Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 6

Onsdag 04.02.09 og fredag 06.02.09

Beregning av E fra V [FGT 24.4; YF 23.5; TM 23.3; AF 21.10; LHL 19.9; DJG 2.3.1, 1.2.2]

E = −∇V

Gradientoperatoren ∇:

∇V = \frac{∂V}{∂x} x̂ + \frac{∂V}{∂y} ŷ + \frac{∂V}{∂z} ẑ (kartesiske koordinater)
= \frac{∂V}{∂s} ŝ + \frac{1}{s} \frac{∂V}{∂ϕ} ϕ̂ + \frac{∂V}{∂z} ẑ (sylinderkoordinater)
= \frac{∂V}{∂r} r̂ + \frac{1}{r} \frac{∂V}{∂θ} θ̂ + \frac{1}{r sin θ} \frac{∂V}{∂ϕ} ϕ̂ (kulekoordinater)

Det er ikke et krav at du skal gå rundt og huske på hvordan gradientoperatoren ser ut i sylinder- og kulekoordinater. Den vil bli oppgitt dersom det f.eks. skulle bli bruk for den til eksamen. På den annen side: I hver eneste komponent gjenkjenner vi nevneren som den aktuelle komponenten av den aktuelle forflytningsvektoren dl, med dx erstattet av ∂x osv. Eksempel: I sylinderkoordinater har vi

dl = ds ŝ + s dϕ ϕ̂ + dz ẑ,

og ϕ-komponenten av ∇V blir da

\frac{∂V}{s ∂ϕ}

Hvis vi for eksempel har kulesymmetri (dvs E og V kun avhengig av r, ikke av vinklene θ og ϕ):

E = E(r)r̂ = −\frac{∂V}{∂r} r̂

Betydning av gradientoperatoren

Vektoren ∇V peker i den retningen som V øker raskest, dvs i den retningen der den retningsderiverte til V er størst. Ettersom E = −∇V, betyr det at det elektriske feltet peker i den retningen som V avtar raskest. Eksempel: Dersom en punktladning q plasseres et sted der ∇V = 0, blir den ikke utsatt for noen elektrisk kraft, for da er F = qE = −q∇V = 0.

Ekvipotensialflater [FGT 24.3; YF 23.4; TM 23.5; AF 21.11; LHL 19.11; DJG 2.3.2]

Ekvipotensialflater er flater i rommet med konstant potensial.

ΔV = − ∫ E · dl = 0

for vilkårlig integrasjonsvei på en ekvipotensialflate. Dermed:

E ⊥ ekvipotensialflate

Oppsummering til nå

Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to ladninger q og q′ i innbyrdes avstand r):

F = \frac{qq′}{4πε_{0}r^{2}} r̂

Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen “kraft pr ladningsenhet”):

E = \frac{F}{q′} = \frac{q}{4πε_{0}r^{2}} r̂

Konservativ kraft:

∫_{A}^{B} F · dl

er uavhengig av integrasjonsveien, dvs veien mellom punktene A og B. Dermed:

∮ F · dl = 0

(dvs når vi integrerer rundt en lukket kurve)

Med definisjonen av E følger det da at det elektrostatiske feltet også er konservativt, dvs:

∫_{A}^{B} E · dl

er uavhengig av integrasjonsveien, og dermed

∮ E · dl = 0

Dette er en av Maxwells ligninger. (Vel å merke, for statiske felt, dvs felt som ikke endrer seg med tiden. Og på integralform. Den tilsvarende ligningen på differensialform, ∇ × E = 0, er ikke pensum i dette innføringskurset, men vi får forhåpentlig tid til å komme litt inn på differensialformen av Maxwells ligninger på en Ekstratime senere i semeseteret.) Et konservativt vektorfelt kan alltid avledes fra et skalart potensial:

E = −∇V

Potensialforskjellen mellom to punkter A og B kan beregnes dersom vi kjenner det elektriske feltet i området mellom A og B:

ΔV = V_{B} − V_{A} = − ∫_{A}^{B} E · dl

Superposisjonsprinsippet gjelder for elektrisk kraft F (eksperimentelt resultat):

F_{i} = ∑_{j=1}^{n} F_{ij}

= kraft på ladning q_{i} fra ladninger q_{j} (j = 1, 2, … n) Da følger det at superposisjonsprinsippet også gjelder for elektrisk felt E,

E = ∑_{j=1}^{n} E_{j}

og for elektrisk potensial V,

V = ∑_{j=1}^{n} V_{j}

Her er E_{j} og V_{j} bidrag til henholdsvis felt og potensial fra ladning nummer j.

Elektrisk fluks [FGT 23.1; YF 22.1, 22.2; TM 22.2; AF 25.3; LHL 19.7; DJG 2.2.1]

ϕ = ∫_{S} E · dA

Noen ganger skriver vi ϕ_{E} for å presisere at det er snakk om elektrisk fluks. Vi har tidligere definert elektriske feltlinjer slik at den elektriske feltstyrken E = |E| skulle være proporsjonal med tettheten av feltlinjer, eller antall feltlinjer pr flateenhet. Av ovenstående definisjon av elektrisk fluks ϕ kan vi da slutte at ϕ representerer antall feltlinjer som krysser flaten S.

Følgende figur illustrerer hva dette går ut på:

Flaten S er en vilkårlig “tenkt” eller “valgt” flate i rommet. Det elektriske feltet “eksisterer” i området der flaten S er “plassert”. (E kan være null eller forskjellig fra null.) Flaten S tenkes så delt inn i små flateelementer dA = n̂dA, med areal dA og orientering i rommet spesifisert ved flatenormalen n̂. Fluksen dϕ gjennom flaten dA er da lik E · dA. Den totale fluksen gjennom hele flaten S får vi ved å integrere opp bidragene dϕ, altså ligningen over. Merk at fluksen er en skalar størrelse. Den kan imidlertid være positiv eller negativ, avhengig av om vinkelen mellom vektorene E og dA er mindre eller større enn 90 grader.

En lukket flate S er en flate som omslutter et veldefinert volum V, f.eks. et kuleskall, et peanøttskall e.l. Den elektriske fluksen gjennom en lukket flate skriver vi slik (jfr. notasjonen for veiintegral rundt lukket kurve):

ϕ = ∮_{S} E · dA

Ringen på integrasjonssymbolet understreker at det er snakk om en lukket flate. Med en lukket flate kan vi gjøre unna ”fortegnsproblemet” en gang for alle: Vi velger positiv retning på dA ut av flaten. Dermed kan vi konkludere med at

E · dA > 0 ⇒ fluks ut gjennom flaten E · dA < 0 ⇒ fluks inn gjennom flaten

Dessuten, når ϕ er fluks gjennom lukket flate:

ϕ > 0 ⇒ netto fluks ut gjennom flaten ϕ < 0 ⇒ netto fluks inn gjennom flaten

For en ikke lukket flate S har vi ingen tilsvarende mulighet for å velge positiv retning på dA. Flaten har to sider, og ingen av disse kan sies å være mer “inne” eller “ute” i forhold til den andre. I enkelte tilfeller velger vi imidlertid en positiv retning på (den lukkede!) kurven (linjen) som går rundt kanten av S. Da definerer vi positiv retning på dA ved hjelp av en høyrehåndsregel: La høyrehåndas fire øvrige fingre peke i positiv retning for flatens omsluttende kurve. Da peker tommelen i positiv retning for dA.