ dA
= σ(x, y) dx dy (kartesisk)

σ(r, ϕ) r dr dϕ (polarkoord)

r = x x̂ + y ŷ (kartesisk)

r r̂ (polarkoord)

I 3D (”romladning”):

dq = ρ dV
= ρ(x, y, z) dx dy dz (kartesisk)

ρ(r, θ, ϕ) r^{2} dr sin θ dθ dϕ (kulekoord)

r = x x̂ + y ŷ + z ẑ (kartesisk)

r r̂ (kulekoord)

Dersom systemet består av n punktladninger q_{1}, q_{2}, …, q_{n} i posisjoner r_{1}, r_{2}, …, r_{n}, blir systemets elektriske dipolmoment

p = ∑_{i=1}^{n} r_{i} q_{i}

Det elektriske dipolmomentet p er bare entydig definert dersom systemet har null netto ladning, dvs

Q = ∫_{Ω} dq = 0

Da spiller det for eksempel ingen rolle hvor vi velger origo.

Dersom systemets nettoladning Q er forskjellig fra null, vil p avhenge av hvor vi plasserer origo (dvs r = 0). Vi vil kun snakke om elektrisk dipol og dipolmoment i forbindelse med systemer med null nettoladning.